含絕對(duì)值的導(dǎo)數(shù)題

1、1.函數(shù)1求函數(shù)的極值；2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；解：1g xlnxx1，gx1，當(dāng)0x1時(shí)，gx0；當(dāng)x1時(shí)，gx0，可得g x在0,1上單調(diào)遞增，在1，上單調(diào)遞減，故g x有極大值為g 10，無(wú)極小值 2hxlnx|xa|當(dāng)a0時(shí)，hxlnxxa，hx10恒成立，此時(shí)hx在0，上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，hx 當(dāng)xa時(shí)，hxlnxxa，hx10恒成立，此時(shí)hx在a，上單調(diào)遞增； 當(dāng)0xa時(shí)，hxlnxxa，hx1 當(dāng)0a1時(shí)，hx0恒成立，此時(shí)hx在0，a上單調(diào)遞增； 當(dāng)a1時(shí)，當(dāng)0x1時(shí)hx0，當(dāng)1xa時(shí)hx0，所以hx在0，1上單調(diào)遞增，在1，a上單調(diào)遞減 綜上，當(dāng)a1時(shí)，hx的增區(qū)間為0，無(wú)減區(qū)

2、間； 當(dāng)a1時(shí)，hx增區(qū)間為0，1，a，；減區(qū)間為1，a設(shè)，函數(shù).(1) 當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;(2) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值.解1當(dāng)時(shí)，令 得 所以切點(diǎn)為1，2，切線的斜率為1，所以曲線在處的切線方程為：。2當(dāng)時(shí)， ，恒成立。 在上增函數(shù)。故當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，i當(dāng)即時(shí)，在時(shí)為正數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù)。故當(dāng)時(shí)，且此時(shí)(ii)當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，在間 時(shí)為正數(shù)。所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)故當(dāng)時(shí)，且此時(shí)(iii)當(dāng)；即 時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間1,e上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，。綜上所述，當(dāng)時(shí)，在時(shí)和時(shí)的最小值都是。所以此時(shí)的最小值為；當(dāng)時(shí)，在時(shí)的最小值為，而，所以此時(shí)的最小值為。當(dāng)時(shí)，在時(shí)

3、最小值為，在時(shí)的最小值為，而，所以此時(shí)的最小值為所以函數(shù)的最小值為 函數(shù).( I )假設(shè), 求+在2，3上的最小值；( II)假設(shè)時(shí), , 求的取值范圍；(III)求函數(shù)在1，6上的最小值. 解:(1)因?yàn)?且2，3,所以,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào),所以在2，3上的最小值為(2)由題意知,當(dāng)時(shí),即恒成立所以,即對(duì)恒成立,那么由,得所求a的取值范圍是(3) 記,那么的圖象分別是以(2a-1,0)和(a,1)為頂點(diǎn)開(kāi)口向上的V型線,且射線的斜率均為.當(dāng),即時(shí),易知在1，6上的最小值為當(dāng)a1時(shí),可知2a1a,可知,()當(dāng),得,即時(shí),在1，6上的最小值為()當(dāng)且時(shí),即,在1，6上的最小值為 ()當(dāng)時(shí),因

4、為,所以在1，6上的最小值為綜上所述, 函數(shù)在1，6上的最小值為 南京三模14.假設(shè)不等式|1對(duì)任意都成立，那么實(shí)數(shù)取值范圍是 解答：顯然時(shí)，有。令當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，在上遞減，此時(shí)，|的最小值為0，不適合題意。當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，|的最小值為1，解得：。故所求6.函數(shù)其中e為自然對(duì)數(shù)的底.1當(dāng)時(shí)，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；2假設(shè)函數(shù)y=f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；3當(dāng)b0時(shí)，判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間0，2上是否存在極大值，假設(shè)存在，求出極大值及 相應(yīng)實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：1記g(x)exbx當(dāng)b1時(shí)，g(x)ex1當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，所以g(x)在(0，)上為增函數(shù)又

5、g(0)10，所以當(dāng)x(0，)時(shí)，g(x)0所以當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)g(x)g(x)，所以f(1)g(1)e1所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1，e1)處的切線方程為：y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x 4分沒(méi)有說(shuō)明“在x1附近，f(x)exbx的扣1分)2解法一 f(x)0同解于g(x)0，因此，只需g(x)0有且只有一個(gè)解即方程exbx0有且只有一個(gè)解 因?yàn)閤0不滿足方程，所以方程同解于b 6分令h(x)，由h(x)0得x1當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增，h(x)(e，)；當(dāng)x(0，1)時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減，h(x)(e，)；所以當(dāng)x(0，)時(shí)，方程b有且只有

6、一解等價(jià)于be 8分當(dāng)x(，0)時(shí)，h(x)單調(diào)遞減，且h(x)(，0)，從而方程b有且只有一解等價(jià)于b(，0) 綜上所述，b的取值范圍為(，0)e 10分解法二 f(x)0同解于g(x)0，因此，只需g(x)0有且只有一個(gè)解即方程exbx0有且只有一個(gè)解，即exbx有且只有一解也即曲線yex與直線ybx有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 6分1xyO1yexybx圖11xyO1yexybx圖2如圖1，當(dāng)b0時(shí)，直線ybx與yex總是有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足要求 8分如圖2，當(dāng)b0時(shí)，直線ybx與yex有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)直線ybx與曲線yex相切設(shè)切點(diǎn)為(x0，e)，根據(jù)曲線yex在xx0處的切線方

7、程為：yee(xx0)把原點(diǎn)(0，0)代入得x01，所以bee 綜上所述，b的取值范圍為(，0)e 10分3由g(x)exb0，得xlnb當(dāng)x(，lnb)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減當(dāng)x(lnb，)時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增所以在xlnb時(shí)，g(x)取極小值g(lnb)bblnbb(1lnb)當(dāng)0be時(shí)， g(lnb)bblnbb(1lnb)0，從而當(dāng)xR時(shí)，g(x)0所以f(x)g(x)g(x)在(，)上無(wú)極大值因此，在x(0，2)上也無(wú)極大值 12分當(dāng)be時(shí)，g(lnb)0因?yàn)間(0)10，g(2lnb)b22blnbb(b2lnb)0，令k(x)x2lnx由k(x)10得x2，

8、從而當(dāng)x(2，)時(shí)，k(x)單調(diào)遞增，又k(e)e20，所以當(dāng)be時(shí)，b2lnb0所以存在x1(0，lnb)，x2(lnb，2lnb)，使得g(x1)g(x2)0 此時(shí)f(x)g(x)所以f(x)在(，x1)單調(diào)遞減，在(x1，lnb)上單調(diào)遞增，在(lnb，x2)單調(diào)遞減，在(x2，)上單調(diào)遞增 14分所以在xlnb時(shí)，f(x)有極大值因?yàn)閤(0，2)所以，當(dāng)lnb2，即ebe2時(shí)，f(x)在(0，2)上有極大值； 當(dāng)lnb2，即be2時(shí)，f(x)在(0，2)上不存在極大值 綜上所述，在區(qū)間(0，2)上，當(dāng)0be或be2時(shí)，函數(shù)yf(x)不存在極大值；當(dāng)ebe2時(shí)，函數(shù)yf(x)，在xlnb

9、時(shí)取極大值f(lnb)b(lnb1)7.函數(shù)，1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2假設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：解：1由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)， ，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，3分當(dāng)時(shí)， , 5分假設(shè)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，假設(shè)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為 7分2由1知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意； 8分那么必有，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為，由題意，必須，解得， 10分由，得, 12分而，下面證明：時(shí)，設(shè)，那么，所以在時(shí)遞增，那么，所以，又，所以,綜上， 16分20(江蘇省徐州市2021屆高三第一次調(diào)研考試) (本小

10、題總分值16分)函數(shù)1假設(shè)關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；2假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；3求函數(shù)在區(qū)間上的最大值直接寫(xiě)出結(jié)果，不需給出演算步驟20【解析】本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)及圖象等根底知識(shí)，考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想1方程，即，變形得，顯然，已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程，有且僅有一個(gè)等于1的解或無(wú)解， 結(jié)合圖形得. 4分2不等式對(duì)恒成立，即*對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，*顯然成立，此時(shí)； 當(dāng)時(shí)，*可變形為，令因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，故此時(shí). 綜合，得所求實(shí)數(shù)的取值范圍

11、是. 8分3因?yàn)?10分當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知在上遞減，在上遞增，且，經(jīng)比擬，此時(shí)在上的最大值為.當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知在，上遞減，在，上遞增，且，經(jīng)比擬，知此時(shí)在上的最大值為.當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知在，上遞減，在，上遞增，且，經(jīng)比擬，知此時(shí) 在上的最大值為.當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知在，上遞減，在，上遞增，且, ，經(jīng)比擬，知此時(shí) 在上的最大值為.當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖形可知在上遞減，在上遞增，故此時(shí) 在上的最大值為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上的最大值為；當(dāng)時(shí)， 在上的最大值為；當(dāng)時(shí)， 在上的最大值為0.16分20(江蘇省鹽城市2021屆高三年級(jí)第一次調(diào)研) (本小題總分值16分) 函數(shù),.當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；假設(shè)恒成

12、立,求的取值范圍；對(duì)任意,總存在惟一的,使得成立, 求的取值范圍.20解：當(dāng),時(shí),所以在 遞增,所以 4分當(dāng)時(shí)，恒成立, 在上增函數(shù),故當(dāng)時(shí)， 5分當(dāng)時(shí)，當(dāng)即時(shí)，在時(shí)為正數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù),故當(dāng)時(shí)，且此時(shí) 7分(ii)當(dāng),即時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，在間 時(shí)為正數(shù),所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù),故當(dāng)時(shí)，且此時(shí) 8分(iii)當(dāng),即 時(shí)，在時(shí)為負(fù)數(shù)，所以在區(qū)間1,e上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)， 9分綜上所述，函數(shù)的最小值為 10分所以當(dāng)時(shí),得；當(dāng)()時(shí),無(wú)解；當(dāng) 時(shí),得不成立. 綜上,所求的取值范圍是11分當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,由,得 12分 當(dāng)時(shí)，在先減后增,由,得, 設(shè),yax所以單調(diào)遞增且，所以恒成

13、立得 14分當(dāng)時(shí),在遞增，在遞減，在遞增,所以由,得,設(shè),那么,所以遞增，且,所以恒成立，無(wú)解. 當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，在遞增,所以由得無(wú)解.綜上,所求的取值范圍是16分22函數(shù)f (x)lnx(x0) (1)求函數(shù)g (x)f (x)x1的極值； *(2)求函數(shù)h(x)f (x)|xa|(a為實(shí)常數(shù))的單調(diào)區(qū)間； *(3)假設(shè)不等式(x21)f (x)k(x1)2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1)g (x)lnxx1，g(x)1，當(dāng)0x1時(shí)，g(x)0；當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，可得g (x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，故g (x)有極大值為g (1)0，無(wú)極小

14、值 (2)h(x)lnx|xa|當(dāng)a0時(shí)，h(x)lnxxa，h(x)10恒成立，此時(shí)h(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，h(x) 當(dāng)xa時(shí)，h(x)lnxxa，h(x)10恒成立，此時(shí)h(x)在(a，)上單調(diào)遞增； 當(dāng)0xa時(shí)，h(x)lnxxa，h(x)1 當(dāng)0a1時(shí)，h(x)0恒成立，此時(shí)h(x)在(0，a)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a1時(shí)，當(dāng)0x1時(shí)h(x)0，當(dāng)1xa時(shí)h(x)0，所以h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，a)上單調(diào)遞減 綜上，當(dāng)a1時(shí)，h(x)的增區(qū)間為(0，)，無(wú)減區(qū)間； 當(dāng)a1時(shí)，h(x)增區(qū)間為(0，1)，(a，)；減區(qū)間為(1，a) (3)不等式(x21)f (

15、x)k(x1)2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立，即(x21)lnxk(x1)2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立當(dāng)0x1時(shí)，x210；lnx0，那么(x21)lnx0；當(dāng)x1時(shí)，x210；lnx0，那么(x21)lnx0因此當(dāng)x0時(shí)，(x21)lnx0恒成立又當(dāng)k0時(shí)，k(x1)20，故當(dāng)k0時(shí)，(x21)lnxk(x1)2恒成立下面討論k0的情形當(dāng)x0且x1時(shí)，(x21)lnxk(x1)2(x21)lnx設(shè)h(x)lnx( x0且x1)，h(x)記4(1k)244(k22k)當(dāng)0，即0k2時(shí)，h(x)0恒成立，故h(x)在(0，1)及(1，)上單調(diào)遞增于是當(dāng)0x1時(shí)，h(x)h(1)0，又x210，故(x21) h(x)0，即(x21)lnxk(x1)2當(dāng)x1時(shí)，h(x)h(1)0，又x210，故(x21) h(x)0，即(x21)lnxk(x1)2又當(dāng)x1時(shí)，(x21)lnxk(x1)2因此當(dāng)0k2時(shí)，(x21)lnxk(x1)2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立當(dāng)0，即k2時(shí)，設(shè)x22(1k)x10的兩個(gè)不等實(shí)根分別為x1，x2(x1x2)函數(shù)(x)x22(1k)x1圖像的對(duì)稱軸為xk11，又(1)42k0，于是x11k1x