示范教案43簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用

1、4.3 簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用整體設(shè)計教學(xué)分析本節(jié)內(nèi)容在教材中有著重要的地位與作用.線性規(guī)劃是利用數(shù)學(xué)為工具,來研究一定的人、財、物、時、空等資源在一定條件下,如何精打細(xì)算巧安排,用最少的資源,取得最大的經(jīng)濟(jì)效益.它是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個分支,并能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實際問題.中學(xué)所學(xué)的線性規(guī)劃只是規(guī)劃論中的極小一部分,但這部分內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性,同時也滲透了化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,為學(xué)生今后解決實際問題提供了一種重要的解題方法數(shù)學(xué)建模法.通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí),可使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在解決實際問題中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、

2、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和解決實際問題的能力.把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答是本節(jié)的重點也是難點.對許多學(xué)生來說,解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見的困難是不會將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,即不會建模.所以把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點.對學(xué)生而言,解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類:不能正確理解題意,弄不清各元素之間的關(guān)系;不能分清問題的主次關(guān)系,因而抓不住問題的本質(zhì),無法建立數(shù)學(xué)模型;孤立地考慮單個的問題情境,不能多方聯(lián)想,形成正遷移.針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素,將本節(jié)設(shè)計為計算機(jī)輔助教學(xué),充分利用現(xiàn)代化教學(xué)工具,從而將實際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前,以利于理解.實際教學(xué)中注意的問題是:

3、用圖解法解決線性規(guī)劃問題時,分析題目的已知條件,找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵.可先將題目中的量分類、列出表格,理清頭緒,然后列出不等式組(方程組)尋求約束條件,并就題目所述找到目標(biāo)函數(shù).另外若實際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解,而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解,則應(yīng)作適當(dāng)調(diào)整,其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù),在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點,不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找.如果可行域中的整點數(shù)目很少,采用逐個試驗法也是很有效的辦法.教學(xué)上可適當(dāng)采用多媒體和投影儀等輔助教學(xué),以增加課堂容量,增強(qiáng)直觀性,進(jìn)而提高課堂效率.三維目標(biāo)1.通過本節(jié)學(xué)習(xí),進(jìn)一步了解線性規(guī)劃的意義以及線

4、性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域及最優(yōu)解等基本概念,了解線性規(guī)劃的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡單的實際問題.2.通過本節(jié)學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖能力,滲透化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生建模能力和解決實際問題的能力.3.結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識,激勵學(xué)生勇于創(chuàng)新.重點難點教學(xué)重點:線性規(guī)劃在實際生活中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.教學(xué)難點:把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即數(shù)學(xué)建模是本節(jié)的教學(xué)難點.課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)入)上節(jié)課我們探究了用線性規(guī)劃解決求函數(shù)最值問題,這節(jié)課我們進(jìn)一步探究有關(guān)線性規(guī)劃的有關(guān)問題,看看用線性規(guī)劃能解決哪些

5、實際問題.教師出示多媒體課件,提出問題,由此引入新課.思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)生產(chǎn)實際中有許多問題都可歸結(jié)為線性規(guī)劃問題,其中有兩類重要實際問題:一是給定數(shù)量的人力、物力資源,問怎樣運用這些資源能使完成的任務(wù)量最大,收到的效益最大;二是給定一項任務(wù),問怎樣統(tǒng)籌安排能使完成這項任務(wù)耗費的人力、物力資源最小.推進(jìn)新課新知探究提出問題回憶我們從前解決實際問題的方法、步驟,在線性條件約束下,如何求目標(biāo)函數(shù)的最值、最優(yōu)解?前兩節(jié)我們解決了可行域中整點問題,訓(xùn)練了求可行域中最優(yōu)解問題,請思考最優(yōu)解的個數(shù)有可能為無數(shù)個嗎?活動:教師與學(xué)生一起回憶上節(jié)課利用線性規(guī)劃求函數(shù)的最值、最優(yōu)解的方法.在確定最優(yōu)解時,首先

6、要賦予因變量的幾何意義,然后利用圖形的直觀來確定最優(yōu)解;在確定最優(yōu)解時,用直線的斜率來定位.關(guān)于可行域中的整點求法,是以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù),在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點.如果可行域中的整點數(shù)目很少,采用逐個試驗法也是很有效的辦法.下面我們來探究最優(yōu)解問題以及線性規(guī)劃在實際生活中的應(yīng)用,體會利用線性規(guī)劃的方法解決實際問題的過程.討論結(jié)果:略.應(yīng)用示例例1 醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐.甲種原料每10 g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì),售價3元;乙種原料每10 g含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì),售價2元.若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì).試問:應(yīng)如何使

7、用甲、乙原料,才能既滿足營養(yǎng),又使費用最省?活動:本例中各種數(shù)據(jù)較多,這也是線性規(guī)劃模型的特點,教師引導(dǎo)學(xué)生用表格的形式將各種數(shù)據(jù)分類,則問題就變得一目了然,思路清晰了,如下表:原料/10 g蛋白質(zhì)/單位鐵質(zhì)/單位甲510乙74費用32設(shè)甲、乙兩種原料分別用10x g和10y g,則需要的費用為z=3x+2y;病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì),可表示為5x+7y35;同理,對鐵質(zhì)的要求可以表示為10x+4y40,這樣,問題成為在約束條件下,求目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最小值.解:設(shè)甲、乙兩種原料分別用10x g和10y g,總費用為z,那么目標(biāo)函數(shù)為z=3x+2y,作出可行域如圖1.圖1把z=3x

8、+2y變形為y=-x+,得到斜率為-.在y軸上的截距為,隨z變化的一組平行直線.由圖可知,當(dāng)直線y=-x+經(jīng)過可行域上的點A時,截距最小,即z最小.由,得A(,3),zmin=3×+2×3=14.4.答:甲種原料使用×10=28(g),乙種原料使用3×10=30(g)時,費用最省.點評:解決此問題的關(guān)鍵是將問題的文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言,此題通過表格將數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,使問題難度大大降低,要通過本例讓學(xué)生形成這一思維習(xí)慣.例3 某工廠,若生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為10 000元，若生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為5 000元，那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各

9、多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？解:設(shè)生產(chǎn)x車皮甲種肥料，y車皮乙種肥料，能夠產(chǎn)生的利潤z萬元.目標(biāo)函數(shù)z=x+0.5y,可行域如圖2.圖2把z=x+0.5y變形為y=-2x+2z,得到斜率為-2，在y軸上截距為2z,隨z變化的一組平行直線.由圖可以看出，當(dāng)直線y=-2x+2z經(jīng)過可行域上的點M時，截距2z最大，即z最大.解方程組得點M(2,2),因此當(dāng)x=2,y=2時，z=x+0.5y取最大值，最大值為3.由此可見，生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各2車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤，最大利潤為3萬元.變式訓(xùn)練(2007山東卷)某公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告,廣告總費用不超過9

10、萬元.甲、乙電視臺的收費標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大?最大收益是多少萬元？活動:這是高考中繼江蘇卷線性規(guī)劃大題后第二個線性規(guī)劃大題,教師引導(dǎo)學(xué)生按前面的方法列出表格,則各量之間的關(guān)系即一目了然.本題難度不大,可由學(xué)生自己解決.列表如下:甲乙合計時間x分鐘y分鐘300收費500元/分鐘200元/分鐘9萬元解:設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元.由題意得目標(biāo)函數(shù)為z=3 000x+2 00

11、0y.二元一次不等式組等價于圖3作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖4.圖4作直線l:3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0.平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過M點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.聯(lián)立解得x=100,y=200.點M的坐標(biāo)為(100，200).zmax=3 000x+2 000y=700 000(元).答:該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元.例3 某家具廠有方木料90 m3,五合板600 m2,準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2;生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0

12、.2 m3、五合板1 m2.出售一張書桌可獲利潤80元,出售一個書櫥可獲利潤120元,如果只安排生產(chǎn)書桌,可獲利潤多少?如果只安排生產(chǎn)書櫥,可獲利潤多少?怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大?活動:教師引導(dǎo)學(xué)生建立目標(biāo)函數(shù),根據(jù)已知條件列出不等式組找出可行域.解:(1)設(shè)只生產(chǎn)書桌x張,可獲得利潤z元,則當(dāng)x=300時,zmax=80×300=24 000(元),即如果只安排生產(chǎn)書桌,最多可生產(chǎn)300張書桌,獲得利潤24 000元.(2)設(shè)只生產(chǎn)書櫥y張,可獲利潤z元,則當(dāng)y=450時,zmax=120×450=54 000(元),即如果只安排生產(chǎn)書櫥,最多可生產(chǎn)450個,獲得利潤

13、54 000元. (3)設(shè)生產(chǎn)書桌x張,書櫥y個,利潤總額為z元.則x+2y900,2x+y600,x0,y0,z=80x+120y,可行域如圖4.由圖4可知:當(dāng)直線y=-x+經(jīng)過可行域上的點M時,截距最大,即z最大,解方程組得M的坐標(biāo)為(100,400).zmax=80x+120y=80×100+120×400=56 000(元).因此,生產(chǎn)書桌100張、書櫥400個,可使所得利潤最大,最大利潤為56 000元.例4 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品,其成本為27 元/kg,售價為50元/kg.生產(chǎn)中,每千克產(chǎn)品產(chǎn)生0.3 m3的污水,污水有兩種排放方式:方式一:直接排入河流.方式二:經(jīng)

14、廠內(nèi)污水處理站處理后排入河流,但受污水處理站技術(shù)水平的限制,污水處理率只有85%.污水處理站最大處理能力是0.9 m3/h,處理污水的成本是5元/m3.另外,環(huán)保部門對排入河流的污水收費標(biāo)準(zhǔn)是17.6元/m3,且允許該廠排入河流中污水的最大量是0.225 m3/h.那么,該廠應(yīng)選擇怎樣的生產(chǎn)與排污方案,可使其每時凈收益最大?活動:為了解決問題,首先,要搞清楚是什么因素決定凈收益.凈收益=售出產(chǎn)品的收入-生產(chǎn)費用,其中生產(chǎn)費用包括生產(chǎn)成本、污水處理費、排污費等.設(shè)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)量為x kg/h,直接排入河流的污水為y m3/h,每小時凈收益為z元,則(1)售出產(chǎn)品的收入為50x元/m3;(2)產(chǎn)品

15、成本為27x元/m3;(3)污水產(chǎn)生量為0.3x m3/h,污水處理量為(0.3x-y) m3/h,污水處理費為5(0.3x-y) 元/m3;(4)污水未處理率為1-0.85=0.15,所以污水處理廠處理后的污水排放量為0.15(0.3x-y) m3/h,環(huán)保部門要征收的排污費為17.60.15(0.3x-y)+y元/m3;(5)z=50x-27x-5(0.3x-y)-17.60.15(0.3x-y)+y=20.708x-9.96y.需要考慮的約束條件是(1)污水處理能力是有限的,即00.3x-y0.9;(2)允許排入河流的污水量也是有限的,即y+(1-0.85)(0.3x-y)0.225.解

16、:根據(jù)題意,本問題可歸納為:在約束條件下,求目標(biāo)函數(shù)z=20.708x-9.96y的最大值.作出可行域,如圖5,令z=0作直線l0:20.708x-9.96y=0,由圖形可以看出,平移直線l0,在可行域中的頂點A處,z取得最大值.圖5解方程組得A(3.3,0.09).故該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品3.3 kg/h，直接排入河流的污水為0.09 m3/h時，可使每小時凈收益最大，最大值為20.708×3.3-9.96×0.9=67.44(元).答:該廠應(yīng)安排生產(chǎn)該產(chǎn)品3.3 kg/h,直接排入河流的污水為0.09 m3/h時,其每小時凈收益最大.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).課堂小結(jié)1.我們用線性規(guī)劃解決了哪兩類實際問題？2.教師點撥學(xué)生:你能用精練的幾個字來說明利用線性規(guī)劃解決實際問題的方法與步驟嗎？在教師引導(dǎo)下讓學(xué)生總結(jié)歸納出:(1)找:找出實際問題中的約束條件及目標(biāo)函數(shù);(2)畫:畫出線性約束條件所表示的可行域;(3)移:在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中,利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線;(4)求:通過解方程組求出最優(yōu)解;(5)答:作出答案,即可用5個字來概括:找、畫、移、求、答.作業(yè)1.課本習(xí)題3-4 B組2、3.2.閱讀本章小結(jié)建議.設(shè)計感想1.本教案設(shè)計注重學(xué)生的操