高三數(shù)學(xué) 二項(xiàng)式定理知識點(diǎn)和例題

1、二項(xiàng)式定理1 知識精講：（1）二項(xiàng)式定理：（）其通項(xiàng)是 （r=0,1,2,n），知4求1，如：亦可寫成：（）特別地：（）其中，二項(xiàng)式系數(shù)。而系數(shù)是字母前的常數(shù)。例1等于 （ ）A B。 C。 D.解：設(shè)，于是：=故選D例2（1）求的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)；（2）求的展開式中的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)解：（1）的展開式的第四項(xiàng)是，的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)是（2）的展開式的通項(xiàng)是，的系數(shù)，的二項(xiàng)式系數(shù)（2）二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)：對稱性,在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即增減性與最大值：在二項(xiàng)式展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)

2、式系數(shù)最大，即偶數(shù)：；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大，即。所有二項(xiàng)式系數(shù)的和用賦值法可以證明等于即；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，即例3已知，求：（1）； （2）； （3）.解：（1）當(dāng)時(shí)，展開式右邊為，當(dāng)時(shí)，（2）令， 令， 得：， .（3）由展開式知：均為負(fù)，均為正，由（2）中+ 得：， ， 例4（1）如果在 的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)。（2）求的展開式的常數(shù)項(xiàng)。解：（1）展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1， ， 由題意得：2×=1+得=8。設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8。有理項(xiàng)為。【思

3、維點(diǎn)撥】 求展開式中某一特定的項(xiàng)的問題時(shí)，常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定r。（2），其展開式的通項(xiàng)為，令得所以，常數(shù)項(xiàng)為【思維點(diǎn)撥】 密切注意通項(xiàng)公式的使用。（3）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：近似計(jì)算和估計(jì)、證不等式，如證明：取的展開式中的四項(xiàng)即可。例5、 若為奇數(shù)，則被9除得的余數(shù)是 （ ）A0 B。2 C。7 D.8解：=因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以原式=所以，其余數(shù) 為9 2 = 7，選C例6：當(dāng)且>1，求證證明: 從而【思維點(diǎn)撥】這類是二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，它的取舍根據(jù)題目而定。2重點(diǎn)難點(diǎn): 二項(xiàng)式定理，和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)。3思維方式:一般與特殊的轉(zhuǎn)化，賦值法的應(yīng)用。4特別注意:二項(xiàng)式的展開式共有n+1項(xiàng)，是第r+1項(xiàng)。通項(xiàng)是 （r=0,1,2,n）中含有五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)即可求第五