自主學習01教材內(nèi)容第四章中心力場中的粒子

1、自主學習01 教材內(nèi)容第四章 中心力場中的粒子知識框架 重點難點 第一節(jié) 第二節(jié) 第三節(jié) 第四節(jié)第五節(jié) 本章習題 本章自測 知識框架重點難點兩體問題化為單體問題，無限深球方勢阱，氫原子的求解，以及庫侖勢,湯川勢,諧振子勢等其他中心力勢的薛定諤求解F-H定理解決問題為重點。氫原子，類氫離子，三維各向同性諧振子勢為難點。4.1中心力場中粒子運動的一般性質(zhì)本節(jié)要求本節(jié)使學生掌握中心力場中運動的一些共同特點，在這里，角動量守恒起了重要作用。本節(jié)的重點與難點重點：兩體問題化為單體問題；角動量守恒與徑向方程。并列出：庫侖勢,湯川勢,諧振子勢難點：徑向波函數(shù)在鄰域的漸近行為。本節(jié)教學內(nèi)容4.1.1兩體問題化

2、為單體問題中心力場問題通常是兩體問題.設兩個粒子的坐標分別為和,質(zhì)量分別為和,而相互作用僅依賴于兩粒子之間的相對距離,則兩粒子的能量本征方程可表達為(1)式中為系統(tǒng)的總能量.引入質(zhì)心坐標和相對坐標為,或 (2)（在此要強調(diào)質(zhì)心坐標以及相對坐標在解決多體問題中廣泛應用，二體，三體等）可證明(3)式中為總質(zhì)量,為約化質(zhì)量, (4)這樣,方程(1)化為(5)此方程顯然可分離變量,（即與經(jīng)典力學一樣,可把質(zhì)心運動與相對運動分開）令(6)分離變量后,得(7a)(7b)式(7a)是一個自由粒子的能量本征方程,它描述質(zhì)心運動,是質(zhì)心運動能量.（這一部分與我們研究的體系的內(nèi)部結構無關,不予考慮.）式(7b)描

3、述兩粒子的相對運動部分,是相對運動能量.兩粒子相對運動相當于一個質(zhì)量為的粒子在中心力場中的運動.4.1.2角動量守恒與徑向方程（中心力場中,粒子運動的能量、動量和角動量守恒,最重要的特征是角動量守恒.）在經(jīng)典力學中,粒子角動量守恒是非常明顯的.這是因為中心力場是保守力場,所受作用力與勢場的關系可表示為(8)從而角動量隨時間的變化為(9)其物理含義是,粒子所受到的力矩為零.又,中心力場中經(jīng)典粒子的運動必為平面運動.運動平面的法線方向即守恒量的方向.在選擇合適的參考系后,中心力場中經(jīng)典粒子的運動即可簡化為在一個平面上的運動.在量子力學中,角動量也是守恒量.這是因為角動量算符與哈密頓算符(10)對易

4、,即(11)但與經(jīng)典力學有一個明顯的不同,即守恒量的三個分量彼此不對易,中心力場中粒子的角動量的三個分量一般而言不能同時具有確定值（除角動量為0的態(tài)外）,因此,中心力場中粒子的運動在量子力學中不能簡化為一個平面運動.（比較經(jīng)典力學力學量和量子力學和力學量算符的含義和不同,算符貫穿量子力學體系）此外,考慮到存在三個不對易的守恒量,中心力場中粒子的能級一般是簡并的。因此,僅考慮能量本征值,還不足以把本征態(tài)完全確定下來,而需要尋找另一組守恒量完全集,用它們的共同本征態(tài)來標記一個定態(tài).盡管的三個分量彼此不對易,但,而且,通常選用作為守恒量完全集,用它們的共同本征態(tài)來對定態(tài)進行分類.此時,屬于同一能級的

5、諸簡并態(tài)可以完全標記清楚,它們的正交歸一性也自動得到保證.考慮的能量本征方程為(12)中心力場是球對稱性,采用球坐標系,以便于將徑向部分與角度部分分開處理.在球坐標系中,拉普拉斯算符可表示為(13)能量本征方程化為(14)上式左邊第二項稱為“離心勢能”,角動量愈大,則離心勢能愈大.第一項可以表為,稱為徑向動能,其中(15)是徑向動量.如取為的共同本征態(tài),即, (16)則得到徑向方程(17)不同的中心力場就決定了不同的徑向波函數(shù)及能量本征值.徑向方程中不含磁量子數(shù)m,因此,能量本征值與m無關.這是容易理解的,因為中心場的球對稱性,粒子的能量顯然與z軸的取向無關.但中心力場中運動的粒子的能量與角量

6、子數(shù)有關,在給定下,m有個可能值.因此,一般而言,中心力場中粒子的能級是重簡并的.在求解徑向方程(17)時,有時作下述替換是方便的.令(18)則(19)求解徑向方程(17) 或(19),即可得出粒子能量的本征值E及徑向波函數(shù)R或約化徑向波函數(shù).4.1.3徑向方程的解在鄰域的行為（中心力場的勢的類型多樣性:庫侖勢,湯川勢,諧振子勢等;注意區(qū)別徑向方程勢能部分）通常遇到的中心力場,如：庫侖勢,湯川勢,線性勢,諧振子勢,對數(shù)勢等,都滿足條件：(20)當時,徑向方程(20) 的漸近形式為(21)顯然,是漸近方程(21) 的正則奇點.在點鄰域,令,并代入上式,就得所謂指標方程(22)其解為, (23)這

7、樣,當時,方程(21) 的兩個漸近解為, (24)是物理上不允許的,理應拋棄.按照波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,在鄰域任意體積元中找到粒子的幾率應為有限值.令,則當時,必須有<3/2.因此,當時,是不許的.對的漸近解,盡管不違反統(tǒng)計詮釋的要求,但解(25)并不滿足薛定諤方程.這是因為(26)從而(27)與方程(12) 比較,即知不是薛定諤方程的解.由此得出結論：徑向方程(17) 的徑向波函數(shù)當時只能取的漸近解.由此,求解約化徑向方程(19) 時要求(28)考察時的約化徑向方程(19) 是很有意思的.此時約化徑向方程(19) 化為(29)(30)方程(29) 與一維勢場中的薛定諤方程相似,但變量變化不

8、同,前者,而后者.因此,把中心力場中的結果外推到一維勢場中的運動時要特別注意這一點.4.2無限深球方勢阱本節(jié)要求本節(jié)使學生掌握經(jīng)典無限深球方勢阱的推導，課余進一步了解和比較有限深球方勢阱。本節(jié)的重點與難點重點及難點：一維定態(tài)波函數(shù)的求解，注意特殊函數(shù)的運用。 本節(jié)教學內(nèi)容考慮粒子在半徑為的球形剛性匣子中運動, 這相當于粒子在一個無限深球方勢阱中運動, 勢場為(1)徑向方程為(2)徑向波函數(shù)滿足的邊界條件為(3)引入無量綱變量(4)則式(2) 化為(5)令(6)則(7)此為半奇數(shù)階的貝塞爾(Bessel) 方程.（一般介紹貝塞爾(Bessel) 方程，球紐曼(Neumann) 函數(shù)，亦可一帶而過

9、。） 它的兩個線性獨立解為與.定義球貝塞爾和球紐曼(Neumann) 函數(shù)(8)它們在時的漸近行為是(9)當時, 解是物理上不能接受的. 因此, 在無限深球方勢阱內(nèi)的解應取(10)其中是歸一化常數(shù), 或由束縛態(tài)邊界條件(3) 確定, 即(11)當取有限值時,只能取一系列分立值. 令的根依次記為,則粒子的能量本征值表為(12)特例: 對s態(tài)(),利用式(12), 粒子的能量本征值為(13)利用球貝塞爾函數(shù)的積分公式及邊條件(3), 可求出徑向波函數(shù)(10) 的歸一化常數(shù)(14)此時(15)（特例選講）思考題1.證明的根可由解出.2.證明的根可由解出.4.3氫原子及類氫離子本節(jié)要求本節(jié)使學生掌握氫

10、原子的薛定諤方程嚴格求解，一般了解復雜原子及分子結構的基礎。本節(jié)的重點與難點重點及難點：氫原子的求解，即，庫侖勢的中心力場求解；類氫離子。1.有關能級的討論2.有關波函數(shù)的討論3.電流密度與磁矩本節(jié)教學內(nèi)容(具體解出氫原子和類氫離子的薛定諤方程,可得出氫原子和類氫離子的能級與波函數(shù),從而定量地解釋其光譜線規(guī)律及其它一些重要特征.同時,對氫原子和類氫離子的定量認識也是理解復雜原子及分子結構的基礎.)（重點講解氫原子，讓學生掌握氫原子的求解）氫原子和類氫離子的原子核帶正電荷+Ze (對氫原子,而對類氫離子) ,而核外只有一個帶負電荷的電子.取無窮遠處為勢能的零點,則原子核與電子之間的庫侖作用能為,

11、 (1)式中Z為原子序數(shù).氫原子和類氫離子的約化徑向方程為(2)式中為折合質(zhì)量,M和m分別是原子核和電子的質(zhì)量.令, (3)則方程可簡化為(4)顯然是方程的兩個奇點.我們首先考察其在這兩個奇點鄰域的行為.首先考慮時的漸近行為.當時,方程(4) 的物理上可接收的漸近解為(5)其次考慮時的漸近行為.對束縛態(tài),當時,方程(4) 化為(6)其解為.考慮到束縛態(tài)邊界條件,即當時,只能取(7)于是,讓方程(4) 的解具有如下形式(8)代入方程(4) ,得(9)(對合流超幾何方程做一般性的介紹)這個方程屬下列合流超幾何方程,即(10)參數(shù)(正整數(shù)) , (11)方程(10) 在鄰域有界的解為合流超幾何函數(shù)(

12、12)無窮級數(shù)解在時行為.這樣的解代入式(8) ,不能滿足無窮遠處的束縛態(tài)邊界條件.為了得到物理上允許的解,要求無窮級數(shù)(12) 必須在有限項中斷.從式(12) 可以看出,只要等于0或負整數(shù)即可滿足這一要求,于是, (13)令,則.將式(3) 代入,得(14)式中稱為玻爾半徑,稱為玻爾第n軌道速度, 稱為精細結構常數(shù),它表征電磁相互作用的強度.相應于的徑向波函數(shù)為(15a)(15b)式中,為歸一化常數(shù),它的形式保證(16)在表5.3中列出了屬于較低的幾個能級的徑向波函數(shù).可以看出,徑向波函數(shù),除原點和無窮遠點外,有個節(jié)點數(shù)目.氫原子及類氫離子的定態(tài)波函數(shù)是守恒量完全集的共同本征態(tài),且屬于能級的

13、定態(tài)波函數(shù)表示為(17)1.有關能級的討論（關于能級的討論做一般性的介紹）(a) 能級是簡并度的.這是因為給定主量子數(shù)n,有n個值,而對每一個角量數(shù)的值,又有個磁量子數(shù)的值.這樣,能級對應的波函數(shù)的個數(shù),即簡并度為(18)能級對磁量子數(shù)m簡并,即與m無關,其原因是勢場為中心力場,它是球對稱的,電子的能量與空間取向無關；能級對角量子數(shù)簡并,即與無關，這是源于庫侖場的作用.堿金屬中價電子所處的勢場也是中心力場,但原子實中其它電子的屏蔽作用,價電子所受力場不是簡單的庫侖場,盡管它所受力場仍只與r有關,而與取向無關.這時,堿金屬電子能級為(19)與有關,從而能級與有關.例如,在中心力場中,.因此,在一

14、般中心力場中,電子的能級是度簡并的,僅對庫侖場,電子的能級才是n2度簡并的. (b) 從式(14) 可見,能級隨n的增大而增大,而相鄰能級的間距(20)隨n的增大而減小.對氫原子(21)基態(tài)能級為.當時,能量為,電子可脫離原子核而電離,電離能為.(c) 利用能級公式(14),可解釋氫原子和類氫離子的光譜線的規(guī)律.（可以在適當介紹物理學家得到氫原子和類氫離子的光譜線的物理背景，使增添趣味性，加深學生對抽象內(nèi)容的形象化，助于記憶）2有關光譜的討論電子從高能級向低能級躍遷時,發(fā)射出的光線的波數(shù)為, (22a)(Rydberg常數(shù)) (22b)與光譜規(guī)律的里茲并合原則完全一致.所有的到同一低態(tài)的躍遷頻

15、率組成一個譜系.對氫原子,到m=1的態(tài)的躍遷構成Lyman線系,處于紫外光譜區(qū)；到m=2的態(tài)的躍遷構成對應Balmer線系,處于可見光區(qū),首先被發(fā)現(xiàn)；到m=3的態(tài)的躍遷構成Paschen線系；到m=4的態(tài)的躍遷構成Brackett線系；到m=5的態(tài)的躍遷構成Pfund線系.對類氫離子,應特別提及著名的Pickering線系,該線系是E.C.Pickering于1896年在船艫座星的可見光譜線中發(fā)現(xiàn)的,并與氫原子光譜中的Balmer線系很相似,具有相同的極限.后來Fowler在氫和氦混合氣體中也觀測到了這個線系.若把此線系歸入氫原子光譜,則會出現(xiàn)分數(shù)量子數(shù).N.Bohr把它解釋為He+ 發(fā)出的光

16、譜線.按類氫離子能級公式(14) ,He+能級公式為(23)從躍遷到發(fā)出的光的波數(shù)為(24)對,有(25)這里是He+ 的Redberg常數(shù),它與氫原的略有差異.從式(22b) 可知(26)即略大于.如果忽略這種微小差異,式(25) 與Balmer線系很相似,特別是其極限位置幾乎相同.3. 有關波函數(shù)的討論（講授中結合電子的軌道模型s,p,d,f,g,，強調(diào)量子力學中電子運動沒有所謂的軌道）氫原子和類氫離子的定態(tài)波函數(shù)是三個可同時測量的量的本征態(tài).也就是說,彼此對易的力學量的數(shù)目與電子的自由度相同,因此的本征值相應的三個好量子數(shù)足以確定波函數(shù).按光譜學上的習慣,把的態(tài)記為.有時還借用玻爾的量子

17、論觀點,習慣上稱為軌道,軌道,等等.（知氫原子和類氫離子的定態(tài)波函數(shù),就可討論氫原子和類氫離子在空間各點的幾率分布.）當氫原子或類氫離子處于定態(tài)時,在點周圍體積元內(nèi)找到電子的幾率為(27) (1)徑向幾率分布式(27)對從0到,而對從0到積分,并注意到的正交歸一性,便得到在的球殼內(nèi)找到電子的幾率為(28)表4.3.1 氫原子(Z=1) 和類氫離子(Z>1)徑的向波函數(shù).nlnr光譜符號()1001s2012s102p3023s113p203d如圖4.3.2所示,電子處于比較低的幾條能級時的徑向幾率分布.從曲線可更清楚地看到,徑向波函數(shù)除原點和無窮遠點外的確有個節(jié)點,而且有個極大值,其中一

18、個主極大和一些輔極大.與玻爾的量子論不同,量子力學中電子無軌道概念,只能確定其位置的分布幾率.值得注意的一個有趣的事實是,屬于各能級的所謂圓軌道,即給定下,的軌道,其徑向幾率分布的最大值對應的半徑,即最概然半徑,可由徑向波函數(shù)(15a) 計算的極值點位置求出為(29)即氫原子和類氫離子的最概然半徑與玻爾的量子論給出的半徑相同.(2)角向幾率分布式(27) 對從0到積分,并注意到的正交歸一性,可得在方向附近立體角內(nèi)的幾率為(30)它與無關,這是因為是守恒量的本征態(tài),角分布將保持對z軸的旋轉對稱性.因此,可用通過z軸的任何一個平面上的曲線來刻畫幾率密度隨的變化曲線,而在全空間的分布曲面,只需用此曲

19、線繞z軸旋轉一周即可得到.如圖6.3.3所示,給出了在一些態(tài)中對的函數(shù)關系.值得注意的是,盡管氫原子和類氫離子哈密頓算符是球對稱的,但還不能說在一切狀態(tài)下的電子分布都是球對稱的.事實上,僅在s態(tài)下,電子的幾率分布才是球對稱的.4. 電流密度與磁矩在態(tài)下,電子的幾率流密度為(31)利用球坐標系中梯度算符的表達式(32)由于中徑向波函數(shù)及部分波函數(shù)都是實數(shù),從式(31) 可見,.幾率流的唯一非零分量是分量,即(33)如圖4.3.4所示,設是垂直于流方向的面元,則通過此面元的電流元為(34)此電流元繞z軸圍成的面積為,那么電流元(34) 對磁矩的貢獻為(35)這里是橫截面積為的環(huán)的體積.利用波函數(shù)的

20、正交歸一性,可得總磁矩為(36)式中稱為玻爾磁子.特別注意,式(36) 與波函數(shù)的具體形式無關,適用于一切中心力場中的束縛態(tài).與角動量z分量的正負號相反是源于電子帶負電之故.量子數(shù)表明磁矩是量子化的,是玻爾磁子的整數(shù)倍.量子數(shù)決定磁矩的大小,所以,稱為磁量子數(shù).對的態(tài),沒有磁矩,因為電流為零.此外,(37)稱為回轉磁比率,其中稱為朗德因子或就稱g因子,而這里g=1是軌道角動量的特征.4.4海爾曼費曼(HF)定理本節(jié)要求本節(jié)使學生掌握海爾曼費曼(HF)定理，以及能量本征值及各種力學量平均值隨參數(shù)變化的規(guī)律，從而簡便計算。本節(jié)的重點與難點如果體系的能量本征值已求出，避免利用波函數(shù)進行繁瑣計算，利用

21、F-H定理可得關于各種力學量平均值的許多信息。 本節(jié)教學內(nèi)容 (特別推導由海爾曼費曼(HF)定理得到位力定理) 設體系的哈密頓算符含有某參量l,且的本征值為En的歸一化本征函數(shù)(束縛態(tài)) 為Yn (n為表征本征態(tài)的一組量子數(shù)), 則(1)證: Yn滿足能量本征方程(2)視l為參變量, 上式對l求導, 得(3)以Yn* 左乘上式, 并對坐標空間積分, 得(4)利用及的厄米性質(zhì)(5)代入式(4), 即得HF定理.例1. 己知一維諧振子對應于能級的本征函數(shù)為yn,求處于yn 態(tài)時動能和勢能的平均值.解: 視w為參變量, 對w求導, 有(6)根據(jù)HF定理, 可得(7)即(8)再利用(9)可求出(10)

22、例2. 質(zhì)量為m的粒子在中心力場中運動, 試利用HF定理及維里定理分析能級構造式對的依賴關系.解: 哈密頓算符為(11)令,l和b是獨立的參數(shù), 則(12)根據(jù)HF定理, 對任何一個束縛態(tài), 有(13)兩式相加, 即得(14)由維里定理, 則得(15)代入式(14), 得(16)將式(16) 代入式(14), 可得(17)式(17) 積分, 分別得到E與l和b之間的構造關系(18)c1 和c2 為積分常數(shù), 分別與l和b無關. 比較式(18) 兩式, 可得(19)c與l和b無關, 是無量綱純數(shù)(與n及量子數(shù)有關. 上式是量綱正確的唯一可能的能量構造式.從式(19) 可見, n>-2時,作

23、用強度|l|增大,|E|隨之增大. 如l與粒子質(zhì)量無關, 則n>0時,m 增大,|E|也增大. 如l與粒子質(zhì)量有關, 由式(11) 和(12), 可得出(20)三維各向同性諧振子本節(jié)要求本節(jié)使學生了解中心力場中的三維各向同性諧振子。本節(jié)的重點與難點三維各向同性諧振子勢得到廣泛運用，處理原子核內(nèi)的單粒子運動以及進一步剩余相互作用時，它是一個初步的近似。 本節(jié)教學內(nèi)容（縱向比較：一維諧振子，二為諧振子到三維諧振子的比較。橫向和其他中心勢比較和總結）考慮質(zhì)量為m的粒子在三維各向同性諧振子勢(1)中運動,w 為經(jīng)典諧振于的自然振動的角頻率. 在球坐標系中,徑向方程為(2)令(3)則(4)顯然,

24、是微分方程的奇點. 按§6.2的分析, 在鄰域, 物理上可接受的徑向波函數(shù)的漸近行為.當時, 方程(4) 化為(5)其解為,但不滿足束縛條件, 棄之. 所以,. 這樣, 可令方程(4) 的解為(6)代入式(4), 可得(7)再令(8)方程(7) 化為(9)這正是合流超幾何方程, 方程中相應的參數(shù)為(10)方程(9) 有兩個解, 即與.由于,按§6.2分析, 這個解是物理上不能接受的. 因此, 方程(9) 的解只能取(11)在一般情況下, 如確系一個無窮級數(shù), 則不難看出, 級數(shù)的相鄰的高冪次()項的比值與的無窮級數(shù)相同, 因此, 當時, .這樣的無窮級數(shù)代入式(6), 所得

25、徑向波函數(shù)在時趨于,不滿足束縛態(tài)邊條件. 這要求無窮級數(shù)解在有限級次中斷, 即(12)將式(3) 代入上式, 得(13)令(14)則(15)此即三維各向同性諧振子的能量本征值. 與之相應的歸一化徑向波函為(16)最低的幾個徑向波函數(shù)是(17)從式(14) 和(15) 可見, 對三維各向性諧振子勢, 能級只依賴于徑向量子數(shù)和角量子數(shù)的一種特殊的組合, 即只依賴于.對給定能級(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))由此可知, 能級的簡并度為(18)例如,n為偶數(shù)情況n為奇數(shù)情況, 可類似地證明.（聯(lián)系三維各向同性諧振子在球坐標與直角坐標的求解）三維各向同性諧振子也可在直角坐標系中求解. 利用,三維各向同性諧振子可

26、分解為三個獨立的一維諧振子, 即(19)其中它們的本征函數(shù)可以分離變量, 相當于選為守恒量完全集, 其共同本征態(tài)為(20)即三個一維諧振子能量本征態(tài)之積. 相應的能量本征值為(21)與式(15) 相同. 可類似地求出能級的簡并度. 對于給定能級,有所以可能取值的數(shù)目, 即能級的簡并度為與式(18) 相同. 實際上, 波函數(shù)與是三維各向同性諧振子的態(tài)空間的兩種不同的基矢. 前者是的共同本征態(tài), 后者是的共同本征態(tài). 屬于同一能級的量子態(tài)的數(shù)目(簡并度) 是相同的, 但基矢選擇不同, 彼此之間通過一個幺正變換相聯(lián)系. 例如,n=1的能級有三個態(tài), 可以取為或不難證明本章訓練1. 對中心力場的任何一

27、個束縛態(tài), 證明并解釋其經(jīng)典力學含義.提示: 利用答: 等價于證明: 對 態(tài), 無經(jīng)典對應. 對態(tài), , 它是向心力的周期平均.2. 設粒子在一個球方勢阱中運動, (a) 求時的能級,(b) 證明恰好具有一條的能級的條件是答: (a) 時的能級由確定, 其中,.3. 根據(jù)氫原子光譜的理論, 討論下列體系的能譜: (a) 電子偶素(指束縛態(tài)),(b) 原子(指氫原子核外電子被粒子取代而形成的原子),(c)子偶數(shù)(指束縛態(tài)).4. 設堿金屬原子中的價電子所受原子實的作用近似表示為,為玻爾半徑,求價電子的能級.提示: 令,即答: 能級為.對,可令,.5. 對類氫離子的的共同本征態(tài),試從徑向方程證明之

28、間的遞推關系(Kramers公式)給出此公式成立的條件, 并用于計算.答: 成立條件:. 上式中令, 可得令,并利用§6.4式(34), 可得6. 設粒子在二維各向同性諧振子勢場中運動,求粒子的能量本征函數(shù)和相應的能量本征值, 并討論能級的簡并度.答: 在極坐標系中,能級的簡并度為第四章 自測練習一、單項選擇題（每題5分，共25分）     1、下列勢場不是中心力場的（D）     A. 庫侖勢         B. 各向同性

29、諧振子  C. 氫原子       D.一維諧振子     2、下列離子可以看作類氫原子中心力場（A、B）     A.            B.            C.     &#

30、160;     D.     3、下列是類氫原子光譜線的（D）     A. Lyman線系      B. Balmer線系     C. Paschen線系    D.Pickering線系     4、三維各向同性諧振子的對稱性（D）     A.  

31、           B.             C.           D.      5、氫原子束縛態(tài)的對稱性（C）     A.     &

32、#160;        B.            C.             D.二、判斷題（每題3分，共15分）     1、中心力場中，庫侖場、各向同性諧振子場能夠嚴格求解的。      &

33、#160;        （對）     2、在中心力場V(r)中,粒子運動的能量、動量和角動量守恒。                （對）     3、中心力場中粒子的運動在量子力學中能簡化為一個平面運動。       

34、0;    （錯）     4、中心力場中，只要考慮能量本征值就可以把本征態(tài)完全確定下來。        （錯）     5、中心力場既可以在球坐標系處理，也可以在直角坐標系中處理。           （對）三、回答問題（或計算題）（60分）     1、質(zhì)量分別為

35、m,m的兩個粒子組成的體系，質(zhì)心座標標為：=                       (1)                        

36、60; (2)試求總動量及總角動量在, 表象中的算符表示。（6分）解 （a）合動量算符。根據(jù)假設可以解出，令：                    （3）                       

37、;（4）（1分）設各個矢量的分量是，,和。為了計算動量的變換式先求對，等的偏導數(shù)：           (5)                 (6) （1分）關于， 可以寫出與（5）（6）類似的式子，因而：           

38、             =  （1分）   (b)總角動量         =利用（3），（4），（5），（6）：                     &

39、#160;（1分）=                          （1分）=         因而。               &#

40、160;               （1分）     2、證明 ，（6分）        證明 第一式        =          （1分） 

41、0;   但  +=                         +即=     （2分）同樣寫出關于y,z的式子，相加得：+=因是任意函數(shù)，因而第一式得證。          

42、;                           （1分）第二式的證明：該式是矢量的恒等式，取等式左方一式的x分量并蔣它運算于任何函數(shù)，要注意 標量算符而是矢量算符：             &

43、#160;                                                  

44、                                                  

45、                                                  

46、                                                  

47、                                                  

48、                 =     （1分）     =                      （1分）因此在出寫出關于y,z的式子后有

49、。     3、中心力場中的經(jīng)典粒子的哈密頓量是其中。當過渡到量子力學時，要換為                         問是否厄米算符？是否厄米算符。（5分）解 對第一個算符取厄米共軛算符，加以變換，看其是否與原算符相等，為此利用乘積的厄米算符公式（）=。    

50、60;                       （1分）若,則 ，因為,等自身是厄     米的,因而有要看出,的關系將作用于任意函數(shù)：                

51、0;                     =                        =      

52、                  =                       （2分）即，因而不是厄米算符。因為利用以上結果，或者直接對 取厄米共軛式，都證明.因此可認為是厄米的，證明在后面，但

53、是關于這問題學術上有爭論，因為它還需要滿足另一些條件(Liboff)。CfRLLiboff: American  Journal  of  Physics 976(1973)                                  

54、0;           =              =     CfAMessian:Quantum Mecnanics P346(1961)               &#

55、160;         （2分）     4、經(jīng)典力學中在量子力學中此式是否成立？在什么條件下此式成立？（5分）     解                  =+         

56、60;         +                            （1分）              &

57、#160;  =                   +                   +        （1分）  

58、60;              =                                    &

59、#160;                                                  

60、（1分）最后一式加上下述這個等于零的式子：                 （1分）得：因此經(jīng)典角動量平方公式與量子力學的不相同，只有=0才相同。                        

61、60;                   （1分） 5、求出氫原子基態(tài)波函數(shù)在動量表象中的表示式。利用所得結果，計算。用x表象中的氫原子波函數(shù)計算,并驗證測不準關系式。（10分）解本題是三維問題，氫原子基態(tài)波函數(shù)用座標表象時寫作：               

62、0;          (1) （1分）但是玻爾半徑，將（1）代入三維的座標，動量波函數(shù)變換式：                                   &#

63、160;   (2) （1分）為使計算簡單，可選擇z軸與動量的瞬時方向重合，這樣將（2）中的用（1）式代入，進行積分，積分的次序是，r：                             =        

64、0;        =                       =                     

65、;  =            =                                 (3) （1分）其次為了驗證氫原子的測不準關系，需

66、要計算座標動量的平均值，計算與座標有關的平均值時，用為波函數(shù)，反之計算動量平均值時，可用動量波函數(shù)：測不準關系的驗證，是通過一個指定方向（如x軸）的分量間關系：          （1分）                            

67、60;     =                          =                    

68、0;                       =                          (4) （1分）在計算動量

69、有關平均值時，可采用動量相空間的球面極座標參考系，設動量相空間直角坐標為，則球面極座標用表示，                    =                       

70、0;(5)（1分）                   =                       (6)（1分）與p有關的積分可用替代入(6)式的第一道積分，得：   

71、60;              =                  =                  

72、                      （1分）代入（6）得：                    =        

73、60;           （1分）代入測不準關系式：                                      

74、     （1分） 6、在動量表象中寫出氫原子的能量本征方程式，并證明角動量的各個分量均為守恒量。（14分）解（一）建立動量表象的能量本征方程式，勢能為此先寫下座標表象的薛氏方程式（直角坐標還是球面極座標不分）：                            &

75、#160;    （1分）   遍乘，并對座標積分：                                         (1)

76、（1分）等號左方第一積分用二次分部積分中的加以下述福里哀變換，就得到動量表象的能量本征方程：              (2)得：          (3) （1分）式中：                  &

77、#160;              (4) （二）核的計算：   先作（4）式類似的計算，假設是個座標表象的波函數(shù)，它的相應的動量表象函數(shù)是，則正逆兩種變換是：                        

78、              (5)                                    (6) （1分

79、）將拉普拉斯算符作用于兩邊得：                (7)根據(jù)（7）式寫出它的逆變換式，并且與（5）式對比，有：                         =   

80、              (8) （1分）將（4）（5）二式比較知道只需在中作置換，再乘：                   (9)因此我們最后得到動量表象的三維能量本征方程式，專用于庫侖場。        

81、;               (10) （1分）                                 （三）動量表象中，角動量分量守恒的

82、證明。有兩面種方法，或用直角坐標表示角動量算符，或用球面極座標表示，用前者較為簡單，要證明角動量分量（例如）是守恒量，其必要條件是它可以和哈密頓算符對易，即：                                     

83、0;                           (11)這里，用動量表象書寫時，可以用直角坐標表標表象的式子加以適宜的置換來得到這種置換是：        因而得到        

84、                             (12) （1分）至于，的動量表象依類似方法。（10）式中的哈氏算符可從（10）看出：              

85、0;                       (13)右方第二項是“積分算符”，當它運算于時，就相當于將填入括號( )。設想對易算符作用在一個任意的動量表象的波函數(shù)上面：                 &

86、#160;                                    (14) （1分）假使能證明I=0，則因為任意，我們便證明了（11），將（13）代入（14）      &#

87、160;        =（15）（1分）分別計算動能與勢能這兩部分的對易算符,先計算動能部分的：       =                          =    &#

88、160;           =                       +                

89、0;                                  (16)（2分）這證明了動能部份，是和角動量分量相能相對易的。其次計算（15）式中與勢能有部分的對易式，即（15）式第二個大括號內(nèi)一式，能夠證明，括號內(nèi)兩項相抵消，為此從第二項開始變形： 

90、                   =             =  (17) （1分）前一式的第一二個積分分別為對分動量和進行積分后，分積分限，如果是個三維的平方可積函數(shù)，即當時，則在代入分限后被積函數(shù)也趨于零，只剩下三個積分：     = &#

91、160;                     =                       =      

92、0;                =    = =                              (18)（2分）(

93、18)式最前一式和最一式的關系相當于（15）式第二部分為零。因為是任意函數(shù)，因而說明是守恒量。同理可以證明，在動量表象的有心力問題中也是守恒的。 7、設氫原子處于基態(tài)，求電子處于經(jīng)典力學不允許區(qū)(EV=T<0)的幾率。（4分）  解 在經(jīng)典力學中，當總能量一定時，軌道半徑受到限制，設玻耳半徑a，則總能量粒子的勢能則隨著到核的距離r而變，表示作，動能是一者的差數(shù)：(從理論上講，距離r可以擴展到無限遠處)               

94、        (1)（2分）使T(r)>0,r<2a,在量子力學中，電子可以在離核任何距離r處出現(xiàn)，它在經(jīng)典力學中不允許范圍中出現(xiàn)的幾率是： =  =        =                                       （2分） 8、證明，對于庫侖場，（是總能量）。（3分）