橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)與穩(wěn)定分析

1、東南大學(xué)交通學(xué)院東南大學(xué)(20142015)年第一學(xué)期橋梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)與穩(wěn)定分析研究報(bào)告成 績(jī)：姓 名：高明天學(xué) 號(hào)：145511專 業(yè)：橋梁與隧道工程授課教師：萬(wàn) 水日 期：2015年1月目錄2薄板的振動(dòng)理論及應(yīng)用 2.1薄板的自由振動(dòng)薄板自由振動(dòng)的一般問(wèn)題是這樣提出的：在一定的橫向荷載作用下處于平衡位置的薄板，受到干擾力的作用而偏離這一位置，當(dāng)干擾力被除去以后，在該平衡位置附近作微幅振動(dòng)。（1）試求薄板振動(dòng)的頻率，特別是最低頻率。（2）設(shè)已知薄板的初始條件，即已知處撓度及初速度，試求薄板在任意瞬時(shí)的撓度。設(shè)薄板在平衡位置的撓度為，這時(shí)，薄板所受的橫向靜荷載為。則薄板的彈性曲面微分方程為： （a

2、)式（a)標(biāo)示：薄板每單位面積上所受的彈性力和它所受的橫向荷載q成平衡。設(shè)薄板在振動(dòng)過(guò)程中的任意瞬時(shí)t的撓度為，則薄板每單位面積上在該瞬時(shí)所受的彈性力，將與橫向荷載q及慣性力成平衡，即 （b)薄板的加速度是，因而每單位面積上的慣性力是其中為薄板每單位面積內(nèi)的質(zhì)量（包括薄板本身的質(zhì)量和隨同薄板振東的質(zhì)量），則式（b）可以改寫(xiě)為 (c)將式（c）與式（a)相減，得到由于不隨時(shí)間改變，所以上式可以改寫(xiě)成為 (d)命薄板在任意瞬時(shí)的撓度為，而式(d)成為或 （2-1）這就是薄板自由振動(dòng)的微分方程。微分方程(2-1)有如下形式的解答： （2-2）在這里，薄板上每一點(diǎn)(x,y)的撓度，被標(biāo)示成為無(wú)數(shù)多個(gè)簡(jiǎn)

3、諧振動(dòng)下的撓度相疊加，而每一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率是。另一方面，薄板在每一瞬時(shí)t的撓度，則被標(biāo)示成為無(wú)數(shù)多鐘振形下的撓度相疊加，而每一種振形下的撓度是由振形函數(shù)標(biāo)示的。為了求出各種振形下的振形函數(shù)，以及與之相應(yīng)的頻率，我們?nèi)〈胧?2-1),然后消去因子，得出所謂振形微分方程 （2-3）如果由這一微分方程求得W的滿足邊界條件的非零解，即可由關(guān)系式 （e）求得相應(yīng)的頻率。自由振動(dòng)的頻率，稱為自然頻率或固有頻率，它們完全決定于薄板的固有特性，而與外來(lái)因素?zé)o關(guān)。實(shí)際上，只有當(dāng)薄板的為常量時(shí)，才有可能求得函數(shù)形式的解答。這時(shí)，命 （2-4)則方程（2-3)簡(jiǎn)化為常系數(shù)微分方程 （2-5）現(xiàn)在就可能比較簡(jiǎn)便地

4、求得W的滿足邊界條件的、函數(shù)形式的非零解，從而求得相應(yīng)的值，然后再用（2-4）式求出相應(yīng)的頻率。將求出的那些振形函數(shù)及相應(yīng)的頻率取為及，代入表達(dá)式（2-2），就有可能利用初始條件求得該表達(dá)式中的系數(shù)及。設(shè)初始條件為則由（2-2）式得于是可見(jiàn)，為了求得及，必將已知的初撓度及初速度展為的級(jí)數(shù)，這在數(shù)學(xué)處理上是比較困難的。因此，只有在特殊情況下，才有可能求得薄板自由振動(dòng)的完整解答，即任一瞬時(shí)的撓度。在絕大多數(shù)的情況下，只能求得各種振形的振形函數(shù)及相應(yīng)的頻率。2.2四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板的自由振動(dòng) 取振形函數(shù)為 （2a）其中m及n為整數(shù)，可以滿足邊界條件，代入（2-5）式，得 圖2-1為了這一條件在薄板中

5、面上的所有各點(diǎn)都能滿足，也就是在x和y取任意值時(shí)都滿足，必須有 （2b）將式（b）代入（2-4）式，得出自然頻率的公式 （2c）命m及n取不同的整數(shù)值，可以求得相應(yīng)于不同振形的自然頻率 （2-6）當(dāng)薄板以這一頻率振動(dòng)時(shí)，振形函數(shù)為而薄板的撓度為 （2d)則薄板在自由振動(dòng)中任一瞬時(shí)的總撓度為 （2e)初撓度及初速度標(biāo)示成振形函數(shù)的級(jí)數(shù)為： （2f)按照級(jí)數(shù)展開(kāi)的公式，有 （2-7）根據(jù)初始條件由式（2e)及式（2f)得由此得 代入式（2e),即得完整的解答如下： （2-8）2.3兩對(duì)邊簡(jiǎn)支的矩形薄板的自由振動(dòng)設(shè)薄板的x=0及x=a的兩邊為簡(jiǎn)支邊。取振形函數(shù)為 （3a)其中Ym只是y的函數(shù)，可以滿

6、足該簡(jiǎn)支邊的邊界條件。將式（3a）代入（2-5），得出常微分方程 （3b）它的特征方程式 圖2-2而這個(gè)代數(shù)方程的四個(gè)根是 （3c）大多數(shù)情況，而式（3c)所示的四個(gè)跟是兩實(shí)兩虛，可以寫(xiě)做注意，取正實(shí)數(shù) （3d)則上述四個(gè)跟成為及，而式（b)的解答可以寫(xiě)成從而得振形函數(shù)的表達(dá)式 （2-9）在少數(shù)情況下，而式（3c)所示的四個(gè)跟都是實(shí)根。這時(shí)，取正實(shí)數(shù) （3e）則振形函數(shù)的表達(dá)式成為 （2-10）其中至由y=0及y=b處的四個(gè)邊界條件求出。2.4圓形薄板的自由振動(dòng)薄板的自由振動(dòng)微分方程仍然是（2-1），即 （4a)但其中，而 仍把方程（4a）的解答取為無(wú)數(shù)多簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，即 （4b）為了求出及

7、相應(yīng)的，取 （4c）代入方程（a)，仍得 （其） （4d）方程（4d）可以改寫(xiě)為 也就是 （4e）顯然（4e）的解也是（4d)的解。取 ， n=0,1,2,. （4f）將式（4f)代入式（4e）,得常微分方程或引用量綱一的變量而得這一微分方程的解答是 （4g）其中及分別為實(shí)宗量的、n階的第一種及第二種貝塞爾函數(shù)，及分別為虛宗量的、n階的第一種及第二種貝塞爾函數(shù)。將式（4g）代入（4f）,即得。 （2-11）其中至由邊界條件求出。2-5用差分法求自然頻率基于方程（2-3），在任一典型結(jié)點(diǎn)0，有。利用差分公式，可得 其中h是網(wǎng)格間距。引用量綱一的常數(shù) （2-13）則上列差分方程為。（2-14）其中

8、可以通過(guò)邊界條件求得，有了代入（2-13）就可以得到。2-6用能量法求2-6.1瑞利法前邊已提到，薄板的瞬時(shí)撓度可以表示成為 （6a）如果以薄板經(jīng)過(guò)平衡位置的瞬時(shí)作為初瞬時(shí)（t=0），則有由此可見(jiàn)A=0。將常數(shù)B歸入，則式（a)簡(jiǎn)化為 （6b）速度的表達(dá)式為 （6c）為了簡(jiǎn)便，假定薄板并不受有靜荷載，于是靜撓度，而薄板的平衡位置就相應(yīng)于無(wú)撓度時(shí)的平面狀態(tài)。這樣，由式（6b)及式（6c）可見(jiàn)，當(dāng)薄板距平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，則有，從而有。這時(shí)，薄板的動(dòng)能為零而形變勢(shì)能達(dá)到最大值。這個(gè)最大勢(shì)能是 （2-15）如果在薄板只有夾支邊和簡(jiǎn)支邊的情況下，上式簡(jiǎn)化為 （2-16）當(dāng)薄板經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，我們有，,速度

9、達(dá)到最大值。這時(shí)，薄板的形變勢(shì)能為零，而動(dòng)能達(dá)到最大值。按照式（6c),這個(gè)最大動(dòng)能是 （2-17）根據(jù)能量守恒定理有，即這是的一組m個(gè)齊次線性方程。為了W具有非零解，必須具有非零解，因而該線性方程組的系數(shù)行列式必須等于零。這樣就得出求解的方程。2-6.2里茨法為了求得比較精確的最低自然頻率，里茨建議把振形函數(shù)取為 （2-18）其中是滿足邊界條件的設(shè)定函數(shù)，是互不依賴的待定函數(shù)。選使得為最小，即 （2-19）這是的一組m個(gè)齊次線性方程。為了W具有非零解，必須具有非零解，因而該線性方程組的系數(shù)行列式必須等于零。這樣就得出求的方程。對(duì)于圓形薄板，宜用極坐標(biāo)進(jìn)行分析。為此，振形函數(shù)須改用極坐標(biāo)表示，

10、即 （2-20）與此相應(yīng)，也須改用極坐標(biāo)表示，可得（2-21）當(dāng)全部邊界為夾支邊時(shí)，可得 （2-22）同樣，也須改用極坐標(biāo)表示，可得 （2-23）對(duì)于圓形薄板的軸對(duì)稱自由振動(dòng)，可得 （2-24）當(dāng)全部邊界為夾支邊時(shí)，可得 （2-25）最大動(dòng)能的公式（2-23）則簡(jiǎn)化為 （2-26）當(dāng)薄板上尚有集中質(zhì)量隨同薄板振動(dòng)時(shí)，還須按照設(shè)定的振形函數(shù)W，求出集中質(zhì)量的最大動(dòng)能，計(jì)入，然后進(jìn)行計(jì)算。2-7用能量法求自然頻率舉例例題1：圖2-3中所示的夾支邊矩形薄板，用瑞利法求最低。把振形函數(shù)取為 （7a）可以滿足位移邊界條件。代入公式（2-16），得到 圖2-3將式(7a)代入公式（2-17），假定為常量，

11、得于是由得出 從而得到 （7b）對(duì)于正方形薄板，a=b，我們得到 與精確解答幾乎一致。例題2：考慮四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板，圖2-4，用里茨法求最低自然頻率。取振形函數(shù)為（7c）可以滿足位移邊界條件（同時(shí)也能滿足內(nèi)力邊界條件）。代入公式（2-16），得 圖2-4將式（7c)代入公式（2-17），假定為常量，得于是由得出命方程的系數(shù)行列式等于零（即該系數(shù)等于零），得到與精確解相同例題3：考慮半徑為a的夾支邊圓板，用瑞利法求最低自然頻率。取振形函數(shù)為 （7d）可以滿足邊界條件。代入公式（2-25），得將式（7d)代入公式（2-26），假定為常量，得命，即得比精確解答只大出1%。2-8薄板的受迫振動(dòng)現(xiàn)在來(lái)

12、討論薄板在振動(dòng)力荷載作用下進(jìn)行的振動(dòng)，即所謂受迫振動(dòng)。薄板的受迫振動(dòng)微分方程，可以和自由振動(dòng)微分方程同樣的導(dǎo)出如下。設(shè)薄板只受橫向靜荷載q=q(x,y)而不受任何動(dòng)力荷載，在發(fā)生靜撓度以后處于平衡狀態(tài)，則薄板每單位面積上所受的彈性力，將與靜荷載成平衡，即 （8a）設(shè)薄板在動(dòng)力荷載的作用下進(jìn)行振動(dòng)，而在振動(dòng)過(guò)程中任一瞬時(shí)的撓度為，則薄板每單位面積上所受的彈性力，將與靜荷載q、動(dòng)荷載及慣性力成平衡，即 （8b）將慣性力代入上式以后，得 （8c）將式（8c）與式（8a）相減，得由于不隨時(shí)間而變，所以上式可以改寫(xiě)為 （8d）注意就是薄板在任一瞬時(shí)的、從平衡位置量起的w，即可由上式得 （2-27）這就是

13、薄板受迫振動(dòng)微分方程。為了求解薄板的受迫振動(dòng)問(wèn)題，必須首先求解該薄板的自由振動(dòng)問(wèn)題，求出它的各種振形的振形函數(shù)以及相應(yīng)的自然頻率，然后將它所受的動(dòng)力荷載展為振形函數(shù)的級(jí)數(shù)，即 （2-28）現(xiàn)在，把微分方程（2-27）的解答取為如下的形式： （2-29）將（2-28）及（2-29）兩式代入（2-27）式，得 （8e）另一方面，由（2-5）及（2-4）兩式可得 （8f)在將式（8f）代入式（8e)的左邊，然后比較兩邊的系數(shù)，得 （8g)常微分方程（8g）的解答可以標(biāo)示成為 （8h）其中的是任一特解。系數(shù)及則必由初始條件來(lái)確定，與自由振動(dòng)的情況下相同。將式（8h)代入（2-29）式，即得薄板在任一瞬

14、時(shí)的撓度： （2-30）例題：設(shè)簡(jiǎn)支邊矩形薄板受有動(dòng)力荷載 （8i）這標(biāo)示：動(dòng)力荷載的分布形式保持不變，但它的數(shù)量卻以頻率周期性地隨時(shí)間變化。已知簡(jiǎn)支邊矩形薄板的振形函數(shù)為 （8j）首先把動(dòng)力荷載的表達(dá)式（8i）展為振形函數(shù)的級(jí)數(shù)： （8k）即按照重三角級(jí)數(shù)的展開(kāi)公式，我們有 （8l）現(xiàn)在，將式（8k）及式（8j)一并代入（2-28）式，即可見(jiàn)而常微分方程（8g）成為這一微分方程的特解可以取為于是由（2-30）式得撓度的表達(dá)式（8m）并從而得到速度的表達(dá)式（8n）設(shè)動(dòng)力荷載開(kāi)始作用時(shí)，薄板是靜止地處于平衡位置，則初始條件為，由后一條件得，從而由前一條件得代入式（8m）,即得撓度的最后解答（8o）其中的系數(shù)如式（8l)所示。當(dāng)動(dòng)力荷載的頻率趨于薄板的某一個(gè)自然頻率時(shí)，解答（8o）中相應(yīng)的一項(xiàng)將具有0/0的形式，不便討論。因此，利用關(guān)系式將上述一項(xiàng)變換為當(dāng)趨于時(shí)，