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1、第六章 常微分方程(Chap 9 Constant differential equation)教學(xué)內(nèi)容:微分方程概念,一階、二階微分方程的概念及求解方法 教學(xué)要求:理解微分方程一階概念,二階微分方程解的結(jié)構(gòu)掌握可分離變量的微分方程的解法,齊次方程及一階線性微分方程,二階常系數(shù)線性微分方程的解法會求,的解教學(xué)重點:一階線性微分方程;二階常系數(shù)齊次線性微分方程教學(xué)難點:常數(shù)變易法;高階方程求解及二階常系數(shù)齊次線性方程解的情況的討論學(xué)時分配:講授8學(xué)時,習(xí)題課2學(xué)時,共計10學(xué)時§6.1 微分方程的基本概念(Fundamental concept of differential equa
2、tion)一、兩個實例1曲線通過點(1,2)且該曲線上任意點處的切線斜率為,求該曲線的方程。解:設(shè)曲線方程為,由題意知或 又 ,則 2一汽車在公路上以10米/秒的速度行駛,司機突然發(fā)現(xiàn)汽車前方20米有一小孩在地上玩耍,司機立即剎車,已知汽車剎車后獲得加速度為-4米/秒2,問汽車能否撞傷小孩?解:設(shè),由題意得 且 兩端積分一次得 又 得 又 即 得二、微分方程的概念1微分方程:含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為微分方程。如:(代數(shù)方程)2階:方程中所含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的最高階數(shù)叫做微分方程的階。n階微分方程的一般形式 : 在一般形式中,未知函數(shù)y及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的,則此方程為線性
3、微分方程。其形式為:3常微分方程:如果一個微分方程中只含有一個自變量。(偏微分方程):含有兩個或兩個以上自變量,4解:若將一個函數(shù)代入微分方程 能使兩端相等,則稱這個函數(shù)為微分方程的解。(1)通解:含有任意常數(shù)且個數(shù)與方程階數(shù)相同的解。(2)特解:從通解中確定了任意常數(shù)的解,稱為特解。定解條件:(初始條件)5、解的幾何意義: §6.2 一階微分方程(Differential equation)一、可分離變量的微分方程(Differential equation of separated variables)1定義:若一個一階微分方程,能化成的形式則有,則此方程稱為可分離變量的微分方程
4、。2特點:一邊只含y的函數(shù)與y的微分,而另一邊只含x的函數(shù)與x的微分。3如何求解:方程兩邊同時對x,y積分得通解 4例:(1)求微分方程的通解(2)求初值問題 的特解(3)求微分方程的通解注:為了書寫簡便,在求通解的時候只要出現(xiàn),c就寫成。二、 齊次方程(Homogeneous differential equation)1定義:如果一階微分方程中的函數(shù)可寫成關(guān)于的函數(shù),即,則該方程稱為齊次方程,是連續(xù)函數(shù)。2如何求解: 令 則 于是上式方程變?yōu)椋海煞蛛x變量微分方程)3例:(1)求方程滿足初始條件的特解(2)求微分方程的通解 (3)求方程的通解三、線性方程及伯努利方程(Linear diff
5、erential equation of first order and Bernoulli equation)1、一階線性方程(Linear differential equation of first order)1定義:形如: (是x的已知連續(xù)函數(shù))的方程叫一階線性微分方程。(1)當(dāng)時,變?yōu)?一階線性齊次微分方程(2)當(dāng)時,變?yōu)?一階線性非齊次微分方程2如何求解:(1)(可分離變量微分方程)通解 (2)分析齊與非齊方程的特點得出解有相同和不同之處,引出常數(shù)變易法。解:令代入原方程化解、整理得 兩邊積分得 因此所求通解為(通解公式可直接用)分析通解結(jié)構(gòu),得出非齊通解為齊次通解與非齊特解之和
6、,以后還會用到。3例(1)求微分方程的通解(兩種方法目的讓學(xué)生熟悉常數(shù)變易法)。(2)求微分方程的通解。(3)求方程在初始條件下的特解。(4)求方程的通解。二、貝努利方程(Bernoullie quation)1定義:方程叫做伯努利方程。2如何求解:方程: 兩端同除以,得 令 則即 代入 得即 (關(guān)于z的一階線性微分方程)求出通解,并將代入即得原方程的通解。3例:(1)求方程的通解(2)求方程:的通解(3)求方程:的通解。§6.3 可微階的高階微分方程(Differential equation that can be reduced order)高階微分方程,二階及二階以上的微分方
7、程求解方法:降階化為一階微分方程,具體有三種類型:一、型的微分方程1微分方程的右端僅含有自變量x。2方法:兩邊連續(xù)積分n次,求得通解(含有n個常數(shù))3例:求微分方程的通解二、型的微分方程1方程的右端不顯含y(特點)2求解方法:令代入原方程,得(關(guān)于變量x,p的一階線性微分方程)可求通解為,即求積分得通解為:3例:(1)求微分方程的通解。(2)求方程滿足初始條件的特解(3)滿足的特解三、型的微分方程1方程右端不顯含x( 特點)2如何求解:令(與前面相區(qū)別)將其代入原方程得此方程是關(guān)于y和p的一階線性微分方程通解為分離變量得 兩邊積分得3例(1)求微分方程的通解(2)求方程滿足初始條件 的特解
8、167;6.4 二階常系數(shù)齊次線性微分方程(Homogeneous linear differential equation with second)1形如的方程叫二階常系數(shù)線性微分方程(其中均為常數(shù))(1)當(dāng)時,變?yōu)?叫二階常系數(shù)齊次線性微分方程(2)當(dāng)時,叫二階常系數(shù)非齊次線性微分方程2二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)(1)定理1 如果函數(shù)是的兩個解則也是解,(是任意常數(shù))線性相關(guān)、無關(guān)概念(簡單做一介紹)(2)定理2 如果是的兩個線性無關(guān)的特解,則就是方程的通解。3如何求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解分析方程的特點,得該方程的解的一階、二階導(dǎo)數(shù)僅差一個常數(shù)因子,結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識,可設(shè)通解為,代入原方程得(特征方程)二次方程的兩個根稱為特征根,特征根有以下三種情形:(1)當(dāng)時, 通解為(2)時,此時為一個特解,為尋求與線性關(guān)系的特解,可令代入原方程得 通解為(3)時, (化為實數(shù)根)利用歐拉公式 化復(fù)數(shù)形式為實數(shù)解形式 通解為4總結(jié)求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步
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