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文檔簡介
1、直線與線段例1、在一條直線上,如果給定n個點,那么以它們?yōu)槎它c的線段共有多少條?若從左至右相鄰兩點的線段的長度依次為a1,a2,an-1,求所有線段的長度之和。提示:長度之和S=a1´(n-1) ´1+a2´(n-2) ´2+an-1´1´(n-1)例2、如圖,點C、D、E是線段AB的四等分點,點F、G是線段AB的三等分點,已知AB=12cm,求CF+DF+EF的長。答案:8例3、將直線上的每一點都染上紅、黃色中的一種,求證:必存在同顏色的三個點,使其中一點是另兩點連線段的中點。提示:用構(gòu)造法。并且用5個點來保證滿足條件的點。反證法:
2、假設(shè)不存在三個同種顏色點,使得其中一個是兩點所構(gòu)成線段的中點.已知直線上有無數(shù)個點,染成紅黃兩色:必存在同色的兩點(其實是無數(shù)個點,這里只需取兩點),不妨設(shè)這兩點都是紅點,分別為A,B,距離為l.現(xiàn)在將線段A,B分別向兩邊外延l,得端點C,D,并使A為BC中點,B為AD中點.這樣一來,由假設(shè)知:C,D不能為紅點,所以C,D都是黃點.再取AB的中點O,由假設(shè),O不能為紅點,必為黃點.須知O同時也是線段CD的中點,于是C,O,D構(gòu)成同色三點,且O為CD中點.這與假設(shè)矛盾.所以假設(shè)不成立.例4、在一條直線上已知四個不同的點依次是A、B、C、D,請在直線上找出一點P,使PA+PB+PC+PD最小。(線
3、段BC上)例5、直線上分布著2002個點,我們來標出以這些點為端點的一切可能的線段的中點。試求至少可以得出多少個互不重合的中點。提示:用歸納法。一般地,若直線上分布著n個點,結(jié)論為2n-3。例6、點A、B在直線MN的同側(cè),請在MN上求一點P,使PA+PB為最小。例7、在直線MN的同側(cè)有兩點A、B,且AB的連線與MN不平行。請在MN上求一點P,使|PA-PB|為最大。提示:連接AB交MN于P,則P為所求。例8、在DABC中,D是邊AB上任意一點,如圖,求證:AB+ACDB+DC。例9、P是DABC內(nèi)一點,求證(1)AB+ACPB+PC (2)AB+BC+CAPA+PB+PC(3)1答:延長BP與
4、AC邊相交于點D,由三角形兩邊之和大于第三邊得AB+AD>BD,PD+DC>PC,故AB+AD+PD+DC>BD+PC=PB+PD+PC,AB+AD+DC>PB+PC,即AB+AC>PB+PC,同理可證,AB+BC>PA+PC,BC+CA>PB+PA將上面3式相加得2AB+2AC+2AC>2PA+2PB+2PC,AB+AC+AC>PA+PB+PC.再由三角形兩邊之和大于第三邊得 PA+PB>AB ,PB+PC>BC ,PC+PA>CA 將上面3個式子相加得2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA PA+PB+PC&g
5、t;1/2(AB+BC+AC)例10、已知P、Q是DABC內(nèi)兩點,求證:AB+ACBP+PQ提示:延長BP、CQ相交于D,則AB+ACDB+DC=BP+(PD+DQ)+QCBP+PQ+QC角例1、如圖,已知OE平分AOB,OD平分BOC,AOB為直角,EOD=70O,求BOC的度數(shù)。 例2、如圖,已知AOD是一直線,AOC=120O,BOD=150O,OE平分BOC,求AOE的度數(shù)。例3、如圖,以O(shè)為頂點,以O(shè)A1,OA2,OAn為邊小于平角的角有多少個?若i=AiOAi+1,(i=1,2,n)求出所有角的和。答:共有角n(n-1)/2個,角度的總和為=1´(n-1)´1+
6、2´(n-2)´2+n-1´1´(n-1)。例4、上題中,若每一個角都作一條角平分線,問至少可得出多少條互不重合的有平分線?答:2n-3條。例5、過點O任意作14條射線,求證:以0為頂點的角中至少有一個小于26O。例6、如圖,已知直線AB與CD相交于O,OE,OF,OG分別是AOC、BOD、AOD的平分線。求證:(1)E、O、F三點在同一直線上;(2)OGEF。 例7、如圖是一個3´3的正方形,求圖中1+2+3+9的和。(答:405O)。例8、求凸n邊形的內(nèi)角和。(n2)×180°很顯然由于多邊形中邊數(shù)最少的是三角形,多邊形
7、的邊數(shù)記為n,則n 3.所以這個文字題目可以翻譯成“凸n邊形(n 3)的內(nèi)角和等于180o(n2)”.第一步:當(dāng)n 3 時,凸n邊形就是三角形.而三角形的三個內(nèi)角和等于180o ,所以命題成立.第二步:假設(shè) n k (k3)時命題成立.也就是說假設(shè)凸k邊形時其內(nèi)角之和等于180o(n2).現(xiàn)在要證明凸k1邊形時 ,其內(nèi)角和等于180o(k1)2 .事實上,當(dāng)n k1時,這時的凸n邊形就是凸k1邊形.我們可以任選定其一個頂點,過這個頂點的兩個頂點作凸k1邊形的一條對角線.在這條對角線的兩側(cè)一邊是三角形,另一側(cè)是一個凸k邊形.則凸k1邊形的內(nèi)角之和恰好等于這個三角形的內(nèi)角之和(已知三角形內(nèi)角之和等
8、于180o)加上這個凸k邊形的內(nèi)角之和(已設(shè)凸k邊形的內(nèi)角之和為180o(k2)的總和.所以有凸k1邊形的內(nèi)角之和180o180o(n2)180o(1k2)180o(k1)2.這就證明了,當(dāng)n k1時,命題成立.所以,命題對n 3時的任意自然數(shù)成立.,一個凸n邊形,除一個內(nèi)角外,其余n-1個內(nèi)角的和為2009°,求n邊形的邊數(shù)根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得到:凸n邊形的內(nèi)角和為180°(n-2),又除一個內(nèi)角外,其余n-1個內(nèi)角的和為2009°,所以除去的內(nèi)角為180°(n-2)-2009°=180°n-360°-2009°=180°n-2369°,又0180°n-2369°180°,解得:2369°180°n2549°,解得: 2369°180° n 2549°180° ,又n為正整數(shù),所以n=14例9、在下圖中,找出BCD與ABC、BAC、ADC之間的關(guān)系。
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