2007年天津市高考數(shù)學試卷(文科)

1、2007年天津市高考數(shù)學試卷文科、選擇題共10小題,每題5分,總分值50分1. 5分集合S=xWR|x+12,T=-2,_1,0,1,2,那么SQT=A.2B.1,2C.0,1,2D.-1,0,1,2x-y-12. 5分設變量x,y滿足約束條件Wx+y,4那么目標函數(shù)z=2x+4y的最大值為y23.5分“a=2是“直線12C.13D.14ax+2y=0平行于直線x+y=1的A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.5分設a=log13,21no1.b=-0,c=2323A.a<b<cB.c：b:二aC. c：二a:二bD. b：a:二c5.

2、 5分函數(shù)y=log2x+1+1x>0的反函數(shù)為A.y=2xl-1x1B.y=2xJ1x1C.y=2x1-1x0D.y=2x11x06. 5分設a,b為兩條直線,P為兩個平面,以下四個命題中,正確的命題是A.假設a,b與a所成的角相等,那么a/bB.假設a/o,b/P,«/P,那么a/bC.假設a=ot,buP,a/b,那么a/P口.假設2_1口,b±P,c_LP,是a_Lb227. 5分雙曲線與自=1a>0,b>0的一條漸近線方程是y=J3x,它的一個焦點ab在拋物線y2=24x的準線上,那么雙曲線的方程為A.C.22士-乂=1361082210836B

3、.D.2x27227298. 5分設等差數(shù)列an的公差d不為0,a1=9d.假設ak是21與a2k的等比中項,那么k=C.6D.8冗9. (5分)設函數(shù)f(x)=|sin(x+)|(xR),那么f(x)=()3A,在區(qū)間至,7L上是增函數(shù)36C,在區(qū)間三二上是增函數(shù)84B.在區(qū)間_m勺上是減函數(shù)2D.在區(qū)間工,史上是減函數(shù)3610.5分設fx是定義在R上的奇函數(shù),2且當x-0時,fx=x,假設對任意的xWt,t+2,不等式fx+t2fx恒成立,那么實數(shù)t的取值范圍是A.立收)B.2,-He)C.(0,2、填空題共6小題,每題4分,總分值24分11.4分從一堆蘋果中任取了20只,并得到它們的質量

4、單位：克數(shù)據(jù)分布表如下:分組90,100)100,110)110,120)120,130)130,140)140,150)頻數(shù)123101那么這堆蘋果中,質量不小于120克的蘋果數(shù)約占蘋果總數(shù)的%.12. 4分x+?9的二項展開式中常數(shù)項是用數(shù)字作答.x13. 4分一個長方體的各頂點均在同一球面上,且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3,那么此球的外表積為.222214. 4分兩圓*2+丫2=10和仁12+丫32=20相交于八,B兩點,那么直線AB的方程是15. (4分)在MBC中,AB=2,AC=3,D是邊BC的中點,那么ADIJbC=16. 4分如圖,用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色

5、,每個格子涂一種顏色,要求相鄰的兩個格子顏色不同,且兩端的格子的顏色也不同,那么不同的涂色方法共有種第2頁共17頁(用數(shù)字作答)三、解做題(共6小題,總分值76分)417. (12分)在iABC中,AC=2,BC=3,cosA=.5(I)求sinB的值；(n)求sin(2B+-)的值.65個紅球18. (12分)甲盒內有大小相同的3個紅土和4個黑球,乙盒內有大小相同的和4個黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個盒內各任取2個球.(I)求取出的4個球均為紅球的概率；(n)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率.AC1CD,19. (12分)如圖,在四棱錐PABCD中,PA_L底面ABCD,AB_LAD,/ABC=60

6、,PA=AB=BC,E是PC的中點.(I)求PB和平面PAD所成的角的大??；(n)證實AE_L平面PCD;(出)求二面角A-PD-C的大小.(出)當a>3時,證實存在kw_1,0,使得不等式f(k-cosx)f(k2-cos2x)對任意的xWR恒成立.22xVFi,F2,A是橢圓上的一點,22.(14分)設橢圓了十自白儂：；.)的左、右焦點分別為1C,原點O到直線AFi的距離為|OFi|.3222(n)求tw(0,b)使得下述命題成立：設圓x+y=t上任意點M(xo,yO)處的切線交橢圓于Qi,Q2兩點,那么OQiIOQ2.2007年天津市高考數(shù)學試卷文科參考答案與試題解析一、選擇題共1

7、0小題,每題5分,總分值50分1. 5分集合S=xWR|x+12,T=-2,_1,0,1,2,那么SQT=A.2B.1,2C.0,1,2D.-1,0,1,2【解答解：S=xeR|x+1-2,那么二S=xwR|x1,又：T=_2,-1,0,1,2,故sQtH1,2.應選：B._|Lx-y-12. 5分設變量x,y滿足約束條件Wx+y,4那么目標函數(shù)z=2x+4y的最大值為y2A.10B.12C.13D.14xy-1【解答】解析：先畫出約束條件?x+y,4的可行域,如圖,y23535得到當x=,y=一時目標函數(shù)z=2x+4y有取大值為,Zmax=2父一+4M-=13.2222應選：C.3. 5分“

8、a=2是“直線ax+2y=0平行于直線*+丫=1的A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解答】解：a=2=直線2x+2y=0平行于直線x+y=1充分條件；直線ax+2y=0平行于直線x+y=1=a=2必要條件.所以是充分必要條件,應選：C.114. (5分)設a=logi3,b=(_)°1c=2>那么()3A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c1【解答】解析：:由指、對函數(shù)的性質可知：a=log13M10gl1=0,0cb=(1)0.2<1,c=23>122

9、3.有a<b<c應選：A.5. (5分)函數(shù)y=1og2(x+1)+1(x>0)的反函數(shù)為()A.y=2xA-1(x>1)B.y=2x-+1(x>1)C.y=2x1-1(x0)D.y=2、11(x.0)【解答】解：由y=1og2(x+1)+1,解得x=2y,-1即：y=2x,-1函數(shù)y=1og2(x+1)+1(x>0)的值域為y|y>1,x1J.函數(shù)y=1og2(x+1)+1(x>0)的反函數(shù)為y=2-1(x>1).6.(5分)設a,b為兩條直線,ot,P為兩個平面,以下四個命題中,正確的命題是()A.假設a,b與a所成的角相等,那么a/b

10、B,假設a/a,b/P,a/P,那么a/bC.假設aUa,buP,ot/b,那么ot/P口.假設2_16,b_LP,口_L口,是a_Lb【解答】解：A、直線a,b的方向相同時才平行,不正確；B、用長方體驗證.如圖,設AB1為a,平面AC為a,BC為b,平面AG為P,顯然有a/a,b/P,a/口,但得不到a/b,不正確；C、可設A1B1為a,平面AB1為a,CD為b,平面AC為P,滿足選項C的條件卻得不到a/P,不正確；D、7ala,«_LP,J.aU口或a/P7.5分雙曲線22xy了一聲=1a>0,b>0的一條漸近線方程是y=v'3x,它的一個焦點在拋物線y2=2

11、4x的準線上,那么雙曲線的方程為A.C.22z,=13610822二-E=110836B.D.22x.x=192722xy_27-92【解答】解：由于拋物線y=24x的準線方程為x=-6,那么由題意知,點F-6,0是雙曲線的左焦點,所以a2+b2=c2=36,又雙曲線的一條漸近線方程是y=J3x,所以=用,a解得a2=9,b2=27,22所以雙曲線的方程為=1.927應選：B.=9d.假設ak是a1與a2k的等比中項,那么8. 5分設等差數(shù)列4的公差d不為0,a1A.2B.4C.6D.8【解答】解：由于ak是a與a2k的等比中項,那么a2=a1a2k,9d+(k-1)d2=9d19d+(2k-

12、1)d,又d#0,那么k22k8=0,k=4或k=-2(舍去).應選：B.9. (5分)設函數(shù)f(x)=|sin(x+)|(xeR),那么f(x)=()3A.在區(qū)間至,71上是增函數(shù)36C.在區(qū)間"上是增函數(shù)84B.在區(qū)間_m工上是減函數(shù)2D.在區(qū)間4,5L上是減函數(shù)36【解答】解：函數(shù)f(x)Tsin(x+)|(xWR)圖象如下圖:3一、.210.(5分)設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x-0時,f(x)=x,假設對任意的xWt,t+2,不等式f(x+t)2f(x)恒成立,那么實數(shù)t的取值范圍是()A.乏/)B.2,收)C.(0,2D.乏iJ三向【解答】解：(排除法)當t=J2

13、那么xWJ2,J2+2得f(x+J2)2f(x),即(x+/22厘xf3x27-2)2-在x電J2,J2+2時恒成立,而x22&x2最大值,是當x=72+2時出現(xiàn),故x2-2夜x-2的最大值為0,那么fxt)2f(x)恒成立,排除B項,同理再驗證t=3時,f(x+t)-2f(x)恒成立,排除C項,t=1時,f(x+t)-2f(x)不成立,故排除D項應選：A.二、填空題(共6小題,每題4分,總分值24分)11.(4分)從一堆蘋果中任取了20只,并得到它們的質量(單位：克)數(shù)據(jù)分布表如下:分組90,100)100,110)110,120)120,130)130,140)140,150)頻數(shù)

14、123101那么這堆蘋果中,質量不小于120克的蘋果數(shù)約占蘋果總數(shù)的70%.【解答】解：,-由表中可知這堆蘋果中質量不小于120克的蘋果數(shù)為：20_1_2_3=14二約占蘋果總數(shù)的一=0.70=70%.20故答案為：70.1 C12. 4分x+=9的二項展開式中常數(shù)項是84用數(shù)字作答x【解答】解：二項式展開式通項是：Tr+=09x9-x-r=C9X9-r,令9-3r=0得r=3,故有：C3=84故答案為8413. 4分一個長方體的各頂點均在同一球面上,且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3,那么此球的外表積為_14n_.【解答】解：長方體外接球直徑長等于長方體體對角線長,即2R122232&

15、#39;=.；14,由S=4nR2=14n.故答案為：14-：14. 4分兩圓*2+丫2=10和*12+丫32=20相交于八,B兩點,那么直線AB的方程是_x+3y=0_.【解答】解：由于兩圓相交于A,B兩點,那么A,B兩點的坐標坐標既滿足第一個圓的方程,又滿足第二個圓的方程將兩個圓方程作差,得直線AB的方程是：x+3y=0,故答案為x+3y=0.15. 4分在MBC中,AB=2,AC=3,D是邊BC的中點,那么器JBC=_勺_.2【解答】解：根據(jù)向量的加減法法那么有:BCAC-AB,AD1-CC1AB,22此時BClaD(Ac-Ab)_1(AcAb)-Ab2)21=2(9-4)5-2故答案為

16、：(n)解：:cosA=4,所以角A為鈍角,從而角B為銳角,.216. (4分)如圖,用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色,每個格子涂一種顏色,要求相鄰的兩個格子顏色不同,且兩端的格子的顏色也不同,那么不同的涂色方法共有630【解答】解：根據(jù)題意種(用數(shù)字作答).,分為三類:第一類是只用兩種顏色那么為：cjA；：?.種,第二類是用三種顏色那么為：C；C；c2c2=240種,第三類是用四種顏色那么為：C4A4=360種,由分類計數(shù)原理,共計為30+240+360=630種,故答案為630.三、解做題(共6小題,總分值76分)一一417. (12分)在MBC中,AC=2,BC=3,cosA=.5(

17、I)求sinB的值；(n)求sin(2B+-)的值.6【解答】(I)解:在欣BC中,sinA=Jicos2A=x|1-()2=',由正弦定理,55sinAsinBAC232所以sinB=sinA=一父一=一.BC355c.2-/2221221cosB=jl-sinB=J1-()=,cos2B=2cosB-1=2x-15551725,221421sin2B=2sinBcosB=2-=5525sin(2B)=sin2Bcoscos2Bsin一666252252_12717一5018.(12分)甲盒內有大小相同的3個紅土和4個黑球,乙盒內有大小相同的5個紅球和4個黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個盒內各任

18、取2個球.(I)求取出的4個球均為紅球的概率；(n)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率.【解答】解：(I)解：設“從甲盒內取出的2個球均為紅球為事件A,“從乙盒內取出個球均為紅球為事件dA,B相互獨立,且P(A)=一C7P(B)6-5C92-is'故取出的4個球均為紅球的概率是155P(ALB)=P(A)_P(B)=718126(n)解：設“從甲盒內取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球；從乙盒內取出的球為黑球為事件C,“從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球為事件D.由于事件C,D互斥,且PXCCjCC7C24T9221,P(D)clc5c；10

19、C7C563故取出的4個紅球中恰有4個紅球的概率為P(C+D)=P(C)+P(D)=+=,1636319. (12分)如圖,在四棱錐PABCD中,PA_L底面ABCD,AB_LAD,AC_LCD,/ABC=60>PA=AB=BC,E是PC的中點.(I)求PB和平面PAD所成的角的大小;(n)證實AE_L平面PCD;(出)求二面角A-PD-C的大小.【解答】解：(I)解：在四棱錐P-ABCD中,因PA_L底面ABCD,AB二平面ABCD,故PA_LAB.又AB_LAD,PA|AD=A,從而AB_L平面PAD.故PB在平面PAD內的射影為PA,從而/APB為PB和平面PAD所成的角.在RtA

20、PAB中,AB=PA,故/APB=45,所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°.(II)證實：在四棱錐P-ABCD中,因PA_L底面ABCD,CD仁平面ABCD,故CD_LPA.由條件CD_LPA,PAQAC=A,二CD,面PAC.又AEU面PAC,二AE_LCD.由PA=AB=BC,/ABC=60.,可得AC=PA.'E是PC的中點,:AE_LPC,PC|CD=C.綜上得AE_L平面PCD.(m)解：過點E作EM_LPD,垂足為M,連接AM.由(H)知,AE_L平面PCD,AM在平面PCD內的射影是EM,那么AM_LPD.因此ZAME是二面角A-PD-C的平面角.2.3

21、21a,PD=a,AE33在rmadp中,7am_lpd,am|_pd=pAad,那么AM23paLad山3aPD2v7a.7在RtMEM中,sinAME=-AEAM14由,可得/CAD=30*.設后a,可得PA=a,ADLL,、,一.A-,14所以面角APDC的大小arcsin.420. (12分)在數(shù)列aj中,4=2,=4%3n+1,nWN.(I)證實數(shù)列ann是等比數(shù)列；(n)求數(shù)列an的前n項和Sn;(出)證實不等式5+4Sn,對任意nWN皆成立.【斛答】斛：(I)證實：由題設an.=4an3n+1,得an+-(n+1)=4(an-n),nN.又&-1=1,所以數(shù)列an-n是首

22、項為1,且公比為4的等比數(shù)列.(n)由(I)可知an-n=4nA,于是數(shù)列an的通項公式為an=4n+n.所以數(shù)列an的前n項和Sn=J.32(出)證明：對任息的nWN,4n1-1(n1)(n2)4n-1n(n1)12Sn+4&=+()()-4(+-()=(3n+n4),0.32322所以不等式Sn由4Sn,對任意nWN*皆成立.221. (14分)設函數(shù)f(x)=x(xa)(x=R),其中aR.(I)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線方程；(n)當a00時,求函數(shù)f(x)的極大值和極小值；(出)當a>3時,證實存在kW-1,0,使得不等式f(k-cosx)

23、f(k2-cos2x)對任意的xwR恒成立.【解答】解：(I)解：當a=1時,f(x)=x(x1)2=x3+2x2x,得f(2)=2,且f'(x)=3x2+4x-1,f'(2)=-5.所以,曲線y=x(x1)在點(2,2)處的切線萬程是y+2=-5(x2),整理得5x+y-8=0.2322.22(n)斛：f(x)=e(x-a)=e+2ax-axf(x)=-3x+4ax-a=_(3x-a)(x-a).令f*(x)=0,解得x=-或x=a.3由于a#0,以下分兩種情況討論.(1)假設a>0,當x變化時,(x)的正負如下表：x,a、(i.)3a3壹a)a(a,ef(x)0+0因

24、此,函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值f(a),且f(a)=,a3;函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值f(a),且f(a)=0.(2)假設a<0,當x變化時,f'(x)的正負如下表：x(g,a)a(W)3a3(-,收)3f(x)0+0因此,函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值f(a),且f(a)=0;函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值f(-),且f(a)=2a3.33327(m)證實：由a>3,得a>1,當kW1,0時,k-cosx,1,k2-cos2x,1.3由(n)知,f(x)在(,1上是減函數(shù),要使f(k-cosx)f(k2-cos2x),xWr只要k-cosx,k2-c

25、os2x(xR)22即cosx-cosx,k-k(x=R)設glxXcoJxfosxKssx-H,那么函數(shù)g(x)在R上的最大值為2.要使式恒成立,必須k2-k-2,即k-2或k,-1.所以,在區(qū)間一1,0上存在k=-1,使得f(k-cosx)f(k2-cos2x)對任意的xR恒成立.2222. (14分)設橢圓xr+與=1(a>bA0)的左、右焦點分別為F1,F2,A是橢圓上的一點,ab-一一八,1C,原點.到直線A'的距離為|OFi|.3(I)證實a=T2b;y.)處的切線交橢圓(n)求tw(0,b)使得下述命題成立：設圓x22(n)圓x+y=t上的任息點M(Xo,y

26、6;)+y2=t2上任意點M(x0,于Qi,Q2兩點,那么OQiIOQ2.【解答】解：(I)證法一：由題設AF2_LEF2及F(-c,0),F2(c,0),不妨設點A(c,y),其中y>0,由于點A在橢圓上,22222上cy/a-by/有-22=1,22=1abab22解得y=,從而得到A(c,),直線AF2的方程為y=整理得b2x-2acy+b2c=0.,一、一一一一一.1由題設,原點O到直線AFi的距離為1|OF1|,即b2c3b44a2c2將c2=a2b2代入原式并化簡得a2=2b2,即a=瓦.b2證法二：同證法一,得到點A的坐標為(c,b-),a過點O作OB_LAFi,垂足為H,易知FiBCsFF2A,故LBO|F2A|OF|l|FA|1由橢圓7E