誤差理論與數(shù)據(jù)處理教程

1、緒 論一、物理實(shí)驗(yàn)課程的地位1、科學(xué)實(shí)驗(yàn)是人們根據(jù)研究的目的，運(yùn)用科學(xué)儀器，人為地控制、創(chuàng)造或純化某種自然過(guò)程，使之按預(yù)期的進(jìn)程發(fā)展，同時(shí)在盡可能減少干擾的情況下進(jìn)行定性的或定量的觀測(cè)，以探求該自然過(guò)程變化規(guī)律的一種科學(xué)活動(dòng)。科學(xué)實(shí)驗(yàn)是整個(gè)自然科學(xué)的基礎(chǔ)。2、實(shí)驗(yàn)和理論是物理學(xué)的兩大支柱，實(shí)驗(yàn)理論再實(shí)驗(yàn)的模式是物理學(xué)發(fā)展所遵循的基本規(guī)律。物理規(guī)律的研究都以嚴(yán)格的實(shí)驗(yàn)事實(shí)為基礎(chǔ)，并且不斷受到實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)。3、物理實(shí)驗(yàn)的作用：發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，探索新規(guī)律；檢驗(yàn)理論，判定理論的適用范圍；測(cè)定常數(shù)；推廣應(yīng)用，開(kāi)拓新領(lǐng)域。實(shí)驗(yàn)是科學(xué)理論的源泉，是工程技術(shù)的源泉。3、地位：大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)是對(duì)高等學(xué)校學(xué)生進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)

2、基本訓(xùn)練的一門(mén)獨(dú)立的必修基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)課程，是教育部確定的六門(mén)主要基礎(chǔ)課程之一，是學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后受到系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)技能訓(xùn)練的開(kāi)端，是后續(xù)實(shí)驗(yàn)課程的基礎(chǔ)，它在培養(yǎng)學(xué)生用實(shí)驗(yàn)手段去發(fā)現(xiàn)、觀察、分析和研究問(wèn)題，最終解決問(wèn)題的能力方面，在培養(yǎng)與提高學(xué)生的科學(xué)實(shí)驗(yàn)素質(zhì)和創(chuàng)新能力方面將起重要的作用。二、物理實(shí)驗(yàn)課程的目的和任務(wù)通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察、分析和對(duì)物理量的測(cè)量，學(xué)習(xí)物理實(shí)驗(yàn)知識(shí)，加深對(duì)物理學(xué)原理的理解，提高對(duì)科學(xué)實(shí)驗(yàn)重要性的認(rèn)識(shí)。培養(yǎng)與提高學(xué)生的科學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?。其中包括：能夠通過(guò)閱讀實(shí)驗(yàn)教材或資料，作好實(shí)驗(yàn)前的準(zhǔn)備；能夠借助教材或儀器說(shuō)明書(shū)正確使用常用儀器；能夠運(yùn)用物理學(xué)理論對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行初步的分析判

3、斷；能夠正確記錄和處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，繪制實(shí)驗(yàn)曲線，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)結(jié)果，撰寫(xiě)合格的實(shí)驗(yàn)報(bào)告；能夠完成簡(jiǎn)單的具有設(shè)計(jì)性內(nèi)容的實(shí)驗(yàn)。培養(yǎng)與提高學(xué)生的科學(xué)實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)，要求學(xué)生具有理論聯(lián)系實(shí)際和實(shí)事求是的科學(xué)作風(fēng)，嚴(yán)肅認(rèn)真的工作態(tài)度，主動(dòng)研究的探索精神，遵守紀(jì)律、團(tuán)結(jié)協(xié)作和愛(ài)護(hù)公共財(cái)產(chǎn)的優(yōu)良品德。三、物理實(shí)驗(yàn)課程的三個(gè)主要教學(xué)環(huán)節(jié)1.實(shí)驗(yàn)預(yù)習(xí)實(shí)驗(yàn)?zāi)芊袢〉弥鲃?dòng)的關(guān)鍵明確實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，預(yù)習(xí)實(shí)驗(yàn)原理，了解實(shí)驗(yàn)注意事項(xiàng)。預(yù)習(xí)報(bào)告是實(shí)驗(yàn)工作的前期準(zhǔn)備，是寫(xiě)給自己參考用的，故要求簡(jiǎn)單明了。實(shí)驗(yàn)前應(yīng)清楚本次實(shí)驗(yàn)應(yīng)達(dá)到什么目的，通過(guò)什么實(shí)驗(yàn)方法和測(cè)量哪些數(shù)據(jù)才能實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的目的。預(yù)習(xí)報(bào)告內(nèi)容：實(shí)驗(yàn)名稱；原理簡(jiǎn)圖（電路圖或光路圖）；列出記

4、錄數(shù)據(jù)表格（分清已知量、指定量、待測(cè)量和單位）。未完成預(yù)習(xí)和預(yù)習(xí)報(bào)告者，教師有權(quán)停止其實(shí)驗(yàn)或成績(jī)降檔！2.實(shí)驗(yàn)操作遵守實(shí)驗(yàn)室規(guī)則；了解實(shí)驗(yàn)儀器的使用及注意事項(xiàng)；正式測(cè)量之前可作試驗(yàn)性探索操作；仔細(xì)觀察和認(rèn)真分析實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象；如實(shí)記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和現(xiàn)象(用鋼筆或圓珠筆記錄數(shù)據(jù)，原始數(shù)據(jù)不得改動(dòng)?。簧蠙C(jī)處理核驗(yàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；整理儀器，清掃實(shí)驗(yàn)室。進(jìn)實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)者序號(hào)必須與儀器組號(hào)一一對(duì)應(yīng)！離開(kāi)實(shí)驗(yàn)室前，數(shù)據(jù)記錄須經(jīng)教師審閱簽名。3.實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)的簡(jiǎn)明總結(jié)實(shí)驗(yàn)報(bào)告是寫(xiě)給同行看的，所以必須充分反映自己的工作收獲和結(jié)果，反映自己的能力水平，要有自己的特色，要有條理性，并注意運(yùn)用科學(xué)術(shù)語(yǔ)，一定要有實(shí)驗(yàn)的結(jié)論

5、和對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的討論、分析或評(píng)估。實(shí)驗(yàn)原理要簡(jiǎn)明扼要，要有必要的電路圖或光路圖，要有主要的數(shù)據(jù)處理過(guò)程，一定要列出實(shí)驗(yàn)結(jié)果，尤其是利用作圖求得的一些物理量。實(shí)驗(yàn)報(bào)告內(nèi)容為：實(shí)驗(yàn)名稱；實(shí)驗(yàn)?zāi)康?；原理?jiǎn)述（原理圖、電路圖或光路圖，以及主要計(jì)算公式等）；主要實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)備；實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表格、數(shù)據(jù)處理計(jì)算主要過(guò)程、作圖及實(shí)驗(yàn)結(jié)論；實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析、誤差評(píng)估、小結(jié)和討論。實(shí)驗(yàn)報(bào)告（含預(yù)習(xí)報(bào)告）必須在下一次實(shí)驗(yàn)時(shí)交教師批閱！預(yù)習(xí)報(bào)告、數(shù)據(jù)記錄和實(shí)驗(yàn)報(bào)告均用實(shí)驗(yàn)報(bào)告紙!第一章 測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理物理實(shí)驗(yàn)的任務(wù)不僅是定性地觀察各種自然現(xiàn)象，更重要的是定量地測(cè)量相關(guān)物理量。而對(duì)事物定量地描述又離不開(kāi)數(shù)學(xué)方法和進(jìn)行實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的

6、處理。因此，誤差分析和數(shù)據(jù)處理是物理實(shí)驗(yàn)課的基礎(chǔ)。本章將從測(cè)量及誤差的定義開(kāi)始，逐步介紹有關(guān)誤差和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的方法和基本知識(shí)。誤差理論及數(shù)據(jù)處理是一切實(shí)驗(yàn)結(jié)果中不可缺少的內(nèi)容，是不可分割的兩部分。誤差理論是一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科。隨著科學(xué)技術(shù)事業(yè)的發(fā)展，近年來(lái)誤差理論基本的概念和處理方法也有很大發(fā)展。誤差理論以數(shù)理統(tǒng)計(jì)和概率論為其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，研究誤差性質(zhì)、規(guī)律及如何消除誤差。實(shí)驗(yàn)中的誤差分析，其目的是對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果做出評(píng)定，最大限度的減小實(shí)驗(yàn)誤差，或指出減小實(shí)驗(yàn)誤差的方向，提高測(cè)量質(zhì)量，提高測(cè)量結(jié)果的可信賴程度。對(duì)低年級(jí)大學(xué)生，這部分內(nèi)容難度較大，本課程盡限于介紹誤差分析的初步知識(shí)，著重點(diǎn)放在幾個(gè)重要概念

7、及最簡(jiǎn)單情況下的誤差處理方法，不進(jìn)行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證，減小學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，有利于學(xué)好物理實(shí)驗(yàn)這門(mén)基礎(chǔ)課程。第一節(jié)測(cè)量與誤差物理實(shí)驗(yàn)不僅要定性的觀察物理現(xiàn)象，更重要的是找出有關(guān)物理量之間的定量關(guān)系。因此就需要進(jìn)行定量的測(cè)量，以取得物理量數(shù)據(jù)的表征。對(duì)物理量進(jìn)行測(cè)量，是物理實(shí)驗(yàn)中極其重要的一個(gè)組成部分。對(duì)某些物理量的大小進(jìn)行測(cè)定，實(shí)驗(yàn)上就是將此物理量與規(guī)定的作為標(biāo)準(zhǔn)單位的同類(lèi)量或可借以導(dǎo)出的異類(lèi)物理量進(jìn)行比較，得出結(jié)論，這個(gè)比較的過(guò)程就叫做測(cè)量。例如，物體的質(zhì)量可通過(guò)與規(guī)定用千克作為標(biāo)準(zhǔn)單位的標(biāo)準(zhǔn)砝碼進(jìn)行比較而得出測(cè)量結(jié)果；物體運(yùn)動(dòng)速度的測(cè)定則必須通過(guò)與二個(gè)不同的物理量，即長(zhǎng)度和時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)單位進(jìn)行比

8、較而獲得。比較的結(jié)果記錄下來(lái)就叫做實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。測(cè)量得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)應(yīng)包含測(cè)量值的大小和單位，二者是缺一不可的。國(guó)際上規(guī)定了七個(gè)物理量的單位為基本單位。其它物理量的單位則是由以上基本單位按一定的計(jì)算關(guān)系式導(dǎo)出的。因此，除基本單位之外的其余單位均稱它們?yōu)閷?dǎo)出單位。如以上提到的速度以及經(jīng)常遇到的力、電壓、電阻等物理量的單位都是導(dǎo)出單位。一個(gè)被測(cè)物理量，除了用數(shù)值和單位來(lái)表征它外，還有一個(gè)很重要的表征它的參數(shù)，這便是對(duì)測(cè)量結(jié)果可靠性的定量估計(jì)。這個(gè)重要參數(shù)卻往往容易為人們所忽視。設(shè)想如果得到一個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠性幾乎為零，那么這種測(cè)量結(jié)果還有什么價(jià)值呢？因此，從表征被測(cè)量這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，對(duì)測(cè)量結(jié)果可靠性的定

9、量估計(jì)與其數(shù)值和單位至少具有同等的重要意義，三者是缺一不可的。測(cè)量可以分為兩類(lèi)。按照測(cè)量結(jié)果獲得的方法來(lái)分，可將測(cè)量分為直接測(cè)量和間接測(cè)量?jī)深?lèi)，而從測(cè)量條件是否相同來(lái)分，又有所謂等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量。根據(jù)測(cè)量方法可分為直接測(cè)量和間接測(cè)量。直接測(cè)量就是把待測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量直接比較得出結(jié)果。如用米尺測(cè)量物體的長(zhǎng)度，用天平稱量物體的質(zhì)量，用電流表測(cè)量電流等，都是直接測(cè)量。間接測(cè)量借助函數(shù)關(guān)系由直接測(cè)量的結(jié)果計(jì)算出所謂的物理量。例如已知了路程和時(shí)間，根據(jù)速度、時(shí)間和路程之間的關(guān)系求出的速度就是間接測(cè)量。一個(gè)物理量能否直接測(cè)量不是絕對(duì)的。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，測(cè)量?jī)x器的改進(jìn)，很多原來(lái)只能間接測(cè)量的量，現(xiàn)在

10、可以直接測(cè)量了。比如電能的測(cè)量本來(lái)是間接測(cè)量，現(xiàn)在也可以用電度表來(lái)進(jìn)行直接測(cè)量。物理量的測(cè)量，大多數(shù)是間接測(cè)量，但直接測(cè)量是一切測(cè)量的基礎(chǔ)。根據(jù)測(cè)量條件來(lái)分，有等精度測(cè)量和非等精度測(cè)量。等精度測(cè)量是指在同一（相同）條件下進(jìn)行的多次測(cè)量，如同一個(gè)人，用同一臺(tái)儀器，每次測(cè)量時(shí)周?chē)h(huán)境條件相同，等精度測(cè)量每次測(cè)量的可靠程度相同。反之，若每次測(cè)量時(shí)的條件不同，或測(cè)量?jī)x器改變，或測(cè)量方法、條件改變。這樣所進(jìn)行的一系列測(cè)量叫做非等精度測(cè)量，非等精度測(cè)量的結(jié)果，其可靠程度自然也不相同。物理實(shí)驗(yàn)中大多采用等精度測(cè)量。應(yīng)該指出：重復(fù)測(cè)量必須是重復(fù)進(jìn)行測(cè)量的整個(gè)操作過(guò)程，而不是僅僅為重復(fù)讀數(shù)。測(cè)量?jī)x器是進(jìn)行測(cè)量的

11、必要工具。熟悉儀器性能。掌握儀器的使用方法及正確進(jìn)行讀數(shù)，是每個(gè)測(cè)量者必備的基礎(chǔ)知識(shí)。如下簡(jiǎn)單介紹儀器精密度、準(zhǔn)確度和量程等基本概念。儀器精密度是指儀器的最小分度相當(dāng)?shù)奈锢砹俊x器最小的分度越小，所測(cè)量物理量的位數(shù)就越多，儀器精密度就越高。對(duì)測(cè)量讀數(shù)最小一位的取值，一般來(lái)講應(yīng)在儀器最小分度范圍內(nèi)再進(jìn)行估計(jì)讀出一位數(shù)字。如具有毫米分度的米尺，其精密度為1毫米，應(yīng)該估計(jì)讀出到毫米的十分位；螺旋測(cè)微器的精密度為0.01毫米，應(yīng)該估計(jì)讀出到毫米的千分位。 儀器準(zhǔn)確度是指儀器測(cè)量讀數(shù)的可靠程度。它一般標(biāo)在儀器上或?qū)懺趦x器說(shuō)明書(shū)上。如電學(xué)儀表所標(biāo)示的級(jí)別就是該儀器的準(zhǔn)確度。對(duì)于沒(méi)有標(biāo)明準(zhǔn)確度的儀器，可粗略

12、地取儀器最小的分度數(shù)值或最小分度數(shù)值的一半，一般對(duì)連續(xù)讀數(shù)的儀器取最小分度數(shù)值的一半，對(duì)非連續(xù)讀數(shù)的儀器取最小的分度數(shù)值。在制造儀器時(shí)，其最小的分度數(shù)值是受儀器準(zhǔn)確度約束的，對(duì)不同的儀器準(zhǔn)確度是不一樣的，對(duì)測(cè)量長(zhǎng)度的常用儀器米尺、游標(biāo)卡尺和螺旋測(cè)微器它們的儀器準(zhǔn)確度依次提高。量程是指儀器所能測(cè)量的物理量最大值和最小值之差，即儀器的測(cè)量范圍（有時(shí)也將所能測(cè)量的最大值稱量程）測(cè)量過(guò)程中，超過(guò)儀器量程使用儀器是不允許的，輕則儀器準(zhǔn)確度降低，使用壽命縮短，重則損壞儀器。誤差與偏差測(cè)量的目的就是為了得到被測(cè)物理量所具有的客觀真實(shí)數(shù)據(jù)，但由于受測(cè)量方法、測(cè)量?jī)x器、測(cè)量條件以及觀測(cè)者水平等多種因素的限制，只

13、能獲得該物理量的近似值，也就是說(shuō)，一個(gè)被測(cè)量值N與真值N0之間總是存在著這種差值，這種差值稱為測(cè)量誤差，即NNN0顯然誤差N有正負(fù)之分，因?yàn)樗侵概c真值的差值，常稱為絕對(duì)誤差。注意，絕對(duì)誤差不是誤差的絕對(duì)值！誤差存在于一切測(cè)量之中，測(cè)量與誤差形影不離，分析測(cè)量過(guò)程中產(chǎn)生的誤差，將影響降低到最低程度，并對(duì)測(cè)量結(jié)果中未能消除的誤差做出估計(jì)，是實(shí)驗(yàn)中的一項(xiàng)重要工作，也是實(shí)驗(yàn)的基本技能。實(shí)驗(yàn)總是根據(jù)對(duì)測(cè)量結(jié)果誤差限度的一定要求來(lái)制定方案和選用儀器的，不要以為儀器精度越高越好。因?yàn)闇y(cè)量的誤差是各個(gè)因素所引起的誤差的總合，要以最小的代價(jià)來(lái)取得最好的結(jié)果，要合理的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，選擇儀器，確定采用這種或那種測(cè)

14、量方法。如比較法、替代法、天平復(fù)稱法等，都是為了減小測(cè)量誤差；對(duì)測(cè)量公式進(jìn)行這樣或那樣的修正，也是為了減少某些誤差的影響；在調(diào)節(jié)儀器時(shí)，如調(diào)儀器使其處于鉛直、水平狀態(tài)，要考慮到什么程度才能使它的偏離對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成的影響可以忽略不計(jì)；電表接入電路和選擇量程都要考慮到引起誤差的大小。在測(cè)量過(guò)程中某些對(duì)結(jié)果影響大的關(guān)鍵量，就要努力想辦法將它測(cè)準(zhǔn)；有的測(cè)量不太準(zhǔn)確對(duì)結(jié)果沒(méi)有什么影響，就不必花太多的時(shí)間和精力去對(duì)待，在進(jìn)行處理數(shù)據(jù)時(shí)，某個(gè)數(shù)據(jù)取到多少位，怎樣使用近似公式，作圖時(shí)坐標(biāo)比例、尺寸大小怎樣選取，如何求直線的斜率等，都要考慮到引入誤差的大小。由于客觀條件所限、人們認(rèn)識(shí)的局限性，測(cè)量不可能獲得待測(cè)

15、量的真值，只能是近似值。設(shè)某個(gè)物理量真值為x0 ，進(jìn)行n 次等精度測(cè)量，測(cè)量值分別為x1，x2， xn，（測(cè)量過(guò)程無(wú)明顯的系統(tǒng)誤差）。它們的誤差為 求和 即 當(dāng)測(cè)量次數(shù)n，可以證明0, 而且是的最佳估計(jì)值，稱為測(cè)量值的近似真實(shí)值。為了估計(jì)誤差，定義測(cè)量值與近似真實(shí)值的差值為偏差：即 。偏差又叫做“殘差”。實(shí)驗(yàn)中真值得不到，因此誤差也無(wú)法知道，而測(cè)量的偏差可以準(zhǔn)確知道，實(shí)驗(yàn)誤差分析中要經(jīng)常計(jì)算這種偏差，用偏差來(lái)描述測(cè)量結(jié)果的精確程度。相對(duì)誤差絕對(duì)誤差與真值之比的百分?jǐn)?shù)叫做相對(duì)誤差。用表示：由于真值無(wú)法知道，所以計(jì)算相對(duì)誤差時(shí)常用代替。在這種情況下，可能是公認(rèn)值，或高一級(jí)精密儀器的測(cè)量值，或測(cè)量值

16、的平均值。相對(duì)誤差用來(lái)表示測(cè)量的相對(duì)精確度，相對(duì)誤差用百分?jǐn)?shù)表示，保留兩位有效數(shù)字。系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，可分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。系統(tǒng)誤差 是指在一定條件下多次測(cè)量的結(jié)果總是向一個(gè)方向偏離，其數(shù)值一定或按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的特征是具有一定的規(guī)律性。系統(tǒng)誤差的來(lái)源具有以下幾個(gè)方面：（1）儀器誤差。它是由于儀器本身的缺陷或沒(méi)有按規(guī)定條件使用儀器而造成的誤差；（2）理論誤差。它是由于測(cè)量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或?qū)嶒?yàn)條件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求，或測(cè)量方法等所帶來(lái)的誤差；（3）觀測(cè)誤差。它是由于觀測(cè)者本人生理或心理特點(diǎn)造成的誤差。例如，用“落球法”測(cè)量重力加速

17、度，由于空氣阻力的影響，多次測(cè)量的結(jié)果總是偏小，這是測(cè)量方法不完善造成的誤差；用停表測(cè)量運(yùn)動(dòng)物體通過(guò)某一段路程所需要的時(shí)間，若停表走時(shí)太快，即使測(cè)量多次，測(cè)量的時(shí)間t總是偏大為一個(gè)固定的數(shù)值，這是儀器不準(zhǔn)確造成的誤差；在測(cè)量過(guò)程中，若環(huán)境溫度升高或降低，使測(cè)量值按一定規(guī)律變化，是由于環(huán)境因素變化引起的誤差。在任何一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)工作和具體測(cè)量中，必須要想盡一切辦法，最大限度的消除或減、小一切可能存在的系統(tǒng)誤差，或者對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差需要改變實(shí)驗(yàn)條件和實(shí)驗(yàn)方法，反復(fù)進(jìn)行對(duì)比，系統(tǒng)誤差的消除或減小是比較復(fù)雜的一個(gè)問(wèn)題，沒(méi)有固定不變的方法，要具體問(wèn)題具體分析各個(gè)擊破。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因可能不止

18、一個(gè)，一般應(yīng)找出影響的主要因素，有針對(duì)性地消除或減小系統(tǒng)誤差。以下介紹幾種常用的方法。檢定修正法：指將儀器、量具送計(jì)量部門(mén)檢驗(yàn)取得修正值，以便對(duì)某一物理量測(cè)量后進(jìn)行修正的一種方法。替代法：指測(cè)量裝置測(cè)定待測(cè)量后，在測(cè)量條件不變的情況下，用一個(gè)已知標(biāo)準(zhǔn)量替換被測(cè)量來(lái)減小系統(tǒng)誤差的一種方法。如消除天平的兩臂不等對(duì)待測(cè)量的影響可用此辦法。異號(hào)法：指對(duì)實(shí)驗(yàn)時(shí)在兩次測(cè)量中出現(xiàn)符號(hào)相反的誤差，采取平均值后消除的一種方法。例如在外界磁場(chǎng)作用下，儀表讀數(shù)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)附加誤差，若將儀表轉(zhuǎn)動(dòng)180°再進(jìn)行一次測(cè)量，外磁場(chǎng)將對(duì)讀數(shù)產(chǎn)生相反的影響，引起負(fù)的附加誤差。兩次測(cè)量結(jié)果平均，正負(fù)誤差可以抵消，從中可以

19、減小系統(tǒng)誤差。隨機(jī)誤差 在實(shí)際測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一量時(shí)，誤差的絕對(duì)值符號(hào)的變化，時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)，以不可預(yù)定方式變化著的誤差叫做隨機(jī)誤差，有時(shí)也叫偶然誤差。當(dāng)測(cè)量次數(shù)很多時(shí)，隨機(jī)誤差就顯示出明顯的規(guī)律性。實(shí)踐和理論都已證明，隨機(jī)誤差服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（正態(tài)分布），其特點(diǎn)是：絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大（單峰性）；絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同（對(duì)稱性）；絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率趨于零（有界性）；誤差的算術(shù)平均值隨著測(cè)量次數(shù)的增加而趨于零（抵償性）。因此，增加測(cè)量次數(shù)可以減小隨機(jī)誤差，但不能完全消除。引起隨機(jī)誤差的原因也很多。儀器精密度和觀察者感官靈敏度有關(guān)。

20、如儀器顯示數(shù)值的估計(jì)讀數(shù)位偏大和偏??；儀器調(diào)節(jié)平衡時(shí)，平衡點(diǎn)確定不準(zhǔn)；測(cè)量環(huán)境擾動(dòng)變化以及其他不能預(yù)測(cè)不能控制的因素，如空間電磁場(chǎng)的干擾，電源電壓波動(dòng)引起測(cè)量的變化等。由于測(cè)量者過(guò)失，如實(shí)驗(yàn)方法不合理，用錯(cuò)儀器，操作不當(dāng)，讀錯(cuò)數(shù)值或記錯(cuò)數(shù)據(jù)等引起的誤差，是一種人為的過(guò)失誤差，不屬于測(cè)量誤差，只要測(cè)量者采用嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度，過(guò)失誤差是可以避免的。實(shí)驗(yàn)中，精密度高是指隨機(jī)誤差小，而數(shù)據(jù)很集中；準(zhǔn)確度高是指系統(tǒng)誤差小，測(cè)量的平均值偏離真值小；精確度高是指測(cè)量的精密度和準(zhǔn)確度都高。數(shù)據(jù)集中而且偏離真值小，即隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差都小。測(cè)量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度測(cè)量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度都是評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的

21、術(shù)語(yǔ)，但目前使用時(shí)其涵義并不盡一致，以下介紹較為普遍采用的意見(jiàn)。測(cè)量精密度表示在同樣測(cè)量條件下，對(duì)同一物理量進(jìn)行多次測(cè)量，所得結(jié)果彼此間相互接近的程度，即測(cè)量結(jié)果的重復(fù)性、測(cè)量數(shù)據(jù)的彌散程度，因而測(cè)量精密度是測(cè)量偶然誤差的反映。測(cè)量精密度高，偶然誤差小，但系統(tǒng)誤差的大小不明確。測(cè)量準(zhǔn)確度表示測(cè)量結(jié)果與真值接近的程度，因而它是系統(tǒng)誤差的反映。測(cè)量準(zhǔn)確度高，則測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值偏離真值較小，測(cè)量的系統(tǒng)誤差小，但數(shù)據(jù)較分散，偶然誤差的大小不確定。測(cè)量精確度則是對(duì)測(cè)量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差的綜合評(píng)定。精確度高，測(cè)量數(shù)據(jù)較集中在真值附近，測(cè)量的偶然誤差及系統(tǒng)誤差都比較小。隨機(jī)誤差的估算對(duì)某一測(cè)量進(jìn)行多次

22、重復(fù)測(cè)量，其測(cè)量結(jié)果服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，也就是正態(tài)分布（或高斯分布）。我們用描述高斯分布的兩個(gè)參量（x和）來(lái)估算隨機(jī)誤差。設(shè)在一組測(cè)量值中，n 次測(cè)量的值分別為：1算術(shù)平均值根據(jù)最小二乘法原理證明，多次測(cè)量的算術(shù)平均值 （1）是待測(cè)量真值的最佳估計(jì)值。稱為近似真實(shí)值，以后我們將用來(lái)表示多次測(cè)量的近似真實(shí)值。2標(biāo)準(zhǔn)偏差誤差理論證明，平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 （貝塞爾公式） （2）其意義表示某次測(cè)量值的隨機(jī)誤差在之間的概率為68.3。算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差當(dāng)測(cè)量次數(shù)n有限，其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為 （3）其意義是測(cè)量平均值的隨機(jī)誤差在之間的概率為68.3%。或者說(shuō)，待測(cè)量的真值在范圍內(nèi)的概率為68.3。因此

23、反映了平均值接近真值的程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差 標(biāo)準(zhǔn)偏差小表示測(cè)量值密集，即測(cè)量的精密度高；標(biāo)準(zhǔn)偏差大表示測(cè)量值分散，即測(cè)量的精密度低。估計(jì)隨機(jī)誤差還有用算術(shù)平均誤差、2、3等其它方法來(lái)表示的。異常數(shù)據(jù)的剔除剔除測(cè)量列中異常數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)有幾種，有3準(zhǔn)則、肖維準(zhǔn)則、格拉布斯準(zhǔn)則等。13準(zhǔn)則統(tǒng)計(jì)理論表明，測(cè)量值的偏差超過(guò)3的概率已小于1。因此，可以認(rèn)為偏差超過(guò)3的測(cè)量值是其他因素或過(guò)失造成的，為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)當(dāng)剔除。剔除的方法是將多次測(cè)量所得的一系列數(shù)據(jù)，算出各測(cè)量值的偏差 和標(biāo)準(zhǔn)偏差，把其中最大的與3比較，若3，則認(rèn)為第j個(gè)測(cè)量值是異常數(shù)據(jù)，舍去不計(jì)。剔除后，對(duì)余下的各測(cè)量值重新計(jì)算偏差和標(biāo)準(zhǔn)偏差，并繼續(xù)審查

24、，直到各個(gè)偏差均小于3為止。2肖維準(zhǔn)則假定對(duì)一物理量重復(fù)測(cè)量了n次，其中某一數(shù)據(jù)在這n次測(cè)量中出現(xiàn)的幾率不到半次，即小于，則可以肯定這個(gè)數(shù)據(jù)的出現(xiàn)是不合理的，應(yīng)當(dāng)予以剔除。根據(jù)肖維準(zhǔn)則，應(yīng)用隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)理論可以證明，在標(biāo)準(zhǔn)誤差為的測(cè)量列中，若某一個(gè)測(cè)量值的偏差等于或大于誤差的極限值，則此值應(yīng)當(dāng)剔出。不同測(cè)量次數(shù)的誤差極限值列于下表。表1 肖維系數(shù)表nnn41.53101.96162.1651.65112.00172.1861.73122.04182.2071.79132.07192.2281.86142.10202.2491.92152.13302.39 格拉布斯（Grubbs）準(zhǔn)則若有一組

25、測(cè)量得出的數(shù)值，其中某次測(cè)量得出數(shù)值的偏差的絕對(duì)值|與該組測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差之比大于某一閾值，即|>·則認(rèn)為此測(cè)量值中有異常數(shù)據(jù)，并可予以剔除。這里中的n為測(cè)量數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。而 p為服從此分布的置信概率。一般取 p為0.95和0.99（至于在處理具體問(wèn)題時(shí)，究竟取哪個(gè)值則由實(shí)驗(yàn)者自己來(lái)決定）。我們將在表2中給出p0.95和0.99時(shí)或1p0.05和0.01時(shí)，對(duì)不同的n值所對(duì)應(yīng)的g0值。表2 值表1p n0.050.011p n0.050.0131.151.15172.482.7841.461.49182.502.8251.671.75192.532.8561.821.94202.

26、562.8871.942.10212.582.9182.032.22222.602.9492.112.32232.622.96102.182.41242.642.99112.232.48252.663.01122.282.55302.743.10132.332.61352.813.18142.372.66402.873.24152.412.70452.913.29162.442.75502.963.34第二節(jié) 測(cè)量結(jié)果的評(píng)定和不確定度測(cè)量的目的是不但要測(cè)量待測(cè)物理量的近似值，而且要對(duì)近似真實(shí)值的可靠性做出評(píng)定（即指出誤差范圍），這就要求我們還必須掌握不確定度的有關(guān)概念。下面將結(jié)合對(duì)測(cè)量結(jié)果的評(píng)

27、定對(duì)不確定度的概念、分類(lèi)、合成等問(wèn)題進(jìn)行討論。一、不確定度的含義在物理實(shí)驗(yàn)中，常常要對(duì)測(cè)量的結(jié)果做出綜合的評(píng)定，采用不確定度的概念。不確定度是“誤差可能數(shù)值的測(cè)量程度”，表征所得測(cè)量結(jié)果代表被測(cè)量的程度。也就是因測(cè)量誤差存在而對(duì)被測(cè)量不能肯定的程度，因而是測(cè)量質(zhì)量的表征，用不確定度對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)做出比較合理的評(píng)定。對(duì)一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)的具體數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，不確定度是指測(cè)量值（近真值）附近的一個(gè)范圍，測(cè)量值與真值之差（誤差）可能落于其中，不確定度小，測(cè)量結(jié)果可信賴程度高；不確定度大，測(cè)量結(jié)果可信賴程度低。在實(shí)驗(yàn)和測(cè)量工作中，不確定度一詞近似于不確知，不明確，不可靠，有質(zhì)疑，是作為估計(jì)而言的；因?yàn)檎`差是未知的，不

28、可能用指出誤差的方法去說(shuō)明可信賴程度，而只能用誤差的某種可能的數(shù)值去說(shuō)明可信賴程度，所以不確定度更能表示測(cè)量結(jié)果的性質(zhì)和測(cè)量的質(zhì)量。用不確定度評(píng)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差，其中包含了各種來(lái)源不同的誤差對(duì)結(jié)果的影響，而它們的計(jì)算又反映了這些誤差所服從的分布規(guī)律，這是更準(zhǔn)確地表述了測(cè)量結(jié)果的可靠程度，因而有必要采用不確定度的概念。二、測(cè)量結(jié)果的表示和合成不確定度在做物理實(shí)驗(yàn)時(shí)，要求表示出測(cè)量的最終結(jié)果。在這個(gè)結(jié)果中既要包含待測(cè)量的近似真實(shí)值，又要包含測(cè)量結(jié)果的不確定度，還要反映出物理量的單位。因此，要寫(xiě)成物理含意深刻的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)形式，即（單位）式中x為待測(cè)量；是測(cè)量的近似真實(shí)值,是合成不確定度，一般保留一位有

29、效數(shù)字。這種表達(dá)形式反應(yīng)了三個(gè)基本要素：測(cè)量值、合成不確定度和單位。在物理實(shí)驗(yàn)中，直接測(cè)量時(shí)若不需要對(duì)被測(cè)量進(jìn)行系統(tǒng)誤差的修正，一般就取多次測(cè)量的算術(shù)平均值作為近似真實(shí)值；若在實(shí)驗(yàn)中有時(shí)只需測(cè)一次或只能測(cè)一次，該次測(cè)量值就為被測(cè)量的近似真實(shí)值。如果要求對(duì)被測(cè)量進(jìn)行一定系統(tǒng)誤差的修正，通常是將一定系統(tǒng)誤差（即絕對(duì)值和符號(hào)都確定的可估計(jì)出的誤差分量）從算術(shù)平均值或一次測(cè)量值中減去，從而求得被修正后的直接測(cè)量結(jié)果的近似真實(shí)值。例如，用螺旋測(cè)微器來(lái)測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)，從被測(cè)量結(jié)果中減去螺旋測(cè)微器的零誤差。在間接測(cè)量中, 即為被測(cè)量的計(jì)算值。在測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式中，給出了一個(gè)范圍，它表示待測(cè)量的真值在范圍之間

30、的概率為68.3, 不要誤認(rèn)為真值一定就會(huì)落在之間。認(rèn)為誤差在之間是錯(cuò)誤的。在上述的標(biāo)準(zhǔn)式中，近似真實(shí)值、合成不確定度、單位三個(gè)要素缺一不可，否則就不能全面表達(dá)測(cè)量結(jié)果。同時(shí)，近似真實(shí)值的末尾數(shù)應(yīng)該與不確定度的所在位數(shù)對(duì)齊，近似真實(shí)值與不確定度的數(shù)量級(jí)、單位要相同。在開(kāi)始實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量結(jié)果的正確表示是一個(gè)難點(diǎn)，要引起重視，從開(kāi)始就注意糾正，培養(yǎng)良好的實(shí)驗(yàn)習(xí)慣，才能逐步克服難點(diǎn)，正確書(shū)寫(xiě)測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)形式。在不確定度的合成問(wèn)題中，主要是從系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差等方面進(jìn)行綜合考慮的，提出了統(tǒng)計(jì)不確定度和非統(tǒng)計(jì)不確定度的概念。合成不確定度是由不確定度的兩類(lèi)分量（A類(lèi)和B類(lèi)）求“方和根”計(jì)算而得。為使問(wèn)題簡(jiǎn)

31、化，本書(shū)只討論簡(jiǎn)單情況下（即A類(lèi)、B類(lèi)分量保持各自獨(dú)立變化，互不相關(guān)）的合成不確定度。A 類(lèi)不確定度（統(tǒng)計(jì)不確定度）用表示，B類(lèi)不確定度（非統(tǒng)計(jì)不確定度）用表示，合成不確定度為 三、合成不確定度的兩類(lèi)分量物理實(shí)驗(yàn)中的不確定度，一般主要來(lái)源于測(cè)量方法、測(cè)量人員、環(huán)境波動(dòng)、測(cè)量對(duì)象變化等等。計(jì)算不確定度是將可修正的系統(tǒng)誤差修正后，將各種來(lái)源的誤差按計(jì)算方法分為兩類(lèi)，即用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的不確定度（A類(lèi)）和非統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的不確定度（B類(lèi)）。A類(lèi) 統(tǒng)計(jì)不確定度，是指可以采用統(tǒng)計(jì)方法（即具有隨機(jī)誤差性質(zhì)）計(jì)算的不確定度，如測(cè)量讀數(shù)具有分散性，測(cè)量時(shí)溫度波動(dòng)影響等等。這類(lèi)統(tǒng)計(jì)不確定度通常認(rèn)為它是服從正態(tài)分布規(guī)

32、律，因此可以像計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差那樣，用“貝塞爾公式”計(jì)算被測(cè)量的A類(lèi)不確定度。A類(lèi)不確定度為 式中i1 , 2 , 3 , n , 表示測(cè)量次數(shù)。在計(jì)算A類(lèi)不確定度時(shí)，也可以用最大偏差法、極差法、最小二乘法等，本書(shū)只采用“貝塞爾公式法”，并且著重討論讀數(shù)分散對(duì)應(yīng)的不確定度。用“貝塞爾公式”計(jì)算A類(lèi)不確定度，可以用函數(shù)計(jì)算器直接讀取，十分方便。B類(lèi) 非統(tǒng)計(jì)不確定度，是指用非統(tǒng)計(jì)方法求出或評(píng)定的不確定度，如實(shí)驗(yàn)室中的測(cè)量?jī)x器不準(zhǔn)確，量具磨損老化等等。評(píng)定B類(lèi)不確定度常用估計(jì)方法，要估計(jì)適當(dāng)，需要確定分布規(guī)律，同時(shí)要參照標(biāo)準(zhǔn)，更需要估計(jì)者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、學(xué)識(shí)水平等。因此，往往是意見(jiàn)紛紜，爭(zhēng)論頗多。本書(shū)對(duì)B類(lèi)

33、不確定度的估計(jì)同樣只作簡(jiǎn)化處理。儀器不準(zhǔn)確的程度主要用儀器誤差來(lái)表示，所以因儀器不準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)的B類(lèi)不確定度為 為儀器誤差或儀器的基本誤差，或允許誤差，或顯示數(shù)值誤差。一般的儀器說(shuō)明書(shū)中都以某種方式注明儀器誤差，是制造廠或計(jì)量檢定部門(mén)給定。物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，由實(shí)驗(yàn)室提供。對(duì)于單次測(cè)量的隨機(jī)誤差一般是以最大誤差進(jìn)行估計(jì)，以下分兩種情況處理。已知儀器準(zhǔn)確度時(shí)，這時(shí)以其準(zhǔn)確度作為誤差大小。如一個(gè)量程150mA，準(zhǔn)確度0.2級(jí)的電流表，測(cè)某一次電流，讀數(shù)為131.2mA。為估計(jì)其誤差，則按準(zhǔn)確度0.2級(jí)可算出最大絕對(duì)誤差為0.3mA，因而該次測(cè)量的結(jié)果可寫(xiě)成I131.2±0.3mA。又如用物理天平

34、稱量某個(gè)物體的質(zhì)量，當(dāng)天平平衡時(shí)砝碼為P145.02克，讓游碼在天平橫梁上偏離平衡位置一個(gè)刻度（相當(dāng)于0.05克），天平指針偏過(guò)1.8分度，則該天平這時(shí)的靈敏度為（1.8÷0.05）分度/克，其感量為0.03克/分度，就是該天平稱衡物體質(zhì)量時(shí)的準(zhǔn)確度，測(cè)量結(jié)果可寫(xiě)成P145.02±0.03克。未知儀器準(zhǔn)確度時(shí)，這時(shí)單次測(cè)量誤差的估計(jì)，應(yīng)根據(jù)所用儀器的精密度、儀器靈敏度、測(cè)試者感覺(jué)器官的分辨能力以及觀測(cè)時(shí)的環(huán)境條件等因素具體考慮，以使估計(jì)誤差的大小盡可能符合實(shí)際情況。一般說(shuō)，最大讀數(shù)誤差對(duì)連續(xù)讀數(shù)的儀器可取儀器最小刻度值的一半，而無(wú)法進(jìn)行估計(jì)的非連續(xù)讀數(shù)的儀器，如數(shù)字式儀表，

35、則取其最末位數(shù)的一個(gè)最小單位。四、直接測(cè)量的不確定度在對(duì)直接測(cè)量的不確定度的合成問(wèn)題中，對(duì)A類(lèi)不確定度主要討論在多次等精度測(cè)量條件下，讀數(shù)分散對(duì)應(yīng)的不確定度，并且用“貝塞爾公式”計(jì)算A類(lèi)不確定度。對(duì)B類(lèi)不確定度，主要討論儀器不準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)的不確定度，將測(cè)量結(jié)果寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式。因此，實(shí)驗(yàn)結(jié)果的獲得，應(yīng)包括待測(cè)量近似真實(shí)值的確定，A、B兩類(lèi)不確定度以及合成不確定度的計(jì)算。增加重復(fù)測(cè)量次數(shù)對(duì)于減小平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，提高測(cè)量的精密度有利。但是注意到當(dāng)次數(shù)增大時(shí)，平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差減小漸為緩慢，當(dāng)次數(shù)大于十時(shí)平均值的減小便不明顯了。通常取測(cè)量次數(shù)為五至十為宜。下面通過(guò)兩個(gè)例子加以說(shuō)明。例1采用感量為0.1g的物

36、理天平稱量某物體的質(zhì)量，其讀數(shù)值為35.41g ,求物體質(zhì)量的測(cè)量結(jié)果。解：采用物理天平稱物體的質(zhì)量，重復(fù)測(cè)量讀數(shù)值往往相同，故一般只須進(jìn)行單次測(cè)量即可。單次測(cè)量的讀數(shù)即為近似真實(shí)值，m35.41g。物理天平的“示值誤差”通常取感量的一半，并且作為儀器誤差，即 0.05（g）測(cè)量結(jié)果為 m35.41±0.05（g）在例1中，因?yàn)槭菃未螠y(cè)量（n1）,合成不確定度中的0 ,所以即單次測(cè)量的合成不確定度等于非統(tǒng)計(jì)不確定度。但是這個(gè)結(jié)論并不表明單次測(cè)量的就小，因?yàn)?n 1時(shí),發(fā)散。其隨機(jī)分布特征是客觀存在的，測(cè)量次數(shù)n越大，置信概率就越高，因而測(cè)量的平均值就越接近真值。例2用螺旋測(cè)微器測(cè)量小

37、鋼球的直徑，五次的測(cè)量值分別為d（mm）11.922,11.923,11.922,11.922,11.922螺旋測(cè)微器的最小分度數(shù)值為0.01mm 試寫(xiě)出測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)式。解：（1）求直徑 d 的算術(shù)平均值 （2）計(jì)算B類(lèi)不確定度螺旋測(cè)微器的儀器誤差為0.005（mm） 0.005（mm）（3）計(jì)算A類(lèi)不確定度 （4）合成不確定度 式中，由于0.0005×0.005 , 故可略去,于是： 0.005（mm）5測(cè)量結(jié)果為 從上例中可以看出，當(dāng)有些不確定度分量的數(shù)值很小時(shí)，相對(duì)而言可以略去不計(jì)。在計(jì)算合成不確定度中求“方和根”時(shí)，若某一平方值小于另一平方值的，則這一項(xiàng)就可以略去不計(jì)。這一

38、結(jié)論叫做微小誤差準(zhǔn)則。在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，利用微小誤差準(zhǔn)則可減少不必要的計(jì)算。不確定度的計(jì)算結(jié)果，一般應(yīng)保留一位有效數(shù)字，多余的位數(shù)按有效數(shù)字的修約原則進(jìn)行取舍。評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果，有時(shí)候需要引入相對(duì)不確定度的概念。相對(duì)不確定度定義為 的結(jié)果一般應(yīng)取2位有效數(shù)字。此外，有時(shí)候還需要將測(cè)量結(jié)果的近似真實(shí)值與公認(rèn)值進(jìn)行比較，得到測(cè)量結(jié)果的百分偏差B。百分偏差定義為 百分偏差其結(jié)果一般應(yīng)取2位有效數(shù)字。測(cè)量不確定度表達(dá)涉及到深廣的知識(shí)領(lǐng)域和誤差理論問(wèn)題，大大超出了本課程的教學(xué)范圍。同時(shí)，有關(guān)它的概念、理論和應(yīng)用規(guī)范還在不斷地發(fā)展和完善。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中也在進(jìn)行摸索，以期在保證科學(xué)性的前提下，盡量把方法簡(jiǎn)化

39、，為初學(xué)者易于接受。教學(xué)重點(diǎn)放在建立必要的概念，有一個(gè)初步的基礎(chǔ)。以后在工作需要時(shí)，可以參考有關(guān)文獻(xiàn)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)。 五、間接測(cè)量結(jié)果的合成不確定度間接測(cè)量的近似真實(shí)值和合成不確定度是由直接測(cè)量結(jié)果通過(guò)函數(shù)式計(jì)算出來(lái)的，既然直接測(cè)量有誤差，那么間接測(cè)量也必有誤差，這就是誤差的傳遞。由直接測(cè)量值及其誤差來(lái)計(jì)算間接測(cè)量值的誤差之間的關(guān)系式稱為誤差的傳遞公式。設(shè)間接測(cè)量的函數(shù)式為 NF（x , y , z , ）N為間接測(cè)量的量，它有K個(gè)直接測(cè)量的物理量x , y , z , ，各直接觀測(cè)量的測(cè)量結(jié)果分別為（1）若將各個(gè)直接測(cè)量量的近似真實(shí)值代入函數(shù)表達(dá)式中，即可得到間接測(cè)量的近似真實(shí)值。 （2）求間

40、接測(cè)量的合成不確定度，由于不確定度均為微小量，相似于數(shù)學(xué)中的微小增量，對(duì)函數(shù)式NF（x , y , z , ）求全微分，即得 式中dN , dx , dy , dz , 均為微小量，代表各變量的微小變化，dN 的變化由各自變量的變化決定,為函數(shù)對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù),記為。將上面全微分式中的微分符號(hào)d改寫(xiě)為不確定度符號(hào)，并將微分式中的各項(xiàng)求“方和根”，即為間接測(cè)量的合成不確定度 （4）K為直接測(cè)量量的個(gè)數(shù)，A代表 x , y , z , 各個(gè)自變量（直接觀測(cè)量）。上式表明，間接測(cè)量的函數(shù)式確定后，測(cè)出它所包含的直接觀測(cè)量的結(jié)果，將各個(gè)直接觀測(cè)量的不確定度乘以函數(shù)對(duì)各變量（直測(cè)量）的偏導(dǎo)數(shù)，求“方和根

41、”，即就是間接測(cè)量結(jié)果的不確定度。當(dāng)間接測(cè)量的函數(shù)表達(dá)式為積和商（或含和差的積商形式）的形式時(shí)，為了使運(yùn)算簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可以先將函數(shù)式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，然后再求全微分。即 同樣改寫(xiě)微分符號(hào)為不確定度符號(hào)，再求其“方和根”，即為間接測(cè)量的相對(duì)不確定度，即 （5）已知、，由（5）式可以求出合成不確定度 （6）這樣計(jì)算間接測(cè)量的統(tǒng)計(jì)不確定度時(shí)，特別對(duì)函數(shù)表達(dá)式很復(fù)雜的情況，尤其顯示出它的優(yōu)越性。今后在計(jì)算間接測(cè)量的不確定度時(shí)，對(duì)函數(shù)表達(dá)式僅為“和差”形式，可以直接利用（4）式，求出間接測(cè)量的合成不確定度，若函數(shù)表達(dá)式為積和商（或積商和差混合）等較為復(fù)雜的形式，可直接采用（5）式，先求出相對(duì)不確定度，再

42、求出合成不確定度。例1已知電阻50.2±0.5（）, 149.8±0.5（）, 求它們串聯(lián)的電阻R和合成不確定度。解：串聯(lián)電阻的阻值為R50.2149.8200.0（）合成不確定度 相對(duì)不確定度 測(cè)量結(jié)果為 R200.0±0.7（）在例1中，由于 R的總合成不確定度為各個(gè)直接觀測(cè)量的不確定度平方求和后再開(kāi)方。間接測(cè)量的不確定度計(jì)算結(jié)果一般應(yīng)保留一位有效數(shù)字，相對(duì)不確定度一般應(yīng)保留2 位有效數(shù)字。例2測(cè)量金屬環(huán)的內(nèi)徑2.880±0.004（cm），外徑3.600±0.004（cm）, 厚度 h2.575±0.004（cm）。試求環(huán)的體積

43、V和測(cè)量結(jié)果。解：環(huán)體積公式為 （1）環(huán)體積的近似真實(shí)值為 （2）首先將環(huán)體積公式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)后，再求全微分 則相對(duì)不確定度為 （3）總合成不確定度為（4）環(huán)體積的測(cè)量結(jié)果為 V9.440.08V的標(biāo)準(zhǔn)式中，應(yīng)與不確定度的位數(shù)取齊，因此將小數(shù)點(diǎn)后的第三位數(shù)6，按照數(shù)字修約原則進(jìn)到百分位，故為9.44。 間接測(cè)量結(jié)果的誤差，常用兩種方法來(lái)估計(jì)：算術(shù)合成（最大誤差法）和幾何合成（標(biāo)準(zhǔn)誤差）。誤差的算術(shù)合成將各誤差取絕對(duì)值相加，是從最不利的情況考慮，誤差合成的結(jié)果是間接測(cè)量的最大誤差，因此是比較粗略的，但計(jì)算較為簡(jiǎn)單，它常用于誤差分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)或粗略的誤差計(jì)算中；上面例子采用幾何合成的方法，計(jì)

44、算較麻煩，但誤差的幾何合成較為合理。 第三節(jié) 有效數(shù)字及其運(yùn)算法則物理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常要記錄很多測(cè)量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)是能反映出被測(cè)量實(shí)際大小的全部數(shù)字，即有效數(shù)字。但是在實(shí)驗(yàn)觀測(cè)、讀數(shù)、運(yùn)算與最后得出的結(jié)果中。哪些是能反映被測(cè)量實(shí)際大小的數(shù)字應(yīng)予以保留，哪些不應(yīng)當(dāng)保留，這就與有效數(shù)字及其運(yùn)算法則有關(guān)。前面已經(jīng)指出，測(cè)量不可能得到被測(cè)量的真實(shí)值，只能是近似值。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記錄反映了近似值的大小,并且在某種程度上表明了誤差。因此，有效數(shù)字是對(duì)測(cè)量結(jié)果的一種準(zhǔn)確表示，它應(yīng)當(dāng)是有意義的數(shù)碼，而不允許無(wú)意義的數(shù)字存在。如果把測(cè)量結(jié)果寫(xiě)成54.2817±0.05（cm）是錯(cuò)誤的，由不確定度0.05（c

45、m）可以得知，數(shù)據(jù)的第二位小數(shù)0.08 已不可靠，把它后面的數(shù)字也寫(xiě)出來(lái)沒(méi)有多大意義，正確的寫(xiě)法應(yīng)當(dāng)是：54.28±0.05（cm）。測(cè)量結(jié)果的正確表示，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，必須加以重視，多次強(qiáng)調(diào)，才能逐步形成正確表示測(cè)量結(jié)果的良好習(xí)慣。一、有效數(shù)字的概念任何一個(gè)物理量，其測(cè)量的結(jié)果既然都或多或少的有誤差，那么一個(gè)物理量的數(shù)值就不應(yīng)當(dāng)無(wú)止境的寫(xiě)下去，寫(xiě)多了沒(méi)有實(shí)際意義，寫(xiě)少了有不能比較真實(shí)的表達(dá)物理量。因此，一個(gè)物理量的數(shù)值和數(shù)學(xué)上的某一個(gè)數(shù)就有著不同的意義，這就引入了一個(gè)有效數(shù)字的概念。若用最小分度值為1mm的米尺測(cè)量物體的長(zhǎng)度，讀數(shù)值為5.63cm。其中5和6這兩個(gè)數(shù)字是從米

46、尺的刻度上準(zhǔn)確讀出的，可以認(rèn)為是準(zhǔn)確的，叫做可靠數(shù)字。末尾數(shù)字3是在米尺最小分度值的下一位上估計(jì)出來(lái)的，是不準(zhǔn)確的，叫做欠準(zhǔn)數(shù)。雖然是欠準(zhǔn)可疑，但不是無(wú)中生有，而是有根有據(jù)有意義的，顯然有一位欠準(zhǔn)數(shù)字，就使測(cè)量值更接近真實(shí)值，更能反映客觀實(shí)際。因此，測(cè)量值應(yīng)當(dāng)保留到這一位是合理的，即使估計(jì)數(shù)是0，也不能舍去。測(cè)量結(jié)果應(yīng)當(dāng)而且也只能保留一位欠準(zhǔn)數(shù)字，故測(cè)量數(shù)據(jù)的有效數(shù)字定義為幾位可靠數(shù)字加上一位欠準(zhǔn)數(shù)字稱為有效數(shù)字，有效數(shù)字?jǐn)?shù)字的個(gè)數(shù)叫做有效數(shù)字的位數(shù)，如上述的5.63cm稱為三位有效數(shù)字。有效數(shù)字的位數(shù)與十進(jìn)制單位的變換無(wú)關(guān)，即與小數(shù)點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)。因此，用以表示小數(shù)點(diǎn)位置的0不是有效數(shù)字。當(dāng)0

47、不是用作表示小數(shù)點(diǎn)位置時(shí)，0和其它數(shù)字具有同等地位，都是有效數(shù)字。顯然，在有效數(shù)字的位數(shù)確定時(shí)，第一個(gè)不為零的數(shù)字左面的零不能算有效數(shù)字的位數(shù)，而第一個(gè)不為零的數(shù)字右面的零一定要算做有效數(shù)字的位數(shù)。如0.0135 m是三位有效數(shù)字，0.0135m和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不過(guò)是分別采用了米、厘米和毫米作為長(zhǎng)度的表示單位；1.030m是四位有效數(shù)字。從有效數(shù)字的另一面也可以看出測(cè)量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度為毫米的尺子測(cè)量的，而1.030m是用最小刻度為厘米的尺子測(cè)量的。因此，正確掌握有效數(shù)字的概念對(duì)物理實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)是十分必要的。二、直接測(cè)量的有效數(shù)字記錄物理實(shí)

48、驗(yàn)中通常儀器上顯示的數(shù)字均為有效數(shù)字（包括最后一位估計(jì)讀數(shù)）都應(yīng)讀出，并記錄下來(lái)。儀器上顯示的最后一位數(shù)字是0時(shí)，此0也要讀出并記錄。對(duì)于有分度式的儀表，讀數(shù)要根據(jù)人眼的分辨能力讀到最小分度的十分之幾。在記錄直接測(cè)量的有效數(shù)字時(shí)，常用一種稱為標(biāo)準(zhǔn)式的寫(xiě)法，就是任何數(shù)值都只寫(xiě)出有效數(shù)字，而數(shù)量級(jí)則用10的n次冪的形式去表示。1根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定，測(cè)量值的最末一位一定是欠準(zhǔn)確數(shù)字，這一位應(yīng)與儀器誤差的位數(shù)對(duì)齊，儀器誤差在哪一位發(fā)生，測(cè)量數(shù)據(jù)的欠準(zhǔn)位就記錄到哪一位，不能多記，也不能少記，即使估計(jì)數(shù)字是0，也必須寫(xiě)上，否則與有效數(shù)字的規(guī)定不相符。例如，用米尺測(cè)量物體長(zhǎng)為52.4 mm 與52.40 m

49、m 是不同的兩個(gè)測(cè)量值，也是屬于不同儀器測(cè)量的兩個(gè)值，誤差也不相同，不能將它們等同看待，從這兩個(gè)值可以看出測(cè)量前者的儀器精度低，測(cè)量后者的儀器精度高出一個(gè)數(shù)量級(jí)。2根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定，凡是儀器上讀出的數(shù)值，有效數(shù)字中間與末尾的0，均應(yīng)算作有效位數(shù)。例如，6.003 cm , 4.100 cm 均是四位有效數(shù)字；在記錄數(shù)據(jù)中，有時(shí)因定位需要，而在小數(shù)點(diǎn)前添加0，這不應(yīng)算作有效位數(shù)，如0.0486 m是三位有效數(shù)字而不是四位有效數(shù)字，有效數(shù)字中的0有時(shí)算做有效數(shù)字，有時(shí)不能算做有效數(shù)字，這對(duì)初學(xué)者也是一個(gè)難點(diǎn)，要正確理解有效數(shù)字的規(guī)定。3根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定，在十進(jìn)制單位換算中，其測(cè)量數(shù)據(jù)的有效位數(shù)

50、不變，如4.51 cm 若以米或毫米為單位，可以表示成0.0451 m 或45.1 mm，這兩個(gè)數(shù)仍然是三位有效數(shù)字。為了避免單位換算中位數(shù)很多時(shí)寫(xiě)一長(zhǎng)串，或計(jì)數(shù)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)位，常采用科學(xué)表達(dá)式，通常是在小數(shù)點(diǎn)前保留一位整數(shù)，用10n表示，如4.51×102m，4.51×104cm等，這樣既簡(jiǎn)單明了，又便于計(jì)算和確定有效數(shù)字的位數(shù)。4根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)定對(duì)有效數(shù)字進(jìn)行記錄時(shí)，直接測(cè)量結(jié)果的有效位數(shù)的多少，取決于被測(cè)物本身的大小和所使用的儀器精度，對(duì)同一個(gè)被測(cè)物，高精度的儀器，測(cè)量的有效位數(shù)多，低精度的儀器，測(cè)量的有效位數(shù)少。例如，長(zhǎng)度約為3.7cm的物體，若用最小分度值為1mm

51、的米尺測(cè)量，其數(shù)據(jù)為3.70cm ，若用螺旋測(cè)微器測(cè)量（最小分度值為0.01mm ）,其測(cè)量值為3.7000cm ,顯然螺旋測(cè)微器的精度較米尺高很多，所以測(cè)量結(jié)果的位數(shù)也多；被測(cè)物是較小的物體，測(cè)量結(jié)果的有效位數(shù)也少。對(duì)一個(gè)實(shí)際測(cè)量值，正確應(yīng)用有效數(shù)字的規(guī)定進(jìn)行記錄，就可以從測(cè)量值的有效數(shù)字記錄中看出測(cè)量?jī)x器的精度。因此，有效數(shù)字的記錄位數(shù)和測(cè)量?jī)x器有關(guān)。三、有效數(shù)字的運(yùn)算法則在進(jìn)行有效數(shù)字計(jì)算時(shí)，參加運(yùn)算的分量可能很多。各分量數(shù)值的大小及有效數(shù)字的位數(shù)也不相同，而且在運(yùn)算過(guò)程中，有效數(shù)字的位數(shù)會(huì)越乘越多，除不盡時(shí)有效數(shù)字的位數(shù)也無(wú)止境。即便是使用計(jì)算器，也會(huì)遇到中間數(shù)的取位問(wèn)題以及如何更簡(jiǎn)潔

52、的問(wèn)題。測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字，只能允許保留一位欠準(zhǔn)確數(shù)字，直接測(cè)量是如此，間接測(cè)量的計(jì)算結(jié)果也是如此。根據(jù)這一原則，為了達(dá)到：不因計(jì)算而引進(jìn)誤差，影響結(jié)果；盡量簡(jiǎn)潔，不作徒勞的運(yùn)算。簡(jiǎn)化有效數(shù)字的運(yùn)算，約定下列規(guī)則：1加法或減法運(yùn)算大量計(jì)算表明，若干個(gè)數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，其和或者差的結(jié)果的欠準(zhǔn)確數(shù)字的位置與參與運(yùn)算各個(gè)量中的欠準(zhǔn)確數(shù)字的位置最高者相同。由此得出結(jié)論，幾個(gè)數(shù)進(jìn)行加法或減法運(yùn)算時(shí)，可先將多余數(shù)修約，將應(yīng)保留的欠準(zhǔn)確數(shù)字的位數(shù)多保留一位進(jìn)行運(yùn)算，最后結(jié)果按保留一位欠準(zhǔn)確數(shù)字進(jìn)行取舍。這樣可以減小繁雜的數(shù)字計(jì)算。推論（1）若干個(gè)直接測(cè)量值進(jìn)行加法或減法計(jì)算時(shí)，選用精度相同的儀器最為合理

53、。2乘法和除法運(yùn)算由此得出結(jié)論：用有效數(shù)字進(jìn)行乘法或除法運(yùn)算時(shí)，乘積或商的結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)與參與運(yùn)算的各個(gè)量中有效數(shù)字的位數(shù)最少者相同。推論（2）測(cè)量的若干個(gè)量，若是進(jìn)行乘法除法運(yùn)算，應(yīng)按照有效位數(shù)相同的原則來(lái)選擇不同精度的儀器。3乘方和開(kāi)方運(yùn)算由此可見(jiàn)，乘方和開(kāi)方運(yùn)算的有效數(shù)字的位數(shù)與其底數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同。4自然數(shù) 1,2,3,4,不是測(cè)量而得，不存在欠準(zhǔn)確數(shù)字。因此，可以視為無(wú)窮多位有效數(shù)字的位數(shù)，書(shū)寫(xiě)也不必寫(xiě)出后面的0，如D2R，D的位數(shù)僅由直測(cè)量R的位數(shù)決定。5無(wú)理常數(shù),的位數(shù)也可以看成很多位有效數(shù)字。例如L2R ，若測(cè)量值 時(shí)，應(yīng)取為3.142。則6有效數(shù)字的修約。根據(jù)有效

54、數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則，為使計(jì)算簡(jiǎn)化，在不影響最后結(jié)果應(yīng)保留有效數(shù)字的位數(shù)（或欠準(zhǔn)確數(shù)字的位置）的前提下，可以在運(yùn)算前、后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行修約，其修約原則是“四舍六入五看右左”，五看右左即為五時(shí)則看五后面若為非零的數(shù)則入、若為零則往左看擬留數(shù)的末位數(shù)為奇數(shù)則入為偶數(shù)則舍，這一說(shuō)法可以簡(jiǎn)述為五看右左。中間運(yùn)算過(guò)程較結(jié)果要多保留一位有效數(shù)字。第四節(jié) 數(shù)據(jù)處理物理實(shí)驗(yàn)中測(cè)量得到的許多數(shù)據(jù)需要處理后才能表示測(cè)量的最終結(jié)果。用簡(jiǎn)明而嚴(yán)格的方法把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所代表的事物內(nèi)在規(guī)律性提煉出來(lái)就是數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)處理是指從獲得數(shù)據(jù)起到得出結(jié)果為止的加工過(guò)程。數(shù)據(jù)處理包括記錄、整理、計(jì)算、分析、擬合等多種處理方法，本章主要介紹列表法、作圖法、圖解法、最小二乘法和微機(jī)法。一、列表法列表法是記錄數(shù)據(jù)的基本方法。欲使實(shí)驗(yàn)結(jié)果一目了然，避免混亂，避免丟失數(shù)據(jù)，便于查對(duì)，列表法是記錄的最好方法。將數(shù)據(jù)中的自變量、因變量的各個(gè)數(shù)值一一對(duì)應(yīng)排列出來(lái)，要簡(jiǎn)單明了地表