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文檔簡介
1、直線與雙曲線的位置關系知識梳理:1、直線與雙曲線有無公共點或有幾個公共點的問題:可以轉(zhuǎn)化為它們所對應的方程構(gòu)成的方程組是否有解或解的個數(shù)問題,往往通過消元后最終轉(zhuǎn)化為討論一元二次方程的解的問題或一元二次函數(shù)的最值問題,討論時特別要注意轉(zhuǎn)化的等價性,即解決直線與圓錐曲線的相交問題要用好化歸思想和等價轉(zhuǎn)化思想需要注意的是當直線平行于雙曲線的漸近線時,直線與雙曲線有且只有一個交點2、涉及直線與雙曲線相交弦的問題:主要有這樣幾個方面:相交弦的長,有弦長公式|AB|=|x2x1|;弦所在直線的方程(如中點弦、相交弦等)、弦的中點的軌跡等,這可以利用“設點代點、設而不求”的方法(設交點坐標,將交點坐標代入
2、曲線方程,并不具體求出坐標,而是利用坐標應滿足的關系直接導致問題的解決)3、韋達定理的運用:由于二次曲線和二次方程的密切關系,在解決二次曲線問題時要充分重視韋達定理的運用4、 弦長公式:若直線與圓錐曲線交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長為 ;若直線與圓錐曲線交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長為 5、焦半徑:P在右支上時: ; P在左支上時:典型示例例1(1)(2010遼寧)雙曲線的一個焦點為,虛軸的一個端點為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為(D )(A) (B) (C) (D)【解析】設雙曲線的一個焦點F(c,0),B(0,b)直線F
3、B:bx+cy-bc=0與漸近線y=垂直,所以,即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或(舍去)(2)(09湖北卷)已知雙曲線的準線過橢圓的焦點,則直線與橢圓至多有一個交點的充要條件是( )A.B. C. D. 【變式】(09浙江)過雙曲線的右頂點作斜率為的直線,該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為若,則雙曲線的離心率是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B C D例2已知雙曲線C:2x2y2=2與點P(1,2),求過P(1,2)點的直線l的斜率取值范圍,使l與C分別有一個交點,兩個交點,沒有交點.【變式】直線與雙曲線的左支相交于,兩點,設過點和中點的直
4、線在軸上的截距為,求的取值范圍例3已知雙曲線和定點(I)過點可以做幾條直線與雙曲線只有一個公共點;(II)雙曲線的弦中,以點為中點的弦是否存在?并說明理由【變式1】已知雙曲線x2=1與點P(1,2),過P點作直線l與雙曲線交于A、B兩點,若P為AB中點。(1)求直線AB的方程;(2)若Q(1,1),證明不存在以Q為中點的弦【變式2】設雙曲線的半焦距為,直線過、兩點,且原點到直線的距離為,求雙曲線的離心率例4 已知雙曲線的方程是16x29y2=144(1)求這雙曲線的焦點坐標、離心率和漸近線方程;(2)設F1和F2是雙曲線的左、右焦點,點P在雙曲線上,且|PF1|·|PF2|=32,求
5、F1PF2的大小【變式2】已知F1、F2是雙曲線的兩焦點,以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若邊MF1的中點在雙曲線上,則雙曲線的離心率是( )ABCD【變式3】設雙曲線的右焦點為,右準線與兩條漸近線交于P、兩點,如果是直角三角形,則雙曲線的離心率例5已知雙曲線的方程為, 直線通過其右焦點F2,且與雙曲線的右支交于A、B兩點,將A、B與雙曲線的左焦點F1連結(jié)起來,求|F1A|·|F1B|的最小值解:設A(x1,y1),B(x2,y2),A到雙曲線的左準線x= = 的距離d=|x1+|=x1+,由雙曲線的定義,=e=, |AF1|=(x1+)=x1+2,同理,|BF1|=x2+2
6、, |F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)雙曲線的右焦點為F2(,0), (1)當直線的斜率存在時設直線AB的方程為:y=k(x),由消去y得 (14k2)x2+8k2x20k24=0,x1+x2=, x1x2= , 代入(1)整理得|F1A|·|F1B|=+4=+4=+4=+|F1A|·|F1B|>(2)當直線AB垂直于x軸時,容易算出|AF2|=|BF2|=,|AF1|=|BF1|=2a+=(雙曲線的第一定義), |F1A|·|F1B|=由(1), (2)得:當直線AB垂直于x軸時|F1A|
7、83;|F1B|取最大值【變式】已知,是過點的兩條互相垂直的直線,且,與雙曲線各有,和,兩個交點(1)求的斜率的取值范圍;(2)若,求,的方程; 練習:1已知雙曲線的漸近線方程為,則此雙曲線的( )A焦距為10 B實軸和虛軸長分別是8和6C離心率是或 D離心率不確定2如果雙曲線上一點到它的右焦點的距離是8,那么點到它的右準線的距離是( )AB10CD3直線與雙曲線的公共點的個數(shù)最多是( )A1B2C3D44、雙曲線的右準線與漸近線在第一象限的交點與右焦點連線的斜率為( )ABCD5、設雙曲線的半焦距為,直線過,兩點,已知原點到直線的的距離為,則雙曲線的離心率為_6、點平分雙曲線的一條弦,則這條
8、弦所在的直線方程是_7、求雙曲線,被點平分的弦的方程8、求直線與雙曲線的兩個交點和原點構(gòu)成三角形的面積9、已知、是過點的兩條互相垂直的直線,且、與雙曲線各有兩個交點,求的斜率的取值范圍練習1已知雙曲線的漸近線方程為,則此雙曲線的( C )A焦距為10 B實軸和虛軸長分別是8和6C離心率是或 D離心率不確定2如果雙曲線上一點到它的右焦點的距離是8,那么點到它的右準線的距離是(A)AB10CD3直線與雙曲線的公共點的個數(shù)最多是(B)A1B2C3D44、雙曲線的右準線與漸近線在第一象限的交點與右焦點連線的斜率為(A )ABCD5、設雙曲線的半焦距為,直線過,兩點,已知原點到直線的的距離為,則雙曲線的離心率為_26、點平分雙曲線的一條弦,則這條弦所在的直線方程是_7、求雙曲線,被點平分的弦的方程解:令,得:,即,設的斜率為,則弦的方程為8、求
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