線性空間的定義與簡單性質(zhì)

1、§2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)一、線性空間的定義.例1 在解析幾何里,討論過三維空間中的向量.向量的基本屬性是可以按平行四邊形規(guī)律相加，也可以與實(shí)數(shù)作數(shù)量算法.不少幾何和力學(xué)對象的性質(zhì)是可以通過向量的這兩種運(yùn)算來描述的.10 按平行四邊形法則所定義的向量的加法是V3的一個(gè)運(yùn)算;20 解析幾何中規(guī)定的實(shí)數(shù)與向量的乘法是R×V3到V3的一個(gè)運(yùn)算.30 由知道, 空間上向量的上述兩種運(yùn)算滿足八條運(yùn)算規(guī)律.例2. 數(shù)域上一切矩陣所成的集合對于矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法滿足上述規(guī)律.定義1 令是一個(gè)非空集合，是一個(gè)數(shù)域.在集合的元素之間定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法；這就是說給出了一個(gè)

2、法則，.對于中任意兩個(gè)向量與,在中都有唯一的一個(gè)元素與它們對應(yīng),稱為與的和,記為.在數(shù)域與集合的元素之間還定義了一種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法；這就是說，對于數(shù)域中任一個(gè)數(shù)與中任一個(gè)元素,在中都有唯一的一個(gè)元素與它們對應(yīng),稱為與的數(shù)量乘積,記為.如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么稱為數(shù)域上的線性空間.加法滿足下面四條規(guī)則：:1) ；2) ；3) 在中有一個(gè)元素0,都有（具有這個(gè)性質(zhì)的元素0稱為的零元素）；4) (稱為的負(fù)元素).數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：5) ;6) ;數(shù)量乘法與加法滿足下面兩條規(guī)則：7) ;8) 在以上規(guī)則中，等表示數(shù)域中任意數(shù)；等表示集合中任意元素. 例3 數(shù)域上一元多項(xiàng)式環(huán),按

3、通常的多項(xiàng)式加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法，構(gòu)成一個(gè)數(shù)域上的線性空間.如果只考慮其中次數(shù)小于的多項(xiàng)式，再添上零多項(xiàng)式也構(gòu)成數(shù)域上的一個(gè)線性空間，用表示.例4 元素屬于數(shù)域的矩陣，按矩陣的加法和數(shù)與矩陣的數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域上的一個(gè)線性空間，用表示.例5 全體實(shí)函數(shù)，按函數(shù)加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成一個(gè)實(shí)數(shù)域上的線性空間.例6數(shù)域按照本身的加法與乘法，即構(gòu)成一個(gè)自身上的線性空間.例7 以下集合對于所指定的運(yùn)算是否作成實(shí)數(shù)域上的線性空間:1) 平面上全體向量所作成的集合,對于通常向量的加法和如下定義的純量乘法:.2) 上次多項(xiàng)式的全體所作成的集合對于多項(xiàng)式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法.例8 設(shè)是正實(shí)數(shù)集, 為實(shí)數(shù)域.規(guī)定(即與的積),=(即的次冪),其中.則對于加法和數(shù)乘作成上的線性空間. 二 線性空間的簡單性質(zhì)代表線性空間中的