數(shù)學建模 聚類分析因子分析實例

1、多元統(tǒng)計分析中的降維方法在四川省社會福利中的應用由于計算機的發(fā)展和日益廣泛的使用，多元分析方法也很快地應用到社會學、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學、經(jīng)濟學、地質(zhì)、氣象等各個領域。在國外，從自然科學到社會科學的許多方面，都已證實了多元分析方法是一種很有用的數(shù)據(jù)處理方法；在我國，多元分析對于農(nóng)業(yè)、氣象、國家標準和誤差分析等許多方面的研究工作都取得了很大的成績，引起了廣泛的注意。在許多領域的研究中，為了全面系統(tǒng)地分析問題，對研究對象進行綜合評價，我們常常需要考慮衡量問題的多個指標（即變量），由于變量之間可能存在著相關性，如果采用一元統(tǒng)計方法，把多個變量分開，一次分析一個變量，就會丟失大量的信息，研究結(jié)果也會偏差很大。因

2、此需要采用多元統(tǒng)計分析的方法，同時對所有變量的觀測數(shù)據(jù)進行分析。多元統(tǒng)計分析就是一種同時研究多個變量之間的相互關系，經(jīng)過對變量的綜合處理，充分提取變量之間的信息，進行綜合分析和評價的統(tǒng)計方法。多元統(tǒng)計分析法主要包括降維、分類、回歸及其他統(tǒng)計思想。一 多元統(tǒng)計分析方法中降維的方法1.概述多元統(tǒng)計分析方法是同時對多個變量的觀察數(shù)據(jù)做綜合處理和分析。在不損失有價值信息的情況下，簡化觀測數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，盡可能簡單地將被研究對象描述出來，使得對復雜現(xiàn)象的解釋變得更容易些。同時，采用多元統(tǒng)計分析中的聚類分析或判別分析可以對變量或樣品進行分類與分組。根據(jù)所測量的特征和分類規(guī)則將一些“類似的”對象或變量分組。

3、多元統(tǒng)計分析也可以研究變量間依賴性。即對變量間關系的本質(zhì)進行研究。是否所有的變量都相互獨立?還是一個變量或多個變量依賴于其他變量?它們又是怎樣依賴的?通過觀測變量數(shù)據(jù)的散點圖，我們可以建立多元回歸統(tǒng)計模型，確定出變量之間具體的依賴關系，進而可以根據(jù)某些變量的觀測值預測另一個或另一些變量的值對事物現(xiàn)象的發(fā)展作預測。最后我們需要構(gòu)造假設，并對所建立的以多元總體參數(shù)形式陳述的多種特殊統(tǒng)計假設進行檢驗。在多元統(tǒng)計分析方法中數(shù)據(jù)簡化或結(jié)構(gòu)簡化，實質(zhì)上就是數(shù)學中的降維方法。多元統(tǒng)計分析中的降維方法主要包括聚類分析、判別分析、主成分分析、因子分析、對應分析和典型相關分析等幾種方法。其中主成分分析和因子分析是

4、在作綜合評價方面應用最廣泛、較為有效的方法。本文主要介紹這兩種多元統(tǒng)計分析方法的應用。2 主成分分析2.1主成分分析的基本思想在大部分實際問題中，需要考察的變量多，變量之間是有一定的相關性的，主成分分析就是以損失很少部分信息為代價，保留絕大部分信息的前提下，將原來眾多具有一定線性相關性的個指標壓縮成少數(shù)幾個互不相關的綜合指標（主成分），并通過原來變量的少數(shù)幾個的線性組合來給出各個主成分的具有實際背景和意義的解釋。由于主成分分析濃縮了眾多指標的信息，降低了指標的維度，從而簡化指標的結(jié)構(gòu)，深刻反映問題的內(nèi)在規(guī)律。2.2 主成分分析的數(shù)學模型設對某一事物的研究涉及指標(變量):，這項指標構(gòu)成維的隨機

5、向量，其均值和協(xié)方差矩陣分別是，。對進行線性變換，原來的變量的線性組合可以形成新的綜合變量，用表示，滿足： 矩陣表示為：，其中，由于不同的線性變換得到的綜合變量的統(tǒng)計特性不同，為了達到較好的效果，我們希望的方差盡可能大且新的綜合變量之間相互獨立。由以下原則來確定新的綜合變量：（1） ；（2）與相互獨立，即無重復信息 ；（3）是的一切線性組合(系數(shù)滿足上述方程組)中方差最大的，是與不相關的的一切線性組合中方差最大的，與都不相關的的一切線性組合中方差最大的。在實際應用時，通常挑選前幾個方差比較大的主成分，雖然這樣做會丟失一部分信息，但它使我們抓住了主要矛盾進行深入分析，并從原始數(shù)據(jù)中進一步提出了某

6、些新的信息，因而在某些實際問題的研究中得益比較大，這種既減少了變量的個數(shù)又抓住了主要矛盾的做法有利于問題的分析和處理。2.3 總體主成分的導出及性質(zhì)在實際求解主成分時，常常是從原始變量的協(xié)方差矩陣或相關矩陣的結(jié)構(gòu)出發(fā)，而從兩個出發(fā)點求解出的主成分不同。2.3.1 從協(xié)方差矩陣出發(fā)求解主成分性質(zhì)1：設矩陣，將的特征值依大小順序排列，不妨設，為矩陣各特征值對應的標準正交特征向量，則對任意向量有，性質(zhì)2：設隨機向量的協(xié)方差矩陣為，為的特征值，為矩陣各特征值對應的標準正交向量，則第個主成分為： ，此時，。由以上性質(zhì)，我們把原始變量的協(xié)方差矩陣的非零特征值對應的標準化特征向量分別作為系數(shù)向量，即，分別為

7、的第一主成分、第二主成分，第主成分的充要條件是：（1），即為階正交陣；（2）的分量之間相互獨立；（3）的個分量方差依次遞減。于是隨機向量與隨機向量之間存在關系式：由于在無論的各特征值是否存在相等的情況，對應的標準化特征向量總是存在，所以總是可以找到對應的各特征值的相互正交的特征向量。故將主成分的求解轉(zhuǎn)換為求解原始變量的協(xié)方差陣的特征值和特征向量。性質(zhì)3：第個主成分的方差貢獻率為，反映主成分提取原始變量總信息的百分比。性質(zhì)4：主成分的累積貢獻率為（），反映主成分解釋原始變量信息的百分比。性質(zhì)5：，其中，稱為主成分在原始變量上的載荷。它度量了對的重要程度。性質(zhì)6：第個主成分與原始變量的相關系數(shù)稱為

8、因子負荷量，表示主成分中包含原始變量信息的百分比，它與載荷成正比。2.3.2 從相關矩陣出發(fā)求解主成分為了消除原始變量不同量綱與數(shù)量級的影響，對原始變量作標準化變換：令，其中，分別表示變量的期望和方差。令則原始變量進行標準化變換為：顯然有設求解出相關陣的特征值與對應的標準正交特征向量，則求解出的主成分與原始變量的關系式為：，2.4 樣本主成分的導出在實際研究工作中，總體協(xié)方差陣與相關陣通常是未知的，于是需要通過樣本數(shù)據(jù)來估計。設有個樣品，每個樣品有個指標，這樣共得到個數(shù)據(jù)，原始資料矩陣為：記，樣本協(xié)方差矩陣為總體協(xié)方差陣的無偏估計，樣本相關陣為總體相關陣的估計。若原始資料矩陣是經(jīng)過標準化處理的

9、，則由矩陣求得的協(xié)方差陣就是相關矩陣。所以根據(jù)相關陣來求解主成分。根據(jù)總體主成分的定義，主成分的協(xié)方差是：其中為對角矩陣假定資料矩陣為已經(jīng)作了標準化處理后的數(shù)據(jù)矩陣，則可以由相關矩陣代替協(xié)方差矩陣，則上式可表示為：即整理為齊次方程組為即即所求的新的綜合變量（主成分）的方差是特征方程組的個根，為相關矩陣的特征值，相應的各個是其特征向量的分量。特征值，其相應的特征向量記為，則相對于的方差為。且協(xié)方差為：由此可有新的綜合變量（主成分）彼此不相關，并且的方差為，則，分別為的第一主成分、第二主成分，第主成分。主成分的方差貢獻就等于的相應特征值。利用樣本數(shù)據(jù)求解主成分的過程就轉(zhuǎn)化為求解相關陣或協(xié)方差陣的特

10、征值和特征向量的過程。2.5 主成分分析的步驟2.5.1 將原始變量進行標準化處理；2.5.2 計算標準化指標的相關系數(shù)矩陣2.5.3 求解相關系數(shù)矩陣的特征向量和特征值；2.5.4 計算各個主成分的方差貢獻率及累積貢獻率；2.5.5 確定主成分的個數(shù)；通常根據(jù)實際問題的需要由累計貢獻率的前個成分來代替原來個變量的信息，或選取所有特征值大于1的成分作為主成分，也可根據(jù)特征值的變化來確定，即根據(jù)SPSS輸出的碎石圖的轉(zhuǎn)折點來決定選取主成分的個數(shù)。2.5.6 對確定出的主成分作出實際意義的解釋；2.5.7 利用所確定出的主成分的方差貢獻率計算綜合評價值，從而對被評價對象進行排名和比較。3 因子分析

11、3.1因子分析的基本思想因子分析是根據(jù)相關性大小把原始變量進行分組，使得同組內(nèi)的變量之間相關性高，而不同組的變量之間的相關性低。每組變量代表一個基本結(jié)構(gòu)（即公共因子），并用一個不可觀測的綜合變量來表示。對于所研究的某一具體問題，原始變量分解為兩部分之和。一部分是少數(shù)幾個不可觀測的公共因子的線性函數(shù)，另一部分是與公共因子無關的特殊因子。3.2 因子分析的數(shù)學模型設有個指標，則因子分析數(shù)學模型為：其中，是已標準化的可觀測的評價指標。出現(xiàn)在每個指標的表達式中，稱為公共因子，公共因子是不可觀測的，其含義要根據(jù)具體問題來解釋。是各個對應指標所特有的因子，故稱為特殊因子，它與公共因子之間彼此獨立。是指標在

12、公共因子上的系數(shù)，稱為因子載荷，因子載荷的統(tǒng)計含義是指標在公共因子上的相關系數(shù)，表示與線性相關程度。用矩陣形式表示為：其中，稱為因子載荷矩陣。其統(tǒng)計含義是：中的第行元素說明了指標依賴于各個公共因子的程度。中第列元素說明了公共因子與各個指標的聯(lián)系程度。故常根據(jù)該列絕對值較大的因子載荷所對應的指標來解釋這個公共因子的實際意義。中的第行元素的平方和稱為指標的共同度。中第列元素的平方和表示公共因子對原始指標所提供的方差貢獻的總和，衡量各個公共因子的相對重要性。稱為公共因子的方差貢獻率，越大，公共因子越重要。3.3 因子分析的步驟3.3.1 將原始變量數(shù)據(jù)進行標準化處理；3.2.2 計算標準化指標的相關

13、系數(shù)矩陣；3.2.3 求解相關系數(shù)矩陣的特征向量和特征值；3.2.4 確定公共因子的個數(shù)，設為個，即選擇特征值1的個數(shù)或根據(jù)累積方差貢獻率85的準則所確定的個數(shù)為公共因子個數(shù)；3.2.5 求解初始因子載荷矩陣；常用的方法有：主成分法、主軸因子法、極大似然法等。本文用主成分法尋找公因子的方法如下：設從相關矩陣出發(fā)求解主成分，設有個變量，則可以找出個主成分，將所得的個主成分由大到小排列，記為，則主成分與原始變量之間有其中是隨機變量的相關矩陣的特征值所對應的特征向量的分量，特征向量之間正交，從到的轉(zhuǎn)換關系的可逆得到由到的轉(zhuǎn)換關系只保留前個主成分，而把后面的個主成分用特殊因子代替，即為了把轉(zhuǎn)化為合適的

14、公因子，需要把主成分變?yōu)榉讲顬?的變量，故令，則設樣本相關系數(shù)矩陣的特征值為，其相應的標準正交特征向量為，設，則因子載荷矩陣的一個估計值為：共同度的估計為：。3.2.6 建立因子模型，其中為公共因子，為特殊因子。3.2.7 對公共因子進行重新命名，并解釋公共因子的實際含義當初始因子載荷矩陣難以對公共因子的實際意義作出解釋時，先要對作方差極大正交旋轉(zhuǎn)，然后再根據(jù)旋轉(zhuǎn)后所得的正交因子載荷矩陣作出解釋，即根據(jù)指標的因子載荷絕對值的大小，值的正負符號來說明公共因子的意義。 對初始因子載荷矩陣進行旋轉(zhuǎn)由于因子載荷矩陣不唯一，旋轉(zhuǎn)變換可以是使初始因子載荷矩陣的每列或每行的元素的平方值趨于0或1，從而使得因

15、子載荷矩陣結(jié)構(gòu)簡化，關系明確。如果初始因子之間不相關，公共因子的解釋能力能夠用其因子載荷平方的方差來度量時，則可采用方差極大正交旋轉(zhuǎn)法；如果初始因子之間相關，則需要進行斜交旋轉(zhuǎn)，通過旋轉(zhuǎn)后，得到比較理想的新的因子載荷矩陣。3.2.9 將公共因子變?yōu)樽兞康木€性組合，得到因子得分函數(shù)，系數(shù)，均為標準化的原始變量和公共因子。因子得分函數(shù)的估計值為其中為因子載荷矩陣，為原始變量的相關矩陣，為原始變量向量。 求綜合評價值，即總因子得分估計值為其中時第個公共因子的歸一化權重。即：3.2.11 根據(jù)總因子得分估計值就可以對每個被評價的對象進行排名，從而進行比較。4主成分分析與因子分析的聯(lián)系和區(qū)別4.1區(qū)別

16、側(cè)重點不同；主成分分析是通過變量的線性變換，忽略方差較小的主成分，提取前面幾個方差較大的主成分來解釋總體大部分的信息；而因子分析是忽略特殊因子，而重視少數(shù)不可觀測的公共因子所代表的總體信息。 數(shù)學模型不同；主成分分析中的主成分是原始變量的線性組合：，其中為系數(shù)矩陣，即其中是相關矩陣的特征值所對應的特征向量矩陣中的元素，表示原始變量的標準化數(shù)據(jù)；而因子分析中的共同因子是將原始變量分解成公共因子和特殊因子兩部分，其中為因子載荷矩陣，即： ，是公共因子的個數(shù)，是原始變量的個數(shù)，是因子分析過程中的初始因子載荷矩陣中的元素，是第個公共因子，是第個原始變量的特殊因子。 主成分的各系數(shù)是唯一確定的、正交的，

17、不可以對系數(shù)矩陣進行任何的旋轉(zhuǎn)，且系數(shù)大小并不代表原變量與主成分的相關程度；而因子模型的系數(shù)矩陣是不唯一的、可以進行旋轉(zhuǎn)的，且該矩陣表明了原變量和公共因子的相關程度。 因子旋轉(zhuǎn)；主成分分析，可以通過可觀測的原變量直接求得主成分，并具有可逆性；因子分析中的載荷矩陣是不可逆的。只能通過可觀測的原變量去估計不可觀測的公共因子，即公共因子得分的估計值等于因子得分系數(shù)矩陣與原觀測變量標準化后的矩陣相乘的結(jié)果。還有，主成分分析不可以像因子分析那樣進行因子旋轉(zhuǎn)處理。 綜合排名；主成分分析一般依據(jù)第一主成分的得分排名，若第一主成分不能完全代替原始變量，則需要繼續(xù)選擇第二個主成分、第三個等等，主成分得分是將原始

18、變量的標準化值，代入主成分表達式中計算得到；而因子分析中因子得分是將原始變量的標準化值，代入因子得分函數(shù)中計算得到。4.2聯(lián)系 因子分析是主成分分析的擴展，兩種方法的出發(fā)點都是變量的相關系數(shù)矩陣，都是在損失較少的信息的前提下，把多個存在較強相關性的變量綜合成少數(shù)幾個綜合變量，這幾個綜合變量之間相互獨立，能代表總體絕大多數(shù)的信息，從而進行深入研究總體的多元統(tǒng)計方法。由于上文提到主成分可表示為原觀測變量的線性組合，其系數(shù)為原始變量相關矩陣的特征值所對應的特征向量，且這些特征向量正交，因此，從到的轉(zhuǎn)換關系是可逆的，便得到如下的關系：，是因子分析中未進行因子載荷旋轉(zhuǎn)時建立的模型， 故如果不進行因子載荷

19、旋轉(zhuǎn)，許多應用者將容易把此時的因子分析理解成主成分分析，這顯然是不正確的。然而此時的主成分的系數(shù)陣即特征向量與因子載荷矩陣確實存在如下關系： 。5主成分分析和因子分析的實例分析本文利用SPSS軟件對2006年四川省18個主要城市的社會福利發(fā)展情況進行主成分分析、因子分析方法及二者分析結(jié)果的比較。（除阿壩藏族羌族自治州、甘孜藏族自治州、涼山彝族自治州）針對所研究的問題，根據(jù)指標選擇的針對性、可操作性、全面性等原則，選取了以下反映各城市社會福利發(fā)展水平的15項指標：城市低保資金(萬元)、農(nóng)村低保資金(萬元)、最低生活保障家庭數(shù)（戶）、最低生活保障人數(shù)、養(yǎng)老保險征繳率（）、失業(yè)保險征繳率（）、醫(yī)療保

20、險征繳率（）、工傷保險征繳率（）、生育保險征繳率（）、基本養(yǎng)老保險參保人數(shù)（人）、基本醫(yī)療保險參保人數(shù)（人）、失業(yè)保險參保人數(shù)（人）、社會福利院數(shù)（個）、社會福利院床位數(shù)（個）、社區(qū)服務設施數(shù)（個）。分別記為原始指標變量。數(shù)據(jù)來源于2007年四川省統(tǒng)計年鑒。原始數(shù)據(jù)見附錄表1表5。5.1 原始指標數(shù)據(jù)處理由于各個指標都是正向指標，無需對指標的符號做處理。為了消除指標量綱和數(shù)量級的影響，對原始指標數(shù)據(jù)做了標準化處理。標準化后的數(shù)據(jù)見附錄表6。5.2 運用SPSS軟件進行分析本文從相關矩陣出發(fā)，采用主成分分析方法來提取公共因子，并根據(jù)來確定因子個數(shù)。 指標變量之間的相關性的分析結(jié)果和分析指標變量的

21、相關系數(shù)矩陣見附錄表7。由SPSS因子分析的輸出結(jié)果可知：表8KMO and Bartlett's TestKaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy.647Bartlett's Test of SphericityApprox. Chi-Square299.916df105Sig.000KMO統(tǒng)計量是0.647，且Bartletts球面檢驗值為299.916，卡方統(tǒng)計量的顯著性水平為，都說明各個指標之間存在著較高的相關性，即說明所選取的15個指標適合作因子分析。 因子分析的初始結(jié)果表9Communalities Initia

22、lExtraction城低保金1.000.942鄉(xiāng)低保金1.000.926低保家數(shù)1.000.969低保人數(shù)1.000.973養(yǎng)老保率1.000.859失業(yè)保率1.000.910醫(yī)療保率1.000.896工傷保率1.000.940生育保率1.000.916養(yǎng)老保數(shù)1.000.947醫(yī)療保數(shù)1.000.964失業(yè)保數(shù)1.000.956福利院數(shù)1.000.796福利床位1.000.928服務設施1.000.816Extraction Method: Principal Component Analysis.表9中第一列為15個原始指標名，第二列為根據(jù)因子分析的初始解計算出來的變量共同度，反映了5個

23、因子提取每個原始指標變量信息的百分比。如：這5個因子提取指標城市最低保障資金信息的0.942。 因子分析的因子提取和旋轉(zhuǎn)結(jié)果及碎石圖：表10Total Variance ExplainedComponentInitial EigenvaluesExtraction Sums of Squared LoadingsRotation Sums of Squared Loadings Total% of VarianceCumulative %Total% of VarianceCumulative %Total% of VarianceCumulative %16.71944.79344.7936

24、.71944.79344.7935.37235.81535.81522.94619.63864.4312.94619.63864.4313.62224.14759.96231.66311.08875.5191.66311.08875.5192.01313.42173.38341.3889.25284.7711.3889.25284.7711.50310.02383.40551.0236.81791.5881.0236.81791.5881.2278.18391.5886.4342.89094.478 7.3032.01896.497 8.2521.68198.178 9.122.81198.9

25、89 10.074.49499.483 11.039.26399.745 12.016.10899.853 13.013.08899.942 14.005.03599.976 15.004.024100.00 Extraction Method: Principal Component Analysis.根據(jù)特征值大于1的原則，提取了5個公共因子（主成分），它們的累積方差貢獻率為91.588，說明這5個公因子（主成分）提取了原始指標數(shù)據(jù)91.588的信息，可以用這5個公因子（主成分）來代表四川省18個城市的社會福利發(fā)展狀況。圖1從上面的碎石圖（圖1）也可以判定選取5個公因子（主成分）做主成分分

26、析和因子分析比較合適。 因子載荷矩陣：表11Component Matrix(a) Component12345鄉(xiāng)低保金Z(X2).920.076-.193.112-.157醫(yī)療保數(shù)Z(X11).899.295-.240.056-.090福利床位Z(X14).893-.029-.324-.073.142失業(yè)保數(shù)Z(X12).890.286-.260.059-.106養(yǎng)老保數(shù)Z(X10).876.311-.279.045-.041城低保金Z(X1).801-.440.302.114-.038福利院數(shù)Z(X13).758-.273.151-.343.077服務設施Z(X15).737.271-.0

27、62-.200.395養(yǎng)老保率Z(X5)-.006.843.115.362.063低保人數(shù)Z(X4).610-.669.380.090-.006生育保率Z(X9).231.663.644-.015.093低保家數(shù)Z(X3).635-.638.362.165-.022醫(yī)療保率Z(X7).134.095.276.847.275失業(yè)保率Z(X6).227.447.551-.552.225工傷保率Z(X8).224.343.342-.031-.809Extraction Method: Principal Component Analysis.a 5 components extracted.1 根據(jù)

28、因子載荷矩陣建立因子分析的模型：其中為原始變量數(shù)據(jù)，為提取的公共因子。.2 計算各個特征值所對應的特征向量，建立主成分表達式由于主成分的系數(shù)陣的特征向量與因子載荷矩陣存在的關系：，故可利用主成分的系數(shù)矩陣和因子載荷初始矩陣，計算出各個特征值所對應的特征向量：表12各個特征值所對應的特征向量表12345鄉(xiāng)低保X20.3549240.044279-0.149660.095066-0.15523醫(yī)療保X110.3468230.171872-0.186110.047533-0.08898福利床X140.344508-0.0169-0.25125-0.061960.140395失業(yè)保X120.34335

29、10.166629-0.201620.050079-0.1048養(yǎng)老保X100.3379490.181194-0.216350.038196-0.04054城低保X10.309015-0.256350.2341860.096763-0.03757福利院X130.292427-0.159050.117093-0.291140.076129服務設X150.2843250.157889-0.04808-0.169760.390534養(yǎng)老保X5-0.002310.4911470.0891770.3072660.062288低保人X40.23533-0.389770.2946710.076392-0.0

30、0593生育保X90.0891170.3862750.49939-0.012730.091949低保家X30.244975-0.371710.2807130.140052-0.02175醫(yī)療保X70.0516950.0553490.2140240.7189330.271891失業(yè)保X60.0875740.260430.427273-0.468540.222456工傷保X80.0864160.1998380.265204-0.02631-0.79985特征值6.7192.9461.6631.3881.023于是，可以建立主成分表達式： 因子旋轉(zhuǎn)按照方差極大法對因子載荷矩陣進行旋轉(zhuǎn)后所得的因子載荷

31、矩陣如下表。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，可以根據(jù)因子在某幾個變量上分別都具有較高的載荷來對各個因子進行重新命名，從而方便解釋各個因子的實際含義。表13Rotated Component Matrix(a) Component 12345養(yǎng)老保數(shù)X10.957.089.089.071.099醫(yī)療保數(shù)X11.953.131.090.077.154失業(yè)保數(shù)X12.952.124.064.068.160福利床位X14.889.316.001-.092-.174鄉(xiāng)低保金X2.885.325-.033.068.180服務設施X15.731.134.434-.004-.276低保人數(shù)X4.145.975-.030.032-

32、.003低保家數(shù)X3.184.960-.060.100.022城低保金X1.409.871.046.093.076福利院數(shù)X13.487.634.261-.290-.068失業(yè)保率X6.076.021.935-.167.041生育保率X9.106-.063.829.366.283醫(yī)療保率X7.027.166-.032.928-.076養(yǎng)老保率X5.200-.542.363.590.213工傷保率X8.133.030.187-.024.941Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with

33、 Kaiser Normalization.a Rotation converged in 6 iterations.因子分析后因子的協(xié)方差矩陣：表14Component Score Covariance MatrixComponent1234511.000-1.082E-16.000.000.0002-1.082E-161.000.000.000.0003.000.0001.000.000.0004.000.000.0001.000.0005.000.000.000.0001.000Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotati

34、on Method: Varimax with Kaiser Normalization. Component Scores.上表中各個因子之間的協(xié)方差都很小，可以看出各個因子之間是正交、幾乎是不相關的。 根據(jù)因子分析后因子的得分系數(shù)矩陣，建立因子得分函數(shù)表15Component Score Coefficient Matrix Component12345城低保金X1-.025.258.015.080.064鄉(xiāng)低保金X2.175.001-.124.017.129低保家數(shù)X3-.081.312-.011.108.044低保人數(shù)X4-.093.320.019.063.026養(yǎng)老保率X5.057-

35、.163.096.341.054失業(yè)保率X6-.076.041.542-.174-.095醫(yī)療保率X7-.040.092-.052.664-.144工傷保率X8-.034.034-.046-.116.816生育保率X9-.076.035.405.177.087養(yǎng)老保數(shù)X10.217-.087-.061.007.026醫(yī)療保數(shù)X11.207-.070-.067.008.076失業(yè)保數(shù)X12.210-.074-.083.002.086福利院數(shù)X13.025.154.163-.199-.076福利床位X14.196-.021-.042-.065-.181服務設施X15.138-.039.228-.0

36、21-.345Extraction Method: Principal Component Analysis. Rotation Method: Varimax with Kaiser Normalization. Component Scores.由于該案例是利用回歸方法計算出因子得分函數(shù)的系數(shù)，根據(jù)因子得分系數(shù)矩陣，建立因子得分函數(shù)： 根據(jù)得分函數(shù)，計算出我省每個城市的5個因子的得分分別為：表16地 區(qū)成都市3.877290.164070.223580.051130.37273自貢市-0.273110.39873-0.20045-0.71405-0.90083攀枝花市-0.23072-1.

37、48921-0.118720.205330.71715瀘州市0.26232-0.5067-1.437580.385940.80061德陽市0.19276-0.352630.897480.29315-0.64035綿陽市0.06510.562090.014630.57244-0.0196廣元市-0.38301-0.05635-0.504230.836851.27443遂寧市-0.54066-0.240410.82219-0.121131.22832內(nèi)江市-0.204740.006181.154210.26845-1.68444樂山市-0.130320.0753-0.537250.67266-0.

38、38832南充市-0.587683.089210.88479-0.258640.94691眉山市-0.46725-0.807510.180580.104980.76801宜賓市-0.41260.269290.36250.801461.15569廣安市-0.06741-0.166131.689970.34626-1.63425達州市-0.156061.27741-2.41736-0.3877-1.04469雅安市-0.61556-1.155240.36576-0.286990.19222巴中市-0.29656-0.54882-1.298220.82102-1.30925資陽市-0.03178-0

39、.51926-0.08189-3.591150.16567 計算綜合評價得分：.1 主成分分析總因子得分估計值為 其中是第個公共因子的方差貢獻率。分別計算出18個城市的綜合評價得分為：表17地區(qū)f1f2f3f4f5綜合得分排名南充市 -0.587683.089210.88479-0.258640.94691294.26971成都市 3.877290.164070.223580.051130.37273203.51222宜賓市 -0.41260.269290.36250.801461.15569200.66433廣元市 -0.38301-0.05635-0.504230.836851.27443

40、132.42174遂寧市 -0.54066-0.240410.82219-0.121131.22832128.95215綿陽市 0.06510.562090.014630.57244-0.019683.058426眉山市 -0.46725-0.807510.180580.104980.7680127.193397德陽市 0.19276-0.352630.897480.29315-0.6403517.420878廣安市 -0.06741-0.166131.689970.34626-1.63425-9.158589樂山市 -0.130320.0753-0.537250.67266-0.38832-

41、19.039510瀘州市 0.26232-0.5067-1.437580.385940.80061-20.966111攀枝花-0.23072-1.48921-0.118720.205330.71715-23.463412內(nèi)江市 -0.204740.006181.154210.26845-1.68444-54.147213雅安市 -0.61556-1.155240.36576-0.286990.19222-70.807614自貢市 -0.273110.39873-0.20045-0.71405-0.90083-142.64315巴中市 -0.29656-0.54882-1.298220.8210

42、2-1.30925-190.23116達州市 -0.156061.27741-2.41736-0.3877-1.04469-234.40417資陽市 -0.03178-0.51926-0.08189-3.591150.16567-322.6318.2 因子分析總因子得分估計值為 其中是第個公共因子的歸一化權重。分別計算各城市的綜合分為：表18地區(qū)f1f2f3f4f5綜合得分排名南充市 -0.587683.089210.88479-0.258640.946910.8550551成都市 3.877290.164070.223580.051130.372730.5913422宜賓市 -0.41260

43、.269290.36250.801461.155690.5830673廣元市 -0.38301-0.05635-0.504230.836851.274430.3847764遂寧市 -0.54066-0.240410.82219-0.121131.228320.3746945綿陽市 0.06510.562090.014630.57244-0.01960.2413426眉山市 -0.46725-0.807510.180580.104980.768010.0790157德陽市 0.19276-0.352630.897480.29315-0.640350.050628廣安市 -0.06741-0.166131.689970.34626-1.63425-0.026619樂山市 -0.130320.0753-0.537250.672