專題函數(shù)的周期性.docx

1、專題函數(shù)的周期性一知識(shí)點(diǎn)精講1.周期函數(shù)的定義：對(duì)于/(兀)定義域內(nèi)的每一個(gè)兀,都存在非零常數(shù)使得/(X4-T)=f(x恒成立,那么稱函數(shù)/(兀)具有周期性,丁叫做/(兀)的一個(gè)周期,那么燈(RwZKhO)也是/(兀)的周期,所有周期中的最小正數(shù)叫/的最小正周期.周期函數(shù)的定義域一定是無限集2性質(zhì)假設(shè)/U)的周期中,存在一個(gè)最小的正數(shù),那么稱它為夬兀)的最小正周期；假設(shè)周期函數(shù)心)的周期為T,那么/(亦)(0人0)是周期函數(shù),且周期為,I力|3.幾種特殊的具有周期性的抽象函數(shù)：函數(shù)歹=/(兀)滿足對(duì)定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)兀(其中.>0為常數(shù))/(無)=/(兀+.),(1)那么y=fAx)的周期

2、T=a.(2) /(x+a)=-/(%),那么/的周期T=2a.(3) /(x+a)=yA-j,那么/G)的周期T=2a.(4) /(x+d)=/(x-d),那么/(兀)的周期T=2a?(5) +那么/(x)的周期T=2a.1+/(兀)一、一,、以f(兀+G)=7(X),那么/(兀)的周期T=4a數(shù).(7) 1+/0)f(兀+G)=I+心),那么/(x)的周期：T=4a.(8) 1-/(兀)函數(shù)y=滿足/(人+.v)=f(a-x)(Q>0),假設(shè)/(x)為奇函數(shù),那么其周期為(9) 函數(shù)y=f(x)(xgA)的圖象關(guān)于直線x=a'又=b(a<b)都對(duì)稱,那么函數(shù)/(兀)是以

3、2(h-a)為周期的周期函數(shù).(10)函數(shù)y=f(x)(xG7?)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)A%)、(°</?)都對(duì)稱,那么函數(shù)/(兀)是2(ba)為周期的周期函數(shù).(11)函數(shù)y=fM(XG/?)的圖象關(guān)于4(億)和直線x=b(a<h)都對(duì)稱,那么函數(shù)/(X)是以4(h-a)為周期的周期函數(shù).(f(x+a)=f(x)-f(x-a)t那么/(兀)的周期T=6a.二典例解析1 .設(shè)f(x)是(8,+8)上的奇函數(shù),f(x+2)二-f(x),當(dāng)OWxWl時(shí),f(x)二X,那么f(7.5)=()A.0.5B.-0.5C.5D.-1.5ah)對(duì)稱,那么/(兀)的一個(gè)周期為(2 .假設(shè)y=fi

4、2x)的圖像關(guān)于直線x=一和兀=刁(/?>A.B.2(h-a)D?4(b-a)3 .已知/在R上是奇函數(shù)滿足/(x+3)=-/(x),/(l)=2,那么/(5)=4 .定義在R上的奇函數(shù)/(勸滿足/(兀+2)=/(“),那么/(200八|=例5 .函數(shù))u/(勸是定義在/?上的周期函數(shù),周期7=5,函數(shù)y=/(x)(-l<x<l)是奇函數(shù))又知y=/(x)在0,1上是一次函數(shù))在1,4上是二次函數(shù))且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值-5.證實(shí)：/+/(4)=0;求J=/(X),XG1,4的解析式；求y=f(x)在4,9上的解析式.9、函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽,且恒滿足f(x+2)=

5、/(2-x)/(6+x)=/(6-x),當(dāng)2<x<6時(shí),/(%)=2-x9求/(兀)解析式.10、偶函數(shù)y=f(x)定義域?yàn)镽,且恒滿足/(x+2)=/(2-x),假設(shè)方程/(%)=0在0,4上只有三個(gè)實(shí)根,且一個(gè)根是4,求方程在區(qū)間(-&10中的根.附參考答案：7,:-1T2：(1,0)人：x=lG:y軸即x=0T5：y軸x=lT6:()x=兀=42T-,：CTQ:一(x8類(8Zr-2<x<8k+2,keZ)/(X)=<一扣一8燈+(8k+2W兀W8R+6,WZ)270:方程的根為一6、一4、一2、024、6、&10共9個(gè)根.2./(兀)是定義

6、在R上的以3為周期的偶函數(shù),且/(1)=0,那么方程/(x)=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是()A.5B.4C.3D.24./是偶函數(shù),且/(0)=993,又g(x)=/(x1)為奇函數(shù),那么f(1992)二6-數(shù)列色中嗎=1?=5,隨+2=色+一色,貝憶006=7f(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)兀w(0,1)時(shí),/(兀+1)=兀+1?求/(%)在(1,2)上的解析式.8/的定義域是R,且/(X4-2)1-/(X)=1+/(X),假設(shè)/*(0)=2021,求/(2000的值9.函數(shù)/(兀)滿足/(兀+1)=1+/(兀),假設(shè)/(0)=2004,試求/(2005)0flog2(l-x)

7、,x<0/(x-l)-/(x-2),x>01一/(兀)(2021山東理)10.定義在R上的酹數(shù)f(x)滿足f(x)=(2021)的值為()A.-lB.OC.lD.2【解析】：由得/(-l)=log22=1,/(0)=0,/(l)=/(O)一/(-l)=-l,/(2)=/(!)-/(O)=-1,/(3)=/(2)-/(l)=-l-(-l)=O,/(4)=/(3)-/(2)=0-(-1)=1,/(5)=/(4)-/(3)=1,/(6)=/(5)-/(4)=0,所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).,所以f(2021)=f(5)二1,應(yīng)選C.(2021山東理)16.己知定義在R上的奇

8、函數(shù)/(%),滿足/(x-4)=-/(%),_&在區(qū)間0,2R上的奇函數(shù))滿足=以/(x4)=/(x),所以,上是增函數(shù),假設(shè)方程f(x)=m(m>0)在區(qū)問-&8上有四個(gè)不同的根西,兀,那么【解析】：由于定義在由/(兀)為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線兀=2對(duì)稱且/(0)=0,由/(%-4)=-/(%)知/(x-8)=/(x),所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),乂由于/(X)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),所以/(兀)在區(qū)間1-2,0地是增函數(shù).如下圖,那么方程f(x)二m(m>0)在區(qū)間1-&8】上有四個(gè)不同的根Xi,X2,X3,X4,不妨設(shè)兀<x2<x

9、3<x4由對(duì)稱性知%!+x2=-12兀3+兀4=4所以西+勺+%3+無=-12+4=-8答案：？8(2021全國一)(11)函數(shù)/(兀)的定義域?yàn)镽,假設(shè)/(刈與/(x-1)都是奇函數(shù),那么(D)(A)/(%)是偶函數(shù)(B)/(兀)是奇函數(shù)(C)/(x)=/(x+2)(D)/(x+3)是奇函數(shù)解：/(x+1)與/(x-1)都是奇函數(shù),.?./(一無+1)=-/(x+l),/(-x-l)=-/U-1),?函數(shù)f(兀)關(guān)于點(diǎn)(1,0),及點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱,函數(shù)/(兀)是周期T=2l-(-l)=4的周期函數(shù)?/(一兀1+4)=/(兀-1+4),f(-x+3)=_/(兀+3),即/(x+3)是

10、奇函數(shù).故選D專題函數(shù)對(duì)稱性一知識(shí)點(diǎn)精講：I函數(shù)y=/(x)圖象本身的對(duì)稱性(自身對(duì)稱)假設(shè)/(X+Q)=±/(T+歷,那么/(兀)具有周期性；假設(shè)/(0+兀尸土隸/?一兀),那么/(兀)具有對(duì)稱性：“內(nèi)同表示周期性,內(nèi)反表示對(duì)稱性.1、fa+x)=f(b-x)oy=/(尢)圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論1:f(a+x)=f(a-x)oy=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱推論2、/(x)=f(2a-x)<=>y=/'(兀)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱推論3>/(-%)=f(2a+x)oy=/(兀)的圖象關(guān)于直線x-a對(duì)稱2、f(a+x)+f(b-x)=2cy=f(x)的圖

11、象關(guān)于點(diǎn)(-Tfc)對(duì)稱推論1、f(a+x)+f(a-x)=2bU>y=/(x)的圖彖關(guān)于點(diǎn)(G,/?)對(duì)稱推論2、/(x)4-f(2a-x)=2boy=/(兀)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱推論3、/(-x)+f(2a+x)=2hoy=/(兀)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a上)對(duì)稱IT兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性(相互對(duì)稱)(利用解析幾何中的對(duì)稱曲線軌跡方程理解)1>y=/(x)與y=/(-x)圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱2、y=/(x)與丁=-/(-兀)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)3、函數(shù)y=/(x)與J=-/(兀)圖象關(guān)于X軸對(duì)稱4、函數(shù)y=/(勸與其反函數(shù)y=廣丫兀)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱5.函數(shù)y=/(.+兀)與y=

12、/(方一x)圖象關(guān)于直線X推論1:函數(shù)y=f(a+x)與y=f(a-x)圖象關(guān)于直線兀=0對(duì)稱推論2:酹數(shù)y=/(x)與=f(2a-x)圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱推論3:函數(shù)y=/(-兀)與y=f(2a+兀)圖象關(guān)于直線XCL對(duì)稱二典例解析：1、定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)/(兀)恒滿足/(l+x)=/(l-x),且xe(-1,0)時(shí),/(x)=2"+贓/(log220)=0解析：y=/(x)關(guān)于直線x=l對(duì)稱,/(一兀)=/(2+兀),又？?是/(勸奇函數(shù),f(x)=-f(x),故有f(2+x)=-f(x),54io昭1T=4,/(log220)=/(log220-4)=/(log2-)=-

13、/(log2-)=-24+-=l2、函數(shù)y=f(x)滿足于(兀)+/(2兀)=0,那么y=f(x)圖象關(guān)于對(duì)稱.解析：這是一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性,由上述結(jié)論知y=/(x)圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱3、函數(shù)y=f(x-l)與函數(shù)y=f(lx)的圖象關(guān)于關(guān)于對(duì)稱.解析：這是兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性,兩函數(shù)的圖象關(guān)于兀=1對(duì)稱4、設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x-l)=f(l-x)f那么y=f(x)的圖象關(guān)于對(duì)稱.解析：這是一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性,y=的圖象關(guān)于y軸即x=0對(duì)稱5、設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,II滿足/(x+l)=/(l-x),那么y=f(x+1)的圖象關(guān)于對(duì)稱O解析：y=/(x)關(guān)于直線x

14、=l對(duì)稱,y=/(X+1)是由y=/(x)向左平移一個(gè)單位得到的,故y=/(x+l)的圖象關(guān)y軸對(duì)稱6、設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意xwR,有/(I-2x)=f(2x),那么y=f(x)關(guān)于對(duì)稱,y=f(2x)圖象關(guān)于對(duì)稱,.解析：令t=2xt那么有/(l-r)=/(z).?),=/(/)關(guān)于直線r=|即J二/(兀)關(guān)于x="對(duì)稱,y=f(2x)是由縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,y=/(2x)關(guān)于尢二_1對(duì)稱7己知函數(shù)y=f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)兀滿足f(2-x)=/(4+x),且方程f(x)=0有5個(gè)實(shí)根,那么這5個(gè)實(shí)根之和為()A、5B、10C、15D、18解析：y=/(x)

15、的圖彖關(guān)于直線兀=3對(duì)稱,故五個(gè)實(shí)根,有兩對(duì)關(guān)于直線兀=3對(duì)稱,它們的和為12,還有一個(gè)根就是3.故這5個(gè)實(shí)根之和為15,正確答案為C8、設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,那么以下命題中,假設(shè)y=/(x)是偶函數(shù),那么y=f(x+2)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；假設(shè),=于(兀+2)是偶函數(shù),那么y=/(x)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；假設(shè)/(x-2)=/(2-x),那么函數(shù)y=/(x)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；？y=f(x-2)與y=f(2-x)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,其中正確命題序號(hào)為.解析：錯(cuò)y=fx+2)關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,對(duì)錯(cuò)假設(shè)/(x-2)=/(2-x),那么函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線兀=0對(duì)稱；

16、對(duì)第十五講抽象函數(shù)問題一知識(shí)點(diǎn)精講-1所謂抽蒙、函數(shù),是指沒有明確給出函數(shù)表達(dá)式,只給出它具有的某些特征或性質(zhì),并用種符號(hào)表示的函數(shù).rti抽象函數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)問題叫抽象函數(shù)問題,這類問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn),也是各種測(cè)試測(cè)評(píng)的熱點(diǎn)問題之一.研究發(fā)現(xiàn),由抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì),聯(lián)想已學(xué)過的根本函數(shù),再由根本函數(shù)的相關(guān)結(jié)論,預(yù)測(cè)、猜測(cè)抽象函數(shù)對(duì)能有的相關(guān)結(jié)論,是使抽象函數(shù)問題獲解的種有效方法.2中學(xué)階段常用抽象函數(shù)/(兀)的“原型(函數(shù))1-/U+y)=/(%)+/(-y=kx(k為常數(shù))2?/(兀+y)=/(兀)/(y=ax(°0且心1)3. /(x0=/U)+/(y)y=logfl%(

17、.0且QHI)4. fxy)=/(%)/(y)y=x"5為常數(shù))5?/(兀)+/(刃=2/(號(hào))/(亍)或fix+y)+f(x-y)=2/(x)/(y)y二cos血兀(血常數(shù))6./(x+y)=y=tanx方法：想具體函數(shù)的運(yùn)算法那么,代特殊值.二.典例解析例1.設(shè)函數(shù)g滿足念)+/(滬2/(號(hào))/(牙),且/)=0,兀、yeR；求證：/(兀)為周期函數(shù),并指出它的一個(gè)周期.例2?函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=/(%)+f(y),且當(dāng)兀0時(shí),/(兀)0,/(-1)=-2,(1)求證/(兀)在/?上的奇函數(shù).(2)求證/(兀)在/?上的增函數(shù)(3)求函數(shù)/(無)在區(qū)間

18、卜2,1上的值域.例3.函數(shù)/(x)對(duì)于一切實(shí)數(shù)兀、y滿足/'(0)丸,/(x+y)=/(x)/(y),且當(dāng)兀0時(shí),/W>1(1)當(dāng)x>0口寸,求.f(x)的取值范圍(2)判斷/(x)在R上的單調(diào)性例4.己知函數(shù)/(兀)定義域?yàn)?0,+co)且單調(diào)遞增,滿足/(4)=1,/(xy)=/(x)4-f(y)(1)證實(shí):/(1)=0;(2)為16);(3)假設(shè)/(%)+/(x-3)<l,求兀的范圍；(4)試證f(xfl)=n/(x)(neN)例5.函數(shù)/(x)對(duì)于一切正實(shí)數(shù)兀、y都有f(xy)=f(x)f(y)且兀>1時(shí),/(x)<1,/冷(1)求證:/(x)&

19、gt;0;(2)求證：.兀?！笆?(%)I(3)求證：/(兀)在(0,+oo)上為單調(diào)減函數(shù)(4)假設(shè)/(m)=9,試求加的值.三課堂檢測(cè)例2.(2006安徽)函數(shù)/(兀)對(duì)于任意實(shí)數(shù)兀滿足條件/(兀+2)=7二,假設(shè)/(1)=書那么/(/(5)=一；/(兀)1. (2006山東)定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足f(x+2)=-f(x),那么/(6)=()A)-1BOC1D22. (2007啟東質(zhì)檢)函數(shù)y=/g是定義在尺上的奇函數(shù),且貯)二0,對(duì)任意都有Xx+4)=/(x)+/(4)成立,那么7(2006)=()A.4012B.2006C.2021D.03 .己知)=f(2兀+1)是偶函數(shù),那

20、么函數(shù)y=f2x)的圖象的對(duì)稱軸是()A.x=lB.x=2C.x=D.x=224 .己知/(x)是偶函數(shù),xwR,當(dāng)兀0時(shí),/(兀)為增函數(shù),假設(shè)占VO,%>0,且|州兇召I,那么-/(舛)</(-兀2)5 .(2006安徽)函數(shù)/(勸對(duì)于任意實(shí)數(shù)X滿足條件/(x+2)=!一,假設(shè)用)二一5,那么/W?朋5)二6 .函數(shù)/(兀)滿足：f(a+h)=f(a)-f(b),/(1)=2,那么廠十+/2(2)+/(4)(嚴(yán)(3)+/(6)嚴(yán)+/(8)11=O/(3)/(7)7函數(shù)/(兀)對(duì)一切x,je7?,都有于(兀+刃=/(x)+/(y),求證：(1)/(兀)是奇函數(shù)；(2)假設(shè)代X)的

21、圖象關(guān)于直線尸1對(duì)稱,那么f(x)恒等于0.8函數(shù)/(%)的定義域是xHO的一切實(shí)數(shù),對(duì)定義域內(nèi)的任意?,尢2都有/(/=./")+心,且當(dāng)兀>1時(shí)/(x)>0,/(2)=l,(1)求證：/(x)是偶函數(shù)；(2)/&)在(0,+s)上是增函數(shù)；(3)解不等式/(2x2-1)<24(2021重慶)(15)己知函數(shù)/滿足：/(I)=+)4/(x)/(y)=/(x+y)+f(x-y)(x,ye/?),那么/(2021=.|(2021福建理)5.下歹ij函數(shù)/(兀)中,滿足“對(duì)任意西,x2e(0,xo),當(dāng)壬<召時(shí),者B有/(兀】)>/(兀2)的是1 &

22、#176;A./W=-B./(x)=(x-1)2C./(x)=eAD/(x)=ln(x+l)5.【答案】：A解析依題意可得函數(shù)應(yīng)在XG(0,+oo)上單調(diào)遞減,故由選項(xiàng)可得A正確.(2021陜西理)12.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足:對(duì)任意的人12G(-00,0(AAX2),有(花一丙)(/(七)-/(xj)>0.那么當(dāng)皿N*時(shí),有(A)/(-H)<f(n-1)<f(n+1)(B)f(n-1)</(-n)<f(n+1)(C)(C)f(n+1)<f(-n)<f(n-1)(D)f(n+1)</(n-1)<f(-n)答案：C解析：Xj,x2?(

23、-OO,0UjAx2)=>(x2-Xj)(/(x2)-f(xt)>00兀2>邛寸,f(x2)>/(州)0/(兀)在(-8,0為增函數(shù)/(兀)為偶函數(shù)n/(兀)在(0,+00為減函數(shù)而n+l>n>n-l>0,f(n-bl)<f(n)<f(n-l)=>f(n+l)</(-/?)<f(n-l)(2021四川理)12.已知函數(shù)/(兀)是定義在實(shí)數(shù)集/?上的不恒為零的偶函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有W+1)=(1+兀)/(兀),那么/(/(|)的值是1小5A.OB.CD.22【考點(diǎn)定位】本小題考查求抽象函數(shù)的函數(shù)值之賦值法,綜合題.(同文

24、12)解析：令x=-|,那么_|/(|)=|/(-|)=|/(|)=>/(|)=0:令工=0,那么/(0)=0x+1由xfx+l)=(l+x)/(x)得/(兀+1)=/(X),所以X53/(|)=|尼)=|/(|)=/(|)=o=>/(/A)=/(0)=0,應(yīng)選擇Ao22(2021陜西理)11?定義在R上的函數(shù)/(兀)滿足/(x+y)=/(R+/(班2(兀,ywR),./I2=,那么/(-3)等于()A.2B.3C.6D.9解：令兀=J=0二/(0)二0,令兀=y=ln/、(2)=2/'(l)+2=6;令x=2,y=l=>/(3)=/(2)4-/(l)+4=12,再令

25、兀=3*=-3得0=/(3-3)=/(3)+/(3)-18n/(-3)=18-/(3)=6(2007山東理)6給出以下三個(gè)等式：/C°)=/(x)+/G),/(x+y)=./G)/O),f(x+y)=毋計(jì)%.以下函數(shù)中不滿足其中任何一個(gè)等式的是/(x)=tanx【答案】：B【分析】：依據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)A,C滿足其中的一個(gè)等式,而滿足/(x+y)=B不滿足其中任何一個(gè)等式兀,兀2W0,生(2001廣東理)22.(本小題總分值14分)設(shè)/(勸是定義在*上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線天都有fg+兀2)=/(西)/(無2)且于=a>0?(.求/&),/(：)；24(II

26、)證實(shí)/(X)是周期函數(shù)；22.(1)解：由于對(duì)“'0,1,都有f5+2"*)?心),所以YYYY/(X)=/(-+-)=/(-)?/(-)>O,xeO,1?f(D=/(*+£)=/(*)足尸尼+;)二足)？足尸足)尸244444f(1)=玄>0,1±1±?f(-)=A2.f(7)=八424(2021重慶理)(假設(shè)定義在R上的函數(shù)于(勸滿足：對(duì)任意A,x2e/?,有/岔+還)=/(不)+幾步片,那么以下說法一定正確的選項(xiàng)是A/(兀)為奇函數(shù)Bf(x)為偶函數(shù)Cf(x)+1為奇函數(shù)D/(x)+1為偶函數(shù)解：令兀=0,得/(O)=2/(0

27、)+1,/(0)=-1,所以f(x-x)=/(x)+f(-x)+1=-1/(%)+/(-%)+1+1=0,即/+1=/(兀)+1,所以f(x)+1為奇函數(shù),選C(2007安徽理)(11)定義在R上的函數(shù)/(兀)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù),T是它的一個(gè)正周期？假設(shè)將方程/(勸=0在閉區(qū)fn-T,T上的根的個(gè)數(shù)記為n,那么n可能為D(A)0(B)1(C)3(D)5定義在R上的函數(shù)/(兀)是奇函數(shù),/(0)=0,又是周期函數(shù),T是它的一個(gè)正周期,？?？f(T)=/(-T)=0,/(弓)=/(£)=/(£+?/(£),?/(£)=/(£)C,那么?？赡転?/p>

28、5,選Do抽象函數(shù)問題的“原型解法抽彖函數(shù)問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn),也是各種測(cè)試測(cè)評(píng)的熱點(diǎn)問題研究發(fā)現(xiàn),由抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)、性質(zhì),聯(lián)想已學(xué)過的根本函數(shù),再由根本函數(shù)的相關(guān)結(jié)論,預(yù)測(cè)、猜測(cè)抽象函數(shù)可能有的相關(guān)結(jié)論,是使抽象函數(shù)問題獲解的一種有效方法.所謂抽象函數(shù),是指沒有明確給出函數(shù)表達(dá)式,只給出它具有的某些特征或性質(zhì),并用一種符號(hào)表示的函數(shù).由抽彖函數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)問題叫抽象函數(shù)問題,這類問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn),也是各種測(cè)試測(cè)評(píng)的熱點(diǎn)問題之一.研究抽象函數(shù)問題的解法,對(duì)教師的教學(xué),學(xué)生深刻理解并牢固掌握函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容,學(xué)好大綱規(guī)定的根本函數(shù)知識(shí)顯得尤為重要.抽象來源于具體.抽象函數(shù)是由特殊的、具

29、體的函數(shù)抽象而得到的.如/(%)=hc(kA0)有/(西+%2)=£(曲尤2)=/(西)+/(兀2)可抽象為/(f.那么y=k兀就叫做抽象函數(shù)/(兀)滿足于(斗X>M的“原型(函數(shù)),分析抽象函數(shù)問題的解題過程及心理變化規(guī)律可知,一？般均是由抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu),聯(lián)想到已學(xué)過的具有相同或相似結(jié)構(gòu)的某類(基本)“原型函數(shù),并由“原型函數(shù)的相關(guān)結(jié)論,預(yù)測(cè)、猜測(cè)抽象函數(shù)可能具有的某種性質(zhì)使問題獲解的,稱這種解抽象函數(shù)問題的方法為“原型解法.下面給出中學(xué)階段常用的“原型(函數(shù))并舉例說明“原型解法.一、中學(xué)階段常用抽象函數(shù)/G)的“原型(函數(shù))1、f(x+y)=/(x)4-f(y)y=kx(

30、k為常數(shù))2、 .f(x+y)=/(Qf(y)y=ax(.>0且aHl)3>f(xy)=+y=logwx(a>0且aHl)4>f(xy)=y=xn(n為常數(shù))5、+/(y)=2/(節(jié)_1)/(冷,)或/(x4-y)+f(x-y)=2f(x)f(y)y二coscox(co為常數(shù))6、f(x+y)=/(x)+/(y)-y=tanxl-/(x)/(y)二、“原型"解法例析【例1】設(shè)函數(shù)/(x)滿足/(切+/(刃=2/(號(hào))/(仝子),且/(|)=0,X、yeR;求證：/(兀)為周期函數(shù),并指出它的一個(gè)周期分析與簡(jiǎn)證：由/(兀)+/(刃=2/(號(hào))/(號(hào))+曰Xx+x

31、?X-X0想：cosx,+COSX2=2COScos原型：y二cos兀,為周期函數(shù)且2H為它的一個(gè)周期猜測(cè)：/(兀)為周期函數(shù),2兀為它的一個(gè)周期TT7TX?二兀那么fa+龍)+/(兀)=2/(兀+)/(一)=°?f(x+兀)=-f(x)=>f(x+2")f(x)?/(x)為周期函數(shù)且2兀是它的一個(gè)周期【例2】函數(shù)/(兀)滿足/(尢+1)一1-fM八一一一1+生分析與略解：由/(x+l)=1-/W務(wù),假設(shè)7*(0)=2004,試求f(2005)o相./71、1+tanx心:tan(x+一)二rr原二兀.441-tanx型：y二tan兀為周期函數(shù)且周期為4X猜測(cè)：/(兀

32、)為周期函數(shù)且周期為4Xl=41J+/(x)l+/(x+l)1-/(%)/(X+2)=/(X4-1)+1=''-1J1.于(兀+1)_1/(X)f(X)-1-fMAf(x4-4)=f(x+2)+2="=f(x)=>/(x+4)=/(x)/(x+2)A/(x)是以4為周期的周期函數(shù)又Vf(2)=20041+/(2004)二1+/(0)二1+2004二2005?/(2005)=/(2004+1)=1-/(2004)-1-/(0)1-2004"20032005Af(2005)=-2003【例3】函數(shù)/(兀)對(duì)于任意實(shí)數(shù)兀、y都有/(%+y)=/(x)+/(y

33、),且當(dāng)x>0時(shí),/(%)>0,f(-1)=-2,求函數(shù)/(x)在區(qū)間-2,1上的值域.分析與略解:由:/(x+y)=/(x)+/(y)想：k(x+y)=kxA-ky原型：y=k?x(k為常數(shù))為奇函數(shù).k<0時(shí)為減函數(shù),R>0時(shí)為增函數(shù).猜測(cè)：/V)為奇函數(shù)且/V)為R上的單調(diào)增函數(shù),且.f(x)在2,1上有/(%)4,2設(shè)Xj<x2且X,x2貝Ux2x,>0Af(x2Xj)>0/(吃)一/(西)=/(兀2-占+曲)一/(假設(shè))二/(X2-X,)4-/(Xj)f(X)/(兀2_召)>0?/(%2)>/(西),?：fM為R上的單調(diào)增函數(shù).令

34、x=y=0,那么f(0)=0,令y二一X,那么f(x)=-f(x)fx)為R上的奇函數(shù).A/(-1)=-/(1)=-2?/二2,f(-2)=2f(-1)=-4?；一40f(x)W2(xW-2,1)故/(兀)在-2,1上的值域?yàn)?4,2【例4】函數(shù)/O)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x、y滿足f(0)H0,f(x+y)=/(x)f(y),且當(dāng)兀0時(shí),f(x)>1(1)當(dāng)兀>0時(shí),求兀)的取值范圍(2)判斷/(x)在R上的單調(diào)性分析與略解：由：/(x+y)=/W/(y)想：嚴(yán)二川原型：y=a'(d>0,dHl),G°=1H0.當(dāng)d>1時(shí)為單調(diào)增函數(shù),且兀>0時(shí),1&g

35、t;1,兀<0時(shí),OVyVI;0<a<1時(shí)為單調(diào)減函數(shù),且兀<0時(shí),y>1,X>0時(shí),0<),<lo猜測(cè)：/(兀)為減函數(shù),且當(dāng)兀0時(shí),0V/(x)Vl.(1)對(duì)于一切兀、yWR,f(x+y)=f(x)f(y)且f(0)H0令兀二y=o,Mf(o)=1,現(xiàn)設(shè)兀>o,那么xvo,?f(一兀)>i又f(0)=/(x-j)=f(x)f(-x)=1/.f(-x)=>1fM:.0<f(x)<l(2)設(shè)Xj<x2,X>x2ER,那么Xx2<0,f(Xx2)>1且./?(西)二/(西一兀2+兀2)=/a-兀2)/(兀2)二f(x_x>1/(兀2)/(兀2)/(兀2)12/./(X,)>/(兀2