《固體物理》課件：ssp302

1、3.2 簡(jiǎn)正振動(dòng)聲子簡(jiǎn)正振動(dòng)聲子上面討論的方法對(duì)于進(jìn)一步的理論分析并不適用，如固上面討論的方法對(duì)于進(jìn)一步的理論分析并不適用，如固體比熱問題，晶格散射問題。本節(jié)采用分析力學(xué)的方法處體比熱問題，晶格散射問題。本節(jié)采用分析力學(xué)的方法處理晶格振動(dòng)問題。理晶格振動(dòng)問題?；痉椒ǎ簩懗鼍Ц竦膭?dòng)能和勢(shì)能，利用正則方程建立基本方法：寫出晶格的動(dòng)能和勢(shì)能，利用正則方程建立一組新的方程。一組新的方程。特點(diǎn)：可以直接過渡到量子理論。特點(diǎn)：可以直接過渡到量子理論。如果晶體包含如果晶體包含N個(gè)原子，平衡位置分別為個(gè)原子，平衡位置分別為Rn，偏離，偏離平衡位置的位移為平衡位置的位移為，把位移矢量用分量表示，把位移矢量用分

2、量表示，N個(gè)個(gè)原子的位移矢量共有原子的位移矢量共有3N個(gè)分量，個(gè)分量，jNjiijiNiiiVVVV31,023100)(21)(NiiimT31221)3 , 2 , 1(Nii晶體的動(dòng)能為晶體的動(dòng)能為晶體的勢(shì)能為晶體的勢(shì)能為V0是平衡時(shí)的勢(shì)能，即晶體的結(jié)合能，第二項(xiàng)為零，略去高階項(xiàng)是平衡時(shí)的勢(shì)能，即晶體的結(jié)合能，第二項(xiàng)為零，略去高階項(xiàng)jNjiijiVV31,02)(21NQQQ321,體系的勢(shì)能函數(shù)只保留到體系的勢(shì)能函數(shù)只保留到的二次方項(xiàng)，稱為簡(jiǎn)諧近似，的二次方項(xiàng)，稱為簡(jiǎn)諧近似，但在一些問題中，需要考慮高階項(xiàng)的作用，稱為非諧作用。但在一些問題中，需要考慮高階項(xiàng)的作用，稱為非諧作用。上面給出

3、的上面給出的V 含有含有的交叉項(xiàng)，引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)的交叉項(xiàng)，引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)NjjijiiQam31變換關(guān)系為變換關(guān)系為iiiNjiiNjiQQLPVTLQVQT31223122121引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)的目的是使系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)和動(dòng)能函數(shù)都引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)的目的是使系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)和動(dòng)能函數(shù)都具有簡(jiǎn)單的形式，即化為平方項(xiàng)之和，而無交叉項(xiàng)。具有簡(jiǎn)單的形式，即化為平方項(xiàng)之和，而無交叉項(xiàng)。拉格朗日函數(shù)為拉格朗日函數(shù)為定義正則動(dòng)量為定義正則動(dòng)量為NiQQQHPQPHiiiiiNjiii3 , 2 , 10)(21231222 寫出哈密頓量寫出哈密頓量應(yīng)用正則方程應(yīng)用正則方程得：得：是是3N個(gè)彼此獨(dú)立的方程，表明簡(jiǎn)正坐標(biāo)描述

4、獨(dú)個(gè)彼此獨(dú)立的方程，表明簡(jiǎn)正坐標(biāo)描述獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。每一個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)的解為每一個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)的解為)sin(tAQii表明：每個(gè)原子都參與所有簡(jiǎn)正坐標(biāo)的振動(dòng)。表明：每個(gè)原子都參與所有簡(jiǎn)正坐標(biāo)的振動(dòng)。如果只考察某一個(gè)如果只考察某一個(gè)Qi的振動(dòng)時(shí)，的振動(dòng)時(shí)，NjjijiiQam31而原子位移坐標(biāo)為而原子位移坐標(biāo)為)sin(1tAmaQamjiijjijii一個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)并不是表示某一個(gè)原子的振動(dòng)，而是表示一個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)并不是表示某一個(gè)原子的振動(dòng)，而是表示整個(gè)晶格所有原子都參與的振動(dòng)，而且它們的振動(dòng)頻率整個(gè)晶格所有原子都參與的振動(dòng)，而且它們的振動(dòng)頻率都相同。都相同。由簡(jiǎn)正坐標(biāo)所代表的，體系中所有

5、原子一起參由簡(jiǎn)正坐標(biāo)所代表的，體系中所有原子一起參與的共同振動(dòng)稱為一個(gè)振動(dòng)模。與的共同振動(dòng)稱為一個(gè)振動(dòng)模。),(),()(213213213122222NNNjiiiQQQEQQQQQiQi 把把Pi和和Qi看作量子中的正則共軛算符，把看作量子中的正則共軛算符，把Pi寫成寫成得到波動(dòng)方程得到波動(dòng)方程N(yùn)iQQQQiiiiii3 , 2 , 1)()()(2122222方程表示一系列相互獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子，對(duì)其中每一個(gè)簡(jiǎn)方程表示一系列相互獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子，對(duì)其中每一個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)有正坐標(biāo)有NiiniNNiiiNiiiniiniiiQQQQnEQHQn3132131312)(),()21()()2exp()(

6、)21(本征值本征值本征態(tài)為本征態(tài)為其中其中系統(tǒng)的本征態(tài)系統(tǒng)的本征態(tài)值和本征態(tài)分值和本征態(tài)分別為別為引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)的關(guān)鍵是找到合適的引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)的關(guān)鍵是找到合適的Qi，并求出，并求出aij，以，以一維單原子鏈為例。一維單原子鏈為例。前面得到了本征解前面得到了本征解)(tqnaiqnqqeA表示第表示第q個(gè)格波引起第個(gè)格波引起第n個(gè)原子的位移，而原子的總位移為個(gè)原子的位移，而原子的總位移為qiqnanqtqnaiqqnqneqQNmeAq)(1)(iqnanqqiqnantiqeNaqQeNmeANmqQq1)(1)(Q(q)是否是簡(jiǎn)正坐標(biāo)，需要證明經(jīng)過變換后動(dòng)能和是否是簡(jiǎn)正坐標(biāo)，需要證明經(jīng)過變換

7、后動(dòng)能和勢(shì)能都具有平方項(xiàng)和的形式。勢(shì)能都具有平方項(xiàng)和的形式。10)(1)()(*NnqqqqinaeNqQqQ)()(*)(*1*)(1)(1qQqQeqQNmeqQNmeqQNmqiqnanqiqnanqiqnan由于由于可以寫為可以寫為第第1式取復(fù)共軛得式取復(fù)共軛得因?yàn)槲灰茷閷?shí)數(shù)，所以因?yàn)槲灰茷閷?shí)數(shù)，所以兩個(gè)關(guān)系兩個(gè)關(guān)系qq10)(1NnqqqqinaeN2,Nahqsqq當(dāng)當(dāng)q=q時(shí)，每一項(xiàng)等于時(shí)，每一項(xiàng)等于1，共有，共有N項(xiàng)，顯然成立。項(xiàng)，顯然成立。當(dāng)當(dāng)0111111111)(11121010NeNeeNeeeNeNiasiasNahiNaNnNniasNiasniasisna等比級(jí)數(shù)

8、求和等比級(jí)數(shù)求和 qqqqqqqqqqnnaqqiqqqnaq inqiqnannqQqQqQqQqQqQqQeNqQqQeqQeqQNmmmT2,)(2)(21)(*)(21)()(21)()(211)()(21)( )(12121qqqiqaqiqaqqaq iqqiqannaqqiaq iqqiqaqaq inaq iqiqaiqnannnnqQqamqQqQeeqQqQmeeqQqQmeNeeqQqQmeeqQeeqQNmU22,)(21)(21)cos22(2)(*)()1 ( )1)()(2)1 ( )1)()(21)1 ( )1)()(2 )1 ()( )1 ()(121)(21

9、Q(q)確實(shí)是簡(jiǎn)正坐標(biāo)結(jié)論：由結(jié)論：由N個(gè)原子組成的一維單原子鏈，其振動(dòng)模為個(gè)原子組成的一維單原子鏈，其振動(dòng)模為N個(gè)個(gè)格波，在簡(jiǎn)諧近似下，格波是相互獨(dú)立的，格波的振幅對(duì)格波，在簡(jiǎn)諧近似下，格波是相互獨(dú)立的，格波的振幅對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的簡(jiǎn)正坐標(biāo)；按量子理論每種簡(jiǎn)正振動(dòng)的能級(jí)是應(yīng)著系統(tǒng)的簡(jiǎn)正坐標(biāo)；按量子理論每種簡(jiǎn)正振動(dòng)的能級(jí)是量子化的，能量的激發(fā)單元是。量子化的，能量的激發(fā)單元是。聲子：就是指格波的量子，它的能量等于，一個(gè)格聲子：就是指格波的量子，它的能量等于，一個(gè)格波稱為一種聲子；波稱為一種聲子；當(dāng)振動(dòng)模處于本征態(tài)時(shí)，稱為有個(gè)聲當(dāng)振動(dòng)模處于本征態(tài)時(shí)，稱為有個(gè)聲子，為聲子數(shù)；子，為聲子數(shù)；當(dāng)電子（或光子

10、）與晶格振動(dòng)相互作用時(shí)，交換能量以當(dāng)電子（或光子）與晶格振動(dòng)相互作用時(shí)，交換能量以為單元，若電子從晶格獲得能量，稱為吸收一個(gè)聲為單元，若電子從晶格獲得能量，稱為吸收一個(gè)聲子，當(dāng)電子給晶格能量，稱為發(fā)射一個(gè)聲子。子，當(dāng)電子給晶格能量，稱為發(fā)射一個(gè)聲子。qnqqn)21(qqqnqqq3.3 離子晶體的長光學(xué)波離子晶體的長光學(xué)波長聲學(xué)波可以認(rèn)為是把晶體看成連續(xù)介質(zhì)的長聲學(xué)波可以認(rèn)為是把晶體看成連續(xù)介質(zhì)的彈性波，彈性波滿足在彈性理論基礎(chǔ)上的建立彈性波，彈性波滿足在彈性理論基礎(chǔ)上的建立的宏觀運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)于光學(xué)波，由于原胞內(nèi)正的宏觀運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)于光學(xué)波，由于原胞內(nèi)正負(fù)離子離子做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，不可能用彈性理論

11、處負(fù)離子離子做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，不可能用彈性理論處理，理，黃昆首先提出長光學(xué)波也可以在宏觀理論黃昆首先提出長光學(xué)波也可以在宏觀理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論。以立方晶體為例，設(shè)每個(gè)原胞內(nèi)只含有一對(duì)以立方晶體為例，設(shè)每個(gè)原胞內(nèi)只含有一對(duì)離子，質(zhì)量分別為，黃昆選擇了離子，質(zhì)量分別為，黃昆選擇了W W 做為描述長光學(xué)波運(yùn)動(dòng)的宏觀量。做為描述長光學(xué)波運(yùn)動(dòng)的宏觀量。一、黃昆方程一、黃昆方程MM ,EbWbPEbWbW22211211 )()(21MWMMMMM,為約化質(zhì)量，為正、負(fù)離子的為約化質(zhì)量，為正、負(fù)離子的位移。建立了下面一對(duì)宏觀的方程。位移。建立了下面一對(duì)宏觀的方程。黃昆方程黃昆方程0W EP,E

12、bbW1112分別是宏觀極化強(qiáng)度和宏觀電場(chǎng)。分別是宏觀極化強(qiáng)度和宏觀電場(chǎng)。第一個(gè)方程是決定離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，不僅與第一個(gè)方程是決定離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，不僅與回復(fù)力有關(guān)，還與電場(chǎng)有關(guān)；第二個(gè)方程表明宏觀極化回復(fù)力有關(guān)，還與電場(chǎng)有關(guān)；第二個(gè)方程表明宏觀極化強(qiáng)度除去正、負(fù)離子相對(duì)位移產(chǎn)生極化，還要考慮宏觀強(qiáng)度除去正、負(fù)離子相對(duì)位移產(chǎn)生極化，還要考慮宏觀電場(chǎng)存在時(shí)的附加極化。電場(chǎng)存在時(shí)的附加極化。上述唯象方程中的系數(shù)可以上述唯象方程中的系數(shù)可以通過實(shí)驗(yàn)來確定通過實(shí)驗(yàn)來確定。（）存在靜電場(chǎng)時(shí)，正、負(fù)離子發(fā)生相對(duì)位移（）存在靜電場(chǎng)時(shí)，正、負(fù)離子發(fā)生相對(duì)位移W，令，令得：得：EbbbEbWbP

13、)(2211212222111212220000 1)0( 1)0()0(bbbEPEPED高頻情況，假設(shè)電場(chǎng)的頻率遠(yuǎn)高于晶格振動(dòng)的高頻情況，假設(shè)電場(chǎng)的頻率遠(yuǎn)高于晶格振動(dòng)的頻率，晶格位移跟不上電場(chǎng)的變化，有頻率，晶格位移跟不上電場(chǎng)的變化，有W=02011112120220022)()0( 1)( 1)(,bbbbEPEbP下面將證明下面將證明02102121120222011)()0( 1)(bbbb二、長光學(xué)波的橫波頻率和縱波頻率二、長光學(xué)波的橫波頻率和縱波頻率在考慮有帶電粒子的晶格振動(dòng)時(shí)，必須考慮它們的電磁在考慮有帶電粒子的晶格振動(dòng)時(shí)，必須考慮它們的電磁相互作用，對(duì)于長光學(xué)波，用上述方程求

14、解晶格振動(dòng)，相互作用，對(duì)于長光學(xué)波，用上述方程求解晶格振動(dòng)，如果把靜電學(xué)方程與唯象方程結(jié)合起來，就相當(dāng)于考慮如果把靜電學(xué)方程與唯象方程結(jié)合起來，就相當(dāng)于考慮了電荷之間的庫侖作用。了電荷之間的庫侖作用。在立方晶體中，長光學(xué)波有橫波和縱波，有在立方晶體中，長光學(xué)波有橫波和縱波，有0, 0)(0, 00, 00EPEDWWWWWWWTLLTLT1120201122121122)()(bWbdtWdEbWWbdtWWdTTTLTLT對(duì)對(duì)取旋度EbWbW1211 固有頻率固有頻率EbWbW1211 EbWbWEbWbWLL12111211 EbWbdtWdLL121122得得(1)LLWbbEEbbWE

15、EbWbP220212122002221,LLLLLWdtWdWWbbbdtWd222002022202112200012)()0() 1)()()0()(對(duì)對(duì)(2)式取散度并利用式取散度并利用D的性質(zhì)的性質(zhì)所以所以將將E代入代入(1)式得：式得：210022)()0()()0(00TLLLST(Lyddano-Sachs-Teller)關(guān)系關(guān)系三、長光學(xué)波振動(dòng)的原子理論三、長光學(xué)波振動(dòng)的原子理論離子晶體的極化有兩方面的貢獻(xiàn)，一方面是離子晶體的極化有兩方面的貢獻(xiàn)，一方面是原胞中正、負(fù)離子的相對(duì)位移，有電偶極矩原胞中正、負(fù)離子的相對(duì)位移，有電偶極矩)(*qq*表示有效電荷，由于討論的是長光學(xué)波，在一個(gè)相表示有效電荷，由于討論的是長光學(xué)波，在一個(gè)相當(dāng)大的范圍內(nèi)，正負(fù)離子的位移各原胞中是相同的，宏當(dāng)大的范圍內(nèi)，正負(fù)離子的位移各原胞中是相同的，宏觀極化強(qiáng)度為觀極化強(qiáng)度為)(*1qP位移在外電場(chǎng)中，正、負(fù)離子本身由于電子云的在外電場(chǎng)中，正、負(fù)離子本身由于電子云的畸變也會(huì)發(fā)生極化，畸變也會(huì)發(fā)生極化，)(1)()(efefEEP極化PEEef031位移極化PPP而而將以上將以上3式代入得：式代入得：)()(*3111)31)(1)