理論力學(xué)答案謝傳峰版

1、靜力學(xué)1-3 試畫(huà)出圖示各結(jié)構(gòu)中構(gòu)件AB的受力圖FAxFA yFB(a)(a)FAFBFBFDFDFBxFByFBxFCFBFCFBy1-4 試畫(huà)出兩結(jié)構(gòu)中構(gòu)件ABCD的受力圖FAxFA yFDFByFAFBxFBFANFBFDFANFAFBFD1-5 試畫(huà)出圖a和b所示剛體系整體合格構(gòu)件的受力圖1-5aFAxFA yFDxFDyWTEFCxFC yWFAxFA yFBxFB yFCxFC yFDxFDyFBxFByTE1-5b 1-8在四連桿機(jī)構(gòu)的ABCD的鉸鏈B和C上分別作用有力F1和F2，機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡。試求二力F1和F2之間的關(guān)系。解：桿AB，BC，CD為二力桿，受力方向分別沿著各

2、桿端點(diǎn)連線的方向。解法1(解析法)假設(shè)各桿受壓，分別選取銷(xiāo)釘B和C為研究對(duì)象，受力如圖所示：由共點(diǎn)力系平衡方程，對(duì)B點(diǎn)有： 對(duì)C點(diǎn)有： 解以上二個(gè)方程可得：F2FBCFABB45oyxFCDC60oF130oFBCxy解法2(幾何法)分別選取銷(xiāo)釘B和C為研究對(duì)象，根據(jù)匯交力系平衡條件，作用在B和C點(diǎn)上的力構(gòu)成封閉的力多邊形，如圖所示。FABFBCFCD60oF130oF2FBC45o對(duì)B點(diǎn)由幾何關(guān)系可知：對(duì)C點(diǎn)由幾何關(guān)系可知： 解以上兩式可得：2-3 在圖示結(jié)構(gòu)中，二曲桿重不計(jì)，曲桿AB上作用有主動(dòng)力偶M。試求A和C點(diǎn)處的約束力。FBFA解：BC為二力桿(受力如圖所示)，故曲桿AB在B點(diǎn)處受到

3、約束力的方向沿BC兩點(diǎn)連線的方向。曲桿AB受到主動(dòng)力偶M的作用，A點(diǎn)和B點(diǎn)處的約束力必須構(gòu)成一個(gè)力偶才能使曲桿AB保持平衡。AB受力如圖所示，由力偶系作用下剛體的平衡方程有（設(shè)力偶逆時(shí)針為正）：FBFC 其中：。對(duì)BC桿有： 。A，C兩點(diǎn)約束力的方向如圖所示。 2-4四連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡，已知OA=60cm,BC=40cm,作用在BC上力偶的力偶矩M21Nm。試求作用在OA上力偶的力偶矩大小M1和AB所受的力。各桿重量不計(jì)。FAFOOFAFBFBFCC解：機(jī)構(gòu)中AB桿為二力桿，點(diǎn)A,B出的約束力方向即可確定。由力偶系作用下剛體的平衡條件，點(diǎn)O,C處的約束力方向也可確定，各桿的受力如圖所示。

4、對(duì)BC桿有： 對(duì)AB桿有：對(duì)OA桿有： 求解以上三式可得：， ，方向如圖所示。xyFRMAFRdxFRMAFRdy2-6等邊三角形板ABC,邊長(zhǎng)為a，今沿其邊作用大小均為F的力，方向如圖a,b所示。試分別求其最簡(jiǎn)簡(jiǎn)化結(jié)果。 解：2-6a坐標(biāo)如圖所示，各力可表示為:， 先將力系向A點(diǎn)簡(jiǎn)化得（紅色的）：，方向如左圖所示。由于，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一個(gè)不過(guò)A點(diǎn)的力(綠色的)，主矢不變，其作用線距A點(diǎn)的距離，位置如左圖所示。2-6b同理如右圖所示，可將該力系簡(jiǎn)化為一個(gè)不過(guò)A點(diǎn)的力（綠色的），主矢為：其作用線距A點(diǎn)的距離，位置如右圖所示。簡(jiǎn)化中心的選取不同，是否影響最后的簡(jiǎn)化結(jié)果？2-13圖示梁AB一端砌入墻

5、內(nèi)，在自由端裝有滑輪，用以勻速吊起重物D。設(shè)重物重為P, AB長(zhǎng)為l，斜繩與鉛垂方向成角。試求固定端的約束力。法1解：PBFBxFByP整個(gè)結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。選擇滑輪為研究對(duì)象，受力如圖，列平衡方程（坐標(biāo)一般以水平向右為x軸正向，豎直向上為y軸正向，力偶以逆時(shí)針為正）：選梁AB為研究對(duì)象，受力如圖，列平衡方程： MAFBxFByFAxFA y 求解以上五個(gè)方程，可得五個(gè)未知量分別為：（與圖示方向相反）（與圖示方向相同） （逆時(shí)針?lè)较颍㎝APFAxFA yP法2解：設(shè)滑輪半徑為R。選擇梁和滑輪為研究對(duì)象，受力如圖，列平衡方程： 求解以上三個(gè)方程，可得分別為： （與圖示方向相反） （與圖示方向相同

6、） （逆時(shí)針?lè)较颍?-18均質(zhì)桿AB重G，長(zhǎng)l ，放在寬度為a的光滑槽內(nèi)，桿的B端作用著鉛垂向下的力F，如圖所示。試求桿平衡時(shí)對(duì)水平面的傾角。解：ANANDD選AB桿為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程： 求解以上兩個(gè)方程即可求得兩個(gè)未知量，其中：未知量不一定是力。2-27如圖所示，已知桿AB長(zhǎng)為l，重為P，A端用一球鉸固定于地面上，B端用繩索CB拉住正好靠在光滑的墻上。圖中平面AOB與Oyz夾角為，繩與軸Ox的平行線夾角為，已知。試求繩子的拉力及墻的約束力。解：選桿AB為研究對(duì)象，受力如下圖所示。列平衡方程：由和可求出。平衡方程可用來(lái)校核。思考題：對(duì)該剛體獨(dú)立的平衡方程數(shù)目是幾個(gè)？2-29圖

7、示正方形平板由六根不計(jì)重量的桿支撐，連接處皆為鉸鏈。已知力作用在平面BDEH內(nèi)，并與對(duì)角線BD成角，OA=AD。試求各支撐桿所受的力。解：桿1，2，3，4，5，6均為二力桿，受力方向沿兩端點(diǎn)連線方向，假設(shè)各桿均受壓。選板ABCD為研究對(duì)象，受力如圖所示，該力系為空間任意力系。采用六矩式平衡方程： (受拉) (受壓) (受壓) (受拉) 本題也可以采用空間任意力系標(biāo)準(zhǔn)式平衡方程，但求解代數(shù)方程組非常麻煩。類似本題的情況采用六矩式方程比較方便，適當(dāng)?shù)倪x擇六根軸保證一個(gè)方程求解一個(gè)未知量，避免求解聯(lián)立方程。2-31如圖所示，欲轉(zhuǎn)動(dòng)一置于V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩。已知棒料重，直徑。試求棒料

8、與V形槽之間的靜摩擦因數(shù)。解：取棒料為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程:補(bǔ)充方程：五個(gè)方程，五個(gè)未知量，可得方程：解得。當(dāng)時(shí)有：即棒料左側(cè)脫離V型槽，與題意不符，故摩擦系數(shù)。2-33均質(zhì)桿AB長(zhǎng)40cm，其中A端靠在粗糙的鉛直墻上，并用繩子CD保持平衡，如圖所示。設(shè)，平衡時(shí)角的最小值為。試求均質(zhì)桿與墻之間的靜摩擦因數(shù)。解：當(dāng)時(shí)，取桿AB為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程：附加方程：四個(gè)方程，四個(gè)未知量，可求得。2-35在粗糙的斜面上放著一個(gè)均質(zhì)棱柱體，A，B為支點(diǎn)，如圖所示。若，A和B于斜面間的靜摩擦因數(shù)分別為和，試求物體平衡時(shí)斜面與水平面所形成的最大傾角。解：選棱柱體為研究對(duì)象，受力如圖

9、所示。假設(shè)棱柱邊長(zhǎng)為a，重為P，列平衡方程 如果棱柱不滑動(dòng)，則滿足補(bǔ)充方程時(shí)處于極限平衡狀態(tài)。解以上五個(gè)方程，可求解五個(gè)未知量，其中：(1)當(dāng)物體不翻倒時(shí)，則：(2)即斜面傾角必須同時(shí)滿足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。3-10 AB,AC和DE三桿連接如圖所示。桿DE上有一插銷(xiāo)H套在桿AC的導(dǎo)槽內(nèi)。試求在水平桿DE的一端有一鉛垂力作用時(shí)，桿AB所受的力。設(shè)，桿重不計(jì)。FCxFCyFBxFBy解：假設(shè)桿AB，DE長(zhǎng)為2a。取整體為研究對(duì)象，受力如右圖所示，列平衡方程： 取桿DE為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程：FDxFDyFHy 取桿AB為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程： (與假

10、設(shè)方向相反)FBxFByFDyFDxFAxFAy(與假設(shè)方向相反)(與假設(shè)方向相反)3-12和四桿連接如圖所示。在水平桿AB上作用有鉛垂向下的力。接觸面和各鉸鏈均為光滑的，桿重不計(jì)，試求證不論力的位置如何，桿AC總是受到大小等于的壓力。FCxFCyFD解：取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程： 取桿AB為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程： 桿AB為二力桿，假設(shè)其受壓。取桿AB和AD構(gòu)成的組合體為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程： 解得，命題得證。FABxFExFACFBFEyFBFABy注意：銷(xiāo)釘A和C聯(lián)接三個(gè)物體。3-14兩塊相同的長(zhǎng)方板由鉸鏈C彼此相連接，且由鉸鏈A及B固定，如圖

11、所示，在每一平板內(nèi)都作用一力偶矩為的力偶。如，忽略板重，試求鉸鏈支座A及B的約束力。FAFB解：取整體為研究對(duì)象，由于平衡條件可知該力系對(duì)任一點(diǎn)之矩為零，因此有：即必過(guò)A點(diǎn)，同理可得必過(guò)B點(diǎn)。也就是和是大小相等，方向相反且共線的一對(duì)力，如圖所示。取板AC為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程：FCxFCy解得：(方向如圖所示)3-20如圖所示結(jié)構(gòu)由橫梁和三根支承桿組成，載荷及尺寸如圖所示。試求A處的約束力及桿1，2，3所受的力。解：FBxFByF3支撐桿1，2，3為二力桿，假設(shè)各桿均受壓。選梁BC為研究對(duì)象，受力如圖所示。其中均布載荷可以向梁的中點(diǎn)簡(jiǎn)化為一個(gè)集中力，大小為2qa，作用在BC桿中點(diǎn)

12、。列平衡方程：(受壓)選支撐桿銷(xiāo)釘D為研究對(duì)象，受力如右圖所示。列平衡方程：DF3F2F1xy (受壓) (受拉)FAxFAyF3F2MA選梁AB和BC為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程：(與假設(shè)方向相反) (逆時(shí)針)FAxFAyFBxFBy3-21二層三鉸拱由和四部分組成，彼此間用鉸鏈連接，所受載荷如圖所示。試求支座的約束力。解：選整體為研究對(duì)象，受力如右圖所示。列平衡方程： (1)FEFG由題可知桿DG為二力桿，選GE為研究對(duì)象，作用于其上的力匯交于點(diǎn)G，受力如圖所示，畫(huà)出力的三角形，由幾何關(guān)系可得： FEFGF。取CEB為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程：FCyFCxFEFByFBx

13、 代入公式(1)可得：PFAxFAyN1N2N1T3-24均質(zhì)桿AB可繞水平軸A轉(zhuǎn)動(dòng)，并擱在半徑為的光滑圓柱上，圓柱放在光滑的水平面上，用不可伸長(zhǎng)的繩子AC拉在銷(xiāo)釘A上，桿重16N，。試求繩的拉力和桿AB對(duì)銷(xiāo)釘A的作用力。解：取桿AB為研究對(duì)象，設(shè)桿重為P，受力如圖所示。列平衡方程： 取圓柱C為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程： 注意：由于繩子也拴在銷(xiāo)釘上，因此以整體為研究對(duì)象求得的A處的約束力不是桿AB對(duì)銷(xiāo)釘?shù)淖饔昧Α?-27均質(zhì)桿AB和BC完全相同，A和B為鉸鏈連接，C端靠在粗糙的墻上，如圖所示。設(shè)靜摩擦因數(shù)。試求平衡時(shí)角的范圍。解：取整體為研究對(duì)象，設(shè)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，重為P，受力如圖所示。列

14、平衡方程： (1)取桿BC為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程： (2)FAxFAyFNFsPPFBxFByFNFsP 補(bǔ)充方程：，將(1)式和(2)式代入有：，即。3-30如圖所示機(jī)構(gòu)中，已知兩輪半徑量，各重，桿AC和BC重量不計(jì)。輪與地面間的靜摩擦因數(shù)，滾動(dòng)摩擦系數(shù)。今在BC桿中點(diǎn)加一垂直力。試求：平衡時(shí)的最大值；當(dāng)時(shí)，兩輪在D和E點(diǎn)所受到的滑動(dòng)摩擦力和滾動(dòng)摩擦力偶矩。解：取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程：FNDFNEFSDFSEMEMDFBFAC由題可知，桿AC為二力桿。作用在桿BC上的力有主動(dòng)力，以及B和C處的約束力和，由三力平衡匯交，可確定約束力和的方向如圖所示，其中：，桿

15、AC受壓。取輪A為研究對(duì)象，受力如圖所示，設(shè)的作用線與水平面交于F點(diǎn)，列平衡方程：FACFNDFSDMDF取輪B為研究對(duì)象，受力如圖所示，設(shè)的作用線與水平面交于G點(diǎn)，列平衡方程：FNEFSEMEFBG解以上六個(gè)方程，可得：， ， 若結(jié)構(gòu)保持平衡，則必須同時(shí)滿足：，即：，因此平衡時(shí)的最大值，此時(shí)：， 3-35試用簡(jiǎn)捷的方法計(jì)算圖中所示桁架1，2，3桿的內(nèi)力。解：由圖可見(jiàn)桿桁架結(jié)構(gòu)中桿CF，F(xiàn)G，EH為零力桿。用剖面SS將該結(jié)構(gòu)分為兩部分，取上面部分為研究對(duì)象，受力如圖所示，列平衡方程：F2F3F1SFGFHS (受拉) (受拉)(受壓)3-38如圖所示桁架中，ABCDEG為正八角形的一半，各桿相

16、交但不連接。試求桿BC的內(nèi)力。解：假設(shè)各桿均受壓。取三角形BCG為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程：(受壓)FGFEGFCDFABCFBCFCDFCG取節(jié)點(diǎn)C為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程：其中：，解以上兩個(gè)方程可得：(受壓)3-40試求圖中所示桁架中桿1和2的內(nèi)力。解：取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程：ABC345FAyFAxFBSSF1F3F4F5F2用截面S-S將桁架結(jié)構(gòu)分為兩部分，假設(shè)各桿件受拉，取右邊部分為研究對(duì)象，受力如圖所示。列平衡方程：(受拉)(受拉)4-1力鉛垂地作用于桿AO上,。在圖示位置上杠桿水平，桿DC與DE垂直。試求物體M所受的擠壓力的大小。解：1.

17、選定由桿OA，O1C，DE組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系統(tǒng)具有理想約束。作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力為。2.該系統(tǒng)的位置可通過(guò)桿OA與水平方向的夾角完全確定，有一個(gè)自由度。選參數(shù)為廣義坐標(biāo)。3.在圖示位置，不破壞約束的前提下，假定桿OA有一個(gè)微小的轉(zhuǎn)角，相應(yīng)的各點(diǎn)的虛位移如下：rArCrBrDrE，代入可得：4.由虛位移原理有：對(duì)任意有：，物體所受的擠壓力的方向豎直向下。4-4如圖所示長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿AB，其A端連有套筒，又可沿鉛垂桿滑動(dòng)。忽略摩擦及套筒重量，試求圖示兩種情況平衡時(shí)的角度。解：4a1.選桿AB為研究對(duì)象，該系統(tǒng)具有理想約束。設(shè)桿重為P,作用在桿上的主動(dòng)力為重力。2.該系統(tǒng)的位置可通過(guò)桿AB與

18、z軸的夾角完全確定，有一個(gè)自由度。選參數(shù)為廣義坐標(biāo)。由幾何關(guān)系可知：桿的質(zhì)心坐標(biāo)可表示為：3.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定桿AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)微小的角度，則質(zhì)心C的虛位移：4.由虛位移原理有： 對(duì)任意有： 即桿AB平衡時(shí)：。解：4b1.選桿AB為研究對(duì)象，該系統(tǒng)具有理想約束。設(shè)桿重為P,作用在桿上的主動(dòng)力為重力。2.該系統(tǒng)的位置可通過(guò)桿AB與z軸的夾角完全確定，有一個(gè)自由度。選參數(shù)為廣義坐標(biāo)。由幾何關(guān)系可知：桿的質(zhì)心坐標(biāo)可表示為：3.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定桿AB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)微小的角度，則質(zhì)心C的虛位移：4.由虛位移原理有： 對(duì)任意有： 即平衡時(shí)角滿足：。4-5被抬起的簡(jiǎn)

19、化臺(tái)式打字機(jī)如圖所示。打字機(jī)和擱板重P，彈簧原長(zhǎng)為，試求系統(tǒng)在角保持平衡時(shí)的彈簧剛度系數(shù)值。解：1.選整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，此系統(tǒng)包含彈簧。設(shè)彈簧力，且，將彈簧力視為主動(dòng)力。此時(shí)作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力有，以及重力。2. 該系統(tǒng)只有一個(gè)自由度，選定為廣義坐標(biāo)。由幾何關(guān)系可知：3.在平衡位置，不破壞約束的前提下，假定有一個(gè)微小的虛位移，則質(zhì)心的虛位移為：彈簧的長(zhǎng)度，在微小虛位移下：4.由虛位移原理有：其中，代入上式整理可得： 由于，對(duì)任意可得平衡時(shí)彈簧剛度系數(shù)為：4-6復(fù)合梁AD的一端砌入墻內(nèi)，B點(diǎn)為活動(dòng)鉸鏈支座，C點(diǎn)為鉸鏈，作用于梁上的力，以及力偶矩為的力偶，如圖所示。試求固定端A處的約束力。解：解

20、除A端的約束，代之以，并將其視為主動(dòng)力，此外系統(tǒng)還受到主動(dòng)力的作用。系統(tǒng)有三個(gè)自由度，選定A點(diǎn)的位移和梁AC的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。1在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，如圖所示。由虛位移原理有：對(duì)任意可得：2在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，如下圖所示。由虛位移原理有： (1)由幾何關(guān)系可得各點(diǎn)的虛位移如下：代入(1)式：對(duì)任意可得：，方向如圖所示。3在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，如上圖所示。由虛位移原理有：(2)有幾何關(guān)系可得各點(diǎn)的虛位移如下：代入(2)式：對(duì)任意可得：，逆時(shí)針?lè)较颉?-7圖示結(jié)構(gòu)上的載荷如下：；力；力，其方向與水平成角；以及力偶，其力偶矩為。試求支座處的約束力。解：將均

21、布載荷簡(jiǎn)化為作用在CD中點(diǎn)的集中載荷，大小為。1.求支座B處的約束力解除B點(diǎn)處的約束，代之以力，并將其視為主動(dòng)力，系統(tǒng)還受到主動(dòng)力的作用，如圖所示。在不破壞約束的前提下，桿AC不動(dòng)，梁CDB只能繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。系統(tǒng)有一個(gè)自由度，選轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。給定虛位移，由虛位移原理有： (1)各點(diǎn)的虛位移如下：代入(1)式整理可得：對(duì)任意可得：，方向如圖所示。2.求固定端A處的約束力解除A端的約束，代之以，并將其視為主動(dòng)力，系統(tǒng)還受到主動(dòng)力的作用。系統(tǒng)有三個(gè)自由度，選定A點(diǎn)的位移和梁AC的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。2a.求在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，此時(shí)整個(gè)結(jié)構(gòu)平移，如上圖所示。由虛位移原理有： (2)各點(diǎn)的虛

22、位移如下：代入(2)式整理可得：對(duì)任意可得：，方向如圖所示。2b.求在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，此時(shí)梁AC向上平移，梁CDB繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，如上圖所示。由虛位移原理有： (3)各點(diǎn)的虛位移如下：代入(3)式整理可得：對(duì)任意可得：，方向如圖所示。2c.求在不破壞約束的前提下給定一組虛位移，此時(shí)梁AC繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，梁CDB平移，如上圖所示。由虛位移原理有： (4)各點(diǎn)的虛位移如下：代入(4)式整理可得：對(duì)任意可得：，順時(shí)針?lè)较颉?-8設(shè)桁架有水平力及鉛垂力作用其上，且，。試求桿1，2和3所受的力。解：假設(shè)各桿受拉，桿長(zhǎng)均為a。1求桿1受力去掉桿1，代之以力，系統(tǒng)有一個(gè)自由度，選AK與水平方向的夾

23、角為廣義坐標(biāo)，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，此時(shí)三角形ADK形狀不變，繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此有，且：滑動(dòng)支座B處只允許水平方向的位移，而桿BK上K點(diǎn)虛位移沿鉛垂方向，故B點(diǎn)不動(dòng)。三角形BEK繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，且：對(duì)剛性桿CD和桿CE，由于，因此。由虛位移原理有： 代入各點(diǎn)的虛位移整理可得：對(duì)任意可得：（受壓）。2求桿2受力去掉桿2，代之以力，系統(tǒng)有一個(gè)自由度，選BK與水平方向的夾角為廣義坐標(biāo)，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，桿AK繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此有，且：同理可知B點(diǎn)不動(dòng)，三角形BEK繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，且：桿AD繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，由剛性桿DE上點(diǎn)E的虛位移可確定D點(diǎn)位移方向如圖所示，且

24、：同理可知。由虛位移原理有： 代入各點(diǎn)的虛位移整理可得：對(duì)任意可得：（受壓）。3求桿3受力去掉桿3，代之以力，系統(tǒng)有一個(gè)自由度，選AK與水平方向的夾角為廣義坐標(biāo)，如上圖所示。在不破壞約束的條件下給定一組虛位移，三角形ADK繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，且：同理可知B點(diǎn)不動(dòng)，且：由虛位移原理有： 代入各點(diǎn)的虛位移整理可得：對(duì)任意可得：（受拉）。4-12桿長(zhǎng)2b，重量不計(jì)，其一端作用鉛垂常力，另一端在水平滑道上運(yùn)動(dòng)，中點(diǎn)連接彈簧，如圖所示。彈簧剛度系數(shù)為k，當(dāng)時(shí)為原長(zhǎng)。不計(jì)滑塊的重量和摩擦，試求平衡位置，討論此平衡位置的穩(wěn)定性。解：F大小和方向不變，常力也是有勢(shì)力。取桿和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。該系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，

25、有一個(gè)自由度，選為廣義坐標(biāo)，如圖所示。取為零勢(shì)能位置，則系統(tǒng)在任意位置的勢(shì)能為：由平衡條件可得：有：和即：和也就是：和兩個(gè)平衡位置。為判斷平衡的穩(wěn)定性，取勢(shì)能V的二階導(dǎo)數(shù)：當(dāng)時(shí)，即時(shí)是不穩(wěn)定平衡。當(dāng)時(shí)，由上式可知：1 當(dāng)且時(shí)，即是穩(wěn)定平衡位置；2 當(dāng)且時(shí)，即是不穩(wěn)定平衡位置。4-15半徑為的半圓住在另一半徑為的半圓柱上保持平衡，如圖所示。試討論對(duì)無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)擾動(dòng)的穩(wěn)定性。解：取半徑為r的半圓柱為研究對(duì)象，圓心為C。半圓柱作純滾動(dòng)，有一個(gè)自由度，取兩個(gè)半圓心連線與y軸夾角為廣義坐標(biāo)。作用在半圓柱上的主動(dòng)力為重力，系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，如圖所示，其中。由于半圓柱作純滾動(dòng)，有：（1）取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢(shì)能位置

26、，則半圓柱在任意位置的勢(shì)能為：代入（1）式有：由平衡條件可得為平衡位置。勢(shì)能V的二階導(dǎo)數(shù)：由上式可得當(dāng)，是穩(wěn)定的。努力學(xué)習(xí)吧！動(dòng)力學(xué)13解：運(yùn)動(dòng)方程：，其中。將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并將代入得 16證明：質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，xyo所以質(zhì)點(diǎn)的加速度為：,設(shè)質(zhì)點(diǎn)的速度為，由圖可知:，所以: 將，代入上式可得 證畢yzox17證明：因?yàn)?，所以：證畢110解：設(shè)初始時(shí),繩索AB的長(zhǎng)度為,時(shí)刻時(shí)的長(zhǎng)度為,則有關(guān)系式：，并且 將上面兩式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：y，由此解得： （a）(a)式可寫(xiě)成：，將該式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得： (b)將(a)式代入(b)式可得：（負(fù)號(hào)說(shuō)明滑塊A的加速度向上）取套筒A為研究對(duì)象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)

27、點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程有：將該式在軸上投影可得直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程：其中：將其代入直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程可得：AOAOBR111解：設(shè)B點(diǎn)是繩子AB與圓盤(pán)的切點(diǎn)，由于繩子相對(duì)圓盤(pán)無(wú)滑動(dòng)，所以，由于繩子始終處于拉直狀態(tài)，因此繩子上A、B兩點(diǎn)的速度在 A、B兩點(diǎn)連線上的投影相等，即： （a）因?yàn)?（b）將上式代入（a）式得到A點(diǎn)速度的大小為： （c）由于，（c）式可寫(xiě)成：，將該式兩邊平方可得：將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得：將上式消去后，可求得： (d)由上式可知滑塊A的加速度方向向左，其大小為 AOBR取套筒A為研究對(duì)象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程有：將該式在軸上投影可得

28、直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程：其中：, 將其代入直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程可得113解：動(dòng)點(diǎn)：套筒A；動(dòng)系：OC桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)速度合成定理有：，因?yàn)锳B桿平動(dòng)，所以，由此可得：，OC桿的角速度為，所以 當(dāng)時(shí)，OC桿上C點(diǎn)速度的大小為： x115解：動(dòng)點(diǎn)：銷(xiāo)子M動(dòng)系1：圓盤(pán)動(dòng)系2：OA桿定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：曲線運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)根據(jù)速度合成定理有， 由于動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度與動(dòng)系的選取無(wú)關(guān)，即，由上兩式可得： (a)將（a）式在向在x軸投影,可得：由此解得：117解：動(dòng)點(diǎn)：圓盤(pán)上的C點(diǎn)；動(dòng)系：

29、O1A桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)（平行于O1A桿）； 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)速度合成定理有 （a）將（a）式在垂直于O1A桿的軸上投影以及在O1C軸上投影得：，根據(jù)加速度合成定理有 （b）將（b）式在垂直于O1A桿的軸上投影得其中：，由上式解得：119解：由于ABM彎桿平移，所以有 ?。簞?dòng)點(diǎn)：滑塊M；動(dòng)系：OC搖桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)速度合成定理 可求得：，根據(jù)加速度合成定理 將上式沿方向投影可得：由于，根據(jù)上式可得：， 1-20 MOAB解：取小環(huán)M為動(dòng)點(diǎn)，OAB桿為動(dòng)系運(yùn)動(dòng)分析絕對(duì)

30、運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由運(yùn)動(dòng)分析可知點(diǎn)的絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度的方向如圖所示，其中：根據(jù)速度合成定理： 可以得到： ，MOAB加速度如圖所示，其中：，根據(jù)加速度合成定理：將上式在軸上投影，可得：,由此求得：121Oxy解：求汽車(chē)B相對(duì)汽車(chē)A的速度是指以汽車(chē)A為參考系觀察汽車(chē)B的速度。取：動(dòng)點(diǎn)：汽車(chē)B；動(dòng)系：汽車(chē)A（Oxy）；定系：路面。運(yùn)動(dòng)分析絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（汽車(chē)A繞O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）求相對(duì)速度，根據(jù)速度合成定理 將上式沿絕對(duì)速度方向投影可得： y因此 其中：，由此可得：xO求相對(duì)加速度，由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)，相

31、對(duì)速度的大小為常值，因此有：1-23 質(zhì)量為銷(xiāo)釘M由水平槽帶動(dòng)，使其在半徑為的固定圓槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)。設(shè)水平槽以勻速向上運(yùn)動(dòng)，不計(jì)摩擦。求圖示瞬時(shí)，圓槽作用在銷(xiāo)釘M上的約束力。MOMO 解：銷(xiāo)釘M上作用有水平槽的約束力和圓槽的約束力（如圖所示）。由于銷(xiāo)釘M的運(yùn)動(dòng)是給定的，所以先求銷(xiāo)釘?shù)募铀俣?，在利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程求約束力。取銷(xiāo)釘為動(dòng)點(diǎn)，水平槽為動(dòng)系。由運(yùn)動(dòng)分析可知銷(xiāo)釘?shù)乃俣葓D如圖所示。MOMO根據(jù)速度合成定理有 由此可求出： 。再根據(jù)加速度合成定理有：由于絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)是勻速直線平移，所以，并且上式可寫(xiě)成：因?yàn)?，所以根據(jù)上式可求出: 。根據(jù)矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程有：將該式分別在水

32、平軸上投影： 由此求出：1-24 圖示所示吊車(chē)下掛一重物M，繩索長(zhǎng)為，初始時(shí)吊車(chē)與重物靜止。若吊車(chē)從靜止以均加速度沿水平滑道平移。試求重物M相對(duì)吊車(chē)的速度與擺角的關(guān)系式。M解：由于要求重物相對(duì)吊車(chē)的速度，所以取吊車(chē)為動(dòng)系，重物M為動(dòng)點(diǎn)。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程有將上式在切向量方向投影有因?yàn)?，所以上式可?xiě)成整理上式可得將上式積分：其中為積分常數(shù)（由初始條件確定），因?yàn)橄鄬?duì)速度，上式可寫(xiě)成初始時(shí)，系統(tǒng)靜止，根據(jù)速度合成定理可知，由此確定。重物相對(duì)速度與擺角的關(guān)系式為：RRoFORRoO1-26 水平板以勻角速度繞鉛垂軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，小球M可在板內(nèi)一光滑槽中運(yùn)動(dòng)（如圖7-8），初始時(shí)小球相對(duì)靜止且到轉(zhuǎn)軸O

33、的距離為，求小球到轉(zhuǎn)軸的距離為時(shí)的相對(duì)速度。解：取小球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，板為動(dòng)系，小球在水平面的受力如圖所示（鉛垂方向的力未畫(huà)出）。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程有：將上式在上投影有 因?yàn)?，所以上式可?xiě)成整理該式可得： 將該式積分有： 初始時(shí),由此確定積分常數(shù)，因此得到相對(duì)速度為1-27 重為P的小環(huán)M套在彎成形狀的金屬絲上，該金屬絲繞鉛垂軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。試求小環(huán)M的相對(duì)平衡位置以及金屬絲作用在小環(huán)上的約束力。MM解：取小環(huán)為動(dòng)點(diǎn)，金屬絲為動(dòng)系，根據(jù)題意，相對(duì)平衡位置為，因?yàn)榻饘俳z為曲線，所以，因此在本題中相對(duì)平衡位置就是相對(duì)靜止位置。小環(huán)受力如圖所示。其中分別為約束力、牽連慣性力和小環(huán)的重力。根

34、據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程有：其中：，將上式分別在軸上投影有 （a）以為，,因此 （b）由（a）式可得 （c）將和式（b）代入式（c），并利用 ，可得：再由方程（a）中的第一式可得 x2-1 解：當(dāng)摩擦系數(shù)足夠大時(shí)，平臺(tái)AB相對(duì)地面無(wú)滑動(dòng)，此時(shí)摩擦力取整體為研究對(duì)象，受力如圖，系統(tǒng)的動(dòng)量：將其在軸上投影可得：根據(jù)動(dòng)量定理有： 即：當(dāng)摩擦系數(shù)時(shí)，平臺(tái)AB的加速度為零。當(dāng)摩擦系數(shù)時(shí)，平臺(tái)AB將向左滑動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量為：將上式在軸投影有：根據(jù)動(dòng)量定理有：由此解得平臺(tái)的加速度為：（方向向左）x2-2 取彈簧未變形時(shí)滑塊A的位置為x坐標(biāo)原點(diǎn)，取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示,其中為作用在滑塊A上的彈簧拉力。

35、系統(tǒng)的動(dòng)量為：將上式在x軸投影：根據(jù)動(dòng)量定理有：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：24 取提起部分為研究對(duì)象，受力如圖(a)所示，提起部分的質(zhì)量為，提起部分的速度為，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)可知質(zhì)點(diǎn)并入的相對(duì)速度為，方向向下，大小為（如圖a所示）。y (a) (b)根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程有：將上式在y軸上投影有：由于，所以由上式可求得：。再取地面上的部分為研究對(duì)象，由于地面上的物體沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，并起與提起部分沒(méi)有相互作用力，因此地面的支撐力就是未提起部分自身的重力，即：x25 將船視為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)，取其為研究對(duì)象，受力如圖。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程有：船的質(zhì)量為：，水的阻力為將其代入上式可得：將上式在x軸投影：。應(yīng)用

36、分離變量法可求得由初始條件確定積分常數(shù)：，并代入上式可得：2-8 圖a所示水平方板可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，板對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)方板的速度大小為（常量）。圓盤(pán)中心到轉(zhuǎn)軸的距離為。質(zhì)點(diǎn)在方板上的位置由確定。初始時(shí)，方板的角速度為零，求方板的角速度與角的關(guān)系。oM 圖a 圖 b解：取方板和質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，作用在研究對(duì)象上的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸z的力矩為零，因此系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩守恒。下面分別計(jì)算方板和質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩。設(shè)方板對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為，其角速度為，于是有設(shè)質(zhì)點(diǎn)M對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為，取方板為動(dòng)系，質(zhì)點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，其牽連速度和相對(duì)速度分別為。相對(duì)速度沿相對(duì)軌跡的切線方向，牽連

37、速度垂直于OM連線。質(zhì)點(diǎn)M相對(duì)慣性參考系的絕對(duì)速度。它對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為其中：系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為。初始時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到圖8-12位置時(shí)，系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為由于系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒。所以有，因此可得：由上式可計(jì)算出方板的角速度為211 取鏈條和圓盤(pán)為研究對(duì)象，受力如圖（鏈條重力未畫(huà)），設(shè)圓盤(pán)的角速度為，則系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩為：根據(jù)動(dòng)量矩定理有：P整理上式可得： 由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：，因此有：。上式可表示成：令，上述微分方程可表示成：，該方程的通解為：根據(jù)初始條件：可以確定積分常數(shù)，于是方程的解為：系統(tǒng)的動(dòng)量在x軸上的投影為：系統(tǒng)的動(dòng)量在y軸上的投影為：根據(jù)動(dòng)量定理：由上式解得：，214 取整體為研究對(duì)象，系統(tǒng)的動(dòng)能為：其中：分別是AB桿的速度和楔塊C的速度。若是AB桿上的A點(diǎn)相對(duì)楔塊C的速度，則根據(jù)復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理可知：，因此系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為：，系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AB桿的重力作功。根據(jù)動(dòng)能定理的微分形式有：，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示成：由上式解得：，ABAB217 質(zhì)量為的均質(zhì)物塊上有一半徑為的半圓槽，放在光滑的水平面上如圖A所示。質(zhì)量為光滑小球可在槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)，系統(tǒng)靜止，小球在A處。求小球運(yùn)動(dòng)到B處時(shí)相對(duì)物塊的速度、物塊的速度、槽對(duì)小球的約束力和地面對(duì)物塊的約束力。 圖A 圖B解：取