曲線積分與曲面積分學習指導

1、第十章 曲線積分與曲面積分學習指導一、內容提要(一) 對弧長的曲線積分1定義：，其中表示第個小弧段的弧長。2性質：具有與定積分類似的性質。如線性性質，對積分路徑的可加性等。3計算：(1) 若曲線的界數(shù)方程為，()且，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則。(2) 若曲線的方程為且在連續(xù)，上連續(xù)，則。(3) 若曲線的極坐標方程為()，且在上連續(xù)，在上連續(xù)，則。(4) 若空間曲線的方程為，在上連續(xù)在上連續(xù)，則。(二) 對坐標的曲線積分1定義：其物理意義是變務沿有向弧段所作的功，即2性質：除了與弧長的曲線積分相同的性質外，應注意方向性3計算：(1) 若曲線的參數(shù)方程為，且曲線的起點和終點所對應的的值為和，又，在或上

2、連續(xù)，在上連續(xù)，則(2) 若曲線的直角坐標方程為，且曲線的起點和終點所對應的的值為和，又在或上連續(xù)，則(3) 若空間曲線的參數(shù)方程為，且曲線的起點和終點所對應的的值為和，又，在或上連續(xù)，則(三) 格林公式，曲線積分與路徑無關的條件1格林公式設和及一階導數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，則有其中分段光滑曲線是區(qū)域的正向邊界。2四個等價命題若，在單連通區(qū)域內有一階連續(xù)偏導數(shù)，則在內下列四個命題相互等價：(1) 曲線積分與路徑無關，其中是中分段光滑曲線；(2) 沿中任一分段光滑閉曲線有。(3) 對內的任一點有。(4) 在內存在一函數(shù)使，則有3兩種曲線積分之間的關系其中，是上任一點方向上的切向量的方向余弦。(四) 對

3、面積的曲面積分1定義：，其中()是曲面塊上的第個塊的面積。物理意義是密度的曲面塊的質量當時為面積。2計算若曲面可用單值函數(shù)表示設為在平面上的投影區(qū)域，則若曲面的方程為單值函數(shù)若，設和為在平面和平面上的投影，則曲面積分可類似地化成重積分：或 (五) 對坐標的曲面積分1定義：其中表示的第子塊在平面上的投影，含義類似。物理意義：設流體密度為1，流速為 ，則單位時間內流進有向曲面指定一側的流量為2計算若曲面的方程為，則(當為曲面的上、下側時分別取正、負號)類似地，若曲面的方程為則 (當為曲面的前、后側時分別取正、負號)若曲面的方程為則 (當為曲面的右、左側時分別取正、負號)3兩類曲面積分的關系其中，是

4、有向曲面上點處的法向量的方向余弦。(六) 高斯公式設空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)、在上是有一階連續(xù)偏導數(shù)，則其中中的整個邊界的外側。(七) 斯托克斯公式設為分段光滑的有向空間閉曲線，為以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側符合右手法則，函數(shù)、在包含曲面在內的一個空間區(qū)域內是有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有 (八) 通量與散度、環(huán)量與流量設向量場通量(或流量) ，其中為上點處的單位法向量。散度：對坐標的曲面積分與的形狀無關的充要條件是散度為零。旋度：環(huán)流量：向量場沿有向閉線的環(huán)流量為二、基本要求(一) 理解曲線、曲面積分的定義，掌握曲線、曲面積分的計算方法；(二) 掌握第二類曲線、曲面積分

5、與路徑、形狀無關的條件及其判斷方法；(三) 了解通量與環(huán)流量與旋度的概念，并掌握它們的計算方法；(四) 掌握各類曲線、曲面積分之間的關系；(五) 掌握曲線、曲面的積分的有關應用(求面積、求曲線段和曲面塊的重心坐標等)；(六) 掌握高斯公式和斯托克斯公式及其應用。三、注意的幾點(一) 第一類曲線積分的計算應掌握弧長微分的基本公式所有形式的計算公式均可由此推出，第一類曲面積分也有類的公式。(二) 第二類曲線積分與積分曲線的方向有關第二類曲面積分與曲面空間有關(三) 第一類曲面積分的計算時，應注意“一投、二代、三換”以及利用積分區(qū)域的對線性和被積函數(shù)的第二類曲面積分的計算應注意“一投、二代、三定號”。(四) 利用第二類曲線積分求平面圖形面積是格林公式的一個簡單應用可利下面各式計算面積：。(五) 利用格林公式時，要注意條件：1曲線是閉曲線，錄不封閉則應添加曲線使其封閉；2函數(shù)和在封閉曲線圍成的區(qū)域內應