《固體物理基礎(chǔ)教學(xué)》第2-3講

1、第第1 1章章 晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu) 1-1 1-1 晶體的特性晶體的特性 1-2 1-2 晶格晶格及其實(shí)例及其實(shí)例 1-3 1-3 晶格的周期性晶格的周期性 1-4 1-4 晶向和晶面晶向和晶面 1-5 1-5 晶體對稱性與布拉菲格子晶體對稱性與布拉菲格子 1-6 1-6 倒格子倒格子u 晶體：原子排列長程有序（水晶，巖鹽，金剛石）晶體：原子排列長程有序（水晶，巖鹽，金剛石）晶體（規(guī)則點(diǎn)陣）晶體（規(guī)則點(diǎn)陣）.1-11-1 晶體的特性晶體的特性u 物理：物理：* * 固定熔點(diǎn)（在熔化過程中，晶態(tài)固體的長程有序解體固定熔點(diǎn)（在熔化過程中，晶態(tài)固體的長程有序解體 時(shí)對應(yīng)一定的熔點(diǎn)）時(shí)對應(yīng)一定的熔點(diǎn)）*

2、 * 原子排列長程有序（微米量級的范圍是有序排列的原子排列長程有序（微米量級的范圍是有序排列的 ）* * 解理性解理性 （ SiSi的解理面為（的解理面為（111111）u 幾何外形：幾何外形：* * 凸多面體，晶棱平行，晶面夾角守恒凸多面體，晶棱平行，晶面夾角守恒.p晶體晶體的晶面組合成的晶面組合成晶帶晶帶p晶面晶面的交線是的交線是晶棱晶棱 相互相互平行平行p方向方向OOOO稱為該晶帶稱為該晶帶的的帶帶軸軸p重要重要的帶軸通常的帶軸通常稱為稱為晶軸晶軸示例：不同示例：不同生長條件下生長條件下NaClNaCl晶體的晶體的外形外形1-11-1 晶體的特性晶體的特性.1-11-1 晶體的特性晶體的

3、特性u 金剛石：復(fù)式面心立方結(jié)構(gòu)，最堅(jiān)硬固體，絕緣體金剛石：復(fù)式面心立方結(jié)構(gòu)，最堅(jiān)硬固體，絕緣體u 石墨：層狀結(jié)構(gòu)，質(zhì)軟，潤滑性好，導(dǎo)體石墨：層狀結(jié)構(gòu)，質(zhì)軟，潤滑性好，導(dǎo)體u 石墨烯：單層碳原子，優(yōu)異電輸運(yùn)性能石墨烯：單層碳原子，優(yōu)異電輸運(yùn)性能晶體結(jié)構(gòu)決定物理性能！晶體結(jié)構(gòu)決定物理性能！金剛石金剛石石墨石墨石墨烯石墨烯.1-21-2 晶格晶格u怎樣描述不同的晶體結(jié)構(gòu)？每一個(gè)原子的坐標(biāo)都寫出來？原怎樣描述不同的晶體結(jié)構(gòu)？每一個(gè)原子的坐標(biāo)都寫出來？原子數(shù)目子數(shù)目10102323cmcm-3-3量級，不可行！尋找規(guī)律！量級，不可行！尋找規(guī)律！u規(guī)律：金，銀，銅雖然化學(xué)成分不同，如果不查究其化學(xué)成分，

4、規(guī)律：金，銀，銅雖然化學(xué)成分不同，如果不查究其化學(xué)成分，即不管原子是金或銀還是銅，不管原子之間間距的大小，那他們即不管原子是金或銀還是銅，不管原子之間間距的大小，那他們是完全相同的，就是他們的結(jié)構(gòu)完全相同！是完全相同的，就是他們的結(jié)構(gòu)完全相同！u數(shù)學(xué)方法抽象描寫：不區(qū)分物理，化學(xué)成分，數(shù)學(xué)方法抽象描寫：不區(qū)分物理，化學(xué)成分，每個(gè)原子都是不區(qū)每個(gè)原子都是不區(qū)分的分的，只有原子（數(shù)學(xué)上僅僅是一個(gè)幾何點(diǎn)）的相對幾何排列有，只有原子（數(shù)學(xué)上僅僅是一個(gè)幾何點(diǎn)）的相對幾何排列有意義。意義。金剛石（立方）金剛石（立方）石墨（六方）石墨（六方）石墨烯（六方）石墨烯（六方）. 理想晶體：實(shí)際晶體的數(shù)學(xué)抽象理想晶

5、體：實(shí)際晶體的數(shù)學(xué)抽象以完全相同的基本結(jié)構(gòu)單元（基元）規(guī)則地，重復(fù)的以完以完全相同的基本結(jié)構(gòu)單元（基元）規(guī)則地，重復(fù)的以完全相同的方式無限地排列而成全相同的方式無限地排列而成 格點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）：基元位置，代表基元的幾何點(diǎn)格點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）：基元位置，代表基元的幾何點(diǎn) 晶格（點(diǎn)陣）：格點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）的總和晶格（點(diǎn)陣）：格點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）的總和 原子種類和間距不同，但有相同的原子種類和間距不同，但有相同的排列規(guī)則排列規(guī)則，則這些原子，則這些原子構(gòu)成的晶體具有相同的晶格構(gòu)成的晶體具有相同的晶格 簡立方簡立方(cubic)(cubic)，面心立方，面心立方(bcc), (bcc), 體心立方體心立方(fcc(fcc),)

6、,六六方方(hcp)(hcp)1-21-2 晶格晶格點(diǎn)陣點(diǎn)陣基元基元晶體晶體晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu) = = 點(diǎn)陣（數(shù)學(xué)幾何點(diǎn)）點(diǎn)陣（數(shù)學(xué)幾何點(diǎn)） + + 基元（物理）基元（物理）.p 晶格晶格的共同特點(diǎn)是周期性，用的共同特點(diǎn)是周期性，用原胞原胞和和基矢基矢描述。描述。p 原原胞胞 (Primitive cell)(Primitive cell)：晶格的：晶格的最小周期性單元最小周期性單元。又稱初基晶胞。又稱初基晶胞。p 基基矢：原胞的邊矢量矢：原胞的邊矢量p 晶胞晶胞 (Unit cell)(Unit cell)：晶體學(xué)中，為了：晶體學(xué)中，為了反映晶格的對稱性反映晶格的對稱性，選取，選取較較 大的大

7、的周期性單元，又稱單胞。周期性單元，又稱單胞。單胞不一定是原胞單胞不一定是原胞原胞選取不唯一原胞選取不唯一，但有習(xí)慣的選取方式。但有習(xí)慣的選取方式。三維晶格原胞通常是三維晶格原胞通常是平行六面體平行六面體。原原胞和胞和晶胞晶胞 1-31-3 晶格的周期性晶格的周期性321,aaa.簡立方晶格：原胞和單胞相同簡立方晶格：原胞和單胞相同如何判斷所選取的原胞是正確的，即最小周期單元？如何判斷所選取的原胞是正確的，即最小周期單元？計(jì)算計(jì)算原胞體積所對應(yīng)的原子數(shù)原胞體積所對應(yīng)的原子數(shù)。原胞中只包含原胞中只包含一個(gè)一個(gè)原子原子1-31-3 晶格的周期性晶格的周期性- -簡單立方晶格簡單立方晶格基矢基矢原胞

8、體積原胞體積kaaj aai aa321,3321)(aaaaV.123()2()2()2aajkaakiaaij332141)(aaaaV,aaibajcak3)(acbaV原胞基矢原胞基矢原胞的體積原胞的體積單胞基矢單胞基矢單胞的體積單胞的體積單胞內(nèi)原子數(shù)：單胞內(nèi)原子數(shù)：4 4原原胞內(nèi)原子數(shù)：胞內(nèi)原子數(shù)：1 11-31-3 晶格的周期性晶格的周期性- -面心立方晶格面心立方晶格單胞內(nèi)原子坐標(biāo)：單胞內(nèi)原子坐標(biāo)： （0,0,00,0,0）(1/2,0,1/2)(1/2,0,1/2)（1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2)1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2).單胞內(nèi)原子數(shù)：單胞內(nèi)原子數(shù)

9、：2 2原原胞內(nèi)原子數(shù)：胞內(nèi)原子數(shù)：1 1)(2)(2)(2321kjiaakjiaakjiaa原胞基原胞基矢矢原胞體積原胞體積332121)(aaaaV1-31-3 晶格的周期性晶格的周期性- -體體心立方晶格心立方晶格,aaibajcak3)(acbaV單胞基矢單胞基矢單胞的體積單胞的體積單胞內(nèi)原子坐標(biāo)：單胞內(nèi)原子坐標(biāo)： （0,0,00,0,0）(1/2,1/2,1/2)(1/2,1/2,1/2).p 以某個(gè)格點(diǎn)為中心，作其與鄰近格點(diǎn)的中垂面，這些以某個(gè)格點(diǎn)為中心，作其與鄰近格點(diǎn)的中垂面，這些中垂面所包含最小體積的區(qū)域?yàn)橹写姑嫠钚◇w積的區(qū)域?yàn)榫S格納維格納- -賽茲原胞賽茲原胞p 對稱

10、性原胞，不依賴于基矢的選擇，與相應(yīng)的布拉菲對稱性原胞，不依賴于基矢的選擇，與相應(yīng)的布拉菲格子有完全相同的對稱性格子有完全相同的對稱性特點(diǎn)：特點(diǎn)：1.1.僅包含一個(gè)格點(diǎn)，體積與僅包含一個(gè)格點(diǎn)，體積與慣用原胞相等慣用原胞相等2.2.保留了晶格所有的對稱性保留了晶格所有的對稱性3.3.平常很少用，在能帶理論平常很少用，在能帶理論中對應(yīng)布里淵區(qū)中對應(yīng)布里淵區(qū)1-3x1-3x Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞原胞.六角密排晶格的原六角密排晶格的原胞和單胞一樣胞和單胞一樣* * 一個(gè)原胞中包含一個(gè)原胞中包含A A層層 和和B B層原子各一個(gè)層原子各一個(gè)* * 共兩個(gè)原子共兩個(gè)原子1-3

11、1-3 晶格的周期性晶格的周期性- -密排六方晶格密排六方晶格)3(21jiaa基矢：基矢：kca3)3(22jiaa.什么是固體？什么是固體？研究固體的思路？復(fù)雜到簡單研究固體的思路？復(fù)雜到簡單為什么從研究晶體開始？為什么從研究晶體開始？原胞的選取唯一嗎？原胞的選取唯一嗎？第一講回顧第一講回顧.簡單晶格簡單晶格：原胞中僅包含：原胞中僅包含1 1個(gè)個(gè)原子，所有原子的幾原子，所有原子的幾何位置和化學(xué)性質(zhì)完全等價(jià)何位置和化學(xué)性質(zhì)完全等價(jià)復(fù)式晶格復(fù)式晶格：包含兩種或以上的等價(jià)原子：包含兩種或以上的等價(jià)原子 * * 兩種兩種不同不同原子或離子構(gòu)成：原子或離子構(gòu)成：NaCl, CsClNaCl, CsC

12、l * * 同種同種原子但幾何位置不等價(jià)原子但幾何位置不等價(jià)：金剛石結(jié)構(gòu)、：金剛石結(jié)構(gòu)、六六 方密方密排結(jié)構(gòu)排結(jié)構(gòu)復(fù)式晶格的原胞就是相應(yīng)的簡單晶格的原胞，復(fù)式晶格的原胞就是相應(yīng)的簡單晶格的原胞，在原胞中包含每種等價(jià)原子各一個(gè)在原胞中包含每種等價(jià)原子各一個(gè)1-31-3晶格的周期性晶格的周期性- -簡單晶格與復(fù)式晶格簡單晶格與復(fù)式晶格.簡立方晶格在實(shí)際晶體中并不罕見（簡立方晶格在實(shí)際晶體中并不罕見（CsCl, NHCsCl, NH4 4Cl,CuZnCl,CuZn等等）但）但一般常見的元素不結(jié)晶為簡立方結(jié)構(gòu)。一般常見的元素不結(jié)晶為簡立方結(jié)構(gòu)。1-31-3 實(shí)例實(shí)例- -簡單立方晶格簡單立方晶格.*

13、 *為了為了保證同一層中原子球間的距離等于保證同一層中原子球間的距離等于A-AA-A層之間的距離層之間的距離， 正方正方排列的原子球并不是緊密靠在一起；排列的原子球并不是緊密靠在一起；* *由由幾何關(guān)系證明，間隙幾何關(guān)系證明，間隙0 0，r r0 0為原子球的半徑。為原子球的半徑。* *具有具有體心立方晶格結(jié)構(gòu)的金屬：體心立方晶格結(jié)構(gòu)的金屬：LiLi、Na Na 、CrCr、 W W、 FeFe等等. .1-31-3 實(shí)例實(shí)例- -體心立方晶格體心立方晶格.ABCABC 密堆積方式排布密堆積方式排布面心立方晶格的堆積比=? 配位數(shù)=？具有面心立方晶格具有面心立方晶格結(jié)構(gòu)的金屬：結(jié)構(gòu)的金屬：Au

14、, Au, Ag, CuAg, Cu等等1-21-2 實(shí)例實(shí)例- -面心立方晶格面心立方晶格堆積比率堆積比率：被原子（球）所占據(jù)的：被原子（球）所占據(jù)的可用體積的最大比率?？捎皿w積的最大比率。配位數(shù)：配位數(shù)：最近鄰原子數(shù)。指原子間最近鄰原子數(shù)。指原子間距最小并相等的原子個(gè)數(shù)距最小并相等的原子個(gè)數(shù).ABAB密排堆垛密排堆垛六方晶格的堆積比六方晶格的堆積比=?=?配位數(shù)配位數(shù)= =？1-31-3 實(shí)例實(shí)例- -密排六方密排六方晶格晶格具有密排六方晶具有密排六方晶格結(jié)構(gòu)的金屬：格結(jié)構(gòu)的金屬：ZnZn，MgMg等等.l 兩兩套面心立方套構(gòu)而套面心立方套構(gòu)而成成l 第二第二套套4 4個(gè)原子位于體對角線個(gè)

15、原子位于體對角線1/41/4處處l 第二第二套套C C原子與原子與4 4個(gè)第一套個(gè)第一套C C原子形成正原子形成正四面體四面體l Si Si, , GeGe為金剛石為金剛石結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)1-31-3 實(shí)例實(shí)例- -金剛石晶格金剛石晶格單胞中的單胞中的原子坐標(biāo)？原子坐標(biāo)？.NaNa和和ClCl分別構(gòu)成面心立方格子，彼此在空間有一個(gè)位移分別構(gòu)成面心立方格子，彼此在空間有一個(gè)位移1-31-3 實(shí)例實(shí)例- -NaClNaCl晶格晶格.nCsCs和和ClCl分別構(gòu)成簡立方格子，彼此在空間有一個(gè)分別構(gòu)成簡立方格子，彼此在空間有一個(gè)位移位移n注意：注意：CsClCsCl不是體心立方，而是簡立方結(jié)構(gòu)！不是體心立方，

16、而是簡立方結(jié)構(gòu)！1-31-3 實(shí)例實(shí)例- -CsClCsCl晶格晶格.u類似金剛石結(jié)構(gòu)，類似金剛石結(jié)構(gòu)，ZnZn和和S S分別組成面心立方格子分別組成面心立方格子u化合物半導(dǎo)體如化合物半導(dǎo)體如GaAs, InPGaAs, InP等為閃鋅礦結(jié)構(gòu)等為閃鋅礦結(jié)構(gòu)1-31-3 實(shí)例實(shí)例- -閃鋅礦閃鋅礦ZnSZnS結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu).u類似密排六方結(jié)構(gòu)類似密排六方結(jié)構(gòu)，ZnZn和和S S分別分別組成六方格子組成六方格子u化合物半導(dǎo)體化合物半導(dǎo)體如如ZnTe, AgIZnTe, AgI等為纖鋅礦結(jié)構(gòu)等為纖鋅礦結(jié)構(gòu)1-31-3 實(shí)例實(shí)例- -纖纖鋅礦鋅礦ZnSZnS結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu).鈣鈦礦型的化學(xué)式可寫為鈣鈦礦型的化學(xué)式可

17、寫為ABOABO3 3 * * A A代表二價(jià)或一價(jià)的金屬代表二價(jià)或一價(jià)的金屬 * * B B代表四價(jià)或五價(jià)的金屬代表四價(jià)或五價(jià)的金屬 * * BOBO3 3稱為氧八面體基團(tuán)稱為氧八面體基團(tuán), , 是鈣鈦礦型晶體結(jié)構(gòu)的是鈣鈦礦型晶體結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)特點(diǎn) * * 重要介電晶體：鈦酸鋇（重要介電晶體：鈦酸鋇（BaTiOBaTiO3 3）、鋯酸鉛（）、鋯酸鉛（PbZrOPbZrO3 3）、）、 鈮酸鋰（鈮酸鋰（LiNbOLiNbO3 3）、鉭酸鋰（）、鉭酸鋰（LiTaOLiTaO3 3）28/281-31-3 實(shí)例實(shí)例- -鈣鈦礦結(jié)構(gòu)鈣鈦礦結(jié)構(gòu).p 晶體晶體 = = 布拉菲格子布拉菲格子 (lattice

18、) (lattice) + + 基元基元 （basisbasis）p 簡單晶格，任意格點(diǎn)均可表示為簡單晶格，任意格點(diǎn)均可表示為p 布拉菲格子是數(shù)學(xué)抽象，是點(diǎn)在空間的周期性排列，布拉菲格子是數(shù)學(xué)抽象，是點(diǎn)在空間的周期性排列， 又稱點(diǎn)陣。又稱點(diǎn)陣。1-4 1-4 布拉菲格子布拉菲格子 (Bravais lattice) 2132aaRl3213aaaRl332211alalalRl.復(fù)式晶格復(fù)式晶格：任一原子：任一原子A A的位矢的位矢3, 2, 1,332211alalalrRalr為原為原胞中各種等價(jià)原子之間的相對位移胞中各種等價(jià)原子之間的相對位移金剛石晶格中金剛石晶格中332211alala

19、l332211alalal對角線位移對角線位移4/1* * 碳碳1 1位置位置* * 碳碳2 2位置位置1-4 1-4 布拉菲格子布拉菲格子 (Bravais lattice) .p 任意格點(diǎn)均可表示為任意格點(diǎn)均可表示為p 布拉菲格子是數(shù)學(xué)抽象，是點(diǎn)在空間的周期性排列，布拉菲格子是數(shù)學(xué)抽象，是點(diǎn)在空間的周期性排列， 又稱點(diǎn)陣。又稱點(diǎn)陣。1-4 1-4 布拉菲格子布拉菲格子 (Bravais lattice) 3, 2, 1,332211alalalrRal晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu) = = 點(diǎn)陣（數(shù)學(xué)幾何點(diǎn)）點(diǎn)陣（數(shù)學(xué)幾何點(diǎn)） + + 基元（物理）基元（物理）.簡單晶格簡單晶格 基元是一個(gè)原子基元是一個(gè)

20、原子復(fù)式晶格復(fù)式晶格 基元是一個(gè)以上原子基元是一個(gè)以上原子19/191-4 1-4 布拉菲格子布拉菲格子 (Bravais lattice) 晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu) = = 點(diǎn)陣（數(shù)學(xué)幾何點(diǎn)）點(diǎn)陣（數(shù)學(xué)幾何點(diǎn)） + + 基元（物理）基元（物理）.晶體基本特點(diǎn)：各向異性晶體基本特點(diǎn)：各向異性晶列晶列通過任意兩個(gè)格點(diǎn)連一直線，則這一直線包含無限個(gè)相同格點(diǎn)，通過任意兩個(gè)格點(diǎn)連一直線，則這一直線包含無限個(gè)相同格點(diǎn)，這樣的直線稱為晶列，也是晶體外表上所見的晶棱。其上的格點(diǎn)這樣的直線稱為晶列，也是晶體外表上所見的晶棱。其上的格點(diǎn)分布具有一定的分布具有一定的周期周期-任意兩相鄰格點(diǎn)的間距。任意兩相鄰格點(diǎn)的間距。

21、晶列的特點(diǎn)晶列的特點(diǎn) （1 1）一族平行晶列把所有格點(diǎn)包括）一族平行晶列把所有格點(diǎn)包括無遺無遺 （2 2）在一平面中，同族的相鄰晶列之間）在一平面中，同族的相鄰晶列之間 距離相等距離相等 （3 3）通過一格點(diǎn)可以有）通過一格點(diǎn)可以有無限多無限多個(gè)晶列個(gè)晶列，每，每 一一晶列都有一族平行的晶列與之晶列都有一族平行的晶列與之對應(yīng)對應(yīng) （4 4）有無限多族平行晶有無限多族平行晶列列1-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面.l 如何區(qū)分不同的晶列簇？如何區(qū)分不同的晶列簇？晶向晶向！兩個(gè)格點(diǎn)的！兩個(gè)格點(diǎn)的 連線即一晶列，因此從任一格點(diǎn)沿晶列方向到連線即一晶列，因此從任一格點(diǎn)沿晶列方向到 最近鄰格點(diǎn)最近鄰格點(diǎn)

22、的平移矢量即晶向的平移矢量即晶向l 取取某一原子為原點(diǎn)某一原子為原點(diǎn)O O，原胞的三個(gè)基，原胞的三個(gè)基矢矢l 沿晶向到沿晶向到最近的一個(gè)格點(diǎn)最近的一個(gè)格點(diǎn)的位矢的位矢321,aaa332211alalal# # 晶向指數(shù)表示為晶向指數(shù)表示為321llluvw 1-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面# # 指數(shù)指數(shù)是整數(shù)，互質(zhì)是整數(shù)，互質(zhì)# # 晶胞和原胞類似晶胞和原胞類似.1233ARaaa1223ARaa晶向指數(shù)晶向指數(shù)311晶向指數(shù)晶向指數(shù)2301-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面.簡單簡單立方晶格立方晶格的主要晶向的主要晶向# # 立方立方邊邊OA的晶向的晶向100立方邊共有立方邊共有6

23、6個(gè)不同的個(gè)不同的晶向晶向# # 面面對角線對角線OB的晶向的晶向# # 體對角線體對角線OC晶向晶向 1101-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面111面對角線共有面對角線共有1212個(gè)個(gè)不同的不同的晶向晶向體對角線共有體對角線共有？個(gè)個(gè)不同的不同的晶向晶向.1-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面n 與晶列類似，晶格中的所有格點(diǎn)也可看成都在一族與晶列類似，晶格中的所有格點(diǎn)也可看成都在一族 族相互平行的、間距相等的平面上族相互平行的、間距相等的平面上n 晶體的晶面晶體的晶面 在布拉菲格子中作一簇平行的平面，這些相互平行、在布拉菲格子中作一簇平行的平面，這些相互平行、 等間距的平面可以將所有的格點(diǎn)包

24、括無遺。這些相互等間距的平面可以將所有的格點(diǎn)包括無遺。這些相互 平行的平面稱為晶體的晶面平行的平面稱為晶體的晶面.u 如何區(qū)分不同的晶面？晶面的方向：密勒指數(shù)如何區(qū)分不同的晶面？晶面的方向：密勒指數(shù)u 以晶胞基矢定義的互質(zhì)整數(shù)，用以表示晶面的方以晶胞基矢定義的互質(zhì)整數(shù)，用以表示晶面的方 向，又稱為晶面指數(shù)向，又稱為晶面指數(shù)1-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面- -密勒指數(shù)密勒指數(shù)1.1. 確定某平面在直角坐標(biāo)系確定某平面在直角坐標(biāo)系 3 3個(gè)軸上的截點(diǎn)，并以晶格常數(shù)個(gè)軸上的截點(diǎn)，并以晶格常數(shù)為單位測得相應(yīng)的截距。為單位測得相應(yīng)的截距。2.2. 取截距的倒數(shù)，然后約簡為取截距的倒數(shù)，然后約簡為

25、3 3 個(gè)沒有公約數(shù)的整數(shù)，即個(gè)沒有公約數(shù)的整數(shù)，即將其化簡成最簡單的整數(shù)比。將其化簡成最簡單的整數(shù)比。3.3. 將此結(jié)果以將此結(jié)果以 “（hkl）”表示，即為此平面的密勒指數(shù)。表示，即為此平面的密勒指數(shù)。1/3:1/4:1/2=(436)？2, 4, 3wvu.n 如果某族晶面與某一基矢沒有相交如果某族晶面與某一基矢沒有相交 截距是無窮大，例如截距是無窮大，例如 密勒指數(shù)為：密勒指數(shù)為：n 如果晶面與某一晶軸的負(fù)方向相交，則相應(yīng)指數(shù)上如果晶面與某一晶軸的負(fù)方向相交，則相應(yīng)指數(shù)上 加負(fù)號，如加負(fù)號，如n 晶面間距：相鄰兩層平行晶面之間的距離晶面間距：相鄰兩層平行晶面之間的距離n 面密度：晶面上

26、質(zhì)點(diǎn)的密度面密度：晶面上質(zhì)點(diǎn)的密度n 密勒指數(shù)小的晶面，格點(diǎn)密度大密勒指數(shù)小的晶面，格點(diǎn)密度大？什么樣的面容易解理？什么樣的面容易解理？n 晶體中重要的面指數(shù)都是簡單的，如晶體中重要的面指數(shù)都是簡單的，如1-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面- -密勒指數(shù)密勒指數(shù)wvu, 1, 3)130()0:3:1 ()0:1:31()(hkl)101()110(.1-5 1-5 立方晶格的主要晶面立方晶格的主要晶面#(110)#(110)表示一組平行晶面表示一組平行晶面#110#110表示一組空間表示一組空間等同晶面等同晶面，包括，包括1212個(gè)晶面如個(gè)晶面如#100#100面包括面包括6 6個(gè)等同晶面?zhèn)€

27、等同晶面#111#111包括包括？個(gè)等同晶面?zhèn)€等同晶面)101(),110(),101(),110(.六方結(jié)構(gòu)中六方結(jié)構(gòu)中，為了能充分體現(xiàn)六方晶系的六重對稱性，為了能充分體現(xiàn)六方晶系的六重對稱性，常常用常常用4 4個(gè)坐標(biāo)指數(shù)表示晶面，被稱為個(gè)坐標(biāo)指數(shù)表示晶面，被稱為密勒布拉菲指數(shù)密勒布拉菲指數(shù)（hkilhkil） 其中其中h+k=-i, h+k=-i, 此時(shí)選取此時(shí)選取4 4個(gè)晶軸個(gè)晶軸a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,c,c。1-5 1-5 晶向和晶面晶向和晶面- -密勒指數(shù)密勒指數(shù).1-7 1-7 晶體對稱性晶體對稱性p 為何要引入晶胞？前面講的原胞只涉及平移對稱性為何要引入晶胞？

28、前面講的原胞只涉及平移對稱性p 晶體宏觀對稱性：對晶體做某種幾何操作后，晶體可以完全復(fù)原晶體宏觀對稱性：對晶體做某種幾何操作后，晶體可以完全復(fù)原 的特性。其中的幾何操作為對稱操作的特性。其中的幾何操作為對稱操作p 在晶體對稱操作過程中，若至少有一點(diǎn)保持不變，這種對稱操在晶體對稱操作過程中，若至少有一點(diǎn)保持不變，這種對稱操 作稱為點(diǎn)對稱操作，晶體的這種對稱性為宏觀對稱性作稱為點(diǎn)對稱操作，晶體的這種對稱性為宏觀對稱性p 宏觀對稱反映在宏觀物理性質(zhì)上，如外形宏觀對稱反映在宏觀物理性質(zhì)上，如外形.四種基本的四種基本的操作操作轉(zhuǎn)動、反演、反映、象轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)動、反演、反映、象轉(zhuǎn)軸。1. 1. 轉(zhuǎn)動對稱操作轉(zhuǎn)

29、動對稱操作設(shè)晶體外形為一立方體，沿圖中所示設(shè)晶體外形為一立方體，沿圖中所示轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動90900 0，外形與原來重合。這樣，外形與原來重合。這樣的轉(zhuǎn)動稱為的轉(zhuǎn)動稱為轉(zhuǎn)動對稱操作轉(zhuǎn)動對稱操作。該軸稱為。該軸稱為轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動軸。1-7 1-7 晶體的點(diǎn)對稱操作晶體的點(diǎn)對稱操作轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動軸.由于由于受晶格周期性的限制，轉(zhuǎn)動對稱操作所轉(zhuǎn)動的受晶格周期性的限制，轉(zhuǎn)動對稱操作所轉(zhuǎn)動的角度并不是任意的。而是遵循一定的規(guī)律。角度并不是任意的。而是遵循一定的規(guī)律。 B1 A B A1B A ABAB是晶列上最近鄰兩格點(diǎn)的距離。是晶列上最近鄰兩格點(diǎn)的距離。 是整數(shù)。是整數(shù)。n nABABBAABABnAB 21

30、cos)cos21(coscos 1-7 1-7 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動. )(64321643212 22 32 42 62 12 32 2 3 0 : 1- 0.5- 0 0.5 1 :cos1;- 0 1 2 3 : 10123 1cos121cos轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸。度度次次，。分分別別稱稱為為，即即。，只只能能取取值值：，且且 nnnnn 1-7 1-7 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動.2.2.中心反演中心反演 如圖所示，有對稱心如圖所示，有對稱心i i，晶體中任一點(diǎn)，晶體中任一點(diǎn)A A過中心過中心 i i 連線連線A Ai i并延長到并延長到A A，使，使A Ai i= = A Ai i, , A A與與A A是等同是等同點(diǎn)，

31、點(diǎn)，i i點(diǎn)稱為點(diǎn)稱為對稱心對稱心。表示方式表示方式(1)(1)熊夫利符號表示熊夫利符號表示C Ci i; ;(2)(2)國際符號表示國際符號表示i i。例：立方體的中心就是對稱中心。例：立方體的中心就是對稱中心。AA i zyx, zyx ,1-7 1-7 中心反演中心反演.3. 3. 反映反映 （鏡象、對稱面（鏡象、對稱面）如圖所示，如圖所示，A A和和A A表示方式表示方式(1)(1)熊夫利符號表示熊夫利符號表示; ; (2)(2)國際符號表示國際符號表示m m。AA Oxyz zyx, zyx ,O O- -xy xy 相當(dāng)于鏡面。相當(dāng)于鏡面。AA 1-7 1-7 反映反映.1.1.旋

32、轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)- -反演軸反演軸( (象轉(zhuǎn)軸象轉(zhuǎn)軸) )(1)(1)定義定義先繞先繞u u軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動2 2/ /n n，再經(jīng)過，再經(jīng)過中心反演中心反演，晶體，晶體自動重合，則稱自動重合，則稱u u軸為軸為n n度旋轉(zhuǎn)度旋轉(zhuǎn)反演軸，又稱為反演軸，又稱為n n度象轉(zhuǎn)度象轉(zhuǎn)軸。只有軸。只有1 1，2 2，3 3，4 4，6 6。(2)(2)符號表示符號表示 64321，n n度象轉(zhuǎn)軸簡析度象轉(zhuǎn)軸簡析 n n度象轉(zhuǎn)軸實(shí)際上并不都是獨(dú)立的，只度象轉(zhuǎn)軸實(shí)際上并不都是獨(dú)立的，只有有 是獨(dú)立的。是獨(dú)立的。 41-7 1-7 象轉(zhuǎn)軸象轉(zhuǎn)軸.(1)(1) 象象轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸實(shí)際上就是實(shí)際上就是對稱心對稱心i i。 1)(對稱

33、心對稱心Ox)( 軸軸uzy zyx,A zyx ,A A A點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)軸點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)軸( (z z軸軸) )旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)3603600 0，在經(jīng)過中心反演到，在經(jīng)過中心反演到A A點(diǎn)，晶體完全重合。點(diǎn)，晶體完全重合。實(shí)際上即為中心反演。實(shí)際上即為中心反演。1-7 1-7 象轉(zhuǎn)軸象轉(zhuǎn)軸.(2(2) ) 象轉(zhuǎn)軸象轉(zhuǎn)軸實(shí)際上實(shí)際上就是對鏡象就是對鏡象m m。 2A zyx ,)(對稱心對稱心Ox)( 軸軸uzyA zyx, zyx, A 和和O-xyO-xy對稱面的對稱面的操作相當(dāng)。操作相當(dāng)。1-7 1-7 象轉(zhuǎn)軸象轉(zhuǎn)軸.(3) (3) 象轉(zhuǎn)軸象轉(zhuǎn)軸實(shí)際上就是實(shí)際上就是3 3度轉(zhuǎn)軸對稱心度轉(zhuǎn)軸對稱心(i(i

34、) ) 1234 5 1 2 3 46 563晶體的點(diǎn)為晶體的點(diǎn)為1,2,3,4,5,6.1,2,3,4,5,6.它們符合它們符合3 3度轉(zhuǎn)度轉(zhuǎn)軸加對稱中心軸加對稱中心.12 4 6 5 1 3 23456(4) (4) 象轉(zhuǎn)軸象轉(zhuǎn)軸實(shí)際上實(shí)際上就是就是3 3度度轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸對稱面對稱面(m) (m) 6晶體的點(diǎn)為晶體的點(diǎn)為1,2,3,4,5,6.1,2,3,4,5,6.它們符合它們符合3 3度轉(zhuǎn)度轉(zhuǎn)軸加對稱面軸加對稱面.(5) (5) 象象轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸411 3 2 4 234甲烷分子甲烷分子晶體的點(diǎn)為晶體的點(diǎn)為1,2,3,4.1,2,3,4.它們不它們不符合符合4 4度轉(zhuǎn)軸加對度轉(zhuǎn)軸加對稱中心，是

35、獨(dú)立稱中心，是獨(dú)立的對稱操作的對稱操作.結(jié)論：結(jié)論： 晶體晶體的宏觀對稱性中有以下的宏觀對稱性中有以下八種八種基本的對稱基本的對稱操作：操作：1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i, , m m, , 。 這些基本的這些基本的操作組合起來，就可以得到操作組合起來，就可以得到3232種宏觀操作類型種宏觀操作類型（3232點(diǎn)群點(diǎn)群）。）。 平移對稱性（周期性）平移對稱性（周期性）+ + 轉(zhuǎn)動對稱性（點(diǎn)群）轉(zhuǎn)動對稱性（點(diǎn)群）= = 空間群空間群 ( (230230種種）。）。41-7 1-7 晶體對稱性晶體對稱性.n 晶體的周期性，單胞內(nèi)原子數(shù)，晶體的周期性，單胞內(nèi)原子數(shù)， 配位數(shù)，堆積率配

36、位數(shù)，堆積率n 晶向，晶面，對稱操作晶向，晶面，對稱操作n 轉(zhuǎn)動操作有幾種？轉(zhuǎn)動操作有幾種？n 為什么為什么4 4次像轉(zhuǎn)軸是獨(dú)立的？次像轉(zhuǎn)軸是獨(dú)立的？第二講回顧第二講回顧.布拉菲格子的對稱群所包含的對稱操作布拉菲格子的對稱群所包含的對稱操作1. 1. 點(diǎn)對稱操作（宏觀對稱性）：轉(zhuǎn)動、點(diǎn)對稱操作（宏觀對稱性）：轉(zhuǎn)動、 反演、平面反映等反演、平面反映等2. 2. 點(diǎn)陣平移操作點(diǎn)陣平移操作3.3.上述兩種形式的連續(xù)操作上述兩種形式的連續(xù)操作點(diǎn)群點(diǎn)群：點(diǎn)對稱操作集合：點(diǎn)對稱操作集合空間群空間群：點(diǎn)對稱：點(diǎn)對稱+ +平移對稱操作集合平移對稱操作集合布拉菲格子布拉菲格子（基元具有球?qū)ΨQ）（基元具有球?qū)ΨQ）

37、晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)（基元具有任意對稱性）（基元具有任意對稱性）點(diǎn)群數(shù)點(diǎn)群數(shù)7 7 （7 7個(gè)晶系）個(gè)晶系）32 32 （3232點(diǎn)群）點(diǎn)群）空間群數(shù)空間群數(shù)14 14 （1414種布拉菲格子）種布拉菲格子）230 230 （230230空間群）空間群）布拉菲格子和晶體結(jié)構(gòu)的點(diǎn)群和空間群布拉菲格子和晶體結(jié)構(gòu)的點(diǎn)群和空間群.群群代表一組代表一組“元素元素”的集合，的集合，G G E, A ,B, C, E, A ,B, C, D D 這些這些“元素元素”被賦予一定的被賦予一定的“乘法法則乘法法則”，滿，滿足下列性質(zhì)足下列性質(zhì)1)1) 集合集合G G中任意兩個(gè)元素的中任意兩個(gè)元素的“乘積乘積”仍為集合

38、內(nèi)的元素仍為集合內(nèi)的元素 若若 A, B A, B G G, , 則則AB=C AB=C G. G. 叫作群的封閉性叫作群的封閉性2)2) 存在單位元素存在單位元素E, E, 使得所有元素滿足：使得所有元素滿足：AE = AAE = A3) 3) 對于任意元素對于任意元素A, A, 存在逆元素存在逆元素A A-1-1, , 有：有：AAAA-1-1=E=E4)4) 元素間的元素間的“乘法運(yùn)算乘法運(yùn)算”滿足結(jié)合律：滿足結(jié)合律：A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C1-7 1-7 群的概念群的概念.單位元素單位元素 不動操作不動操作任意元素的逆元素任意元素的逆元素 繞轉(zhuǎn)軸角度繞轉(zhuǎn)軸角度 ，其

39、逆操作為繞，其逆操作為繞轉(zhuǎn)軸角度轉(zhuǎn)軸角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；中心反演的逆操作仍是中心反演；連續(xù)進(jìn)行連續(xù)進(jìn)行A A和和B B操作操作 相當(dāng)于相當(dāng)于C C操作操作A A 操作操作 繞繞OAOA軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 /2/2 S S點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)轉(zhuǎn)到TT點(diǎn)點(diǎn)B B 操作操作 繞繞OCOC軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動 /2/2 TT點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)轉(zhuǎn)到SS點(diǎn)點(diǎn)S1-7 1-7 群的概念群的概念.上述操作中上述操作中S S和和O O沒動，而沒動，而T T點(diǎn)轉(zhuǎn)動到點(diǎn)轉(zhuǎn)動到TT點(diǎn)點(diǎn) 相當(dāng)于一個(gè)操作相當(dāng)于一個(gè)操作C C：繞：繞OSOS軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動2 2 /3/3CABBCA)()(BAC 表示為表示為 群的封閉性群的封閉性可以證明可

40、以證明 滿足結(jié)合律滿足結(jié)合律1-7 1-7 群的概念群的概念S.1-7 1-7 晶體對稱性晶體對稱性.三三 斜斜單單 斜斜1-7 1-7 晶體對稱性晶體對稱性.正交正交1-7 1-7 晶體對稱性晶體對稱性.三角（三方）三角（三方）四四 方方1-7 1-7 晶體對稱性晶體對稱性.立立 方方六角六角1-7 1-7 晶體對稱性晶體對稱性.為什么要研究倒空間（為什么要研究倒空間（reciprocal space)?reciprocal space)?p 一個(gè)物理問題，既可以在正一個(gè)物理問題，既可以在正( (實(shí)，坐標(biāo)實(shí)，坐標(biāo)) )空間描寫，也可以在倒空間描寫，也可以在倒( (動量動量) )空間描寫空間描

41、寫: : 坐標(biāo)表象坐標(biāo)表象r r，動量表象，動量表象k kp 為什么選擇不同的表象？為什么選擇不同的表象？* * 適當(dāng)?shù)剡x取一個(gè)表象，可使問題簡化容易處理適當(dāng)?shù)剡x取一個(gè)表象，可使問題簡化容易處理* * 比如電子在均勻空間運(yùn)動，雖然坐標(biāo)一直變化，但比如電子在均勻空間運(yùn)動，雖然坐標(biāo)一直變化，但k k守衡，守衡， 這時(shí)在坐標(biāo)表象當(dāng)然不如在動量表象簡單這時(shí)在坐標(biāo)表象當(dāng)然不如在動量表象簡單p 正（坐標(biāo)）空間的格矢（正（坐標(biāo)）空間的格矢（R R）描寫周期性，同樣在倒（動量）描寫周期性，同樣在倒（動量） 空間，倒格矢空間，倒格矢K K也是描寫周期性。也是描寫周期性。這兩個(gè)空間是等價(jià)的，只是這兩個(gè)空間是等價(jià)的

42、，只是 存在一個(gè)變換（傅里葉變換）存在一個(gè)變換（傅里葉變換）01/081-8 1-8 倒格子倒格子 .晶格的傅里葉變換（晶格的傅里葉變換（Fourier transformationFourier transformation）勢能和電荷密度等函數(shù)滿足疊加原理的物理量勢能和電荷密度等函數(shù)滿足疊加原理的物理量如果晶體具有平移周期性如果晶體具有平移周期性對周期函數(shù)作傅里葉展開對周期函數(shù)作傅里葉展開01/081-8 1-8 倒格子倒格子 llRrfrF)()(nmlRRRhriKKhheFrF)(從以上公式中可推導(dǎo)得到從以上公式中可推導(dǎo)得到)()(lRrFrF0)1 (lhhRiKKeF0hKF1l

43、hRiKenRKlh2因?yàn)橐驗(yàn)楣使实玫降玫絥 n為整數(shù)為整數(shù)只要晶體有平移周期性，那么在傅里葉只要晶體有平移周期性，那么在傅里葉空間中就一定存在空間中就一定存在K Kh h矢量滿足這個(gè)關(guān)系！矢量滿足這個(gè)關(guān)系！.晶點(diǎn)的傅里葉變換（晶點(diǎn)的傅里葉變換（Fourier transformationFourier transformation）數(shù)學(xué)上用數(shù)學(xué)上用 函數(shù)來描寫格點(diǎn)函數(shù)來描寫格點(diǎn)因?yàn)橐驗(yàn)閚 當(dāng)矢量當(dāng)矢量K Kh h與與R Rl l乘積是乘積是22的整數(shù)倍時(shí)，在坐標(biāo)空間的整數(shù)倍時(shí)，在坐標(biāo)空間R Rl l處的處的 函數(shù)的傅里葉變換為在動量空間以函數(shù)的傅里葉變換為在動量空間以K Kh h為中心的為中

44、心的函數(shù)！函數(shù)！n 坐標(biāo)空間里，坐標(biāo)空間里，(r-R(r-Rl l) )函數(shù)表示在函數(shù)表示在R Rl l的格點(diǎn)，當(dāng)滿足上述的格點(diǎn)，當(dāng)滿足上述 條件時(shí)，其傅里葉變換也是條件時(shí)，其傅里葉變換也是(k-K(k-Kh h) )函數(shù)，表示的是倒空函數(shù)，表示的是倒空 間里的一個(gè)點(diǎn)！間里的一個(gè)點(diǎn)！01/081-8 1-8 倒格子倒格子 lRlRrr)()(通過傅里葉變換可得到通過傅里葉變換可得到nRKlh2hKhkKk)(.定義：定義：對于布拉菲格子中所有的格矢對于布拉菲格子中所有的格矢R Rl l，有一系列動量空間有一系列動量空間矢量矢量K Kh h ，滿足，滿足的全部端點(diǎn)的集合，構(gòu)成該布拉菲格子的的全部

45、端點(diǎn)的集合，構(gòu)成該布拉菲格子的倒格子倒格子，這些，這些點(diǎn)稱為倒格點(diǎn)，點(diǎn)稱為倒格點(diǎn)， K Kh h為倒格矢為倒格矢布拉菲格子也稱為正格子，它們滿足傅里葉變換關(guān)系，布拉菲格子也稱為正格子，它們滿足傅里葉變換關(guān)系，因此，倒空間也稱為傅里葉空間因此，倒空間也稱為傅里葉空間01/081-8 1-8 倒格子倒格子 nRKlh2332211aaalllRlnKlKlKlRKhhhlh2aaa332211ijji2ab332211bbbhhhKhb bj j就是倒格子基矢，就是倒格子基矢， K Kh h具有平移對稱性具有平移對稱性對于正格子對于正格子有有如果選擇一組如果選擇一組b b，使，使倒格子矢量倒格子矢

46、量K Kh h.表示什么含義？是正交關(guān)系！即表示什么含義？是正交關(guān)系！即b b1 1與與a a2 2和和a a3 3正交！正交！看看a a2 2和和a a3 3確定的平面，即確定的平面，即a a2 2a a3 3矢量垂直于該平面矢量垂直于該平面01/081-8 1-8 倒格子倒格子 ijji2ab則有則有b1b1與與 平行平行可設(shè)可設(shè)利用正交關(guān)系有：利用正交關(guān)系有：32aa a3a232aa )a(a321b2)a(aaba32111然后可得：然后可得：2)a(aa2321)a(a2b321)a(aa321.以它們?yōu)榛运鼈優(yōu)榛笜?gòu)成一個(gè)倒矢構(gòu)成一個(gè)倒格子，倒格子每個(gè)格點(diǎn)的位置格子，倒格子每個(gè)

47、格點(diǎn)的位置332211bbbhhhKh倒格子基矢倒格子基矢倒倒格子原胞體積是正格子原胞體積的倒數(shù)：格子原胞體積是正格子原胞體積的倒數(shù)：1-8 1-8 倒格子倒格子 )a(a2b321)a(a2b132)a(a2b2133321*)2()b(bb.二維倒格子二維倒格子1-8 1-8 倒格子倒格子 iab21jab22ai1abj2aaba2b2二維倒格子二維倒格子二維正格子二維正格子.正正格子中一簇晶面格子中一簇晶面 和和 正交正交 )(321hhh332211bhbhbhKh可以證明得到可以證明得到與與晶面晶面ABCABC正交正交1-8 1-8 倒格子矢量與晶面對應(yīng)關(guān)系倒格子矢量與晶面對應(yīng)關(guān)系

48、 hKhKhK注意不是密勒指數(shù)注意不是密勒指數(shù)(hkl)(hkl)，而是面指數(shù)，而是面指數(shù)(h(h1 1h h2 2h h3 3) )。意即該晶面族最靠近原點(diǎn)晶。意即該晶面族最靠近原點(diǎn)晶面的截距分別為面的截距分別為a a1 1/h/h1 1, a, a2 2/h/h2 2, a, a3 3/h/h3 33311/hahaOCOACA3322/hahaOCOBCB0CAKh0CBKh.倒格子與晶格的幾何關(guān)系倒格子與晶格的幾何關(guān)系原點(diǎn)原點(diǎn)O O引晶面族引晶面族ABCABC的法線的法線ONON截取一段截取一段OP=OP=使使d=2d=2（d d是晶面間距）是晶面間距）每一個(gè)晶面族都有一個(gè)點(diǎn)每一個(gè)晶面

49、族都有一個(gè)點(diǎn)P P以以O(shè)POP為該方向的周期進(jìn)行平移為該方向的周期進(jìn)行平移得到一個(gè)新的點(diǎn)陣，即為倒格子得到一個(gè)新的點(diǎn)陣，即為倒格子-晶格的一族晶面化為倒格子中的一個(gè)點(diǎn)晶格的一族晶面化為倒格子中的一個(gè)點(diǎn)， 在處理晶格問題上很有意義在處理晶格問題上很有意義.設(shè)晶面設(shè)晶面 面間距為面間距為d d )(321hhhhhKKhad11得到得到1-8 1-8 倒格矢長度與面間距對應(yīng)關(guān)系倒格矢長度與面間距對應(yīng)關(guān)系 hK則則OAOA在其面法線方向在其面法線方向K Kh h的投的投影即為影即為d d33221113322111)(bhbhbhhbhbhbhahK2hhdK2注意：面間距是與晶面指數(shù)（注意：面間距

50、是與晶面指數(shù)（對于原胞坐標(biāo)對于原胞坐標(biāo)）相關(guān)，而不是）相關(guān)，而不是密勒指數(shù)（密勒指數(shù)（對于晶胞坐標(biāo)對于晶胞坐標(biāo)）！倒格矢代表晶面的法線方向！）！倒格矢代表晶面的法線方向！.晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)正正格子格子倒倒格子格子332211anananRn1.1.332211bhbhbhKh1.1.2.2.與晶體中的原子與晶體中的原子位置相對應(yīng)位置相對應(yīng)2.2.與晶體中的晶面族相與晶體中的晶面族相對應(yīng)對應(yīng)3.3.是與真實(shí)空間相聯(lián)系的是與真實(shí)空間相聯(lián)系的傅里葉傅里葉空間（空間（K K空間）中點(diǎn)空間）中點(diǎn)的周期性的周期性排列排列3.3.是真實(shí)空間中點(diǎn)的周期性是真實(shí)空間中點(diǎn)的周期性排列排列5. 5. 量綱為量綱為

51、長度長度 5. 5. 量綱為量綱為 長度長度 -1-11-8 1-8 正正倒格子對應(yīng)關(guān)系倒格子對應(yīng)關(guān)系 4. 4. W-SW-S原胞原胞4. 4. 布里淵區(qū)布里淵區(qū).簡立方簡立方晶格的倒格子仍然是簡立方格子。晶格的倒格子仍然是簡立方格子。1-81-8 簡單立方晶格簡單立方晶格iab21jab22ai1abj2abk3akab23ijk正格子正格子倒格子倒格子.體心立方晶格的倒格子是面心立方格子體心立方晶格的倒格子是面心立方格子1-81-8 體心立方晶格體心立方晶格)(21kjab)(22kiab)(2a1kjia)(23jiabijk)(2a2kjia)(2a3kjia正格子正格子倒格子倒格子

52、.面心立方晶格的倒格子是體心立方格子面心立方晶格的倒格子是體心立方格子1-81-8 面心立方晶格面心立方晶格)(21kjiab)(22kjiab)(2a1kja)(23kjiabijk)(2a2kia)(2a3jia正格子正格子倒格子倒格子.布里淵區(qū)：倒空間的布里淵區(qū)：倒空間的W-SW-S原胞原胞1-91-9 布里淵區(qū)布里淵區(qū)在倒空間中以某個(gè)格點(diǎn)為中心，作其與鄰近格點(diǎn)的中垂面，在倒空間中以某個(gè)格點(diǎn)為中心，作其與鄰近格點(diǎn)的中垂面，這些中垂面所包含最小體積的區(qū)域?yàn)椴祭餃Y區(qū)這些中垂面所包含最小體積的區(qū)域?yàn)椴祭餃Y區(qū)簡單立方晶格簡單立方晶格k k空間的二維示意圖空間的二維示意圖.第一布里淵區(qū)又稱第一布里

53、淵區(qū)又稱簡約布里淵區(qū)簡約布里淵區(qū)。其界面方程為：其界面方程為：kG2G2Gk0)2(GkG簡約布里淵區(qū)的意義：簡約布里淵區(qū)的意義：1 1. . 由于由于晶格的平移對稱性，晶格的平移對稱性， 和和 （相差（相差一個(gè)倒格矢）一個(gè)倒格矢） 所對應(yīng)的兩個(gè)狀態(tài)在物理上是等價(jià)的所對應(yīng)的兩個(gè)狀態(tài)在物理上是等價(jià)的2. 2. 簡約布里淵區(qū)內(nèi)的全部波矢簡約布里淵區(qū)內(nèi)的全部波矢 代表了晶體中所有的電子態(tài)，代表了晶體中所有的電子態(tài)， 區(qū)區(qū)外的波矢都可通過平移倒格矢在該區(qū)內(nèi)找到等價(jià)狀態(tài)外的波矢都可通過平移倒格矢在該區(qū)內(nèi)找到等價(jià)狀態(tài)點(diǎn)點(diǎn)3. 3. 這樣定義的布里淵區(qū)，它的邊界面滿足這樣定義的布里淵區(qū)，它的邊界面滿足Bra

54、ggBragg反射條件反射條件4. 4. 討論固體性質(zhì)時(shí)，可以只考慮第一布里淵區(qū)討論固體性質(zhì)時(shí)，可以只考慮第一布里淵區(qū)kGkk為什么引入布里淵區(qū)？為什么引入布里淵區(qū)？1-91-9 布里淵區(qū)布里淵區(qū).簡立方倒格子還是簡立方簡立方倒格子還是簡立方kabjabiab2,2,2321第一第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)布里淵區(qū)為原點(diǎn)和和6 6個(gè)近鄰格點(diǎn)的垂直個(gè)近鄰格點(diǎn)的垂直平分面圍成的立方體平分面圍成的立方體1-91-9 簡立方布里淵區(qū)簡立方布里淵區(qū).體心立方倒格子為面心立方體心立方倒格子為面心立方第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)原點(diǎn)原點(diǎn)和和1212個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正十二面體個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的

55、正十二面體)(21kjab)(22kiab)(23jiab1-91-9 體立方布里淵區(qū)體立方布里淵區(qū).面心立方倒格子為體心立方面心立方倒格子為體心立方1-91-9 面立方布里淵區(qū)面立方布里淵區(qū))(21kjiab)(22kjiab)(23kjiab第一第一布里淵區(qū)為原點(diǎn)和布里淵區(qū)為原點(diǎn)和8 8個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正八個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正八面體，和沿立方軸的面體，和沿立方軸的6 6個(gè)次近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面割去八面體個(gè)次近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面割去八面體的六個(gè)角，形成的的六個(gè)角，形成的1414面體面體.19011901諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)n W.C.W.C.倫琴

56、倫琴n ( (德國德國) )n 發(fā)現(xiàn)倫琴射線發(fā)現(xiàn)倫琴射線(X(X射線射線) )從從X X射線衍射引出倒格矢概念射線衍射引出倒格矢概念 M.V.M.V.勞厄勞厄 發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)X X射線通過晶體時(shí)的衍射，射線通過晶體時(shí)的衍射，決定了決定了X X射線波長，證明了晶體射線波長，證明了晶體的原子點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的原子點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)19141914諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng) W.H.W.H.布拉格布拉格 W.L.W.L.布拉格布拉格 用用X X射線分析晶體結(jié)構(gòu)射線分析晶體結(jié)構(gòu)19151915諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).QPA TAP Q Sd入射線與反射線之間的光程差：入射線與反射線之間的光程差： =SA=SA +A+

57、A T=2d sin T=2d sin 把晶體對把晶體對X X射線的衍射看成是晶面對射線的衍射看成是晶面對X X射線的反射射線的反射1-91-9 布拉格定律布拉格定律l 布拉格假設(shè)入射波從原子平面作鏡面反射，但每個(gè)平面只反射很小布拉格假設(shè)入射波從原子平面作鏡面反射，但每個(gè)平面只反射很小 部分（另外部分穿透），當(dāng)反射波發(fā)生相長干涉時(shí)，就出現(xiàn)衍射極大部分（另外部分穿透），當(dāng)反射波發(fā)生相長干涉時(shí)，就出現(xiàn)衍射極大l 只有入射的只有入射的1010-3-3 1010-5-5部分被每個(gè)面反射，大部分穿透，要有足夠多的部分被每個(gè)面反射，大部分穿透，要有足夠多的 原子面參與反射原子面參與反射滿足衍射方程：滿足衍射方程：2d2dh1h2h3h1h2h3 sin sin =n =n 可見光可以發(fā)生布拉格衍射嗎？為什么？可見光可以發(fā)生布拉格衍射嗎？為什么？如入射束全部反射了，如入射束全部反射了， 還有沒有衍射圖像？還有沒有衍射圖像？.CO= -Rl S0 OD= Rl S衍射加強(qiáng)：衍射加強(qiáng)： Rl （ SS0 ）=n 由由：ko=(2 / ) S0 k=(2 / ) S k即即X射線的波矢射線的波矢得得：Rl （ kk0 ）= 2 n 因?yàn)椋阂驗(yàn)椋?Rl