初中數(shù)學(xué)最值問題典型例題(含答案分析)

1、中考數(shù)學(xué)最值問題總結(jié)考查知識(shí)點(diǎn)：1、“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱”，“線段的平移”(2、代數(shù)計(jì)算最值問題3、二次函數(shù)中最值問題)問題原型：飲馬問題造橋選址問題(完全平方公式配方求多項(xiàng)式取值二次函數(shù)頂點(diǎn))出題背景變式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。解題總思路：找點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直” 幾何基本模型：條件：如下左圖， A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn). 問題：在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA PB的值最小.方法：作點(diǎn) A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A ,連結(jié)人8交1于 點(diǎn)P ,則PA PB AB的值最小例1、如圖，四邊形 ABCD是正方形， ABE是

2、等邊三角形，M為對(duì)角線BD (不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN ,連接 EN、AM、CM .(1)求證： AMB 叁、ENB ;(2)當(dāng) M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM 的值最?。划?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM 的值最小，并說明理由;時(shí)，求(3)當(dāng)AM+BM+CM 的最小值為 正方形的邊長(zhǎng)。例2、如圖13,拋物線y=ax2+bx+c(a w0)j頂點(diǎn)為(1,4),交x軸于 A B,交y軸于D, 其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)(1)求拋物線的解析式(2)如圖14,過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F,其中E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,若直線PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn) G為PQ上一動(dòng)點(diǎn)，則

3、x軸上是否存在一點(diǎn) H,使D、G、 F、H四點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)最小.若存在，求出這個(gè)最小值及G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.(3)如圖15,拋物線上是否存在一點(diǎn) T,過點(diǎn)T作x的垂線，垂足為 M,過點(diǎn)M作直線 MNI/ BD,交線段AD于點(diǎn)N,連接MD使 DNMh BMD若存在，求出點(diǎn) T的坐標(biāo)；若不存 在，說明理由.例3、如圖1,四邊形AEFG與ABCD都是正方形，它們的邊長(zhǎng)分別為a,b(bM2aM點(diǎn)F在AD上(以下問題的結(jié)果可用a,b表示)(1)求 Sa DBF ;(2)把正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 450得圖2,求圖2中的Sadbf；(3)把正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度，

4、在旋轉(zhuǎn)過程中dbf是否存在最大值，最小值？ 如果存在，試求出最大值、最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。1例4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y= x+1與拋物線y=ax，bx 3交于A, B兩點(diǎn)，2點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3。點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與A, B重合)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線 AB與點(diǎn)C,作PDXAB于點(diǎn)D(1)求a, b及sin ACP的值(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m用含m的代數(shù)式表示線段 PD的長(zhǎng)，并求出線段 PD長(zhǎng)的最大值；連接PB,線段PC把4PDB分成兩個(gè)三角形， 是否存在適合的 m值，使這兩個(gè)三角形的面積之比為 9: 10?若存在，直接寫出 m值；若不

5、存在，說明理由32例5、如圖，OC的內(nèi)接4AOB中，AB=AO=4tan AAOB=-，拋物線y ax2 bx經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)4與點(diǎn)(-2,6 ).(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)直線m與。C相切于點(diǎn)A,交y于點(diǎn)D.動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上，從點(diǎn)。出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn) 動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在線段DA上，從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單 位長(zhǎng)，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)，當(dāng)PQ! AD時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；(3)點(diǎn)R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當(dāng) ROB面積最大時(shí)，求點(diǎn) R的坐標(biāo).第22題圖笫22題答案圖例1、證明：（1） . ABE是等邊三角形，BA=BE , / ABE=60 . / MB

6、N=60,. MBN- Z ABN= Z ABE- / ABN .即/ MBA= Z NBE .又. MB=NB ,AMB ENB （SAS） . （ 5 分）解:（2）當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，A、M、C三點(diǎn)共線，AM+CM 的值最小.（7分）如圖，連接 CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM 的值最小.（9分）理由如下：連接 MN ,由（1 ）知， AMB ENB ,AM=EN , . /MBN=60 , MB=NB ,.BMN 是等邊三角形. BM=MN . . AM+BM+CM=EN+MN+CM . （ 10 分）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得EN+MN+CM=EC 最短，當(dāng)M

7、點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC的長(zhǎng).（11分）例2、解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：y a（x 1）2 4,依題意，將點(diǎn)B （3, 0）代入，得：a(3 1)2 4 0 解得：a=1,所求拋物線的解析式為：y (x 1)2 4(2)如圖6,在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I,使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱， 在x軸上取一點(diǎn) H,連接HF、HI、HG、GD、GE,則HF = HI設(shè)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=kx + b(kw0),點(diǎn)E在拋物線上且點(diǎn) E的橫坐標(biāo)為2,將x= 2代入拋物線y (x 1)2 4,得y (2 1)2 4 3點(diǎn)E坐標(biāo)為(2, 3)又拋物

8、線y2(x 1)4圖像分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B、D，當(dāng)y=0時(shí),2(x 1)4 0 , . x= 1 或 x= 3當(dāng) x = 0 時(shí)，y= - 1+4=3,點(diǎn) A (1, 0),點(diǎn) B (3, 0),點(diǎn) D (0, 3)又拋物線的對(duì)稱軸為：直線 x=1,點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，GD=GE分別將點(diǎn)A ( 1, 0)、點(diǎn)E (2, 3)代入y=kx+b,得：k b 02kb 3解得:過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y= x+ 1當(dāng)x=0時(shí)，y= 1點(diǎn)F坐標(biāo)為(0, 1)DF =2又.點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)I坐標(biāo)為(0, 1). eiVDEDT J22 42 2V5又.要使四邊形 DFHG的

9、周長(zhǎng)最小，由于 DF是一個(gè)定值，只要使DG + GH+HI最小即可由圖形的對(duì)稱性和、，可知，DG + GH + HF = EG+ GH + HI只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG+GH + HI最小設(shè)過E (2, 3)、I (0, 1)兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為：y kx b(k1 0),分別將點(diǎn)E (2, 3)、點(diǎn)I (0, 1)代入y k1x b1,得:2k1 1blb 1k12解得： b11過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=2x1一 .1. .當(dāng) x=1 時(shí)，y=1;當(dāng) y=0 時(shí)，x=5；,，,，一1點(diǎn)G坐標(biāo)為（1, 1）,點(diǎn)H坐標(biāo)為（一，0）2，四邊形 DFHG的周長(zhǎng)最小為： DF+DG + G

10、H+HF = DF+EI 由和，可知：DF+EI=2 2i/5四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小為2 25。（3）如圖7,由題意可知，/ NMD =/ MDB , NM MD . 要使， DNM sbmd ,只要使 即可，MD BD2即：MD NM BD 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a, 0）,由MN /BD,可得 AMN ABD ,NM AMBD AB再由（1）、（2）可知，AM =1 + a, BD = 372 , AB =4MNAM BDAB_22_22_ MD OD OM a 9,，式可寫成:9 312 （1 a） 3.24一 3-解得：a 或a 3 （不合題意，舍去）23. 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（一，0）2又.點(diǎn)

11、T在拋物線y （x 1）2 4圖像上,3私當(dāng)x=一時(shí)，y=2.點(diǎn)T的坐標(biāo)為（15232152例3、 解：(1)二.點(diǎn) F 在 AD 上，AF2=a2+a2,即 AF= 72a。. DF b /a。111 o 3S DBF -DF AB (b 42a) b -b2 abo DBF 2222(2)連接DF, AF,由題意易知 AF / BD ,，四邊形AFDB是梯形。. DBF與ABD等高同底，即 BD為兩三角形的底。由AF / BD ,得到平行線間的距離相等，即高相等,- S DBF S ABD 2boA為圓心，AF為半徑的圓。(3)正方形AEFG在繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，F(xiàn)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)第一種情況

12、：當(dāng)b2a時(shí)，存在最大值及最小值, BFD 的邊 BD= x/2b ,如圖，當(dāng)DFXBD時(shí)，S/xbfd的最大值=-1 72b $ BFD 的最小值=1 2b 吟b 2a) b 22ab仔 b V2a)b2 2ab2，O當(dāng)F點(diǎn)到BD的距離取得最大、最小值時(shí)，S/XBFD取得最大、最小值。錦元數(shù)學(xué)工作室繪制第二種情況：當(dāng)b=2a時(shí)，存在最大值，不存在最小值,Sa bfd的最大值=b2 2ab - o一 _,1，一(2, 0)。例 4、解：（1）由 _x+1=0 ,得至U x=-2, A21一. 一由一x+1=3,得至U x=4 , 1. B (4, 3)。2_ 2 ,.- y=ax +bx3經(jīng)過

13、A、B兩點(diǎn),4a 2b16a+4b3=0- L,解得3=31 a=b=設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)E,則 E (0, 1)。根據(jù)勾股定理，得 AE= J5。. PC / y 軸,P ACP= / AEO 。OA 2 一sin ACP=sin AEO= AE 5（2）由（1）可知拋物線的解析式為1y= -x23。由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m ,m,m,1 一一 m+1 。21. PC= 1m+121 -m22 .i +m+4。在 RtAPCD 中,PD12.PC sin ACP= - m +m+4 259 50, .當(dāng)m=1時(shí)，PD有最大值。55532存在滿足條件的 m值，m= 5或32。29例5、解：（1）將

14、點(diǎn)A（4, 0）和點(diǎn)（-2 , 6）的坐標(biāo)代入y=ax2+bx中，得方程組一4a-2b=61 a=1 o解之，得 a 2 .，拋物線的解析式為 y= - x2-2x . b=-22(2)連接 AC交 OBT E.直線 m切GK 于 A .-.ACLm 弦 AB=AQ ，Ab Ao . . . ACJL OB,，m/ OBOAD叱 AOB - OA=4 tan/AOB= 3 , . OD=OAtan/OAD=4 - =3.443作。吐 AD于 F.則 OF=OA sin / OAD=4 一 =2.4.t 秒時(shí)，OP=t,DQ=2t,若 PQL AD 則 FQ=OP= t.DF=DQ- FQ= t.ODF中，t=DF=OD2 OF2=1.8 秒.(3)令 R(x, 1x22x) (0 x 4). 2作 RGLy 軸于 G 作 RHL OB于 H 交 y 軸于 I.貝U RG= x, OG= 1x2+2x. 2Rt/RIG 中，. / GIR=/ AOB , . tan /