DSP第4章習(xí)題解答

1、第第4章習(xí)題解答章習(xí)題解答1.如果一臺(tái)通用計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)乘 ，每次復(fù)加 ，用它來計(jì)算512點(diǎn)的 ，問直接計(jì)算需要多少時(shí)間，用 運(yùn)算需要多少時(shí)間。 5 s0.5 s DFT x nFFT解：(1)直接利用 計(jì)算： 復(fù)乘次數(shù)為 ，復(fù)加次數(shù)為 。 DFT2N1N N 復(fù)乘所需時(shí)間 626215 105 105121.31072TNs復(fù)加所需時(shí)間 6260.5 1010.5 1051251210.130816TNNs所以直接利用DFT 計(jì)算所需時(shí)間： 121.441536TTTs復(fù)乘所需時(shí)間 612625 10log25125 10log 5120.011522NTNs622620.5 10

2、log0.5 10512log 5120.002304TNNs復(fù)加所需時(shí)間 所以用 FFT 計(jì)算所需時(shí)間 120.013824TTTs(2) 利用 計(jì)算： 復(fù)乘次數(shù)為 ，復(fù)加次數(shù)為 。 FFT2log2NN2logNN2.已知 ， 是兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列 ， 的 值，今需要從 ， 求 ， 的值，為了提高運(yùn)算效率，試用一個(gè)N點(diǎn) 運(yùn)算一次完成。 X k Y k x n y nDFT X k Y k x n y nIFFT解： 由題意 X kDFT x nY kDFT y n，構(gòu)造序列 Z kX kjY k對(duì) 作一次N點(diǎn)IFFT可得序列 Z k z n又根據(jù)DFT的線性性質(zhì) IDFT X kjIDFT Y

3、 k而 ， 都是實(shí)序列 x n y n ReImx nz ny nz n ( )z nIDFT Z k ( )z nIDFT Z kIDFT X kjY k x njy nB 設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，試用一次N點(diǎn)DFT運(yùn)算來計(jì)算它們各自的DFT: 11( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk解：利用兩序列構(gòu)成一個(gè)復(fù)序列12( )( )( )w nx njxn12( ) ( )( )( )W kDFT w nDFT x njx n則12( )( )DFT x njDFT x n12( )( )X kjXkRe ( )( )epw nWkIm ( )(

4、 )opjw nWk1( )Re ( )x nw n由得11( )( )Re ( )( )epXkDFT x nDFTw nWk*1( )() ( )2NNNWkWNkRk2( )Im ( )x nw n由得221( )( )Im ( )( )opXkDFT x nDFTw nWkj*1( )() ( )2NNNWkWNkRkj3. N=16 時(shí)，畫出基 -2 按時(shí)間抽取法及按頻率抽取法的 FFT 流圖（時(shí)間抽取采用輸入倒位序，輸出自然數(shù)順序，頻率抽取采用輸入自然順序，輸出倒位序）。 解：自然序 倒位序0 0000 0000 00001 1000 80010 0100 40011 1100 1

5、20100 0010 20101 1010 100110 0110 6 10111 1110 14自然序 倒位序8 1000 0001 19 1001 1001 910 1010 0101 511 1011 1101 1312 1100 0011 313 1101 1011 1114 1110 0111 715 1111 1111 15(1) 按時(shí)間抽取的基-2FFT流圖162 , 4LNL共有L = 4級(jí)蝶形運(yùn)算，每級(jí)N / 2 = 8個(gè)蝶形運(yùn)算每個(gè)蝶形的兩節(jié)點(diǎn)距離為 ，即從第一級(jí)到第四級(jí)兩節(jié)點(diǎn)距離分別為1，2，4，8。12m-2( )2rL mNWrkkLm系數(shù)的確定：即 的二進(jìn)制左移位補(bǔ)

6、零rNW1( )mXk1( )mXj( )mXk( )mXj-1(2) 按頻率抽取的基-2FFT流圖 基本蝶形是DIT 蝶形的轉(zhuǎn)置同樣共有L = 4級(jí)蝶形運(yùn)算，每級(jí)N / 2 = 8個(gè)蝶形運(yùn)算每個(gè)蝶形的兩節(jié)點(diǎn)距離為 ，即從第一級(jí)到第四級(jí)兩節(jié)點(diǎn)距離分別為8，4，2，1。2L m12( )21rmNWrkkm系數(shù)的確定：即 的二進(jìn)制左移位補(bǔ)零rNW1( )mXk1( )mXj( )mXk( )mXj-11j若不計(jì)乘及乘的運(yùn)算量 則實(shí)際乘法次數(shù)為10次復(fù)數(shù)乘法216DFT256(-1)240NNN N直接計(jì)算需要次復(fù)數(shù)乘法 次復(fù)數(shù)加法22FFTlog322log64NNNN利用計(jì)算需要次復(fù)數(shù)乘法 次

7、復(fù)數(shù)加法9. 在下列說法中選擇正確的結(jié)論。線性調(diào)頻 z 變換 (CZT) 可以用來計(jì)算一個(gè)M點(diǎn)有限長(zhǎng)序列 在 z 平面的實(shí)軸上各 點(diǎn)的 z 變換 ，使 h n kz H z(1) ， 為實(shí)數(shù)，1。,0,1,1kkzakN(2) ， 為實(shí)數(shù)，0 。,0,1,1kzak kN(3) (1)和(2)兩者都行。(4) (1)和(2)兩者都不行。即線性調(diào)頻 z 變換不能計(jì)算 H (z) 在 z 為實(shí)數(shù)時(shí)的抽樣。 10NnkknH zh n z其中抽樣點(diǎn)須滿足：0000, 0,1,1jkkkkzAWAWekN ， ， ， 為任意實(shí)數(shù)。 0A0W00對(duì)于說法（1），只需取 ， ， ，01A 10Wa0000

8、():kkCZTzzH z解：用于計(jì)算 平面上一段螺線作等分角的抽樣點(diǎn) 上 的復(fù)頻譜10100,1,.,1CZT()kkkzazakNH z即起點(diǎn)為 ，初始相角和角度差均為 ，為螺線的伸縮率，就形成了實(shí)軸上各抽樣點(diǎn) ,。因此可以用算法來計(jì)算 所以說法(1)是正確的00(2), ,()kkkzakAWzzzH z對(duì)于說法 則無法通過選擇合適的 和，使之成為 平面上一段螺線作等分角后的一組抽樣點(diǎn)。因此不能用CZT算法來計(jì)算各 點(diǎn)的 變換。13. 我們希望利用一個(gè)單位抽樣響應(yīng)點(diǎn)數(shù)N = 50 的有限沖激響應(yīng)濾波器來過濾一串很長(zhǎng)的數(shù)據(jù)。要求利用重疊保留法通過快速傅里葉變換來實(shí)現(xiàn)這種濾波器，為了做到這一

9、點(diǎn)，則：（1）輸入各段必須重疊P個(gè)抽樣點(diǎn)；（2）我們必須從每一段產(chǎn)生的輸出中取出Q個(gè)抽樣點(diǎn)，使這些從每一段得到的抽樣連接在一起時(shí)，得到的序列就是所要求的濾波輸出。假設(shè)輸入的各段長(zhǎng)度為100個(gè)抽樣點(diǎn)，而離散傅里葉變換的長(zhǎng)度為128點(diǎn)。進(jìn)一步假設(shè)，圓周卷積的輸出序列標(biāo)號(hào)是從 n = 0到 n = 127，則（a）求P； （b）求Q； （c）求取出來的Q個(gè)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)的標(biāo)號(hào)，即確定從圓周卷積的128點(diǎn)中要取出哪些點(diǎn)，去和前一段的點(diǎn)銜接起來。解：（a）由于用重疊保留法，如果沖激響應(yīng) h n的點(diǎn)數(shù)為N點(diǎn)，則圓周卷積結(jié)果的前面的 1N 個(gè)點(diǎn)不代表線性卷積結(jié)果，故每段重疊點(diǎn)數(shù)P為 150 149PN （b）每段點(diǎn)數(shù)為 72128，但其中只有100個(gè)點(diǎn)是有效輸入數(shù)據(jù)，其余28個(gè)點(diǎn)為補(bǔ)充的零值點(diǎn)