拋物線及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)大全與經(jīng)典例題及解析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上拋物線及其性質(zhì)【考綱說(shuō)明】1、掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決與拋物線有關(guān)問題。 2、通過(guò)類比，找出拋物線與橢圓，雙曲線的性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系。【知識(shí)梳理】1拋物線定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線2拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)：圖形參數(shù)p幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊.開口方向右左上下標(biāo) 準(zhǔn)方 程焦 點(diǎn)位 置X正X負(fù)Y正Y負(fù)焦 點(diǎn)坐 標(biāo)準(zhǔn) 線方 程范 圍對(duì) 稱軸X軸X軸Y軸Y軸頂 點(diǎn)坐 標(biāo)（0,0）離心率通 徑2p焦半徑焦點(diǎn)弦長(zhǎng)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的補(bǔ)充以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切若的傾斜角為，若的傾斜角為，則

2、3拋物線的幾何性質(zhì)：(1)范圍 因?yàn)閜>0，由方程可知x0，所以拋物線在軸的右側(cè)， 當(dāng)?shù)闹翟龃髸r(shí)，|也增大，說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸(2)對(duì)稱性：對(duì)稱軸要看一次項(xiàng)，符號(hào)決定開口方向(3)頂點(diǎn)（0，0），離心率：，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距p(4) 焦點(diǎn)弦：拋物線的焦點(diǎn)弦，,則 弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p,當(dāng)x1=x2時(shí)，通徑最短為2p。4焦點(diǎn)弦的相關(guān)性質(zhì)：焦點(diǎn)弦，,，焦點(diǎn)(1) 若AB是拋物線的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦），且，則：，。(2) 若AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為，則（0）。(3) 已知直線AB是過(guò)拋物線焦點(diǎn)F ,(4) 焦點(diǎn)弦中通徑最短長(zhǎng)為2p。通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于焦

3、點(diǎn)所在的軸的焦點(diǎn)弦叫做通徑 (5) 兩個(gè)相切：以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切。5弦長(zhǎng)公式：,是拋物線上兩點(diǎn)，則【經(jīng)典例題】 （1）拋物線二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的所有點(diǎn)的集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個(gè)美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.【例1】P為拋物線上任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與y軸（ ）相交 相切 相離 位置由P確定【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線是.作PH于H

4、，交y軸于Q，那么，且.作MNy軸于N則MN是梯形PQOF的中位線，.故以PF為直徑的圓與y軸相切，選B.【評(píng)注】相似的問題對(duì)于橢圓和雙曲線來(lái)說(shuō)，其結(jié)論則分別是相離或相交的.（2）焦點(diǎn)弦?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并掌握這個(gè)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，對(duì)破解這些試題是大有幫助的.【例2】 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于兩點(diǎn)，求證：（1） （2）【證明】（1）如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作，.兩式相加即得：（2）當(dāng)ABx軸時(shí)，有成立；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為：.代入拋物線方程：.化簡(jiǎn)得：方程（1）之二根為x1，x2，.故不論弦AB與x軸是否垂直，恒有成立.（3）

5、切線拋物線與函數(shù)有緣有關(guān)拋物線的許多試題，又與它的切線有關(guān).理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的基本功.【例3】證明：過(guò)拋物線上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線方程是：y0y=p（x+x0）【證明】對(duì)方程兩邊取導(dǎo)數(shù)：.由點(diǎn)斜式方程： y0y=p（x+x0）（4）定點(diǎn)與定值拋物線埋在深處的寶藏 拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)，卻容易為人疏忽的定點(diǎn)和定值.掌握它們，在解題中常會(huì)有意想不到的收獲.例如：1.一動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且動(dòng)圓恒與直線相切，則此動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn) （ ）顯然.本題是例1的翻版，該圓必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，選B.2.拋物線的通徑長(zhǎng)為2p；3.設(shè)拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦兩端分別為，那么：以下再舉一

6、例【例4】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)弦AB在其準(zhǔn)線上的射影是A1B1，證明：以A1B1為直徑的圓必過(guò)一定點(diǎn)【分析】假定這條焦點(diǎn)弦就是拋物線的通徑，那么A1B1=AB=2p，而A1B1與AB的距離為p，可知該圓必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).由此我們猜想：一切這樣的圓都過(guò)拋物線的焦點(diǎn).以下我們對(duì)AB的一般情形給于證明.【證明】如圖設(shè)焦點(diǎn)兩端分別為，那么：設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交x軸于C，那么.這就說(shuō)明：以A1B1為直徑的圓必過(guò)該拋物線的焦點(diǎn). 通法 特法 妙法（1）解析法為對(duì)稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題（如對(duì)稱問題等）.【例5】（10.四川文科卷.10題）已知拋物線y=

7、-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B，則|AB|等于（ ）A.3 B.4 C.3 D.4【分析】直線AB必與直線x+y=0垂直，且線段AB的中點(diǎn)必在直線x+y=0上，因得解法如下.【解析】點(diǎn)A、B關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，設(shè)直線AB的方程為：. 由設(shè)方程（1）之兩根為x1，x2，則.設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），則.代入x+y=0：y0=.故有.從而.直線AB的方程為：.方程（1）成為：.解得：，從而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，選C.（2）幾何法為解析法添彩揚(yáng)威雖然解析法使幾何學(xué)得到長(zhǎng)足的發(fā)展，但伴之而來(lái)的卻是難以避免的繁雜計(jì)算，這又使得許多考生對(duì)解析幾何習(xí)題望

8、而生畏.針對(duì)這種現(xiàn)狀，人們研究出多種使計(jì)算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有成效的就是幾何法.【例6】（11.全國(guó)1卷.11題）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過(guò)且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點(diǎn)，垂足為，則的面積（ ）A B C D【解析】如圖直線AF的斜率為時(shí)AFX=60°.AFK為正三角形.設(shè)準(zhǔn)線交x軸于M，則且KFM=60°，.選C.【評(píng)注】（1）平面幾何知識(shí)：邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積用公式計(jì)算. （2）本題如果用解析法，需先列方程組求點(diǎn)A的坐標(biāo)，再計(jì)算正三角形的邊長(zhǎng)和面積.雖不是很難，但決沒有如上的幾何法簡(jiǎn)單.（3）定義法追本求真的簡(jiǎn)單一著許多解析幾何習(xí)題咋看起

9、來(lái)很難.但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡(jiǎn)單.【例7】（07.湖北卷.7題）雙曲線的左準(zhǔn)線為，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和；拋物線的線為，焦點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)為，則等于（ ）A B C D【分析】 這道題如果用解析法去做，計(jì)算會(huì)特別繁雜，而平面幾何知識(shí)又一時(shí)用不上，那么就從最原始的定義方面去尋找出路吧.如圖，我們先做必要的準(zhǔn)備工作：設(shè)雙曲線的半焦距c，離心率為e，作 ，令.點(diǎn)M在拋物線上，這就是說(shuō)：的實(shí)質(zhì)是離心率e.其次，與離心率e有什么關(guān)系？注意到： . 這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于.選 A.（4）三角法本身也是一種解析三角學(xué)蘊(yùn)藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將

10、異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關(guān)系實(shí)施“九九歸一”達(dá)到解題目的.因此，在解析幾何解題中，恰當(dāng)?shù)匾肴琴Y源，?？梢詳[脫困境，簡(jiǎn)化計(jì)算.【例8】（09.重慶文科.21題）如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)。（）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；（）若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值?！窘馕觥浚ǎ┙裹c(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線.（）直線AB：代入（1），整理得：設(shè)方程（2）之二根為y1，y2，則.設(shè)AB中點(diǎn)為AB的垂直平分線方程是：.令y=0，則故于是|FP|-|FP|cos

11、2a=，故為定值.（5）消去法合理減負(fù)的常用方法.避免解析幾何中的繁雜運(yùn)算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設(shè)而不求，它類似兵法上所說(shuō)的“不戰(zhàn)而屈人之兵”.【例9】 是否存在同時(shí)滿足下列兩條件的直線：（1）與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B；（2）線段AB被直線：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，說(shuō)明理由，若存在，求出直線的方程.【解析】假定在拋物線上存在這樣的兩點(diǎn)線段AB被直線：x+5y-5=0垂直平分，且.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為.代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中點(diǎn)為.故存在符合題設(shè)條件的直線，其方程為： （6）探索法奔向數(shù)學(xué)方法的高深層次有一些解析幾何習(xí)題，初看起來(lái)好似“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”.這時(shí)就得冷靜分析，探索規(guī)律，不斷地猜想證明再猜想再證明.終于發(fā)現(xiàn)“無(wú)限風(fēng)光在險(xiǎn)峰”.【例10】（10.安徽卷.14題）如圖，拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于