第3章 導(dǎo)數(shù)與微分

1、第一講 導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)內(nèi)容1. 導(dǎo)數(shù)的物理與幾何模型;2. 導(dǎo)數(shù)的定義;3. 求導(dǎo)舉例; 4. 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系.教學(xué)目的與要求1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念及它的幾何意義、物理意義;2. 能用導(dǎo)數(shù)的定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù);3. 理解可導(dǎo)與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系;4. 會(huì)用左、右導(dǎo)數(shù)的概念判斷分?jǐn)嗪瘮?shù)的連續(xù)和可導(dǎo)性.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念及它的幾何意義、物理意義; 用左、右導(dǎo)數(shù)的概念判斷分?jǐn)嗪瘮?shù)的連續(xù)和可導(dǎo)性.教學(xué)時(shí)數(shù) 42.1 導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)的物理與幾何模型1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上作非勻速運(yùn)動(dòng), 時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為s,s是t的函數(shù):s=f(t),求動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度.考慮

2、比值, 這個(gè)比值可認(rèn)為是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔t-t0內(nèi)的平均速度. 如果時(shí)間間隔選較短, 這個(gè)比值在實(shí)踐中也可用來(lái)說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度. 但這樣做是不精確的, 更確地應(yīng)當(dāng)這樣: 令t -t00,取比值的極限, 如果這個(gè)極限存在, 設(shè)為v, 即,這時(shí)就把這個(gè)極限值v稱為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t 0的速度.2. 平面曲線的切線的斜率設(shè)有曲線C及C上的一點(diǎn)M, 在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N, 作割線MN. 當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí), 如果割線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT, 直線就稱為曲線有點(diǎn)處的切線.設(shè)曲線C就是函數(shù)y=f(x)的圖形. 現(xiàn)在要確定曲線在點(diǎn)M(x0, y0)(y0=f(x0)處的切線, 只要定出切線的斜率

3、就行了. 為此, 在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N(x, y),于是割線MN的斜率為,其中j為割線MN的傾角. 當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí),xx0.如果當(dāng)xx 0時(shí), 上式的極限存在, 設(shè)為k, 即存在, 則此極限k 是割線斜率的極限, 也就是切線的斜率. 這里k=tana, 其中a是切線MT的傾角. 于是, 通過(guò)點(diǎn)M(x0, f(x0)且以k 為斜率的直線MT便是曲線C在點(diǎn)M處的切線.二、導(dǎo)數(shù)的定義1. 函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)定義 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量(點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi))時(shí)；相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比當(dāng)時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，即 . 也可記為

4、 , 或 也稱函數(shù)增量與自變量增量之比是函數(shù)在以及為端點(diǎn)的區(qū)間上的平均變化率，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點(diǎn)處的變化率，即瞬時(shí)變化率2. 函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)將處導(dǎo)數(shù)定義中的換成，如果與之比當(dāng)時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，即 .顯然，當(dāng) 在某區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，是的函數(shù). 因此稱之為導(dǎo)函數(shù). 導(dǎo)函數(shù)的記號(hào)還有, 或 3.處導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值即 .通常，導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)例題1 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).4.不可導(dǎo)的情形由可導(dǎo)定義，如果的極限不存在，即有下述情況之一，稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)（1）=； （2）無(wú)穩(wěn)定的變化趨勢(shì).例題2（1）求函數(shù)

5、在處的導(dǎo)數(shù).（2）求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).5. 導(dǎo)數(shù)定義的不同形式=的具體形式有以下情況，需要學(xué)生靈活運(yùn)用.（1）=； （2）=； （3）=； （4）=（5）=.例題3（1）已知存在，求. （2）已知，在處連續(xù)，求.（3） 計(jì)算極限.三、求導(dǎo)舉例例1求函數(shù)f(x)=C（C為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù).解:.即 (C ) =0.例2. 求的導(dǎo)數(shù). 解: .例3. 求的導(dǎo)數(shù).解:.例4求函數(shù)f(x)=xn(n為正整數(shù))在x=a處的導(dǎo)數(shù).解:f(a)(xn-1+axn-2+ +an-1)=nan-1.把以上結(jié)果中的a換成x得f(x)=nxn-1,即 (xn)=nxn-1.(C)=0,.更一般地, 有(xm)=mxm-1

6、,其中m為常數(shù).例5求函數(shù)f(x)=sin x的導(dǎo)數(shù).解:f(x) .即 (sin x)=cosx.用類似的方法, 可求得 (cos x )=-sinx.例6求函數(shù)f(x)= a x(a0,a1) 的導(dǎo)數(shù).解:f(x).特別地有(ex)=ex.例7求函數(shù)f(x)=logax (a0,a1) 的導(dǎo)數(shù).解: .即 .:特殊地., .四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系1.單側(cè)導(dǎo)數(shù)根據(jù)極限存在的充要條件，函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，當(dāng)且僅當(dāng)與同時(shí)存在且相等這兩個(gè)極限值分別稱為在點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)（統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)）分別記為，2. 可導(dǎo)的充要條件=例題4 （1）設(shè) 討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性（2） 設(shè) ，求3. 函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的

7、關(guān)系 (1).可導(dǎo)必連續(xù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，即存在，由極限與無(wú)窮小量的關(guān)系知，其中是時(shí)的無(wú)窮小量上式兩端同乘以，得由此可見(jiàn)，當(dāng)時(shí)， 即函數(shù)在點(diǎn)連續(xù) (2). 連續(xù)未必可導(dǎo)例如，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)（圖1），但由例題2（1）知，在點(diǎn)處不可導(dǎo) 同樣，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)（圖2），但由例題2（2），中，在點(diǎn)處不可導(dǎo). 由上面的討論可知，函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件，所以如果函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)必不可導(dǎo) 圖1 圖2作業(yè)：練習(xí)冊(cè)第10次第二講 求導(dǎo)法則(1)教學(xué)內(nèi)容1. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算;2. 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則;3. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則.教學(xué)目的與要求5. 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則6. 熟練掌

8、握反函數(shù)的求導(dǎo)法則;7. 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則.教學(xué)時(shí)數(shù) 32.2 求導(dǎo)法則(1)一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)都在處可導(dǎo)，則有； ；.我們現(xiàn)在只證明.證 設(shè)則= = =+=例1，求，.解=， =.例2 求的導(dǎo)數(shù).解. =.例3 求正切函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例4 求正割函數(shù)的導(dǎo)數(shù).二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則法則： 若單調(diào)、連續(xù)，在y處可導(dǎo).且則它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，單調(diào).且證 由單調(diào)性當(dāng)時(shí)，從而，又因?yàn)檫B續(xù)，當(dāng)，從而.利用以上定理可以證明：， ；， .三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則法則：設(shè)是由復(fù)合而成.若在處可導(dǎo)， 而在處可導(dǎo).則在處可導(dǎo)且證在處

9、可導(dǎo)，則有， ，其中. 可以推得用除以式有，所以=.這個(gè)法則相當(dāng)重要，稱為復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t.復(fù)合過(guò)程可推廣到多個(gè)情形.例3 求解為復(fù)合而成，所以=.例4 求解由復(fù)合而成，所以=注：在熟練掌握的基礎(chǔ)上，可不必寫出復(fù)合過(guò)程，可直接寫出結(jié)果.例5解 =.例6 解 =.例7解.例8解.例9 已知，求法1：=！.法2：. =100！例10 設(shè) 且=0，證明：=0證=，又因?yàn)?0，且，故易知=0.例11 設(shè)在上有界，求解=.作業(yè)：練習(xí)冊(cè)第11次第三講 求導(dǎo)法則(2) 高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)內(nèi)容1. 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則;2. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法;3. 高階導(dǎo)數(shù).教學(xué)目的與要求8. 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)的求導(dǎo)法則;9. 會(huì)用對(duì)

10、數(shù)求導(dǎo)法;10. 會(huì)求函數(shù)的一階二階導(dǎo)數(shù)和簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù);11. 掌握抽象函數(shù)的一階二階導(dǎo)數(shù)的求法.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)隱函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù), 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法, 簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).教學(xué)時(shí)數(shù) 32.2 求導(dǎo)法則(2)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則1. 隱函數(shù)的定義：形如的函數(shù)為顯函數(shù).而由方程或 所確定的函數(shù)為隱函數(shù)2. 隱函數(shù)求導(dǎo)法：將方程兩端對(duì)求導(dǎo)（看成的函數(shù)），然后解出例1 已知，求.解： 從而.例2 已知，求.解： 則. 將代入原方程里得 所以.例3 求的二階導(dǎo)數(shù)解：，所以， 代入有.3. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法（多用于求冪指函數(shù)與多因式函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，兩邊取對(duì)數(shù)，變顯函數(shù)為隱函數(shù)，再使用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)）例4，求

11、解：,. 所以 法2：，所以.例5解：,所以 .2.2 高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念我們知道的導(dǎo)函數(shù)仍為的函數(shù)，當(dāng)然可以繼續(xù)求導(dǎo)數(shù).稱的導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)函數(shù)，記為，或、 類似的我們可以三階、四階n階導(dǎo)數(shù)，記為=，由此可見(jiàn)高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法為反復(fù)求導(dǎo)法例1，求.解，=0.例2 證明，滿足關(guān)系.證=，=，則.二、n階求導(dǎo)公式例：求的各階導(dǎo)數(shù)解：.例：已知，求.解：= 同理可以推得例：，求.解：, 在求n階導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中.關(guān)鍵是找規(guī)律，最后歸納到一般.例：求的n階導(dǎo)數(shù) 解：，.特別地，當(dāng)時(shí)，.下面我們來(lái)導(dǎo)出和、差、積的n階導(dǎo)數(shù)公式. 1. . 2. =. 其中，有點(diǎn)特別.事實(shí)上， =此公式稱為萊布尼茨公式.

12、例：使用萊布尼茨公式計(jì)算的20階導(dǎo)數(shù)解：令，且，所以=+ =+ =.例：試從中，求出，解：= ，= =作業(yè)：練習(xí)冊(cè)第12、13次第四講 函數(shù)的微分教學(xué)內(nèi)容1. 微分的定義;2. 微分的幾何意義;3. 微分的基本公式和法則.教學(xué)目的與要求12. 理解微分的概念;13. 了解微分的幾何意義以及微分與可導(dǎo)之間的關(guān)系;14. 熟悉微分的運(yùn)算法則;15. 會(huì)用微分進(jìn)行近似計(jì)算.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)微分的概念, 微分的運(yùn)算法則.教學(xué)時(shí)數(shù) 22.4 函數(shù)的微分一、 微分的定義1.實(shí)例：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)由變到，面積改變了多少？用表示正方形的邊長(zhǎng)，A表示面積A=，當(dāng)=，=.所以 =，可見(jiàn)，當(dāng)很小的時(shí)候，.2.定義：

13、若在處的增量可表示為，其中A為不依賴于的數(shù)，則稱在處可微，稱為的微分.記為，即.3.可微與可導(dǎo)的關(guān)系： 可微可導(dǎo)證 必要性：若在處可微； 則 .充分性：若在處可導(dǎo) 在處可微由此可見(jiàn)，若在處微分. 注：是的高階無(wú)窮小例1 求在，的改變量與微分.解：記，=， ，又 所以. 為了方便起見(jiàn)，通常規(guī)定，故也有二、 微分的幾何意義 所以幾何上表示曲線在點(diǎn)處切線的增量.三、微分的基本公式和法則1.運(yùn)算法則；. 2. 一階微分形式不變性設(shè)，不論是自變量還是中間變量都有.證 若是自變量，則； 若是中間變量，則.例1，求.解法一： 則解法二：.例2 已知，求.解：= 所以四、微分用于近似計(jì)算實(shí)際中經(jīng)常會(huì)遇到一些函

14、數(shù)表達(dá)式較復(fù)雜的運(yùn)算，但是結(jié)果又并非要求十分精確,在這種情況下，可考慮使用微分來(lái)做近似的計(jì)算.條件：；比較小，容易求；公式一：；公式二：.例：求的近似值解：作函數(shù)，故，所以=.利用，很小，可證得以下的幾個(gè)公式：（1）；（2），；（3）.例 有一批半徑為1cm的球，為了提高球面光滑度要鍍上一層銅.厚度為0.01cm估計(jì)一下每只球需要多少銅.（比重8.9克/cm）解：球體積為，問(wèn)題變?yōu)楫?dāng)變到時(shí)求.因?yàn)?，所以，將?shù)據(jù)代入可以算出.所以每只球需要銅克.作業(yè)：練習(xí)冊(cè)第14次第五講 導(dǎo)數(shù)和微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用舉例教學(xué)內(nèi)容1. 常見(jiàn)的幾個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù);2. 函數(shù)的絕對(duì)變化率-邊際函數(shù);3. 函數(shù)的相對(duì)變化率-彈

15、性.教學(xué)目的與要求16. 了解常見(jiàn)的幾個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)(成本、收入、利潤(rùn)和需求函數(shù));17. 理解函數(shù)的絕對(duì)變化率-邊際函數(shù);18. 理解函數(shù)的相對(duì)變化率-彈性.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)函數(shù)的絕對(duì)變化率-邊際函數(shù), 函數(shù)的相對(duì)變化率-彈性教學(xué)時(shí)數(shù) 22.5 導(dǎo)數(shù)和微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用舉例一、常見(jiàn)的幾個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)1. 總成本函數(shù)其中: 為產(chǎn)量, 為固定成本, 為可變成本.單位成本(平均成本):2. 銷售收入函數(shù)(總收益函數(shù), 總收入函數(shù))其中: 為銷售量, 為銷售價(jià)格.3. 總利潤(rùn)函數(shù) 例1 見(jiàn)教材.4. 需求函數(shù) 例2 見(jiàn)教材.二、函數(shù)的絕對(duì)變化率-邊際函數(shù)以總成本函數(shù)為例. 當(dāng)產(chǎn)量從單位變到時(shí), 其成本的單位

16、變化率為當(dāng)產(chǎn)量為單位時(shí), 成本的變化率為處的導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的微分可知, 當(dāng)很小時(shí), 有特別地, 當(dāng)產(chǎn)量在處改變一個(gè)單位, 即, 則有經(jīng)濟(jì)學(xué)上對(duì)上述表達(dá)式的解釋是: 當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到時(shí), 再增加生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品所增加的成本, 可用成本函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)近似地表示. 由于經(jīng)濟(jì)學(xué)中把“產(chǎn)量增加一個(gè)單位時(shí), 成本的增加數(shù)定義為邊際成本”, 而導(dǎo)數(shù) 在數(shù)量上近似地表示產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本. 因此, 經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為成本函數(shù)在產(chǎn)量時(shí)的邊際成本. 一般地, 經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱某經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為該函數(shù)在的邊際函數(shù). 常常略去“近似”二字. 邊際成本函數(shù); 邊際收入函數(shù); 邊際利潤(rùn)函數(shù)； 邊際需求函數(shù). 利用邊際函數(shù)來(lái)分析經(jīng)濟(jì)量的變化, 就稱為邊際分析. 例3 見(jiàn)教材. 例4 見(jiàn)教材.