高考數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題專題訓(xùn)練(精華)

1、 卓越個性化教學(xué)講義學(xué)生姓名 年級 高三 授課時間 教師姓名 劉 課時 02-圓錐曲線壓軸題-分類訓(xùn)練【知識點】1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。（2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率點到直線的距離 夾角公式：（3）弦長公式直線上兩點間的距離： 或（4）兩條直線的位置關(guān)系=-1 2、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式） 標(biāo)準(zhǔn)方程： 距離式方程： 參數(shù)方程：(2)、雙曲線的方程的形式有兩種 標(biāo)準(zhǔn)方程： 距離式方程：（3）拋物線(4)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？ 3.方法（1）點差法（中點弦問題）設(shè)、，為橢圓的弦中點

2、則有，；兩式相減得=（2）聯(lián)立消元法：設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個二次方程，使用判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點，將這兩點代入曲線方程得到兩個式子，然后-，整體消元，若有兩個字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點，則可以利用三點A、B、F共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為，就意味著k存在。【課堂練習(xí)】題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題1、已知直線與橢圓始終有交點，求的取值范圍解：根據(jù)直線的方程可知，直線恒過定點（0，1），橢圓過動點，如果直線和橢圓始終

3、有交點，則，即。題型二：弦的垂直平分線問題。注：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點坐標(biāo)公式）。例題2、過點T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點，在x軸上是否存在一點E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，。由消y整理，得 由直線和拋物線交于兩點，得即 由韋達定理，得：。則線段AB的中點為。線段的垂直平分線方程為： ， 令y=0,得，則為正三角形，到直線AB的距離d為。 解得滿足式 此時。例題3、已知橢圓的左焦點為F，O為坐標(biāo)原點。 （）求過點O、F，并且與相切的圓的方程；（）設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的

4、直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標(biāo)的取值范圍。 解：(I) a2=2，b2=1，c=1，F(xiàn)(-1，0)，l:x=-2. 圓過點O、F,圓心M在直線x=-設(shè)M(-)，則圓半徑：r=|(-)-(-2)|= 由|OM|=r，得，解得t=，所求圓的方程為(x+)2+(y)2=.(II)由題意可知，直線AB的斜率存在，且不等于0,設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k0)，代入+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0直線AB過橢圓的左焦點F， 方程一定有兩個不等實根,設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點N(x0，y0)，則x1+x1=

5、-AB垂直平分線NG的方程為令y=0，得點G橫坐標(biāo)的取值范圍為（）。題型三：動弦過定點的問題例題4、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程； （II）若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論。解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。從而橢圓的方程為（II）設(shè)，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得是方程的兩個根， 則，即點M的坐標(biāo)為，同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標(biāo)為 ，直線MN的方程為：，令y=0，得，將點M、N的坐

6、標(biāo)代入，化簡后得：又，橢圓的焦點為 ，即 故當(dāng)時，MN過橢圓的焦點。例題5、（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3；最小值為1； （）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。解（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， （II）設(shè)，由得：，（注意：這一步是同類坐標(biāo)變換）（注意：這一步叫同點縱、橫坐標(biāo)間的變換）以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點且，解得，且滿足當(dāng)時，直線過定點與已知矛盾；當(dāng)時，直線過定點， 綜上可知，直線過定點，定點坐標(biāo)為題型四：過

7、已知曲線上定點的弦的問題。直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），考察判斷式后，韋達定理結(jié)合定點的坐標(biāo)就可以求出另一端點的坐標(biāo)，進而解決問題。例題6、已知點A、B、C是橢圓E： 上的三點，其中點A是橢圓的右頂點，直線BC過橢圓的中心O，且，如圖。(I)求點C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱，求直線PQ的斜率。 解：(I) ，且BC過橢圓的中心O ， 又 點C的坐標(biāo)為。A是橢圓的右頂點， ，則橢圓方程為：將點C代入方程，得，橢圓E的方程為(II) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱，設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為

8、，從而直線PC的方程為：，即，由消y，整理得：是方程的一個根， 即 同理可得： 則直線PQ的斜率為定值。題型五：共線向量問題。解析幾何中的向量共線，就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題，再通過韋達定理-同類坐標(biāo)變換，將問題解決。例題7、設(shè)過點D(0,3)的直線交曲線M：+=1 于P、Q兩點，且,求實數(shù)的取值范圍。解：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 得(x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即方法一：方程組消元法又P、Q是橢圓+=1上的點 消去x2，可得 即y2=又在橢圓上，2y22， 22 解之得：則實數(shù)的取值范圍是。方法二：判別式法、韋達定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方程為：，由消

9、y整理后，得P、Q是曲線M上的兩點 即 由韋達定理得： 即 由得，代入，整理得 ， 解之得當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即時，易知或 。 總之實數(shù)的取值范圍是。例題8：已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若，求的值 解法一：（）設(shè)點，則，由得：，化簡得.（）設(shè)直線的方程為： .設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：， ， 所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：.（）由已知，得. 則：.過點分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：

10、.由得：，即.題型六：面積問題例題9、（07陜西理）已知橢圓C：（ab0）的離心率為短軸一個端點到右焦點的距離為。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標(biāo)原點O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值。解：（）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意 ，所求橢圓方程為。（）設(shè)，。 （1）當(dāng)軸時，。（2）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為。由已知，得。把代入橢圓方程，整理得，。當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立。當(dāng)時， 綜上所述。當(dāng)最大時，面積取最大值。練習(xí)1、（07浙江理）如圖，直線與橢圓交于A、B兩點，記的面積為。 （）求在，的條件下，的最大值；（）當(dāng)時，求直線AB的方程。解：（）解：設(shè)點A的坐標(biāo)為，點的

11、坐標(biāo)為，由，解得，所以 當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最在值1，（）解：由得 設(shè)到的距離為，則又因為 所以代入式并整理，得 解得，代入式檢驗，。故直線的方程是題型七：弦或弦長為定值問題例題10、（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p0）相交于A、B兩點。 （）若點N是點C關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖）解法1：（）依題意，點N的坐標(biāo)為N（0,-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方

12、程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2pkx-2p2=0. 由韋達定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是 .（）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點為徑的圓相交于點P、Q，PQ的中點為H，則.= =令，得為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.題型八：角度問題例題11、（08陜西理）已知拋物線：，直線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點（）證明：拋物線在點處的切線與平行；（）是否存在實數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由解法一：（）如圖，設(shè)，把代入得，由韋達定理得， ， 點的坐標(biāo)為設(shè)拋物線在點處的切線的方程為，將

13、代入上式得， 直線與拋物線相切， 即（）假設(shè)存在實數(shù)，使，則，又是的中點，由（）知：軸，又 xAy112MNBO，解得 即存在，使問題九：四點共線問題例題12、（08安徽理）設(shè)橢圓過點，且著焦點為（）求橢圓的方程；（）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設(shè)點Q、A、B的坐標(biāo)分別為。由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點共線，從而于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2）又點A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）2并結(jié)合（3），（4）得， 即點總在定直線上方法二 設(shè)點，由題設(shè)，均不為零。且 又

14、 四點共線，可設(shè),于是 （1） （2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得（3） (4)(4)(3) 得 即點總在定直線上問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題）例題13：（07四川理）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點。（）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；（）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點），求直線的斜率的取值范圍。解：（）解法一：易知， 所以，設(shè)，則因為，故當(dāng)，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當(dāng)，即點為橢圓長軸端點時，有最大值解法二：易知，所以，設(shè)，則（以下同解法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又，又，即

15、故由、得或問題十一、存在性問題：（存在點，存在直線y=kx+m，存在實數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）例題14：(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標(biāo)原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。解:（1）因為橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有

16、兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即：, 則,即：,要使,需使,即,所以又,所以,即或,直線為圓心在原點的圓的切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.因為,所以當(dāng)時因為所以, 所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)時,. 當(dāng)AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,綜上, |AB |的取值范圍為即: 【作業(yè)】（后面有答案?。?. （江西卷）如圖，M是拋物線上y2=x上的一點，動弦ME、MF

17、分別交x軸于A、B兩點，且MA=MB. （1）若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值； （2）若M為動點，且EMF=90，求EMF的重心G的軌跡。2. (重慶卷) 已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為。 (1) 求雙曲線C的方程；OABEFM (2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且(其中O為原點)，求k的取值范圍。3 (重慶卷) 已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點。 (1) 求雙曲線C2的方程； (2) 若直線l：與橢圓C1及雙曲線C2恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足

18、(其中O為原點)，求k的取值范圍。4. （天津卷）拋物線C的方程為，過拋物線C上一點P(x0,y0)(x 00)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(P,A,B三點互不相同)，且滿足.（）求拋物線C的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（）設(shè)直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上；（）當(dāng)=1時，若點P的坐標(biāo)為（1，-1），求PAB為鈍角時點A的縱坐標(biāo)的取值范圍.5.（遼寧卷）已知橢圓的左、右焦點分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足 （）設(shè)為點P的橫坐標(biāo)，證明； （）求點T的軌跡C的方程； （）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M， 使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，請說明理由.參考答案1.解：（1）設(shè)M（y,y0），直線ME的斜率為k(l0)則直線MF的斜率為k，方程為由，消解得(定值)所以直線EF的斜率為定