202X202X學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2.1單調(diào)性與最大（?。┲担ǖ?課時(shí)）函數(shù)的最大（?。┲嫡n件新人教A版必修1

1、-1-第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值首頁(yè)課前篇自主預(yù)習(xí)一二一、函數(shù)的最大(小)值的定義1.(1)如下圖是函數(shù)y=-x2-2x、y=-2x+1,x-1,+)、y=f(x)的圖象,這三個(gè)函數(shù)的圖象上有沒(méi)有最高點(diǎn)?提示:都有最高點(diǎn),分別為點(diǎn)A、B、C.(2)從點(diǎn)的坐標(biāo)角度,如何理解函數(shù)圖象的最高點(diǎn)?提示:圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最大值,即函數(shù)的最大值.課前篇自主預(yù)習(xí)一二(3)如圖所示,圖象上最高點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,f(x0),在圖象上任取一點(diǎn)A(x,f(x),f(x)與f(x0)有什么關(guān)系?提示:點(diǎn)C是圖象的最高點(diǎn),即對(duì)定義域內(nèi)任意x,均有f(x)f(x0)成立.(4)一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x

2、)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:對(duì)xI,都有f(x)M;x0I,使得f(x0)=M,那么我們就稱(chēng)M是函數(shù)y=f(x)的最大值.其幾何意義:函數(shù)y=f(x)的最大值是圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).(5)類(lèi)比函數(shù)最大值的定義,請(qǐng)你給出最小值的定義及其幾何意義.提示:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:xI,都有f(x)M;x0I,使得f(x0)=M.那么,稱(chēng)M是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)最小值的幾何意義:函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).課前篇自主預(yù)習(xí)一二(6)是否每個(gè)函數(shù)都有最大值、最小值?如果有最值,取最值的點(diǎn)有幾個(gè)?舉例說(shuō)明.提示:一個(gè)函數(shù)不一定有最值,例如y= 在定義域內(nèi)沒(méi)有

3、最大值也沒(méi)有最小值.有的函數(shù)可能只有一個(gè)最大(或小)值,例如y=-2x+1,x-1,+).如果一個(gè)函數(shù)存在最值,那么函數(shù)的最大值和最小值都是唯一的,但取最值時(shí)的自變量可以有多個(gè),如y=x2,x-2,2,最大值只有一個(gè)為4,而取最大值的x有x=2兩個(gè).課前篇自主預(yù)習(xí)一二2.做一做做一做函數(shù)函數(shù)f(x)在在-2,2上的圖象如下圖上的圖象如下圖,那么該函數(shù)的最小值、最大值那么該函數(shù)的最小值、最大值分別是分別是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2解析解析:由題圖可知由題圖可知,該函數(shù)的最小值為該函數(shù)的最小值為f(-2),最大值為最大值為f(1)=2.答案答案:C課前篇自主

4、預(yù)習(xí)一二二、函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值1.(1)假設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上是增函數(shù)或減函數(shù),它一定有最值嗎?如果有,最值是什么?提示:假設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上是增函數(shù),那么函數(shù)的最小值為ymin=f(a),最大值為ymax=f(b);假設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上是減函數(shù),那么函數(shù)的最小值為ymin=f(b),最大值為ymax=f(a).(2)假設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上是增(或減)函數(shù),這個(gè)函數(shù)有最值嗎?活動(dòng)方案:啟發(fā)學(xué)生畫(huà)一個(gè)符合條件的函數(shù)草圖,注意端點(diǎn)不在區(qū)間內(nèi),然后答復(fù).提示:不存在最值,但可以說(shuō)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的值域?yàn)?f(a),f(

5、b)或(f(b),f(a).課前篇自主預(yù)習(xí)一二(3)函數(shù)y=f(x)的定義域是a,b,acb.當(dāng)xa,c時(shí),f(x)是單調(diào)增函數(shù);當(dāng)xc,b時(shí),f(x)是單調(diào)減函數(shù).試證明:f(x)在x=c時(shí)取得最大值.提示:因?yàn)楫?dāng)xa,c時(shí),f(x)是單調(diào)增函數(shù),所以對(duì)于任意xa,c,都有f(x)f(c).又因?yàn)楫?dāng)xc,b時(shí),f(x)是單調(diào)減函數(shù),所以對(duì)于任意xc,b,都有f(x)f(c).因此,對(duì)于任意xa,b都有f(x)f(c),即f(x)在x=c時(shí)取得最大值.2.做一做函數(shù)y=x2-4x+1在-2,0上的最大值是,最小值是.解析:函數(shù)y=x2-4x+1在-2,0上單調(diào)遞減,故當(dāng)x=2時(shí),ymax=13

6、,當(dāng)x=0時(shí),ymin=1.答案:131課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值例例1 函數(shù)函數(shù)y=-|x-1|+2,畫(huà)出函數(shù)的圖象畫(huà)出函數(shù)的圖象,確定函數(shù)的最值情況確定函數(shù)的最值情況,并寫(xiě)并寫(xiě)出值域出值域.分析分析:去絕對(duì)值去絕對(duì)值分段函數(shù)分段函數(shù)作圖作圖識(shí)圖識(shí)圖結(jié)論結(jié)論.由圖象知,函數(shù)y=-|x-1|+2的最大值為2,沒(méi)有最小值.所以其值域?yàn)?-,2.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練反思感悟 課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練(1)畫(huà)出f(x)的圖象;(2)利用圖象寫(xiě)出該函數(shù)的最大值和最小值.解:(1

7、)函數(shù)f(x)的圖象如下圖.(2)由圖象可知f(x)的最小值為f(1)=1,無(wú)最大值.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練利用函數(shù)的單調(diào)性求最值利用函數(shù)的單調(diào)性求最值例例2 函數(shù)函數(shù)f(x)=x+ .(1)判斷判斷f(x)在區(qū)間在區(qū)間1,2上的單調(diào)性上的單調(diào)性;(2)根據(jù)根據(jù)f(x)的單調(diào)性求出的單調(diào)性求出f(x)在區(qū)間在區(qū)間1,2上的最值上的最值.分析分析:(1)證明單調(diào)性的流程證明單調(diào)性的流程:取值取值作差作差變形變形判斷符號(hào)判斷符號(hào)結(jié)結(jié)論論;(2)借助最值與單調(diào)性的關(guān)系借助最值與單調(diào)性的關(guān)系,寫(xiě)出最值寫(xiě)出最值.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練x1x2,x1-x

8、20.當(dāng)1x10,1x1x24,即x1x2-4f(x2),即f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù).(2)由(1)知f(x)的最小值為f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值為f(1).f(1)=1+4=5,f(x)的最小值為4,最大值為5.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練反思感悟反思感悟 1.利用單調(diào)性求函數(shù)最值的一般步驟利用單調(diào)性求函數(shù)最值的一般步驟:(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用單調(diào)性寫(xiě)出最值利用單調(diào)性寫(xiě)出最值.2.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系:(1)假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上是增上是增(減減)函數(shù)函數(shù),那么那么f

9、(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的最小上的最小(大大)值是值是f(a),最大最大(小小)值是值是f(b).(2)假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上是增上是增(減減)函數(shù)函數(shù),在區(qū)間在區(qū)間(b,c上是減上是減(增增)函數(shù)函數(shù),那么那么f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,c上的最大上的最大(小小)值是值是f(b),最小最小(大大)值是值是f(a)與與f(c)中較小中較小(大大)的一個(gè)的一個(gè).(3)假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那那么函數(shù)么函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上一定有最值上一定有最值.(4)求最值時(shí)一定要注意所給區(qū)間的開(kāi)閉求最值

10、時(shí)一定要注意所給區(qū)間的開(kāi)閉,假設(shè)是開(kāi)區(qū)間假設(shè)是開(kāi)區(qū)間,那么不那么不一定有最大一定有最大(小小)值值.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練延伸探究本例條件不變延伸探究本例條件不變,判斷判斷f(x)在區(qū)間在區(qū)間1,3上的單調(diào)性上的單調(diào)性,并求并求f(x)在區(qū)間在區(qū)間1,3上的最值上的最值.當(dāng)1x1f(x2),f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù);當(dāng)2x10,4x1x20,f(x1)400時(shí),f(x)=60000-100 x是減函數(shù),f(x)60000-10040025000.當(dāng)x=300時(shí),f(x)max=25000.即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為25000元.課堂篇探究學(xué)習(xí)探

11、究一探究二探究三思想方法隨堂演練利用數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想求二次函數(shù)的最值典例 求函數(shù)y=x2-2ax-1在區(qū)間0,2上的最值.【審題視角】可變對(duì)稱(chēng)軸x=a與定區(qū)間0,2的相對(duì)位置關(guān)系結(jié)合單調(diào)性與圖象求解解:y=(x-a)2-1-a2.當(dāng)a0時(shí),0,2是函數(shù)的遞增區(qū)間,如圖.故函數(shù)在x=0處取得最小值-1,在x=2處取得最大值3-4a.當(dāng)0a1時(shí),結(jié)合函數(shù)圖象(如圖)知,函數(shù)在x=a處取得最小值-a2-1,在x=2處取得最大值3-4a.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練當(dāng)12時(shí),0,2是函數(shù)的遞減區(qū)間,如圖.函數(shù)在x=0處取得最大值-1,在x=2處取得最小值3-4a.綜上,當(dāng)

12、a0時(shí),函數(shù)在區(qū)間0,2上的最小值為-1,最大值為3-4a;當(dāng)0a1時(shí),函數(shù)在區(qū)間0,2上的最小值為-a2-1,最大值為3-4a;當(dāng)12時(shí),函數(shù)在區(qū)間0,2上的最小值為3-4a,最大值為-1.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛 1.探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題,一般要先一般要先作出作出y=f(x)的草圖的草圖,再根據(jù)圖象的增減性進(jìn)展研究再根據(jù)圖象的增減性進(jìn)展研究.特別要注意二次特別要注意二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系,它是求解二次函數(shù)在區(qū)它是求解二次函數(shù)在區(qū)間上最值問(wèn)題的主要依據(jù)

13、間上最值問(wèn)題的主要依據(jù).二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的位二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的位置關(guān)系通常有三種置關(guān)系通常有三種:(1)對(duì)稱(chēng)軸在所給區(qū)間的右側(cè)對(duì)稱(chēng)軸在所給區(qū)間的右側(cè);(2)對(duì)稱(chēng)軸在所給對(duì)稱(chēng)軸在所給區(qū)間的左側(cè)區(qū)間的左側(cè);(3)對(duì)稱(chēng)軸在所給區(qū)間內(nèi)對(duì)稱(chēng)軸在所給區(qū)間內(nèi).課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練2.對(duì)于二次函數(shù)f(x)=a(x-h)2+k(a0)在區(qū)間m,n上的最值可作如下討論:課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練變式訓(xùn)練函數(shù)f(x)=x2-2x+2(其中xt,t+1,tR)的最小值為g(t),求g(t)的表達(dá)式.解:由函數(shù)f(x)=x2-2x+2知其圖象

14、的開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為x=1.下面分三種情況討論:圖當(dāng)t+11,即t0時(shí),如圖所示,此時(shí)函數(shù)f(x)在t,t+1上為減函數(shù),g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練如圖所示,此時(shí),函數(shù)f(x)在t,1上為減函數(shù),在(1,t+1上為增函數(shù),g(t)=f(1)=1.當(dāng)t1時(shí),如圖所示,此時(shí),函數(shù)f(x)在t,t+1上為增函數(shù),g(t)=f(t)=t2-2t+2.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練答案:A2.函數(shù)函數(shù)y=|x+1|+2的最小值是的最小值是()A.0B.-解析解析:y=|x+1|+2的圖象如下圖的圖象如下圖.由圖可知函數(shù)的最小值為由圖可知函數(shù)的最小值為2.答案答案:C課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一探究二探究三思想方法隨堂演練3.函數(shù)函數(shù)y=x2-2x,x0,3的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?