高三一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案62——用樣本估計(jì)總體

1、§11.2用樣本估計(jì)總體1頻率分布直方圖(1)通常我們對(duì)總體作出的估計(jì)一般分成兩種，一種是用_，另一種是用_(2)在頻率分布直方圖中，縱軸表示_，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用_表示，各小長(zhǎng)方形的面積總和等于_(3)連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖隨著_的增加，作圖時(shí)所分的_增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計(jì)中稱之為_，它能夠更加精細(xì)的反映出_(4)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好，它不但可以_ _，而且_，給數(shù)據(jù)的_和_都帶來(lái)方便2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中

2、，出現(xiàn)次數(shù)_的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在_位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即_在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該_(2)樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差s ，其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項(xiàng)，n是_，是_是反映總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，樣本方差是標(biāo)準(zhǔn)差的_通常用樣本方差估計(jì)總體方差，當(dāng)_時(shí)，樣本方差很接近總體方差難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差；(2)確定組距和組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖頻率分布直方圖能很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分

3、布的形狀2對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的理解標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差1一個(gè)容量為20的樣本，已知某組的頻率為0.25，則該組的頻數(shù)為_2已知數(shù)據(jù)a，a，b，c，d，b，c，c，且a<b<c<d，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為_，中位數(shù)為_，平均數(shù)為_3(2011·江蘇)某老師從星期一到星期五收到的信件數(shù)分別為10,6,8,5,6，則該組數(shù)據(jù)的方差

4、s2_.4一個(gè)容量為20的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：10,20),2；20,30),3；30,40)，x；40,50),5；50,60),4；60,70),2；則x_；根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)，數(shù)據(jù)落在10,50)的概率約為_5若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()8979316402A91.5和91.5B91.5和92C91和91.5 D92和92題型一頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用例1某中學(xué)高一女生共有450人，為了了解高一女生的身高情況，隨機(jī)抽取部分高一女生測(cè)量身高，所得數(shù)據(jù)整理后列出頻率分布表如下：組別頻數(shù)頻率145.5149.580

5、.16149.5153.560.12153.5157.5140.28157.5161.5100.20161.5165.580.16165.5169.5mn合計(jì)MN(1)求出表中字母m、n、M、N所對(duì)應(yīng)的數(shù)值；(2)在給出的直角坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)該校高一女生身高在149.5165.5 cm范圍內(nèi)有多少人？探究提高用頻率分布直方圖解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)正確理解圖表中各個(gè)量的意義，識(shí)圖掌握信息是解決該類問(wèn)題的關(guān)鍵頻率分布直方圖有以下幾個(gè)要點(diǎn)：(1)縱軸表示頻率/組距；(2)頻率分布直方圖中各長(zhǎng)方形高的比也就是其頻率之比；(3)直方圖中每一個(gè)矩形的面積是樣本數(shù)據(jù)落在這個(gè)區(qū)間上的頻率，所

6、有的小矩形的面積之和等于1，即頻率之和為1. 從全校參加科技知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生試卷中抽取一個(gè)樣本，考察競(jìng)賽的成績(jī)分布將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小組的小長(zhǎng)方形的高的比是13642，最右邊一組的頻數(shù)是6. 請(qǐng)結(jié)合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問(wèn)題：(1)樣本的容量是多少？(2)列出頻率分布表；(3)成績(jī)落在哪個(gè)范圍內(nèi)的人數(shù)最多？并求該小組的頻數(shù)、頻率；(4)估計(jì)這次競(jìng)賽中，成績(jī)不低于60分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的百分比題型二莖葉圖的應(yīng)用例2某班甲、乙兩學(xué)生的高考備考成績(jī)?nèi)缦拢杭祝?12554528549536556534541522538乙：5155585215435325

7、59536548527531(1)用莖葉圖表示兩學(xué)生的成績(jī)；(2)分別求兩學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)探究提高(1)莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況(2)莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過(guò)莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù) 的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況 某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,4

8、43, 445,445,451,454品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)作出數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？(3)通過(guò)觀察莖葉圖，對(duì)品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論題型三用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征例3甲乙二人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)得分情況如圖(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對(duì)兩人的訓(xùn)練成績(jī)作出評(píng)價(jià)探究提高(1)平均數(shù)與

9、方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動(dòng)大小(2)平均數(shù)、方差的公式推廣 若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均數(shù)是ma. 數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為s2.as2(xxx)n2；b數(shù)據(jù)x1a，x2a，xna的方差也為s2；c數(shù)據(jù)ax1，ax2，axn的方差為a2s2.甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平

10、均數(shù)；(2)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的方差；(3)根據(jù)計(jì)算結(jié)果，估計(jì)一下兩名戰(zhàn)士的射擊水平誰(shuí)更好一些13.統(tǒng)計(jì)圖表中概念不清、識(shí)圖不準(zhǔn)致誤試題：(5分)如圖所示是某公司(共有員工300人)2011年員工年薪情況的頻率分布直方圖，由此可知，員工中年薪在1.4萬(wàn)元1.6萬(wàn)元之間的共有_人學(xué)生答案展示180審題視角(1)計(jì)算1.4萬(wàn)元1.6萬(wàn)元之間的頻率(2)由頻率和總?cè)藬?shù)求年薪在1.4萬(wàn)元1.6萬(wàn)元之間的人數(shù)正確答案72批閱筆記解本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是審題不細(xì)，對(duì)所給圖形觀察不細(xì)心，認(rèn)為員工中年薪在1.4萬(wàn)元1.6萬(wàn)元之間的頻率為1(0.020.080.10)×20.60，從而得到員工中年薪在1.

11、4萬(wàn)元1.6萬(wàn)元之間的共有300×0.60180(人)的錯(cuò)誤答案.方法與技巧1用樣本頻率分布來(lái)估計(jì)總體分布的重點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計(jì)總體分布，難點(diǎn)是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用在計(jì)數(shù)和計(jì)算時(shí)一定要準(zhǔn)確，在繪制小矩形時(shí)，寬窄要一致通過(guò)頻率分布表和頻率分布直方圖可以對(duì)總體作出估計(jì)2若取值x1，x2，xn的頻率分別為p1，p2，pn，則其平均值為x1p1x2p2xnpn；若x1，x2，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則ax1b，ax2b，axnb的平均數(shù)為ab，方差為a2s2.失誤與防范1不要把直方圖錯(cuò)以為條形圖，兩者的區(qū)別在于條形圖是離散隨機(jī)變量，

12、縱坐標(biāo)刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖是連續(xù)隨機(jī)變量，縱坐標(biāo)刻度為頻率/組距，這是密度連續(xù)隨機(jī)變量在某一點(diǎn)上是沒(méi)有頻率的2幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點(diǎn)與不足：(1)頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢(shì)不太方便(2)頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到在分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式但從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說(shuō)，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了(3)頻率分布折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線(4)用莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是原

13、有信息不會(huì)被抹掉，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便了課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 (時(shí)間：60分鐘)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1如右圖是某電視臺(tái)綜藝節(jié)目舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，七位評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A84,4.84 B84,1.6C85,4 D85,1.62為了了解高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，抽取了某班60名學(xué)生，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出其頻率分布直方圖(如圖)，已知從左到右各長(zhǎng)方形高的比為235631，則該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?80,100)之間的學(xué)生人數(shù)是()A32 B27 C24 D333為了

14、了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖所示由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為b，則a，b的值分別為()A0.27,78 B0.27,83C2.7,78 D2.7,83二、填空題4(2010·北京)從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)由圖中數(shù)據(jù)可知a_.若要從身高在120,130)，130,140)，140,150三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在140

15、,150內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為_5在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個(gè)小長(zhǎng)方形，這4個(gè)小長(zhǎng)方形的面積由小到大構(gòu)成等比數(shù)列an，已知a22a1，且樣本容量為300，則小長(zhǎng)方形面積最大的一組的頻數(shù)為_6某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示，在某時(shí)段內(nèi)，有1 000輛汽車通過(guò)該站，現(xiàn)在隨機(jī)抽取其中的200輛汽車進(jìn)行車速分析，分析的結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖，則估計(jì)在這一時(shí)段內(nèi)通過(guò)該站的汽車中車速不小于90 km/h的約有_輛(注：分析時(shí)車速均取整數(shù))三、解答題7某市統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入調(diào)查了10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖(每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在1

16、 000,1 500)(1)求居民收入在3 000,3 500)的頻率； (2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再?gòu)倪@10 000人中按分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在2 500，3 000)的這段應(yīng)抽取多少人？B組專項(xiàng)能力提升題組一、選擇題1甲、乙兩名同學(xué)在5次數(shù)學(xué)考試中，成績(jī)統(tǒng)計(jì)用莖葉圖表示如圖所示，若甲、乙兩人的平均成績(jī)分別用甲、乙表示，則下列結(jié)論正確的是 ()A甲>乙，且甲比乙成績(jī)穩(wěn)定B甲>乙，且乙比甲成績(jī)穩(wěn)定C甲<乙，且甲比乙成績(jī)穩(wěn)定D甲<乙，且乙比甲成績(jī)穩(wěn)定2某工廠對(duì)一批產(chǎn)

17、品進(jìn)行了抽樣檢測(cè)，如圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是96,106，樣本數(shù)據(jù)分組為96,98)，98,100)，100,102)，102,104)，104,106，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是 ()A90 B75 C60 D453一個(gè)樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b，且a、b是方程x25x40的兩根，則這個(gè)樣本的方差是()A3 B4 C5 D6二、填空題4某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1,2,3,4,5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表：學(xué)生1號(hào)2號(hào)3號(hào)

18、4號(hào)5號(hào)甲班67787乙班67679則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為s2_.5某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x，y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|xy|的值為_6已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是_、_.三、解答題7某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位：t)的分組及各組的頻數(shù)如下：0,0.5),4；0.5,1),8；1,1.5),15；1.5,2),22；2,2.5),25；2.5,3),14；3,3.5),6；3.5,4

19、),4；4,4.5),2.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖，并根據(jù)直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(3)當(dāng)?shù)卣贫巳司掠盟繛?t的標(biāo)準(zhǔn)，若超出標(biāo)準(zhǔn)加倍收費(fèi)，當(dāng)?shù)卣f(shuō)，85%以上的居民不超過(guò)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)解釋對(duì)嗎？為什么？答案要點(diǎn)梳理1(1)樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征(2)各小長(zhǎng)方形的面積1(3)樣本容量 組數(shù)總體密度曲線總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比(4)保留所有信息可以隨時(shí)記錄記錄表示2(1)最多最中間(x1x2xn)相等(2)樣本容量平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差 平方樣本容量接近總體容量基礎(chǔ)自測(cè)152.c 33.24.40.75.A題

20、型分類·深度剖析例1解(1)由題意M50，落在區(qū)間165.5169.5內(nèi)數(shù)據(jù)頻數(shù)m50(8614108)4，頻率為n0.08，總頻率N1.00.(2)頻率分布直方圖如下圖：(3)該所學(xué)校高一女生身高在149.5165.5 cm之間的比例為0.120.280.200.160.76，則該校高一女生在此范圍內(nèi)的人數(shù)為450×0.76342(人)變式訓(xùn)練1解(1)由于各組的組距相等，所以各組的頻率與各小長(zhǎng)方形的高成正比且各組頻率的和等于1，那么各組的頻率分別為，.設(shè)該樣本容量為n，則，所以樣本容量為n48.(2)由以上得頻率分布表如下：成績(jī)頻數(shù)頻率50.5,60.5)360.5,7

21、0.5)970.5,80.5)1880.5,90.5)1290.5,100.5)6合計(jì)481(3)成績(jī)落在70.5,80.5)之間的人數(shù)最多，該組的頻數(shù)和頻率分別是18和.(4)不低于60分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的百分比約為×100%93.75%.例2解(1)兩學(xué)生成績(jī)的莖葉圖如圖所示(2)將甲、乙兩學(xué)生的成績(jī)從小到大排列為：甲：512522528534536538541549554556乙：515521527531532536543548558559從以上排列可知甲學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為537， 乙學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為534. 甲學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為500537，乙學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為500 537

22、.變式訓(xùn)練2解(1)如下圖(2)由于每個(gè)品種的數(shù)據(jù)都只有25個(gè)，樣本不大，畫莖葉圖很方便；此時(shí)莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒(méi)有任何信息損失，而且還可以隨時(shí)記錄新的數(shù)據(jù)(3)通過(guò)觀察莖葉圖可以看出：品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)(或均值)比品種B高；品種A的畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差例3解(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測(cè)試的成績(jī)分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分甲13，乙13，s(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由s>s可知乙的成績(jī)較穩(wěn)定從折線圖看，甲的成績(jī)基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績(jī)上下波動(dòng)，可知甲的成績(jī)?cè)诓粩嗵岣?，而乙的成?jī)則無(wú)明顯提高變式訓(xùn)練3解(1)甲(8678