論文數(shù)學(xué)思想方法

1、數(shù)學(xué)思想方法河南省虞城縣李老家鄉(xiāng)第二初級(jí)中學(xué)；高華增數(shù)學(xué)思想方法一般是指人們?cè)跀?shù)學(xué)的發(fā)生、形成、發(fā)展過(guò)程中總結(jié)概括出來(lái)的數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是利用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題的思維策略和指導(dǎo)思想，它為數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和運(yùn)用提供了方向，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的“向?qū)А保瑪?shù)學(xué)思想的產(chǎn)生并作用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程中，尤其是在解決復(fù)雜的綜合題時(shí)，數(shù)學(xué)思想的合理運(yùn)用起著關(guān)鍵性的決定作用，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，不僅是學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)具備的、最基本的思想方法而且是新課標(biāo)改革的方向和中考試題解題特征常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有：化歸思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、分類(lèi)討論思想方法、數(shù)學(xué)建模思想方法、方程思想方法

2、、函數(shù)思想方法、整體思想方法，對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的突破，方法具體如下：類(lèi)型一：化歸思想方法: 重難點(diǎn)突破：解決問(wèn)題的基本思想就是化未知為已知，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，把生疏的問(wèn)題熟悉化，把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，也體現(xiàn)了把不易解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有章可循，容易解決的問(wèn)題的思想【例1】 如下圖中每個(gè)陰影部分是以多邊形各頂點(diǎn)為圓心，1為半徑的扇形，并且所有多邊形的每條邊都大于2，則第n個(gè)多邊形中，所有扇形面積之和是_(結(jié)果保留) 第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形分析：本題考察了扇形面積和n邊形內(nèi)角和公式，解題關(guān)鍵是：是求第n個(gè)圖形中(n2)個(gè)半徑為1的扇形的面積之和解析：，答案；類(lèi)型二：數(shù)形結(jié)合:

3、重難點(diǎn)突破： 根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙結(jié)合，充分利用這種結(jié)合探究解題思路，使問(wèn)題得以解決；【例2】(09重慶)如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC1,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿路線(xiàn)BCD作勻速運(yùn)動(dòng)，那么ABP的面積S與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程x之間的函數(shù)圖象大致是 ( )(B)313YYXX(D)(C)(A)P1233A1O33O11BNCDOOXXYY分析：本題考查點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)變化為前提，根據(jù)幾何圖形的面積變化特征，通過(guò)分段討論，確立相應(yīng)函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而確定函數(shù)圖象，這是一道典型的數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論的綜合題，是這幾年中招試題常見(jiàn)題型，解題關(guān)

4、鍵是能否充分利用分類(lèi)的討論思想，難點(diǎn)是能否把所有情況分別討論，很多同學(xué)因考慮不全而丟分解析：當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，即0x1時(shí)當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，即1x3時(shí) 答案：B類(lèi)型三：分類(lèi)討論思想方法: 重難點(diǎn)突破： 被研究問(wèn)題包含多種可能情況，而不能一概而論，此時(shí)我們必須按可能出現(xiàn)的所有情況來(lái)分別討論解決，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論在涉及到此問(wèn)題時(shí)，要遵循不重復(fù)、不逸漏任何一種情況和每種可能情況都要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論的原則，也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵【例3】(07成都)在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1.1)，與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且tanABO3，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是_解

5、析：關(guān)鍵是分兩種情況討論；答案：(2.O)或(4.O)【例4】已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)比為1:4，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為 ( )A200 B1200 C200或1200 D360分析：此題需要分類(lèi)討論；當(dāng)頂角與底角之比為1:4時(shí)，設(shè)頂角為x0，則有x4x4x1800，解得x20，此時(shí)頂角為200；當(dāng)?shù)捉桥c頂角之比為1:4時(shí)，設(shè)底角為x0，則有xx4x1800，解得x30，此時(shí)頂角為1200；故選(C)【例5】(09哈爾濱)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3.4)，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線(xiàn)AC交y軸于點(diǎn)M，AB邊交y軸于點(diǎn)H，ABCOM

6、Hxy求直線(xiàn)AC的解析式連接BM，如圖，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線(xiàn)ABC方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)PMB的面積為S(S0)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與tE圖之間的函數(shù)關(guān)系式(要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍)；在的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，MPB與BCO互為余角，并求此時(shí)直線(xiàn)OP與直線(xiàn)AC所夾銳角的正切值PABCOMHxy圖E分析：中，利用點(diǎn)A的坐標(biāo)求出OA的長(zhǎng)度為5，由于四邊形ABCD為菱形，則四條邊相等，所以點(diǎn)C的P1坐標(biāo)為(5.0)，由點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)AC的解析式；由圖形可知，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)與在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)，PMB的面積是不一同的，所以要分兩種

7、情況分別計(jì)算，利用三角形的面積公式，分別表示出兩種情況下的三角形的面積的函數(shù)解析式；可先假設(shè)此種情況成立，然后由此種情況推出相應(yīng)的結(jié)果，注意還要如一樣分兩種情況解答，若直接求此角的正切值，會(huì)比較困難，我們可通過(guò)角的轉(zhuǎn)化，求與其相等的角的正切，這個(gè)相等角在一個(gè)直角三角形中，這樣就可利用正切的定義求出相應(yīng)的值了解析：過(guò)點(diǎn)A作AEx軸，垂足為E(如圖)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3.4)，AE4，OE3四邊形ABCD為菱形，OCCBBAOA55kb0點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5.0) 3kb0設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為ykxb,則解得： 直線(xiàn)AC的解析式為：直線(xiàn)AC的解析式為：與y軸交于點(diǎn)M，M0M，如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由

8、題意得，0H4，HMS即S(0t)當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記為P10CMBCM，C0CB，CMCM，0MCBMC，MBM0，MBCM0C900S即S(t5)ABCOMHxy圖3EPP1Qk當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)0P與AC交于點(diǎn)Q，連接0B交AC于點(diǎn)k，A0CABC，A0MABMMPBBC0900，BA0BC0，BA0A0H900MPBA0H，MPBMBHMPMB，MHPBPHBH2，APAHPH321，tAB0C，PAQ0CQ，又AQPCQ0AQPCQ0，AQ在RtAEC中，ACAQ，QC在Rt0HB中，0BAC0B，0KKB，AKCK0K，AKKC2QKAKAQ，tan0QC當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)

9、時(shí)如圖ABCOMHxy圖EPPQkBHMPBM900，MPBMBHtanMPBtanMBH在RtMBP，PB，2t5，tPCBCPB5由PC0A，同理可證PQC0QA，QC，QKKCQC0K，tan0QA綜上所述，當(dāng)t時(shí)，MPB與BC0互為余角，直線(xiàn)0P與直線(xiàn)AC所求銳角的正切值為；當(dāng)t時(shí)，MPB與BC0互為余角，直線(xiàn)0P與直線(xiàn)AC所求銳角的正切值為1類(lèi)型四：數(shù)學(xué)建模思想方法：重難點(diǎn)突破：從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)引進(jìn)變量等處理過(guò)程，將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)思想方式表達(dá)，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)方法求解，可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的不同，建立方程(組)、不等式(組)、函數(shù)、幾何等模型，培養(yǎng)提高應(yīng)用

10、數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；DC8【例6】(07臨沂市)如圖，某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，為節(jié)約資源，現(xiàn)要按圖中所示的方法從這些邊角料上截取矩形(陰影部分)鐵皮備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長(zhǎng)x、y應(yīng)分別為 ( )Ax10，y14 Bx14，y10 Fy20Cx12，y15 Dx15，y12x分析：如圖，截取矩形鐵皮，則矩形其N(xiāo)EBA24中一個(gè)頂點(diǎn)可取在DC或BC邊上，由于使截取矩形面積最大，因此只需討論頂點(diǎn)在BC邊上，當(dāng)矩形面積最大時(shí)，求邊長(zhǎng)，實(shí)質(zhì)上是確定二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題解析：作CEAB于E，則CEDA，F(xiàn)NBCEB，即整理得因此(8y24)當(dāng)，即時(shí)，最大，答案(

11、D)【例7】某校九年班為畢業(yè)購(gòu)買(mǎi)留念品，欲購(gòu)買(mǎi)價(jià)格分別為2元，4元和10元的留念品，每種留念品至少購(gòu)買(mǎi)一件，共買(mǎi)16件，恰好用去50元，若2元的留念品購(gòu)買(mǎi)a件，用含a的代數(shù)式表示另外兩種留念品的件數(shù)；請(qǐng)你設(shè)計(jì)購(gòu)買(mǎi)方案，并說(shuō)明理由.解析；設(shè)4元的留念品買(mǎi)x件，10元的留念品買(mǎi)y件.，根據(jù)題意得解得axy162a4x10y504的留念品為件，10元的留念品為件由題意得11 解得，10a13 a1a為正整數(shù)，a10、11、12、13當(dāng)a10時(shí)，x5，y1當(dāng)a11時(shí)，x，y(不合題意，舍去)當(dāng)a12時(shí)，x，y (不合題意，舍去)當(dāng)a13時(shí)，x1，y2購(gòu)買(mǎi)方案一：2元的買(mǎi)10件，4元的買(mǎi)5件，10元的買(mǎi)

12、1件.購(gòu)買(mǎi)方案二：2元的買(mǎi)13件，4元的買(mǎi)1件，10元的買(mǎi)2件.類(lèi)型題五：方程思想方法：重難點(diǎn)突破；根據(jù)題意設(shè)定合適的未知數(shù)，尋求題中的等量關(guān)系，列出方程(組)并通過(guò)列方程(組)來(lái)求解，最后再進(jìn)行驗(yàn)證是否符合題意，并得出結(jié)論；【例8】小明在超市幫媽媽買(mǎi)回一袋紙杯，他把紙杯整齊地疊放在一起，請(qǐng)你根據(jù)圖中的信息，若小明把100個(gè)紙杯整齊疊放在一起時(shí)，它的高度約為 ( )A106cm B110cm C114cm D116cm 14cm9cm解析：本題由圖示提供的信息可設(shè)一個(gè)紙杯高度xcm，在一起兩紙杯間距離為ycm，根據(jù)題意得解得x2y9 x7x7y14 y1x(1001)y799×110

13、6(cm)，答案（A）類(lèi)型六：函數(shù)思想方法；重難點(diǎn)突破；根據(jù)題中的條件及所給數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題在函數(shù)關(guān)系中實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化【例9】凱里市某大型酒店有包房100間，在每天晚餐營(yíng)業(yè)時(shí)間，每間包房收包房費(fèi)100元時(shí)，包房便可全部租出；若每間包房收費(fèi)提高20元，則減少10間包房租出，若每次提高20元的這種方法變化下去設(shè)每間包房收費(fèi)提高x（元），則每間包房的收入為y1 （元），但會(huì)減少y2間包房租出，請(qǐng)分別寫(xiě)出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式解：依題意，得y1100x為了投資少而利潤(rùn)大，每間包房提高x （元）后，設(shè)酒店老板每天晚餐包房總收入為y（元），請(qǐng)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出每間包房每天晚餐應(yīng)提高多少元可獲得最大包房費(fèi)收入，請(qǐng)說(shuō)明理由解：依題意得 即y依題意得當(dāng)x40或60可使包房收入最大當(dāng)x40時(shí)，1000.5×4080（間）1120011250當(dāng)x60時(shí)，1000.5×6070（間）為了投資少而利潤(rùn)大， 取x60每間包房每天晚餐應(yīng)提高60元可獲得x6050400最大包房費(fèi)收入，最大包房費(fèi)收入為11200元類(lèi)型七：整體思想方法；重難點(diǎn)突破；由于題目按常規(guī)不容易求出某一(或多個(gè))未知量時(shí)，可打破常規(guī)，依據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，把一組數(shù)或一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)