高二數(shù)學(xué)培優(yōu)講義空間向量的運(yùn)算及空間位置關(guān)系

1、第八講 空間向量的運(yùn)算及空間位置關(guān)系教學(xué)目標(biāo)：1.了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置2.會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式3.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示4.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示5.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.1、 知識(shí)回顧 課前熱身知識(shí)點(diǎn)1空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系名稱內(nèi)容空間直角坐標(biāo)系以空間一點(diǎn)O為原點(diǎn)，具有相同的單位長(zhǎng)度，給定正方向，建立三條兩兩垂直的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)O坐標(biāo)軸x軸、y軸、z軸坐

2、標(biāo)平面通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面(2)右手直角坐標(biāo)系的含義：當(dāng)右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向時(shí)，中指指向z軸的正方向(3)空間中點(diǎn)M的坐標(biāo)：空間中點(diǎn)M的坐標(biāo)常用有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)來(lái)表示，記作M(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)M和有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)2空間兩點(diǎn)間的距離(1)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|.特別地，點(diǎn)P(x，y，z)與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為|OP|.(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空間中兩點(diǎn)，則線段AB

3、的中點(diǎn)坐標(biāo)為.知識(shí)點(diǎn)3空間向量的概念及運(yùn)算空間向量的概念及運(yùn)算同平面向量基本相同加減運(yùn)算遵循三角形或平行四邊形法則；數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算與平面向量的數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算相同；坐標(biāo)運(yùn)算與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似，僅多出了一個(gè)豎坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)4空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得ab.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使pxayb.(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc.其中，

4、a，b，c叫做空間的一個(gè)基底知識(shí)點(diǎn)5兩個(gè)向量的數(shù)量積(與平面向量基本相同)(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間中任取一點(diǎn)O，作a，b，則角AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b通常規(guī)定0a，b.若a，b，則稱向量a，b互相垂直，記作ab.(2)兩向量的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量a，b的數(shù)量積a·b|a|b|cosa，b(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：a·e|a|cosa，e；aba·b0；|a|2a·aa2；|a·b|a|b|.(4)向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律：(a)·b(a·b)；a·bb·a(交換律

5、)；a·(bc)a·ba·c(分配律)知識(shí)點(diǎn)6空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，a·ba1b1a2b2a3b3.aba1b2a2b2a3b30；aba1b1，a2b2，a3b3(R)；cosa，b .(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則(x2x1，y2y1，z2z1)例題辨析 推陳出新例1已知點(diǎn)M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)線段MN的長(zhǎng)度；(2)到M，N兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x，y

6、，z)的坐標(biāo)滿足的條件自主解答(1)根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式得線段MN的長(zhǎng)度MN2，所以線段MN的長(zhǎng)度為2.(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y，z)到M，N的距離相等，所以有，化簡(jiǎn)得xy2z30，因此，到M，N兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)P(x，y，z)的坐標(biāo)滿足的條件是xy2z30.變式練習(xí)1已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，ABACAA12，M為BC1的中點(diǎn)，N為A1B1的中點(diǎn)，求|MN|.解：如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，N(1,0,2)，M(1,1,1)

7、，|MN|.例2(1)如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)化簡(jiǎn)_；用，表示，則_.(2)向量a(3,5，4)，b(2,1,8)計(jì)算2a3b,3a2b的值自主解答(1)().()，().(2)解：2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(6,10，8)(6,3,24)(12,13,16)3a2b3(3,5，4)2(2,1,8)(9,15，12)(4,2,16)(13,17,4)答案(1)本例中(1)條件不變，結(jié)論改為：設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且，若xyz，試求x，y，z的值解：()，由條件知，x，y，z.變式練習(xí)2.如圖所示，已知空間四邊形ABCD中，向量a，b，c，若M為BC

8、中點(diǎn)，G為BCD的重心，試用a、b、c表示下列向量：(1)；(2) .解：(1)在ADM中，由線段中點(diǎn)的向量表示知()(ab)，由相反向量的概念知c.所以(ab)c(ab2c)；(2)由三角形重心的性質(zhì)，得ccc()c(ab2c)(abc)例3已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，用向量法證明：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)BD平面EFGH.自主解答(1)連接BG，則()，由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面(2)因?yàn)?)，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.變式練習(xí)3證明三個(gè)向量ae13e22e3，b

9、4e16e22e3，c3e112e211e3共面證明：若e1，e2，e3共面，顯然a，b，c共面；若e1，e2，e3不共面，設(shè)caub，即3e112e211e3(e13e22e3)u(4e16e22e3)，整理得3e112e211e3(4u)e1(36u)e2(22u)e3.由空間向量基本定理可知解得即c5ab，則三個(gè)向量共面.例4如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CACB1，BCA90°，棱AA12，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn)(1)求BN的長(zhǎng)；(2)求異面直線BA1與CB1所成角的余弦值；(3)求證：A1BC1M.自主解答(1)|2·()

10、3;()|2|22·213，|.(2)·()·()·····1·cos 135°0043，又|2()2|22·|22046，|.又|2()2|22·|21045，|.cos，異面直線BA1與CB1所成角的余弦值為.(3)證明：·()·()····001··cos 135°··cos 0°0.，A1BC1M.變式練習(xí)4已知空間三點(diǎn)A(2,0,2)，B(1,1,

11、2)，C(3,0,4)設(shè)a，b，(1)求a和b的夾角的余弦值；(2)若向量kab與ka2b互相垂直，求k的值解：A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，a，b，a(1,1,0)，b(1,0,2)(1)cos ，a和b的夾角的余弦值為.(2)kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，且(kab)(ka2b)，(k1，k,2)·(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100.則k或k2.3、 歸納總結(jié) 方法在握歸納2個(gè)原則建立空間直角坐標(biāo)系的原則(1)合理利用幾何體中的垂直關(guān)系，特別是面面垂直；(2)盡可能地讓相關(guān)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐

12、標(biāo)平面上1個(gè)方法利用向量法求解立體幾何問(wèn)題的一般方法利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量的運(yùn)算或證明去解決問(wèn)題在這里，恰當(dāng)?shù)剡x取基底可使向量運(yùn)算簡(jiǎn)捷，或者是建立空間直角坐標(biāo)系，使立體幾何問(wèn)題成為代數(shù)問(wèn)題另外，熟練準(zhǔn)確地寫出空間中任一點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)1個(gè)注意點(diǎn)空間向量數(shù)量積計(jì)算的一個(gè)注意點(diǎn)空間向量的數(shù)量積的計(jì)算要充分利用向量所在圖形，巧妙地進(jìn)行向量的分解與合成，分解時(shí)并不是漫無(wú)目的的，而要充分利用圖形的特點(diǎn)及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知模的向量. 4、 拓展延伸 能力升華如圖所示，在四棱錐PABCD中

13、，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)證明：(1)AECD；(2)PD平面ABE.證明：AB、AD、AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PAABBC1，則P(0,0,1)(1)ABC60°，ABC為正三角形C，E.設(shè)D(0，y,0)，由ACCD，得·0，即y，則D，.又，·××0，即AECD.(2)法一：P(0,0,1)，.又·××(1)0，即PDAE.(1,0,0)，·0.PDAB，又ABAEA，PD平面AEB.法二：(1,0,0)，設(shè)平面

14、ABE的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則令y2，則z，n(0,2，)，顯然n.n，平面ABE，即PD平面ABE. 變式練習(xí)正方體ABCDA1B1C1D1中，P為面A1B1C1D1的中心，求證：APB1P.證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，B1(1,1,1)，P，由兩點(diǎn)間的距離公式得|AP| ，|B1P| ，|AB1| ，|AP|2|B1P|2|AB1|2，APB1P.5、 課后作業(yè) 鞏固提高一、選擇題1已知點(diǎn)A(3,0，4)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，則|AB|等于()A12B9C25 D10解析：選D點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0,4)，故|

15、AB|10.2已知向量a(2，3,5)與向量b平行，則()A. B.C D解析：選Cab.3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值為()A1B.C.D.解析：選Dkab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，由題意知，3(k1)2k40，解得k.4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a、b、c三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)等于()A. B.C. D.解析：選D由于a，b，c三個(gè)向量共面，所以存在實(shí)數(shù)m，n使得cmanb，即有解得m，n，.5如圖，在底面為平行四邊形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是AC與BD的交點(diǎn)，若a，b，c，則下列向

16、量中與相等的向量是()Aabc B.abcC.abc Dabc解析：選A()()cab，即abc.6.(2013·武漢模擬)二面角l為60°，A、B是棱l上的兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面、內(nèi)，ACl，BDl，且ABACa，BD2a，則CD的長(zhǎng)為()A2a B.aCa D.a解析：選AACl，BDl，60°，且·0，·0，|2a.二、填空題7已知點(diǎn)P在z軸上，且滿足|OP|1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1,1)的距離為_解析：由題意知，P(0,0,1)或P(0,0，1)|PA| .或|PA| .答案：或8已知O(0,0,0)，A(1,2,

17、3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)·取最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是_解析：由題意，設(shè)，即OQ(，2)，則(1，2，32)，(2，1，22)，·(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062，當(dāng)時(shí)有最小值，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為.答案：9已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，則向量ab與ab的夾角是_解析：(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|2(cos21sin2)(sin21cos2)0，(ab)(ab)，即向量ab與ab的夾角為90°.答案：90°三、解答題10已知向量a(1，3,2)

18、，b(2,1,1)，點(diǎn)A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直線AB上，是否存在一定點(diǎn)E，使得b？(O為原點(diǎn))解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab| 5.(2)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，則·b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在點(diǎn)E，使得b，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為.11(2012·合肥模擬)如圖ABCDA1B1C1D1是正方體，M、N分別是線段AD1和BD的中點(diǎn)(1)證明：直線MN平面B1CD1；(2)設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1棱長(zhǎng)為a，若以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，試寫出B1、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求線段B1M的長(zhǎng)解：(1)連接CD1、AC，則N是AC的中點(diǎn)，在ACD1中，又M是AD1的中點(diǎn)，MNCD1.又MN平面B1CD1，CD1平面B1CD1，MN平面B1CD1.(2)由條件知B1(a，a，a)，M，|B1M| a，即線段B1M的長(zhǎng)為a.12如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體OABCO