2020年中考數(shù)學(xué)培優(yōu)復(fù)習(xí)-動點類題目旋轉(zhuǎn)問題探究(解析版)

1、下載后可編輯可打印11專題08動點類題目旋轉(zhuǎn)問題探究題型一：旋轉(zhuǎn)問題中三點共線問題例1.(2019?紹興)如圖1是實驗室中的一種擺動裝置，BC在地面上，支架 ABC是底邊為BC的等腰直角三角形，擺動臂 AD可繞點A旋轉(zhuǎn)，擺動臂 DM可繞點D旋轉(zhuǎn)，AD=30, DM=10.(1) 在旋轉(zhuǎn)過程中， 當(dāng)A、D、M三點在同一直線上時，求 AM的長. 當(dāng)A、D、M三點為同一直角三角形的頂點時，求AM的長.(2) 若擺動臂AD順時針旋轉(zhuǎn)90°,點D的位置由厶ABC外的點Dj轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點D2處，連接D1D2, 如圖 2 ,此時 AD2C=135 ° , CD 2=60,求 BD2 的長【

2、分析】(1)根據(jù)點D及M的運動軌跡為圓，根據(jù)位置關(guān)系判斷出點A、D、M三點在同一直線上時有兩種情況，點 D在A與M之間或點M在A與D之間；由題意知 D、M均可能為直角頂點，分類討 論求解；(2)由題意知厶AD1D2是等腰直角三角形，連接 CD1,A ABD2A ACD1,由 D1D2C=90 °,利用 勾股定理求得 CD1的值，即為BD2的值【答案】見解析【解析】解：(1)點D在A與M之間時，AM=AD + DM=30+10=40.點 M 在 A 與 D 之間時，AM=AD DM =30- 10=20.當(dāng) ADIM90°時，AA由勾股定理得 AM= .AD2 DM 210.

3、10；當(dāng) AMD90° 時，由勾股定理得 AM- AD2 DM 2202 ；(2)擺動臂AD順時針旋轉(zhuǎn)90°,點D的位置由厶ABC外的點Di轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點 D2處, ADI=AD2, DiAD2=90°, AD1D2= AD2D=45 ° , DD2=302 AD2C=135 ° , D1D2C=9O ° ,連接DiC,如下圖所示，02 BAD2+ D2AC= CADi+ D2AC=9O BAD2= CADi AB=AC, AD2=AD1, ABD2 ACDi BD2= CDi在RtA DiDaC中，由勾股定理得：DiC=D2C3%.題

4、型二：旋轉(zhuǎn)與全等及直角三角形存在性問題例 2 .(20i9?金華)如圖，在等腰 Rt ABC 中， ACB=90° , AB=i 2 .點 D , E 分別在邊 AB , BC 上, 將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90°得到EF.(1) 如圖i ,若AD=BD ,點E與點C重合，AF與DC相交于點 O,求證：BD= 2DO.(2) 已知點G為AF的中點. 如圖2 ,若AD=BD , CE=2 ,求DG的長. 若AD =6BD,是否存在點 巳使得 DEG是直角三角形？若存在，求 CE的長；若不存在，試說明理由圖1圖2圖3【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及題意證明厶 ADo FCo

5、 ,得到結(jié)論；(2)過點D,F作DN丄BC, FM丄 BC,得到 DNE EMF ,再由DG是厶ABF的中位線，得到結(jié)果；分當(dāng) DEG=90°及 EDG =90°討 論，作出圖形，構(gòu)造全等三角形、相似三角形求解【答案】見解析【解析】解：(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得： CD=CF , DCF =90°/ ABC是等腰直角三角形，AD=BD.即 ADO=90° , CD = BD=AD, DCF = ADC.在厶ADO和厶FCo中， ADO FCO, AOD FOC,AD FC, ADO FCO , DO = CO, BD=CD=2OD. DNE= EMF=90

6、76;.又 NDE = MEF ,DE = EF, DNE EMF, DN = EM. BD= 7. 2, ABC=45°, DN = EM =-2BD =7,2 BM=BC ME EC=5, MF=NE= NC EC= 5. BF=5.2點D,G分別是AB,AF的中點， DG=IBF =.2 2過點D作DH丄BC于點H. AD=6BD，AB = 14,2， BD= 2. 2 .當(dāng) DEG=90°時，有如下圖兩種情況，設(shè) CE=t. DEF= 90° DEG= 90°點A、F、E在一條直線上. BH=DH =2, BE=14 t, HE=BE BH= 1

7、2 t.由厶 DHEECA,ECACt 14得：，即DHEH2 12 t解得t=62 2即CE的長為6 2 2 或 62 2.當(dāng)DG / BC時，如下圖所示，F(xiàn) M過點F作FK丄BC于點K,延長DG交AC于點N ,延長AC并截取MN=NA 連結(jié)FM.貝U NC=DH =2,MC=10.設(shè) GN=t,則 FM =2t,BK= 14- 2t.DHE EKF , KE=DH =2,KF=HE =14 2t, MC=FK ,14 2t=10,得 t=2. GN=EC =2, GN / EC,四邊形 GECN是平行四邊形. ACB=90°四邊形 GECN是矩形， EGN=90°.當(dāng)

8、EC=2 時，有 DGE=90° .當(dāng) EDG=90°時，如下圖所示，F(xiàn) KV過點G , F分別作AC的垂線，交射線 AC于點N, M ,過點E作EK丄FM于點K ,過點D作GN的垂線,交NG的延長線于點 P.貝U PN=HC=BC-HB=12,設(shè) GN=t,貝U FM=2t, PG = PN-GN=12-t.由厶 DHE EKF 可得：FK=2, CE = KM=2t-2, HE = HC-CE=12-(2t-2)=14-2t, EK = HE=14-2t,AM =AC+CM=AC+EK=14+14-2t=28-2t,1 MN=-AM=14-t, NC = MN-CM=t

9、,2 PD=t-2,由厶GPDs DHE可得:12-t2t 214 2t，解得t=10+14 (不符題意，舍去)或 10-14 CE= 2t-2= 18 2,14綜上所述，CE的長為：6 2邁或6 22或2或18 2J14.題型三：旋轉(zhuǎn)問題中線段比值是否變化問題 例3. (2019?德州)(1)如圖1 ,菱形AEGH的頂點E、H在菱形ABCD的邊上，且 BAD=60°,請直接寫出HD :GC:EB的值；2,求 HD :GC:EB ;(2)將圖1中的菱形AEGH繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖(3)把圖2的菱形都換成矩形，如圖3,且AD:AB=AH:AE=1:2 ,此時HDGC:EB的結(jié)果與(

10、2)小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結(jié)果；若無變化，說明理由圖1圖2圖3【答案】見解析【解析】解：(1) HD:GC:EB=1 :.3 : 1;(2)如圖，連接 AC, BD交于點O,連接AG,由題意知：AD=AB, AH=AE, DAB= HAE=60 DAH = BAE, DAH BAE, DH=BE,BD:AC=.33由厶ABD是等邊三角形，得： AD = BD,即 AD:AC=.33同理，得AH:AG=旦3 ' AD:AC=AH :AG，又 DAC= HAG , DAH+ HAC = CAG+ HAC ,即 DAH = CAG , DAH CAG , DH

11、:GC = HD:GC:EB=1: 73:1.有變化，HD:GC:EB=1: “5:2.又 DAB=60° ,ABCD是菱形， DAC=30 ° ,AC丄 BD, BD=2OD , AC=2OA,在 RtA AOD 中，OD :0A= 353如上圖所示，由題意知： 1 + HAB = 2+ HAB=90 1 = 2,由 AH:AE=AD:AB=1:2 ,得：AH:AD=AE:AB , ADH s ABE, HD:EB=1:2 ,連接AG, AC,由 2+ HAC = 3+ HAC ,得： 2= 3,AG= ,5 AH , AC= .5 AD, AD:AC=AH :AG, A

12、DH ACG , HDGC=I:、一5 , HD:GC:EB=1: 5 :2.題型四：旋轉(zhuǎn)問題中落點規(guī)律性問題例4. (2019?臺州)如圖，正方形 ABCD的邊長為2, E為AB的中點，P是BA延長線上的一點，連接 PC交 AD 于點 F , AP=FD.(1) 求匚的值；AP(2) 如圖1,連接EC,在線段EC上取一點 M,使EM = EB,連接MF ,求證：MF=PF ;(3) 如圖2,過點E作EN丄CD于點N,在線段EN上取一點 Q,使AQ=AP ,連接BQ、BN ,將 AQB繞 點A旋轉(zhuǎn)，使點Q旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點 Q'落在邊AD上請判斷旋轉(zhuǎn)后B的對應(yīng)點B'是否落在線段BN

13、上，請【解析】解：(1)四邊形ABCD是正方形，邊長為2, CD / AB, P= FCD ,AFDF=tan P=tan FCD= APCD設(shè) AF=X,貝U DF=AP=2 x,X 2 X ,2 X 2解得：X= 3.5 或 x=3 J5 (舍),.AF _ 5 1AP =2.(2) E是正方形 ABCD邊AB的中點，AB=2 ,.BE=I，在RtA BCE中，由勾股定理得： CE= .5,由（1）知：PE=FA+AE=、5 1+1=、5 , .CE = PE,. P= PCE,又 P= DCF ,. PCE= DCF ,F作FH丄CE于H ,如下圖所示,過點在厶CFH和厶CFD中, D

14、= FHC =90 FCH=/ FCDCF CF CFH CFD ,.CH=CD=2 , FH = FD= .5 1=AP, EH = EC CH=、.5 2,下載后可編輯可打印 HM=EM EH=3 、5 =AF APF HFM , PF = FM.(3) 在 AD 上截取 AQ' AQ,在 BN 上截取 AB' AB,連接 AB', B'Q過點B'作B'GAD于G,交EN于K,如下圖所示,20 tan NBE=2，AB=AB' =2 BB'5 B 'N=BN BB=55由厶 NB'KNBE,1 262得：B&#

15、39;K= , KN= ,B'G= ,DG=,5555 Q 'G= 35 ,5在 RtA B 'GQ '中，由勾股定理得：B 'Q2=B 'G2+ GQ '= 6626 55而-2生旦1,5 B 'Q BQ,即B '不在BN上.題型五：旋轉(zhuǎn)問題中函數(shù)及落點問題k例5. (209?連云港)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 Xoy中，函數(shù)y=- x+b的圖象與函數(shù) y= - (XV 0)的圖X象相交于點A (- 1, 6),并與X軸交于點C.點D是線段AC上一點， ODC與厶OAC的面積比為2: 3.(1) k=, b=；(2) 求點D

16、的坐標(biāo)；(3) 若將 ODC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到 ODC,其中點D'落在X軸負(fù)半軸上，判斷點 C是否落在函數(shù) y = k (XV 0)的圖象上，并說明理由.【答案】(1)- 6, 5; (2) (3)見解析.【解析】解：(1)將A (- 1, 6)代入y=- x+b,得，6= 1 + b,. b = 5,k將A (- 1, 6)代入y=X得 k=- 6,故答案為：-6, 5;(2)如下圖所示，過點 D作DM丄X軸，垂足為 M ,過點A作AN丄X軸，垂足為 N, ODC與厶OAC的面積比為 2: 3.DM 2AN 3 ,又點A的坐標(biāo)為（-1, 6）,.AN = 6,.DM = 4,即點

17、D的縱坐標(biāo)為4,把y= 4代入y=- x+5中，得X= 1,D （1, 4）；（3）由題意可知，OD' = OD = ：_17 ,如下圖所示，過點 C作C'GX軸，垂足為G,/ SaODC= SaOD'C', OC?DM = OD'?C'G,即 5× 4= ,17 CG,20 ,1717由勾股定理得： OG =,17在 RtA OCG 中，5.1717 ,20 .17、),17 C'的坐標(biāo)為（-（-比）× 沁 -6,1717點C'不在函數(shù)y=-的圖象上.X題型六：幾何圖形旋轉(zhuǎn)中的類比探究例6. （2019?自貢

18、）（1）如圖1 , E是正方形 ABCD邊AB上的一點，連接 BD、DE ,將ZBDE繞點D逆時 針旋轉(zhuǎn)90°旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G.Z線段DB和DG之間的數(shù)量關(guān)系是 ;Z寫出線段BE, BF和DB之間的數(shù)量關(guān)系.（2）當(dāng)四邊形 ABCD為菱形，ZADC=60° ,點E是菱形ABCD邊AB所在直線上的一點，連接BD、DE,將ZBDE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G.如圖2,點E在線段AB上時，請?zhí)骄烤€段 BE、BF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并給出證明；如圖3,點E在線段AB的延長線上時，DE交射線BC于點M

19、 ,若BE=1，AB=2 ,直接寫出線段 GM的長度圖2圖3【答案】（1）DB = DGBE BF JbD （ 2）見解析【解析】解：（1）由旋轉(zhuǎn)知： GDB=90 ° ,四邊形ABCD是正方形，BD為對角線， DBG=45 ° , DGB=45 ° , DG = DB,在 DBE和厶DGF中，/BDE / FDGBD DG/ DBE /G DBE DGF , BE=GF,由知，BD=DG , BDG=90 ° ,即厶BDG是等腰直角三角形， BG=、2 BD,即 BE BF 2BD .（2） BE BF 3BD理由如下:1在菱形 ABCD 中， ABD

20、 = CBD = _ ABC=30 ° ,2由旋轉(zhuǎn)可得， EDF = BDG=120° , EDF- BDF= BDG- BDF ,即 FDG = BDE.在厶 DBG 中， G=180° - BDG- DBG=30° , DBG= G=30 ° , BD = DG.在厶BDE和厶GDF中，GDF BDEBD DGDBE DGF BDE GDF (ASA), BE=GF, BE+BF=BF+GF = BG.過點D作DM丄BG于點M,如下圖所示， BD = DG, BG=2BM.在 RtA BMD 中， DBM =30 °, BD=2D

21、M ,設(shè) DM =a,貝U BD=2a, BM= . 3a. BG= 2.3a, BG 2、3a 3"BD 2a BF + BE= .3 BD.GM的長度為.3理由：2 4 GF = BE=I , FC=2CD=4, CM = _BC=_,3 34 19 GM=GF+FC+CM=1+4+ 工=3 3題型六：幾何圖形旋轉(zhuǎn)中的計算題目 例7. (2019?濰坊)如圖1 ,菱形ABCD的頂點A、D在直線上， BAD =60°,以點A為旋轉(zhuǎn)中心將菱形ABCD順時針旋轉(zhuǎn) ( 0° < <30 ° ),得到菱形 AB'C'D' B'C'交對角線AC于點M , C'D'交直線I于點N , 連接MN.(1) 當(dāng)MN / B'D'時，求的大小.(2) 如圖2,對角線B 'D '交AC于點H ,交直線l于點G ,延長C ''交AB于點E,連接EH.當(dāng)厶HEB