【金學案】高中數學（北師大版選修12精品學案第三章 推理與證明 章末小結

1、第三章章末小結問題1:推理一般包括合情推理和演繹推理,它們都是日常學習和生活中經常應用的思維方法,合情推理包括歸納推理和類比推理,具有猜測和發(fā)現新結論、探索和提供解決問題的思路和方向的作用;演繹推理則具有證明結論,整理和構建知識體系的作用,是公理體系中的基本推理方法. 問題2:三段論是演繹推理的主要形式,三段論的公式包括三個判斷:第一個判斷是大前提,它提供了一個一般性的原理;第二個判斷是小前提,它指出了一種特殊情況,這兩個判斷聯合起來,提示了一般原理和特殊情況的內在聯系,從而產生了第三個判斷結論. 問題3:分析法和綜合法是直接證明中最基本的兩種證明方法,也是解決數學問題時常

2、用的思維方式;反證法是間接證明的一種基本方法,也是解決某些“疑難”問題的有力工具. 問題4:解答證明題時,要注意是采用直接證明還是間接證明.直接證明時,綜合法和分析法往往可以結合起來使用.綜合法的使用是“由因索果”,分析法證明問題是“執(zhí)果索因”,它們是兩種思路截然相反的證明方法,分析法便于尋找解題思路,而綜合法便于敘述,因此往往聯合使用.分析法要注意敘述的形式:要證A,只要證明B,B應是A成立的充分條件. 題型1:與數列結合的推理問題在數列an中,a1=1,an+1=,nN+,猜想這個數列的通項公式是什么?這個猜想正確嗎?說明理由.【方法指導】先寫出數列的前幾項,尋找項與項

3、數之間的關系,再作出猜想,最后證明.【解析】在數列an中,a1=1,a2=,a3=,a4=,所以猜想an的通項公式an=.這個猜想是正確的.證明如下:因為a1=1,an+1=,所以=+,即-=,所以數列是以=1為首項,為公差的等差數列,所以=1+(n-1)=n+,所以數列an的通項公式an=.【小結】歸納推理的常見形式:一是“具有共同特征型”,二是“遞推型”,三是“循環(huán)型”(周期性),本題是根據數列的前幾項,猜測數列的通項公式,屬于第一類型;這種猜測不一定正確,需進一步證明.題型2:與立體幾何結合的推理問題在ABC中,若C=90°,AC=b,BC=a,則ABC的外接圓半徑r=,把上面

4、的結論推廣到空間,寫出相類似的結論.【方法指導】得出類比結論四面體與三角形對應立體幾何中的平面與平面幾何中的直線對應尋找類比對象【解析】取空間中有三條側棱兩兩垂直的四面體A-BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,可以將四面體補成一個長方體,則對角線長即為外接球的直徑,即2R=,即R=,則此三棱錐的外接球的半徑R=.【小結】此題考查的是平面到空間的類比推廣.解答這類題目不能只滿足結論形式上的相似,還必須是真命題,結論的推導還是要從平面結論下手,一般在推導空間的結論時要用到平面的結論,或利用類似平面結論推導的方法,如等面積類比等體積,直線類比平面,等等.題型3:與三角結合的證明問題證明:=-.【

5、方法指導】要證明=成立,可證AD=BC,因此在證明本題時,可以先將右側進行通分,然后證明其對應的“AD=BC”成立.【解析】(法一)分析法要證原式成立,即證=成立;(1)當cos=sin時,上式顯然成立,故原式成立;(2)當cossin時,即證2(1+sin)(1+cos)=(1+sin+cos)2,即證2+2sin+2cos+2sincos=1+sin2+cos2+2sin+2cos+2sincos,即證1=sin2+cos2成立,顯然成立,故原式成立.(法二)綜合法1=sin2+cos2,2+2sin+2cos+2sincos=1+sin2+cos2+2sin+2cos+2sincos,2

6、(1+sin)(1+cos)=(1+sin+cos)2,=,故原式成立.【小結】方法一用了分析法,思路清晰、簡潔;方法二利用的是綜合法,它建立在方法一的基礎上,描述簡潔.題型4:用反證法證明問題用反證法證明:若函數f(x)在區(qū)間a,b上是增函數,那么方程f(x)=0在區(qū)間a,b上至多只有一個實數根.【方法指導】得出正確結論化簡推出矛盾假設結論不成立用反證法證明【解析】假設方程f(x)=0在區(qū)間a,b上至少有兩個根,設,為其中的兩個實根,因為,不妨設>,又因為函數f(x)在區(qū)間a,b上是增函數,所以f()>f().這與假設f()=f()=0矛盾,所以方程f(x)=0在區(qū)間a,b上至多

7、只有一個實數根.【小結】(1)當遇到否定性、唯一性、無限性、至多、至少等類型問題時,常用反證法.(2)用反證法證明的步驟:否定結論ABC.而C不合理因此結論成立.1.(2022年·全國卷)正方形ABCD的邊長為1,點E在邊AB上,點F在邊BC上,AE=BF=.動點P從E出發(fā)沿直線向F運動,每當碰到正方形的邊時反彈,反彈時反射角等于入射角,當點P第一次碰到E時,P與正方形的邊碰撞的次數為().A.8B.6C.4D.3【解析】結合已知中的點E,F的位置,進行推理可知在反射的過程中,直線是平行的,那么利用平行關系,作圖(如下),可以得到回到E點時,需要碰撞6次即可.【答案】B2.(2022

8、年·湖北卷)古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數,如三角形數1,3,6,10,第n個三角形數為=n2+n.記第n個k邊形數為N(n,k)(k3),以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式:三角形數N(n,3)=n2+n,正方形數N(n,4)=n2,五邊形數N(n,5)=n2-n,六邊形數N(n,6)=2n2-n,可以推測N(n,k)的表達式,由此計算N(10,24)=. 【解析】首先將三、四、五、六邊形數中第n個數的表達式分別通分,化成分母統(tǒng)一為2的形式如下:三角形數:N(n,3)=n2+n=,正方形數:N(n,4)=n2=,五邊形數:N(n,5)=-n=,六邊形

9、數:N(n,6)=2n2-n=,根據以上規(guī)律總結,推測:N(n,k)=.故N(10,24)=1000.【答案】1000一、選擇題1.下面幾種推理是合情推理的是().由正三角形的性質類比出正三棱錐的有關性質;由正方形、矩形的內角和是360°,歸納出所有四邊形的內角和都是360°三角形內角和是180°,四邊形內角和是360°,五邊形內角和是540°,由此得出凸n邊形內角和是(n-2)·180°小李某次數學模塊考試成績是90分,由此推出小李的全班同學這次數學模塊考試的成績都是90分.A.B.C.D.【解析】本題主要考查對合情推理(

10、歸納推、類比推理)的判斷.是類比推理,是歸納推理,故選B.【答案】B2.下圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉閃爍所成的三個圖形,照引規(guī)律閃爍,下一個呈現出來的圖形是().【解析】本題考查學生對圖形變化規(guī)律的歸納,由圖可知該五角星對角上亮的兩盞花燈依次按逆時針方向亮一盞,故下一個呈現出來的圖形是A中所示的圖形,故選A.【答案】A3.在證明命題“對于任意角,cos4-sin4=cos 2”的過程:“cos4-sin4=(cos2+sin2)(cos2-sin2)=cos2-sin2=cos 2”中應用了().A.分析法B.綜合法C.分析法和綜合法D.間接證法【答案】B4.已知a,b,cR,a

11、+b+c=0,abc>0,T=+,則().A.T>0B.T<0C.T=0D.無法判斷T的正負【解析】a+b+c=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,即2ab+2bc+2ac=-(a2+b2+c2)<0,abc>0,上述不等式兩邊同乘以,得T=+=-<0,故選B.【答案】B5.論語·學路篇中說:“名不正,則言不順;言不順,則事不成;事不成,則禮樂不興;禮樂不興,則刑罰不中;刑罰不中,則民無所措手足.”所以,名不正,則民無所措手足.上述推理用的是().A.類比推理B.歸納推理C.演繹推理D.一次三段論【解析】本題考查應用

12、三段論解決問題.對于復雜的論證,總是采用一連串的三段論,把前一個三段論的結論作為下一個三段論的前提.本題是一個復合三段論,從“名不正”推出“民無所措手足”,連續(xù)運用五次三段論,屬演繹推理形式,故選C.【答案】C6.若f(n)=1+(nN+),則當n=2時,f(n)=().A.1+B.C.1+D.以上答案均不對【解析】當n=2時,2n+1=5,所以加到.【答案】C7.某紡織廠的一個車間有技術工人m(mN+)名,編號分別為1、2、3、m,有n(nN+)臺織布機,編號分別為1、2、3、n,定義記號aij:若第i名工人操作了第j號織布機,規(guī)定aij=1,否則aij=0.則等式a41+a42+a43+a

13、4n=3的實際意義是().A.第4名工人操作了3臺織布機B.第4名工人操作了n臺織布機C.第3名工人操作了4臺織布機D.第3名工人操作了n臺織布機【解析】本題考查學生閱讀理解,歸納推理的能力.根據即時定義,a41+a42+a43+a4n=3中的第一下標4表示第4名工人進行操作,第二下標1、2、n表示第1號織布機、第2號織布機、第n號織布機,根據規(guī)定可知這名工人操作了3臺織布機,故選A.【答案】A8.若函數y=f(x)的定義域為D,若對任意的x1,x2D都有|f(x1)-f(x2)|<1,則稱函數y=f(x)為“Storm”函數.那么下列函數是“Storm”函數的是().A.f(x)=x2

14、(x-1,2)B.f(x)=x3(x0,1)C.f(x)=-2x+1(x-1,0)D.f(x)=(x1,3)【解析】根據定義知|f(x1)-f(x2)|小于等于函數f(x)的最大值與最小值之差的絕對值,故若判斷一個函數是否是“Storm”函數,只需看這個函數的最值之差的絕對值是否小于1即可.在D選項中,因為f(x)=在x1,3上是減函數,所以m=f(3)=,M=f(1)=1,所以|M-m|=|1-|=<1,所以該函數是“Storm”函數.【答案】D9.一個正方形被分成九個相等的小正方形,將中間的一個正方形挖去,如圖(1);再將剩余的每個正方形都分成九個相等的小正方形,并將中間的一個挖去,

15、如圖(2);如此繼續(xù)下去,則截止到第n個圖共挖去小正方形().A.(8n-1)個B.(8n+1)個C.(8n-1)個D.(8n+1)個【解析】本題主要考查通過觀察進行歸納,并猜想出結論的過程.第1個圖挖去1個,截止到第2個圖共挖去(1+8)個,截止到第3個圖共挖去(1+8+82)個,截止到第n個圖共挖去1+8+82+8n-1=個,故選C.【答案】C10.把數列2n+1依次按第一個括號中有一個數,第二個括號中有兩個數,第三個括號中有三個數,第四個括號中有四個數,第五個括號中有一個數,循環(huán)分為(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31

16、,33),(35,37,39,41),(43),則第104個括號內各數之和為().A.2036B.2048C.2060D.2072【解析】從第1個括號到第104個括號,總共有26個循環(huán),每個循環(huán)共有1+2+3+4=10個數字,從第一個括號到第104個括號共有260個數字,第104個括號內各數之和為(2×257+1)+(2×258+1)+(2×259+1)+(2×260+1)=2072.【答案】D二、填空題11.一切奇數都不能被2整除,2100+1是奇數,所以2100+1不能被2整除,其演繹推理的“三段論”的大前提為. 【解析】由演繹推理三段論可

17、得.【答案】一切奇數都不能被2整除12.類比平面內“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質,可推出空間中下列結論:垂直于同一條直線的兩條直線互相平行,垂直于同一個平面的兩個平面互相平行,垂直于同一條直線的兩個平面互相平行,垂直于同一個平面的兩條直線互相平行.其中正確的結論的序號是. 【解析】本題主要考查用類比推理判斷空間中直線與平面的位置關系.因為垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交、異面,故不正確,應排除A、D;因為垂直于同一個平面的兩個平面可能平行或相交,故不正確,應排除B,易知均正確.【答案】13.已知f(n)=1+(nN+),計算得f(2)=,f(4)>2,f(

18、8)>,f(16)>3,f(32)>,由此推測:當n2時,有. 【答案】f(2n)>14.若<<0,則下列四個結論:|a|>|b|,a+b<ab,+>2,<2a-b.其中正確的是. 【解析】<<0,b<a<0,-b>-a>0,|b|>|a|,故錯誤.b<a<0,顯然正確.又>0,>0,且,正確.又-(2a-b)=-2a+b=<0,<2a-b,正確.【答案】15.設O是ABC內一點,ABC三邊上的高分別為hA,hB,hC,O到三邊的距離依次

19、為la,lb,lc,則+=1,類比到空間,O是四面體ABCD內一點,四頂點到對面的距離分別為hA,hB,hC,hD,O到這四個面的距離依次為la,lb,lc,ld,則有. 【答案】+=1三、解答題16.有10只猴子共分了56個香蕉,每只猴子至少分到1個香蕉,最多分到10個香蕉,試證:至少有兩只猴子分到同樣多的香蕉.【解析】假設10只猴子分到的香蕉都不一樣多,每只猴子最少分到一個香蕉,至多分到10個香蕉,只能是分別分到1,2,3,10個香蕉.共分了1+2+3+10=55(個),這與共分了56個香蕉相矛盾,故至少有兩只猴子分得同樣多的香蕉.17.已知函數f(x)=ax+(a>1).

20、(1)求證:函數f(x)在(-1,+)上為增函數;(2)用反證法證明:方程f(x)=0沒有負數根.【解析】(1)任取-1<x1<x2,則f(x1)-f(x2)=+-(+)=(-1)+=(-1)+,-1<x1<x2,x1-x2<0.又a>1,<1,且>0,x1+1>0,x2+1>0,(-1)+<0,即f(x1)<f(x2),函數f(x)在(-1,+)上為增函數.(2)設存在x0<0(x0-1)滿足f(x0)=0,則=-,且0<<1,0<<1,解得<x0<2.與假設x0<0矛盾,

21、故方程f(x)=0沒有負數根.18.已知a,b,c是全不相等的正實數,求證:+>3.【解析】a,b,c全不相等,與,與,與全不相等,+>2,+>2,+>2.三式相加得+>6,(+-1)+(+-1)+(+-1)>3,即 +>3.19.如圖,已知PA 矩形ABCD所在平面,M,N分別是AB,PC的中點.求證:(1)MN平面PAD,(2)MNCD.【解析】(1)取PD的中點E,連接AE,NE.N,E分別為PC,PD的中點,EN為PCD的中位線,EN􀱀CD,AM=AB,又四邊形ABCD為矩形,CDAB,且CD=AB.ENAM,且EN=AM.四

22、邊形AENM為平行四邊形,MNAE,又MN平面PAD,AE平面PAD,MN平面PAD.(2)PA矩形ABCD所在平面,CDPA,又CDAD,PAAD=A,CD平面PAD,又AE平面PAD,AECD.又MNAE,MNCD.20.已知:sin230°+sin290°+sin2150°=,sin25°+sin265°+sin2125°=.通過觀察上述兩等式的規(guī)律,請你寫出一般性的命題:=(*)并給出(*)式的證明. 【解析】一般性命題:sin2+sin2(+60°)+sin2(+120°)=.下面證明此命題:左邊=+=-cos2+cos(2+120°)+cos(2+240°)=-(cos2+cos2cos120°-sin2sin120