用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式的分類和求解方法

1、用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式重慶市綦江縣東溪中學 任德輝求數(shù)列的通項公式是近幾年高考重點考察的內(nèi)容，兩類特殊數(shù)列等差數(shù)列和等比數(shù)列可以根據(jù)公式直接求解，還有些特殊數(shù)列可用累加法、累乘法等來直接求解，但有些數(shù)列卻不能直接求解，它們往往要轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列和其他數(shù)列后再運用各自的通項公式求解，從而體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的運用，此時可用構(gòu)造法求解。所謂構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學問題中通過對條件和結(jié)論的充分剖析，有時會聯(lián)想出一些適當?shù)妮o助模型，以促成命題的轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法。下面就構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式的分類和解題方法分別進行論述。一、用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式依照構(gòu)造目標數(shù)列的不同可以分為構(gòu)造等差數(shù)列、

2、構(gòu)造等比數(shù)列和構(gòu)造其他數(shù)列。1.構(gòu)造等差數(shù)列例1、（2009湖北）已知數(shù)列的前n項和，令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式。 解：， 等式兩邊都乘以得，即，數(shù)列是以1為首項公差為1的等差數(shù)列，= 例2、數(shù)列中，若，則（ ）A B C D解： 又是首項為公差3的等差數(shù)列。 所以選A2.構(gòu)造等比數(shù)列例3、(2010上海)已知數(shù)列的前n項和為，且。證明：是等比數(shù)列并求的通項公式 證明：當時， 當時， ， 時首項為-15，公比為的等比數(shù)列。 = =+13、構(gòu)造其他數(shù)列例4、（2009全國）在數(shù)列中，設(shè)，求數(shù)列的通項公式。并求出 解：由已知得，即 ，.， 以上各式相加可得，即小結(jié)：本題構(gòu)造了一個數(shù)

3、列，雖然不是等差、等比數(shù)列但可以用累加法并用等比數(shù)列求和公式求出通項公式。本題還可以用參數(shù)法進一步構(gòu)造另一個等差或等比數(shù)列：由，得，令得再用后面例5的解法求得，進而求得和二、構(gòu)造法求數(shù)列通項公式的解題方法由題目給出目標數(shù)列與否這個標準來判斷，用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式的方法可以分為以下幾類：1、如果數(shù)列明確要證明一個與原數(shù)列有關(guān)的新數(shù)列是等差或等比數(shù)列，此時可以用拼湊法來求解。例5、設(shè)數(shù)列的前項和為成立，(1)求證： 是等比數(shù)列。(2) 求這個數(shù)列的通項公式證明：(1)當 又 又為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，(2)小結(jié)：本題在求出后的構(gòu)造過程非常巧妙，在明確題目要證明的數(shù)列是等比數(shù)列的前提下，

4、結(jié)合等比數(shù)列的概念，我們只需證明這個數(shù)列的后項與前項的比值為常數(shù)就可，所以我們只需在的左邊拼湊出數(shù)列的第n+1項，在右邊順勢就可以得出第n項。此法我們不妨就叫做拼湊法2、數(shù)列沒明確給出要構(gòu)造的目標數(shù)列，此時滿足一定條件的數(shù)列可以考慮用參數(shù)法來求解（）遞推公式為型（其中p，q均為常數(shù)，）的數(shù)列一般可以構(gòu)造出一個等比數(shù)列，解題思路為：設(shè)，由對應(yīng)項系數(shù)相等求出參數(shù)t的值，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例6、 已知數(shù)列中，求.解：，設(shè)即.即,令，則,且.是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則, 所以.例7、數(shù)列中，求解：是首項為公比為的等比數(shù)列小結(jié):若遞推公式為且為一次分式，此時的解決辦法為先兩邊取倒數(shù)

5、，分離常數(shù)后直接構(gòu)成等差數(shù)列（例題省略）（或用參數(shù)法構(gòu)造出倒數(shù)加常數(shù)成等比數(shù)列），（）遞推公式為型（其中p，q均為常數(shù)，）。（或型,其中p，q, r均為常數(shù)）的解題思路為：兩邊除以化為型?；蛑苯佑脜?shù)法（）設(shè)再求解例8、 已知數(shù)列中，,，求。解：（法一：轉(zhuǎn)化為型）在兩邊乘以得：令，則,應(yīng)用例5解法求得：所以（法二：用參數(shù)法）設(shè)，整理得。，即數(shù)列為以為首項，公比為的等比數(shù)列，=即此外還有型如，的遞推公式等，均可采用參數(shù)法解決，在此就不一一贅述。從以上幾個例題可以看出，構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式最關(guān)鍵的就是如何對條件給出的遞推公式進行正確的處理。總之，構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列來求數(shù)列的通項公式，是求通項公式的重要方法也是高考重點考查的題目。題目是千變?nèi)f化的，構(gòu)造方式也會跟著千差萬別,具體問題具體分析，通過反復(fù)推敲歸納，從而確定其形式，運