CH02拋物方程差分法CH21-24,25-28

1、第第2 2章章拋物型方程的差分方法拋物型方程的差分方法 2.1 2.1 差分格式建立的基礎(chǔ)差分格式建立的基礎(chǔ) 2.2 2.2 顯顯式式差分格式差分格式 2.3 2.3 隱式差分格式隱式差分格式 2.4 2.4 解三對(duì)角形方程的追趕法解三對(duì)角形方程的追趕法 2.5 2.5 差分格式的穩(wěn)定性和收斂性差分格式的穩(wěn)定性和收斂性 2.6 2.6 非線(xiàn)性?huà)佄镄头匠痰牟罘纸夥ㄅe例非線(xiàn)性?huà)佄镄头匠痰牟罘纸夥ㄅe例 2.7 2.7 二維拋物型方程的差分格式二維拋物型方程的差分格式 2.8 2.8 交替方向的隱式差分格式交替方向的隱式差分格式( ( ADIADI 格式格式) ) 本章，我們研究線(xiàn)性?huà)佄镄头匠痰牟罘纸?/p>

2、法，主要討論差分方程的構(gòu)造方法和有關(guān)的理論問(wèn)題以及研究方法等，重點(diǎn)在于一維線(xiàn)性?huà)佄镄头匠痰牟罘址椒?，?duì)于非線(xiàn)性以及多維拋物型方程的差分解法也進(jìn)行了研究。 其中, 為 平面上某一區(qū)域。,),( , 0),(, 0),(),(txtxctxatxxtutxcxutxbxutxaxtutx),(),(),(),(2.1)眾所周知，一維線(xiàn)性?huà)佄镄头匠痰囊话阈问綖?(2) 初邊值問(wèn)題(或稱(chēng)混合問(wèn)題) 通?？紤]的定解問(wèn)題有：(1) 初值問(wèn)題(或稱(chēng)Cauchy問(wèn)題) 在區(qū)域 上求函數(shù)，使?jié)M足Ttxtx0 ,| ),(xxxutx)()0 ,(),() 1 . 2(方程(2.2) 為給定的初始函數(shù)。)(xTt

3、ttuttuxxxutx0)(), 1 (),(), 0(10)()0 ,(),() 1 . 2(21方程(2.3)(2.4) 在區(qū)域上 ，使?jié)M足Ttxtx0 , 10| ),(),(txu邊值條件初值條件求函數(shù) 為了構(gòu)造微分方程(2.1)的有限差分逼近,首先將求解區(qū)域 用二組平行 軸和 軸的直線(xiàn)構(gòu)成的網(wǎng)格覆蓋，網(wǎng)格邊長(zhǎng)在方向 為 ，在 方向?yàn)?(如圖2.1所示)。 分別稱(chēng)為空間方向和時(shí)間方向的步長(zhǎng)，網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)。對(duì)初值問(wèn)題來(lái)說(shuō)，網(wǎng)格是xtxhx tkt kh,kTNNnnktn;, 2 , 1 , 0, 2, 1, 0mmhxm2.1 2.1 差分格式建立的基礎(chǔ)差分格式建立的基

4、礎(chǔ)在 上的結(jié)點(diǎn)稱(chēng)為邊界結(jié)點(diǎn),屬于 內(nèi)的結(jié)點(diǎn) 0t稱(chēng)為內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。對(duì)于初邊值問(wèn)題，設(shè) ，則網(wǎng)格是Ttxtx0 , 10| ),(kTNNnnktn;, 2 , 1 , 01;, 2 , 1 , 0MhMmmhxm研究導(dǎo)數(shù)的差商近似表達(dá)式。對(duì)二元函數(shù) 定義 ，且假定 具有我們需要的有界偏導(dǎo)數(shù)。),(txuu ),(nmnmtxuu),(txuu 在 上的結(jié)點(diǎn)稱(chēng)為邊界結(jié)點(diǎn)，屬于 內(nèi)的結(jié)點(diǎn)稱(chēng)為內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。1, 0, 0 xxt 差分方程就是在網(wǎng)格點(diǎn)上求出微分方程解的近似值的一種方法，因此又稱(chēng)為網(wǎng)格法。 構(gòu)造逼近微分方程的差分方程的方法。構(gòu)造逼近微分方程的差分方程的方法。由Taylor展開(kāi)，有 nmnmnm

5、nmnmxuhxuhxuhtxutxu)(! 3)(! 2)(! 1),(),(3332221nmnmnmnmnmxuhxuhxuhtxutxu)(! 3)(! 2)(! 1),(),(3332221則 在 處對(duì) 的一階偏導(dǎo)數(shù)有三個(gè)可能的近似:u),(nmtxxhuuhtxutxuxunmnmnmnmnm11),(),()(huuhtxutxuxunmnmnmnmnm11),(),()(huuhtxutxuxunmnmnmnmnm22),(),()(1111(2.5)(2.6)(2.7)向前差商向后差商中心差商 顯然，用差商近似導(dǎo)數(shù)存在誤差，令huuxuEnmnmnmnm1)(2.8)則1,2

6、2)(2mmtxnmxxxxuhEn 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的近似差商表達(dá)式，也可以通過(guò)線(xiàn)性算子作為推導(dǎo)工具得到，定義： 截?cái)嗾`差,階為)(hO)(hO用向后差商近似導(dǎo)數(shù)的截?cái)嗾`差階也為)(2hO而中心差商近似導(dǎo)數(shù)的截?cái)嗾`差階為xDx為 方向偏導(dǎo)數(shù)算子xxTnmnmxnmnmxuuTuuT111,為為 方向位移算子方向位移算子，xx)(212121nmnmnmxuuu為為 方向平均算子方向平均算子，x),2(21nmnmthxuu其中: 方向的差分算子方向的差分算子:xnmnmnmxuuu1(2.9)前差算子前差算子:,xxnmnmnmxuuu1(2. 10)后差算子后差算子:,中心差算子中心差算子: :(

7、2.11)nmnmnmxuuu2121x,nmnmxuuT2121,nmnmxuuT2121 建立差分算子和導(dǎo)數(shù)算子之間的關(guān)系，由建立差分算子和導(dǎo)數(shù)算子之間的關(guān)系，由Talyor 展開(kāi)，有展開(kāi)，有nmnmnmnmnmxuhxuhxuhuu)(! 3)(! 2)(! 13332221nmxxuDhDhI22! 2! 1為恒等算子IuhDnmx)exp(由nmxnmuTu1得)exp(xxhDT (2.12)或者xxThDln(2.13)同理有)exp(1xxhDT1lnxxThD因?yàn)镮TITxxxx,故323121)ln(xxxxxIhD(2.14)同理323121)ln(xxxxxIhD(2.

8、15)因?yàn)?2121xxxTT)21exp()21exp(xxxhDhD)21sinh(2xxhD(2.16)則54232! 523! 321)21sinh(2xxxxxarhD(2.17) 式(2.14)，(2.15)，(2.17)分別給出了偏導(dǎo)數(shù)算子關(guān)于前差、后差、中心差的級(jí)數(shù)表達(dá)式雙曲正弦3246nmxxxxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh533232)(403)(6131213121)(2.18.1)(2.18.2)(2.18.3) 利用這些關(guān)系式就可給出偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式返回又由222)ln(xxIDh222)ln(xxIDh222)21sinh(2xxarDh可得二階偏導(dǎo)數(shù)

9、的差分表達(dá)式nmxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh64233243222290112112111211)(2.19.1)(2.19.2)(2.19.3)返回返回4235nmxxxxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh753543543333)(12037)(21)(47234723)(2.20.1)(2.20.2)(2.20.3)nmxxxnmxxxnmxxxnmuuuxuh86465465444424076161726172)(2.21.1)(2.21.2)(2.21.3)對(duì)于三階、四階偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式為 從以上這些偏導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式，我們可以得到偏導(dǎo)數(shù)的各種精度的近似表達(dá)式。

10、nmnmnmxnmuuuxuh1)(且nmxnmxnmnmnmuuuuxuh3213121)()( 又由二階導(dǎo)數(shù)的前差表達(dá)式(2.19.1)，得nmxnmuxuh2222)(因此)()(1)(1hOuuhxuEnmnmnmnm 在 的前差表達(dá)式中取第一項(xiàng)，則有nmxuh)(即截?cái)嗾`差階 為。)(hO 現(xiàn)在研究構(gòu)造微分方程(2.1)的差分方程的方法，為此記微分方程(2.1)為uDDtxLtuxx),(2(2.22) L 是關(guān)于 的線(xiàn)性算子， 。包括二個(gè)相鄰時(shí)間層的網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的差分方程可以從Talor 展開(kāi)式推出2,xxDDxDx),()! 3! 2! 11 (),(333222txutktktkk

11、txu),()exp(txutk返回設(shè) ，于是) 1( ,(,1knmhuunktmhxnmnmnmutku)exp(1(2.23)如果算子L不依賴(lài)于t，即 ，則),(2xxDDxLL nmxxnmuarharhmkkLu)21sinh(2(),21sinh(2,(exp(21(2.25)21sinh(2xxarhD將式(2.17)， ,代入算子L中，即在L中用中心差分算子 代替了微分算子 ，于是有 xxD(2.24)nmnmukLu)exp(138 目前通常用于解方程(2.1)的各種差分方程，都是方程(2.25)的近似表達(dá)式。下面各節(jié)，我們將以式(2.25)為基礎(chǔ)，對(duì)簡(jiǎn)單的拋物型方程，推導(dǎo)一

12、些常用差分格式。 對(duì)于用差分方法求偏導(dǎo)數(shù)方程的數(shù)值解來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)差分方程，用之作為微分方程的近似，僅僅是第一步。本章除致力于這一研究外，特別著重討論了諸如差分格式的穩(wěn)定性、收斂性等基本問(wèn)題，它們也是本書(shū)研究的主要內(nèi)容之一。2.2 2.2 顯式差分格式顯式差分格式 現(xiàn)在，對(duì)拋物型方程(2.1)的幾種特殊情況，從方程(2.25)出發(fā)，構(gòu)造微分方程的有限差分近似。2.2.1 2.2.1 一維常系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的古典顯示格式一維常系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的古典顯示格式 首先考慮一維熱傳導(dǎo)方程22xutu(2.26)的差分近似。差分方程的構(gòu)造由 ，方程(2.24)為2xDL nmxnmukDu)exp(21nmxxu

13、DkkD2222)(211代入式(2.19.3)，得 )901121(164222xxxxhD算子之間的關(guān)系則nmxxxnmurrrrrru62421)15121(61)61(211(2.27)其中 為步長(zhǎng)比。2hkr 返回在上式中，如果僅僅保留二階中心差分，且設(shè) 為相應(yīng)差分方程解在結(jié)點(diǎn)(mh,nk) 上的值，則nmUnmxnmUrU)1 (21(2.28)代入 的表達(dá)式，則得差分方程2xnmnmnmnmrUUrrUU111)21 (2.29)xxxuTtxxutu)()0 ,(0 ,022將格式(2.29)應(yīng)用于解初值問(wèn)題(初邊值問(wèn)題)古典顯式差分格式圖2.2差分格式(2.29)也可簡(jiǎn)單地由

14、導(dǎo)數(shù)的差商近似表達(dá)式得到)(1)(1nmnmnmuuktu)2(1)(11222nmnmnmnmuuuhxu代入微分方程(2.26)，并令差分方程解為 即可。雖然在邊界結(jié)點(diǎn)上，差分方程和微分方程具有相同的初值或者初邊值條件，但是，一般而言，結(jié)點(diǎn) 上微分方程的精確解 和古典顯式差分格式(2.29)的精確解 不相等。nmU) 1,(nm1nmu1nmU111nmnmnmUuz(2.30)記 假定 具有下面推導(dǎo)中所需要的有界偏導(dǎo)數(shù)，則由 展開(kāi)，有 ),(txuTaylornmnmnmnmnmtuktuktukuu)(6)(2)(3332221nmnmnmnmnmxuhxuhxuhuu)(6)(2)(

15、3332221nmnmxuhxuh)(120)(24555444nmnmnmnmnmxuhxuhxuhuu)(6)(2)(3332221nmnmxuhxuh)(120)(24555444截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差42nmnmnmnmnmxutukuururu)()()21 (22111nmxurtuk)61(244222(2.31)則由式(2.26)，(2.29)，(2.30)，(2.31)得nmnmnmnmnmxurtukzzrzrz)61(2)()21 (44222111(2.32)從式(2.31)有nmnmnmnmnmxutukuururu)()()21 (22111nmxurtuk)61(214

16、422或nmnmnmnmnmnmxutuhuuukuu)(222211nmxurtuk)61(214422(2.33)從而，上式右邊量描寫(xiě)了古典顯式差分格式(2.29)在 點(diǎn)對(duì)微分方程的近似程度，將其定義為差分格式在點(diǎn) 的截?cái)嗾`差，記為 ，即),(nm),(nmnmRnmnmxurtukR)61(24422(2.34) 假定假定 在所考慮的區(qū)域保持有界，則古典顯在所考慮的區(qū)域保持有界，則古典顯式差分格式的截?cái)嗾`差階為式差分格式的截?cái)嗾`差階為 。4422,xutu)(2hkO442222,xutuxutu61r從式(2.33)又可見(jiàn)到，如令 ，因?yàn)楣式財(cái)嗾`差 的階可以提高，這時(shí) )(42hkOR

17、nmnmRnmxxnmUrrrU421)61(211(2.35.1)或者)(32(32)652(211121nmnmnmnmUUrrUrrU)(61 (12122nmnmUUrr(2.35.2)相應(yīng)的截?cái)嗾`差階為 。通常，格式可用圖2.3表示。 )(42hkO 為了提高截?cái)嗾`差的階，我們也可用在式(2.27)中保留四階中心差分項(xiàng)的辦法達(dá)到，這時(shí)有差分格式(2.27)m,n+1m-2,nm-1,nm,nm+1,nm+2,n圖圖2.32.3m,n+1m-1,nm,nm+1,n圖圖2.22.2返回2.2.2 2.2.2 系數(shù)依賴(lài)于系數(shù)依賴(lài)于 的一維熱傳導(dǎo)方程的顯式格式的一維熱傳導(dǎo)方程的顯式格式x0)

18、()(22xaxuxatu(2.36)這時(shí)， 。2)(xDxaL L保留右邊前二項(xiàng)，由 ，則有差分方程2221xxhD)()(21 (111nmnmmnmmnmUUxraUxaU(2.37)nmxnmuDxkau)(exp(21nmxxxuaDaDkkaD)(2112222nmxxxxuaDDaDaakkaD )2(21143222則 這一差分格式可用圖2.4表示，其中 ，這是一個(gè)顯式差分格式，其截?cái)嗾`差階為 。)(mhaa )(2hkOm,n+1m-1,nm,nm+1,n圖圖2.42.4 由方程右邊22)()()(xuxaxuxaxuxaxuDxaDxaxx)()(2xxDxaDxaL)()

19、(2nmxxnmuDaaDku)(exp(21nmxxuDaaDk)(12 進(jìn)一步，考慮熱傳導(dǎo)方程0)()(xaxuxaxtu(2.38)的差分近似。12 在上式中保留前二項(xiàng)，并且 和 分別用 和 代替，則得差分方程)(2111nmnmuuh)2(1112nmnmnmuuuhnmnmnmnmUaharUaharUraU111)21()21()21 (2.39)nmxuDnmxuD2 也可通過(guò)直接用中心差分算子 代替微分算子 的辦法獲得方程(2.38)的差分近似 xh1xDx)()(1)(121nmxmxnmnmUxahUUknmmmnmUxaxarU)()(121211hxxUxaUxarmm

20、nmmnmm21,)()(21121121(2.40)這也是一個(gè)顯式差分格式。 格式(2.39)和(2.40)的截?cái)嗾`差階都是 。易見(jiàn)，由)(2hkOaa,mhx 注：注： 均在 處計(jì)算。Deltaahxaxamm21)()(21ahxaxamm21)()(21,2xxDD代入格式(2.40)即為格式(2.39)，差分格式(2.40)的推導(dǎo)方法,即在微分方程中直接用差分算子代替 正如前面已經(jīng)指出的是推導(dǎo)差分格式的一個(gè)常用方法。),(nmtxaa 顯然，微分方程(2.36)，(2.38)中的 如果為 ，即其自變量包括空間變量和時(shí)間變量，這時(shí)差分格式(2.37)，(2.39)，(2.40)同樣是微

21、分方程的具有截?cái)嗾`差階 的差分近似，這時(shí)格式(2.37)，(2.39)中 和 ,格式(2.40)中 和 分別換成 , 。)(xa),( txa)(2hkO),(nmxtxaa)(21mxa)(21mxa),(21nmtxa),(21nmtxa2.3 2.3 隱式差分格式隱式差分格式 隱式差分格式特點(diǎn)： 1. 具有二個(gè)或二個(gè)以上結(jié)點(diǎn)處的值未知； 2. 計(jì)算工作量較大； 3. 穩(wěn)定性較好。nmxnmukDu)exp(21得 nmnmxuukD12)exp(nmnmxxuuDkkD1422)211 (由22xutu推導(dǎo)其最簡(jiǎn)單的隱式差分逼近古典隱式格式。 現(xiàn)在對(duì)熱傳導(dǎo)方程2.3.1 古典隱式格式古典

22、隱式格式1715格式用圖2.5表示，其截?cái)嗾`差階為 ，與古典顯式差分格式相同。 )(2hkO或者nmnmnmnmUrUUrrU11111)21 (2.41)nmnmxUUhk122)1 (保留二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，且以 替代 ，則得差分格式221xh2xD 我們也可通過(guò)直接用差分算子代替 的方法，即2,xxDDkuutunmnmnm11)(2111111222)(huuuxunmnmnmnm代入微分方程，得到格式(2.41)。古典隱式差分格式m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n圖圖2.5 隱式差分格式是解熱傳導(dǎo)方程(2.26)的常用的差分格式，由式(2.24)，有 NicolsonCranknm

23、nmukLukL)21exp()21exp(1NicolsonCrank2.3.2 隱式格式隱式格式由2xDL 得1222)21(21211nmxxukDkDnmxxukDkD222)21(21211(2.42)42兩邊僅保留二項(xiàng)，用 代替 ，則得差分格式221xh2xDnmxnmxUrUr)211 ()211 (212(2.43)這是一個(gè)隱式差分格式，稱(chēng)為 差分格式，截?cái)嗾`差階為 。NicolsonCrank)(22hkO)(21)1 (11111nmnmnmUUrUr)(21)1 (11nmnmnmUUrUr(2.44) 由于格式(2.44)中包括六個(gè)結(jié)點(diǎn)，故也稱(chēng)為六點(diǎn)格式(如圖2.6所示

24、)。m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n圖圖2.6m-1,nm+1,n44也可將kuutunmnmnm121)(21121111121222221)(huuuhuuuxunmnmnmnmnmnmnm代入微分方程(2.26)，得到 格式。NicolsonCrank nmxnmxukDukD)211 ()211 (212由式(2.19.3)，可令 nmxxnmxuhuD)1211 (12222則可得12222)1211 (1xxxhD 另一精度較高的六點(diǎn)差分格式，如前在式(2.42)中僅保留直到 的項(xiàng)，即有2xD13代入上式，則有如下差分格式：nmxnmxUrUr212)61(211)61

25、(211(2.45) 稱(chēng)為 差分格式。Douglas38)(42hkO截?cái)嗾`差階 2323)()(121)()(2124214422122122khOxuhxuuuhnmnmnmnmx因?yàn)?)()()(1242144212khOxuhuuknmnmnmx48 前面，我們已經(jīng)推導(dǎo)了熱傳導(dǎo)方程(2.26)的古典顯式格式。古典隱式格式及 格式等。實(shí)際上，它們都可以作為本節(jié)推導(dǎo)的加權(quán)六點(diǎn)隱式格式的特殊情形。NicolsonCrank 2.3.3 加權(quán)六點(diǎn)隱式格式加權(quán)六點(diǎn)隱式格式由nmxnmukDu)exp(2110)1exp()exp(212nmxnmxukDukD得到14222211nmxxuDkk

26、DnmxxuDkkD4222)1 (21)1 (1即用 代替 ，則得差分格式221xh2xDnmxnmxUrUr212)1 (1)1 (或者)()(1 ()21 (1111111nmnmnmnmnmUUrUUrUr10)1 (21nmUr(2.46) 這是一個(gè)六點(diǎn)差分格式(如圖2.7所示)，稱(chēng)為加權(quán)加權(quán)六點(diǎn)差分格式。400時(shí), 為古典顯式格式；1時(shí), 為古典隱式格式；21時(shí), 為 格式；NicolsonCranknmxnmxnmnmUhUhkUU2212211)1 (1加權(quán)六點(diǎn)格式亦可直接由差商代替導(dǎo)數(shù)得到 2.3.4 2.3.4 系數(shù)依賴(lài)于系數(shù)依賴(lài)于 的一維熱傳導(dǎo)方程的一個(gè)的一維熱傳導(dǎo)方程的

27、一個(gè)隱式格式的推導(dǎo)隱式格式的推導(dǎo) 由其 展開(kāi)式可得Taylor)(12644222hODhDhxxx22),(xutxatu(2.47)的差分逼近。 考慮方程)21sinh(2xxhD已知x,t11令)()(111)1(22121222122khOuukahtuaxnmnmnmxnm代入式(2.48)，則)(1)(21121122nmnmnmnmnmxuukauuh)()(111212412122khOuuahrnmnmnmx)()(121)()(2124214422122122khOxuhxuuuhnmnmnmnmx)()1(12)1(242122221khOtuaxhtuanmnm(2.4

28、8)因此 43格式(2.49.1)具有截?cái)嗾`差階 。)(24khO這是一個(gè)隱式差分格式(如圖2.8所示)。1212121)611 (21)(1nmnmxnmnmnmUraUUranmnmxUra)611 (21212(2.49.1)因此得差分方程122112122121)(1211nmxnmnmxnmUraaanmxnmnmxnmUraaa22112122121)(1211(2.49.2)可寫(xiě)成形式m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n圖圖2.8m-1,nm+1,n 前節(jié)引進(jìn)的隱式差分方程，在要求解未知函數(shù)值的時(shí)間層 上包括三個(gè)未知函數(shù)值 。因此，這些隱式差分格式僅僅適合于解如圖 中所示

29、的邊值問(wèn)題。在每一時(shí)間層，需要求解的隱式差分方程形成了一個(gè)線(xiàn)性代數(shù)方程組，它的系數(shù)矩陣是三對(duì)角形矩陣，即僅在主對(duì)角線(xiàn)及其相鄰二條對(duì)角線(xiàn)上有非零元素。方程組寫(xiě)成一般形式是kntn) 1(111111,nmnmnmUUU)( 1 . 2b2.4 解三對(duì)角形方程的追趕法解三對(duì)角形方程的追趕法m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,nm,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,nm-1,nm+1,n111213433323232221212111MMMMMdUUdUUUdUUUdUU(2.50)這一類(lèi)方程可用追趕法求解。由方程組(2.50)中的第一個(gè)方程解出 ，得1U112111dUU將此式代入方程組

30、(2.50)的第二個(gè)方程，得到232221212)(dUUgU即2322gUU令 ，則上式可寫(xiě)為111111,dg1211gUU其中122122212222,gdg完全類(lèi)似地，可以推出下面的公式22111MmgUUmmmm(2.51)其中21,111Mmgdgmmmmmmmmmmmm注意當(dāng) 時(shí), 。1m111111,dg即2112111MMMMMMMgdU1112121)(MMMMMMMdUgU 將關(guān)系式 代入式(2.50)中最后一個(gè)方程，得到2122MMMMgUU若令2112111MMMMMMMgdg則有 。11MMgU 如果 已經(jīng)算出，那么解向量 的最后一個(gè)分量 就已求得，為了求得 的所有

31、分量，只有利用方程(2.51)即可逐步求出 ,因此，整個(gè)求解過(guò)程分為兩大步： 1MgU1MUU1232,UUUUMM1222211,MMMgggg,第一步 依次確定12,11111Mmgdgdgmmmmmmm22,1111Mmmmmmm21,111MmUgUgUmmmmMM計(jì)算公式可歸結(jié)為1221,UUUUMM第二步 依相反次序確定 通常，第1步稱(chēng)為“追”的過(guò)程，第2步稱(chēng)為“趕”的過(guò)程，整個(gè)求解過(guò)程稱(chēng)為追趕法。(2)0; 1, 2 , 1011MmmmMm定義(3)0; 1, 2 , 111MmmmMm定義則上述追趕法過(guò)程是穩(wěn)定的。1, 3 , 20Mmm1, 2 , 10Mmm2, 2 ,

32、10Mmm(1)可以論證，如果例例 2.22.2 說(shuō)明用 方法數(shù)值解如下定解問(wèn)題的過(guò)程： NicolsonCrankTtttuttuxxuTtxxutut0)(), 1 (),(), 0(10)(|0 ; 1021022 由前已知 格式為NicolsonCrank)(21)1 ()(21)1 (1111111nmnmnmnmnmnmUUrUrUUrUr 如果選擇 ，則 ，要解的方程組寫(xiě)成矩陣形式是81h8M171615141312111212112121121211212112121121211nnnnnnnUUUUUUUrrrrrrrrrrrrrrrrrrr18810076543212121

33、0000021211212112121121211212112121121211nnnnnnnnnnnrUrUrUrUUUUUUUUrrrrrrrrrrrrrrrrrrrkTNNn; 1, 2 , 1 , 0(2.52)相應(yīng)于上述定解問(wèn)題的差分方程組為011, 1 , 0UNneUBUAnnnnn其中， 為七階方陣， 為列向量，它們的表達(dá)式從式(2.52)可知。因?yàn)樵谇蟮?層 時(shí)， 已計(jì)算得， (它們?cè)?中出現(xiàn))由邊值條件已知，故方程組右邊已知，且nnBA ,nnneUU,1) 1( n1nmUnnnUUU721,181080,nnnnUUUUne7 , 3 , 2021mrm7 , 2 ,

34、101mrm021rm又111mmmr7 , 11mrmmm,1g因此可用追趕法求解方程組(2.52)，由方程組右邊值及 可求出 ，然后順次，可求出 。mmm,717,g111617,nnnUUU計(jì)算結(jié)果。以及并以問(wèn)題方法數(shù)值解下面的定解用例略解三對(duì)角方程組追趕法解三對(duì)角方程組追趕法20)()(),1 ()(0)(), 1 (),(), 0(10)(|0 ; 102 . 2. 2)(. 14 . 22121022TttxxxTtttuttuxxuTtxxutuNCt形式如下：維列向量。它們的具體為的矩陣，為其中，要解的方程組可寫(xiě)成對(duì)于確定的則比如格式為解：已知) 1(,) 1() 1(,)()255, 1 , 0(,255, 1 , 0;)7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 (),(, 5 . 0/,128/1256/2, 8/1, 7 ,