誤差原理第四章 最小二乘法

1、.4、最小二乘原理、最小二乘原理1 1）最小二乘法原理）最小二乘法原理n 次重復(fù)測量（次重復(fù)測量（ x1, x2, , xn ）最佳估計最佳估計OPTxOPTxxvii殘差殘差 平方和最小平方和最小 min22)(SxxvSOPTOPTiixx- 殘差平方和最小殘差平方和最小ixnxOPT14.1 經(jīng)典最小二乘法經(jīng)典最小二乘法一一.兩個未知量情況兩個未知量情況1b ba la bb lxa ab ba ba b2a ba la ab lxa ab ba ba b.注意到方程組形式上有如下特點： (1)沿主對角線分布著平方項系數(shù) ,aabbhh (2)以主對角線為對稱線，對稱分布的各系數(shù)彼此兩兩

2、相等。都為正數(shù)。0 C0y例4.1 在不同溫度下測定銅捧的長度如下表，試估計時的銅棒長度 和銅的線膨脹系數(shù)。二二.T個未知量的情況個未知量的情況.ilit0102,yxyx解 列出誤差方程式中 在溫度下銅捧長度的測得值； 銅棒的線膨脹系數(shù)。 為兩個待求估計參數(shù)，則誤差方程可寫為令.根據(jù)誤差方程，我們可列出正規(guī)方程又.將以上計算的相應(yīng)系數(shù)值代入上面的正規(guī)方程得解得即因此銅棒長度隨溫度的線性變化規(guī)律為.三、不等精度測量線性參數(shù)最小二乘法處理 不等精度誤差方程轉(zhuǎn)化為等精度誤差方程為 例4-2 已知測量方程.iY對的測量數(shù)據(jù)及其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為試列出最小二乘估計的正規(guī)方程。解 列出殘余誤差方程確定各測量

3、數(shù)據(jù)的權(quán)。.根據(jù)誤差方程及各測量數(shù)據(jù)的權(quán)，我們寫出正規(guī)方程式中.則正規(guī)方程為四、非線性參數(shù)最小二乘法非線性轉(zhuǎn)化為線性：. 為獲得非線性函數(shù)的展開式必須首先確定待求估計量的近似值，其方法有二個： (1)直接測量：若條件允許，可直接測量待求量，rx (2)利用部分方程式進(jìn)行計算。即可作為其近似值。所得結(jié)果例4-3 將下面的非線性殘余方程組化成線性的形式。.120,0vv1R2R1020,RR取方程組中前二式，令，則可得與的近似值，即處展開，取一次項，有將函數(shù)在.代入殘差方程，得線性殘差方程五、對同一量重復(fù)測量數(shù)據(jù)的最小二乘法 .4.2精度估計 一、測量數(shù)據(jù)的精度估計1. 等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計

4、例4-4 試求例4-1中銅棒長度的測量精度。解 已知殘余誤差方程可得殘余誤差為.則標(biāo)準(zhǔn)差為2不等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計 .二、最小二乘估計量的精度估計1.等精度測量時最小二乘估計量的精度估計 標(biāo)準(zhǔn)差為式中 測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差 2. 不等精度測量的情況不等精度測量的情況與等精度的類似 .例4-5 試求例4-1中銅棒長度和線膨脹系數(shù)估計量的精度。解 已知正規(guī)方程為測量數(shù)據(jù)il的標(biāo)準(zhǔn)差為求解不定乘數(shù)的方程為.解得估計量的標(biāo)準(zhǔn)差為因故 .例4-6 已知 135.3x ，測得 ijxx的值為 ijl，并已知 1269.5l 134.4,l1428.3,l2364.4,l 2442.1,l 3421.9l試用最小二乘法求 234,x x x及其誤差。 解 第一步，殘余誤差方程組已知 135.3,x 代入上式得.第二步，正規(guī)方程.則解得第三步，測量數(shù)據(jù)精度估計.則測量數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差為第四步，估計量精度估計求解不定乘數(shù).解得則估計量的標(biāo)準(zhǔn)差為.4.3矩陣最小二乘法 一、線性模型二、最小二乘法解1.等精度情況下的矩陣形式的正規(guī)方程 0TA V 2.不等精度測量時，正規(guī)方程可表示為0TA PV 1TXCA L *1