考研 線性代數(shù) 筆記精華 行列式和矩陣

1、線代框架之行列式和矩陣 注：全體維實向量構(gòu)成的集合叫做維向量空間.注： 關(guān)于：稱為的標準基，中的自然基，單位坐標向量；線性無關(guān)；任意一個維向量都可以用線性表示.行列式的定義 行列式的計算：行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.若都是方陣（不必同階）,則上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.關(guān)于副對角線：范德蒙德行列式：矩陣的定義 由個數(shù)排成的行列的表稱為矩陣.記作：或伴隨矩陣 ，為中各個元素的代數(shù)余子式. 逆矩陣的求法: 注： 方陣的冪的性質(zhì)：

2、 設(shè)的列向量為,的列向量為，則 ，為的解可由線性表示. 同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數(shù)矩陣. 用對角矩陣左乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量；用對角矩陣右乘一個矩陣,相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量. 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應元素相乘. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：分塊矩陣的逆矩陣： 分塊對角陣相乘：分塊對角陣的伴隨矩陣： 矩陣方程的解法()：設(shè)法化成 矩陣與的列向量組等價（右乘可逆矩陣）. 判斷是的基礎(chǔ)解系的條件： 線性無關(guān)； 都是的解； . 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交. 單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線

3、性無關(guān). 部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必無關(guān). 原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān). 兩個向量線性相關(guān)對應元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān). 向量組中任一向量都是此向量組的線性組合. 向量組線性相關(guān)向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示.向量組線性無關(guān)向量組中每一個向量都不能由其余個向量線性表示. 維列向量組線性相關(guān)； 維列向量組線性無關(guān). . 若線性無關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一. 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩. 行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線，線的下方全為；每個臺階只有一行，臺階數(shù)

4、即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素非零.當非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時，稱為行最簡形矩陣 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系； 矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系. 即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩. 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對施行一次初等行變換得到的矩陣,等于用相應的初等矩陣左乘；對施行一次初等列變換得到的矩陣,等于用相應的初等矩陣右乘.若兩個線性無關(guān)的向量組等價,則它們包含的向量個數(shù)相等. 若是矩陣,則,若，的行向量線性無關(guān)； 若，的列向量線性無關(guān),即：線性無關(guān). 初等矩陣的性質(zhì)： 矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：（無條件恒成立）標準正交基 個維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個向量長度為1. .是單位向量 . 內(nèi)積的性質(zhì)： 正定性： 對稱性： 雙線性： 正交矩陣 為正交矩陣的個行（列）向量構(gòu)成的一組標準正交基. 正交矩陣