第三章多維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題

1、習(xí)題三一、填空題1.設(shè)兩隨機(jī)變量, 且=, 則 5/7 .2.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為 12310230X12311/41/21/4則關(guān)于的邊緣分布律為 . 3若的聯(lián)合分布律為 123121/61/31/91/18應(yīng)滿足條件是 .若相互獨(dú)立則= 2/9 ,= 1/9 ；4.設(shè)獨(dú)立同分布, 且的分布律為, 則隨機(jī)變量的分布律為 P(Z=0)=0.25, P(Z=1)=0.75 ；5.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 則概率=_0.3_。6. 設(shè) () 聯(lián)合概率密度為則系數(shù)= 6 ；7.設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，則c= 21/4 。8. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y ）的概率密度為則關(guān)于X的邊

2、緣概率密度是.9. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X在區(qū)間上服從均勻分布，Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則.10. 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0, 3上的均勻分布，則= 1/9 .11. 若.12已知獨(dú)立且服從于相同的分布函數(shù)，若令，則. 二、選擇題1.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，其邊緣分布函數(shù)是（B）2.同時(shí)擲兩顆質(zhì)體均勻的骰子,分別以X,Y表示第1顆和第2顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則（A） （A） . （B）.（C）. （D）.3設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，它們的概率分布依次為X-11Y-11p1/21/2p1/21/2則下列各式正確的是（C）（A）X=Y. （B）PX=Y=0 . (C)

3、PX=Y=1/2. (D) PX=Y=1.4.設(shè)（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（B）.（A）. （B）.（C）. （D）.5. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，則X,Y滿足（ C ）（A）獨(dú)立同分布. （B）獨(dú)立不同分布.（C）不獨(dú)立同分布. （D）不獨(dú)立也不同分布.6. 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且分別服從和，則（B）（A）. （B）.（C） . （D） .7. 設(shè)X與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)分別為，則的分布函數(shù)為（D）（A）. （B）.（C）. （D）.8.若,且X與Y相互獨(dú)立,則（C）（A）. （B）.（C）.（D）.9.已知，且相互獨(dú)立,記（A）（A） . （

4、B）. （C）. （D）.10.設(shè)相獨(dú)立且都服從,則下式成立的是（B）（A）. （B）.（C）. （D）.三、計(jì)算下列各題1. 一個(gè)箱子裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，現(xiàn)隨機(jī)地?zé)o放回抽取兩次，每次取一只，以分別表示第一次和第二次取出的次品數(shù)，試寫出的聯(lián)合概率分布律。 解. 2. 袋中有1個(gè)紅色球，2個(gè)黑色球與3個(gè)白色球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球，以X，Y，分別表示兩次去求所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù)，求（1）二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布律;（2）X，Y的邊緣分布律。解：（1）X，Y的取值范圍為0,1,2，故 XY01201/41/61/3611/31/9021/900（2）01222

5、5/365/181/364/94/91/93. 設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能取值，另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1X中等可能取一個(gè)整數(shù)值，求（1）的聯(lián)合分布律；（2）X，Y的邊緣分布律。解：由題意，則由概率的乘法公式有因此 XY123411/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/481/41/41/41/414. 已知隨機(jī)變量的概率分布：1/41/21/41/21/2且.（1）求的聯(lián)合分布，（2）問是否獨(dú)立？為什么？.解Y X-101Pj0P11P21P311/210P2201/2Pi.1/41/21/41（

6、1）設(shè)的聯(lián)合分布為Y X-10101/401/4101/20 5. 假設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，都服從同一分布：01221/41/21/41/41/21/4求概率解 注意，兩個(gè)隨機(jī)變量同分布，并不意味著它們相等，只說(shuō)明它們?nèi)⊥恢档母怕氏嗟扔扇怕使郊昂拖嗷オ?dú)立，可見6. 設(shè)隨機(jī)變量 () 的聯(lián)合密度為，求：（1）系數(shù)k； （2）； （3）。解：（1）（2）（3）=7. 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為，求（1）常數(shù)（2）隨機(jī)變量的邊緣密度，（3）概率。解 （1）. ，(3) .8. 假設(shè)一微波線路有兩個(gè)中間站，它們無(wú)故障的時(shí)間和是隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)為(1) 求兩個(gè)中間站連續(xù)100小時(shí)無(wú)故障的概

7、率；(2) 證明和相互獨(dú)立解 (1) 連續(xù)100小時(shí)無(wú)故障的概率(2) 現(xiàn)在證明和相互獨(dú)立以和分別表示和的分布函數(shù)，則由于，可見和相互獨(dú)立9. 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)，并判斷X與Y是否相互獨(dú)立？（2）。解：（1）由于（2）9. 雷達(dá)的圓形屏幕的半徑為，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)在屏幕上均勻分布，（1）求的邊緣概率密度，（2）問是否獨(dú)立？10. 設(shè)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的分布律為, 求的分布律，的分布律 .解 由獨(dú)立性可得（）（1，2） （1，4） （3，2） （3，4） 0.18 0.12 0.42 0.28 3 5 5 7 1 3 1 1所以 的分布律與的分布律分別為Z

8、357W310.18 0.54 0.280.120.460.4211. 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度, 求的概率密度。 解.12. 設(shè)二維變量的概率密度為 求 (1)；(2)的概率密度。解：(1) ，其中D為中的那部分區(qū)域； 求此二重積分可得 (2) 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 于是.13.已知隨機(jī)向量的概率密度為求隨機(jī)變量的概率密度解 對(duì)于和，顯然=0(1) 設(shè)注意到，當(dāng)時(shí)=0因此，由二隨機(jī)變量之和的概率密度公式，有(2) 設(shè)注意到當(dāng)時(shí)由二隨機(jī)變量之和的概率密度公式，有于是，隨機(jī)變量的概率密度14 設(shè)某種商品一周的需要量是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為并設(shè)各周的需要量是相互獨(dú)立的，試求（1）

9、兩周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）設(shè)第一周需要量為X，它是隨機(jī)變量 設(shè)第二周需要量為Y，它是隨機(jī)變量且為同分布，其分布密度為Z=X+Y表示兩周需要的商品量，由X和Y的獨(dú)立性可知：z0 當(dāng)z<0時(shí)，fz (z) = 0當(dāng)z>0時(shí)，由和的概率公式知 （2）設(shè)z表示前兩周需要量，其概率密度為 設(shè)表示第三周需要量，其概率密度為：z與相互獨(dú)立= z +表示前三周需要量則：0，當(dāng)u<0，f(u) = 0 當(dāng)u>0時(shí)所以的概率密度為15. 假設(shè)是一矩形，隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布是區(qū)域上的均勻分布考慮隨機(jī)變量求和的聯(lián)合概率分布解易見，若，則隨機(jī)變量和的聯(lián)合密度為，否則例3.19插圖x= yx =2yy1 0G1G2G32x直線和將分為三部分(見插圖)：， ，易見隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率分布:有等4個(gè)可能值，因此V U0101/41/4101/2于是，和的聯(lián)合分布為16. 假設(shè)電路裝有三個(gè)同種電器元件，其狀況相互獨(dú)立，且無(wú)故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，當(dāng)三個(gè)元件都無(wú)故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不正常工作.試求電路正常工作時(shí)間T的概率分布。解 以表示第個(gè)元件無(wú)故障工作時(shí)間，則獨(dú)立且分布函數(shù)為. 所以T服從參數(shù)為的指數(shù)分布17設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，20）分布。隨機(jī)地選取4只求其中沒有一只壽命小于180小時(shí)的概率。解：設(shè)X1，X2