高二數(shù)學(xué)必修5數(shù)列通項(xiàng)公式的求法歸納精

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的四大題型類型一： 觀察分析法（已知前幾項(xiàng)，寫通項(xiàng)公式）具體方法有：(1)聯(lián)想比較法。如由-1，2，-3，4，-5，······ 聯(lián)想到數(shù)列-1，1，-1，1，······和1，2，3，4，5，······ ，可得；由3，6，11，18，27，······聯(lián)想到數(shù)列1，4，9，16，25，·····

2、;·，可得；由······可知該數(shù)列中各項(xiàng)分式的分子為2n-1,而分母比分子多4，故.(2)逐差法。如1，3，5，7，9，······，可發(fā)現(xiàn)：3-1=5-3=7-5=9-7=2，于是歸納得 .(3)逐商法.如1，3，9，27，81，······可發(fā)現(xiàn)于是歸納可得 .(4)待定系數(shù)法.如：3，6，11，18，27，38，······，一次逐差得數(shù)列

3、3，5，7，9，11，······，二次逐差得數(shù)列 2，2，2，2，······，一般地，逐差k次后可得常數(shù)列，則通項(xiàng)公式可設(shè)為k次多項(xiàng)式.可以猜想通項(xiàng)公式為.令n=1,2,3,得a+b+c=3 4a+2b+c=6 9a+3b+c=11 聯(lián)立可得a=1,b=0,c=2.經(jīng)檢驗(yàn)適合，故.類型二：定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列

4、，即， 由得：， 點(diǎn)評：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。類型三：前n項(xiàng)和法 （已知前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)公式）若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。例2已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由當(dāng)時(shí)，有，經(jīng)驗(yàn)證也滿足上式，所以點(diǎn)評：利用公式求解時(shí)，要注意對n分類討論，但若能合寫時(shí)一定要合并類型四：由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通?？梢酝ㄟ^遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。題型1： 遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。 例3. 已知數(shù)列

5、滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即所以 ， （）=滿足上式 故題型2 ：遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4. 已知數(shù)列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個(gè)等式累乘之，即又， （）滿足上式 故注：由和確定的遞推數(shù)列的通項(xiàng)還可以如下求得：所以， ，依次向前代入，得，題型三、形如 的遞推式解法：取倒法構(gòu)造輔助數(shù)列例5：題型4、 遞推式：解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來的差異其中有多種不同形式為常數(shù)，即遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例6. 已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為

6、即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則, 所以.為一次多項(xiàng)式，即遞推公式為解法：轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例7設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得（）則,又，故代入（）得備注：本題也可由 ,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之. 為的二次式，則可設(shè);題型5 ：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)）解法：該類型較題型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型3的方法解決。例8. 已知數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,應(yīng)用例7解法得：所以題型5： 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足，再應(yīng)用前面類型3的方法求解。