高中數(shù)學選修4-5知識點(最全版)

1、蘇教版高中數(shù)學選修4-5知識點1.不等式的基本性質1 .實數(shù)大小的比較數(shù)軸上的點與實數(shù)之間具有一一對應關系.設心方是兩個實數(shù)，它們在數(shù)軸上所對應的點分別是A、B.當點A在點B的左邊時,ab.(3)兩個實數(shù)的大小與這兩個實數(shù)差的符號的關系(不等式的意義)(aba -b0la=bab=Of6, b0b卬(2)傳遞性：公=8 bcaci)可加性：ab, cROa+c+g(4)加法法則：ab, cdn+c+d；(5)可乘性：ab, cX=acbc； db, cO=acb0, cdO=acbd；(7)乘方法則：。乂0, N且(8)開方法則：ab0, N 且，2=%字.(9)倒數(shù)法則，即心心0=+42 .

2、基本不等式1 .重要不等式定理1：如果。，bR,那么加瓦當且僅當。=占時，等號成立.2 .基本不等式(1)定理2：如果叫 bOf那么a+b22癡 呼迎),當且僅當。=時，等號成立.(2)定理2的應用：對兩個正實數(shù)發(fā)，yf如果它們的和S是定值，則當且僅當x=y時，它們的積P取得最大值，最大值為如果它們的積尸是定值，則當且僅當x=y時，它們的和S取得最小值，最小值為2.3 .基本不等式麗在中的幾何解釋D如圖，A5是。的直徑，。是A8上任意一點，OE是過C點垂直A8的弦.若4C=a, BC=b,則4+b,。的半徑 R=，RtAACDooRtADC, CIJr=AC BC=abt C=啊，”辿，當且僅

3、當C點與。點重合時，CD=R=筆即標=斗士.4 .幾個常用的重要不等式Q)如果aR,那么20,當且僅當。=0時取等號；(2)如果叫 b0,那么而W”)，當且僅當。=辦時等號成立.G)如果。0,那么a+!2,當且僅當a = l時等號成立.(4)如果/0,那么打，22,當且僅當。=力時等號成立.3 .三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式1 .如果。、b、cR+,那么J+3+c3n&/c,當且僅當。=方=。時，等號成立.2 .宸理3)如果a、入cR+,那么a +b+ c 3 abc+：+2匹帥,當且僅當a=b=c時，等號成立.即 三個正數(shù)的算術平均不小于它們的幾何平均.3 .如果41，。2，% GR+,那

4、么十二”一!3勺當且僅當。1=2= =%時，等號成立.即 對于個正數(shù)也，2,，%,它們的算術平均不小于它們的幾何平均.二絕對值不等式1 .絕對值三角不等式1 .絕對值及其幾何意義(a (心0)Q)絕對值定義：同=,a (a0)(2)絕對值幾何意義：實數(shù)。的絕對值回表示數(shù)軸上坐標為的點4到原點。的距離|。4|.數(shù)軸上兩點間的距離公式：設數(shù)軸上任意兩點A, 8分別對應實數(shù)八，小，則|48| = |八一小2,絕對值三角不等式(1)定理1：如果明方是實數(shù)，則|。+近|。|+向，當且僅當必20時，等號成立.推論1：如果a,方是實數(shù)，那么回一向這口一切這回+向.推論2:如果人方是實數(shù)，那么同一向W|a+6

5、|W回+曲.(2)定理2：如果。，b, c是實數(shù)，那么|o-c|W|一切+也一c|,當且僅當(“一)c)20時，等號成立.2 .絕對值不等式的解法1 .國型不等式的解法設 a0,則(l)|x|VaO4Vx-xa；(4)H2aOxW?；? . |x+勿Wc(c0)與|ar+MNc(c0)型不等式的解法Q)|ar+b|WcO-c 這 ar+方(2)|ax+b|2c0ax+8Wc 或 ax+62c.3 . |xa|+|xb|Wc與|x-a|+|x一切2c型不等式的解法Q)利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結合思想，理解絕對值的幾何意義，給絕對值不等式以準確 的幾何解釋.(2)以絕對值的零點為分

6、界點，將數(shù)軸分為幾個區(qū)間，利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想,確定 各個絕對值號內多項式的正、負號，進而去掉絕對值號.(3)通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想,正確求出函數(shù)的零點并畫出函數(shù)圖象第 時需要考察函數(shù)的增減性)是關鍵.注：絕對值的幾何意義(DKI的幾何意義是數(shù)軸上點x與原點O的距離；(2)|x-M+|x”的幾何意義是數(shù)軸上點x到點a和點方的距離之和；(3)卜一0|一卜一的幾何意義是數(shù)軸上點x到點。和點b的距離之差.2,絕對值不等式的幾何意義(l)|x|Wa(a0)的幾何意義是以點。和一。為端點的線段，|x|W。的解集是一a, a.(2)|Ma(a0)的幾

7、何意義是數(shù)軸除去以點a和一。為端點的線段后剩下的兩條射線，卜|的解集是(一8,- a)U(a, +).4 .解含絕對值不等式的關鍵是去掉絕對值變形為不含絕對值的不等式(組)求解.例題：例如：分類討論法：即通過合理分類去絕對值后再求解。例1：解不等式|x-1+|x+2|v5分析：由|x-l| = 0, |x+ = 0,得x = l和x=2一 2和1把實數(shù)集合分成三個區(qū)間，即XV-2, -2xl,按這三個區(qū)間可去絕對值，故可按這三個區(qū)間討論。解:當xV-2時，得x-2-(x-l)-(x+2) 5解得：3 x -2當-2WxWl時，得-2xl,-(x-l) + (x+2)1時，得xl,(x-l) +

8、 (x+2) 5.解得：lx2時，原不等式可化為卜2,I (2r-4) - (3x + 9) 2.當-3這xW2時，原不等式可化為-34W2,，-3-4）-（3x，9）1,解得-1xW2.當x-3時，原不等式可化為x-3,一(2x-4) + (3x + 9) 1,解得x-.第二講證明不等式的基本方法一比較法比較法主要有1.作差比較法2.作商比較法5 .作差比較法(簡稱比差法)作差比較法的證明依據(jù)是：aba-b0； a=bCab=O； aba-b0時，,10。乂； *=10a=b；巖1S(2)基本步驟是：作商；變形；比較與1的大小；結論.注意：對作差比較法的理解Q)在證明不等式的各種方法中，作差

9、比較法是最基本、最重要的方法.作差比較法是通過確定不等式兩邊的 差的符號來證明不等式的，因而其應用非常廣泛.(2)不等式差的符號是正是負，一般必須利用不等式的性質經(jīng)過變形才能判斷，其中變形的目的在于判斷差的 符號，而不必考慮差的值是多少.變形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等.)作差比較法，主要適用于不等式兩邊是整式或分式型的有理不等式的證明.(4)在判定不等式兩邊的式子同號的條件下，如果直接作差不易變形，可以借助不等式性質作平方差或立方差， 進行證明.2.對作商比較法的理解Q)使用作商法證明不等式。乂時，一定要注意”0這個前提條件.若bb, *=10a=b,(2)當欲證明的不等式的兩邊

10、是乘積形式、指數(shù)幕形式，不同底的對數(shù)式形式時，常用作商法證明.二綜合法與分析法1 .綜合法一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種 證明方法叫做綜合法.綜合法又叫順推證法或由因導果法.2 .分析法證明命題時，從要證的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到所需條件為已知條件或一個明顯成立的 事實定義、公理或已證明的定理、性質等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法.這是一種執(zhí)果 索因的思考和證明方法.注意：1 .用綜合法證明不等式的邏輯關系A OB OB QB由已知逐步推演不等式成立的必要條件，從而得結論.2 .用分析法證明

11、不等式的邏輯關系AUB 途由結論步步尋求不等式成立的充分條件，從而到已知.3 .綜合法和分析法的比較(1)相同點：都是直接證明.(2)不同點：綜合法：由因導果，形式簡潔，易于表達；分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探索.4 .證明不等式的通常做法常用分析法找證題切入點，用綜合法寫證題過程.三反證法與放縮法1 .反證法證明不等式時，首先假設要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質等， 進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質、明顯成立的事實等)矛盾的結論，以說明假設不正確， 從而證明原命題成立.我們把它稱之為反證法.2 .放縮法證明不等式時，通過把不等

12、式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種 方法稱為放縮法.3 .換元法將所證的不等式的字母作適當?shù)拇鷵Q，以達到簡化證題過程的目的，這種方法稱為換元法.注意：1 .關于反證法Q)反證法的原理是否定之否定等于肯定.即|第一次否定|一|在假設中，否定了結論|第二次否定一通過推理論證，又否定了假設Q)反證法的使用范圍一般以下幾種情況適宜使用反證法：結論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；有關結論是以“至多”或“至少”的形式出現(xiàn)的一類命題;關于唯一性、存在性的命題；結論的反面是比原結論更具體、更容易研究的命題.(3)使用反證法的主要步驟(4)準確地作出反設是反證法證題的前提，

13、下面是常用詞語的反設原結論反設原結論反設是不是至少有一個一個也沒有都是至少有一個不 是至多有一個至少有兩個大于小于等于至少有個至多有(一 1分小于大于等于至多有個至少有伽+1件對所有X成 立至少有一個X 不成立P或夕非P且非夕對任何X不 成立至少有一個X 成立P且夕非P或非7(5)運用反證法的五點說明反設時一定不能把“假設”寫成“設”.當結論的反面有多種可能時，必須全部列出，否則證明是不完整的.必須從結論的否定出發(fā)進行推理，就是一定把結論的否定作為推理的條件，只要推理中沒有用到“假設”就 不是反證法.最后導出的矛盾是多樣的，可能與已知矛盾、與假設矛盾、與定義、定理、公式矛盾、與己知的事實矛盾等

14、， 但矛盾必須是明顯的.反證法是一種間接證明的方法.2.關于放縮法(1)放縮法證明不等式的理論依據(jù)有：不等式的傳遞性；等量加不等量為不等量.其中減去一個正數(shù)值變小(縮)，加上一個正數(shù)值變大微)； 同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較；基本不等式與絕對值三角不等式；三角函數(shù)的有界性等.Q)運用放縮法證題的關鍵是：放大或縮小要適當，千萬不能放(縮)過頭，否則問題無法獲證.(3)使用放縮法的常用變形放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮必須有目標，而且要恰到好處，目標往往從要證明的結論 考慮.常用的放縮法有增項、減項、利用分式的性質、利用不等式的性質、利用已知不等式、利用函數(shù)的性

15、質等進22行放縮.比如：G+3 +%G+9 ；拄(3)(N 且心2)： (，)QEN*)：方而不i(GN且22), 4= r , 2/3 ；當。乂0,而0 時，空竺，等.W 5+3+1a a+m h b+m第三講柯西不等式與排序不等式1 .二維形式的柯西不等式若a,從c, d都是實數(shù)，貝D(/+62)(J+d2)2(ac+次當且僅當ad=加時，等號成立.2 .柯西不等式的向形式設a, /?是兩個向量，則|。閉W|a|兩，當且僅當/?是零向量，或存在實數(shù)K使時，等號成立.3 .二維形式的三角不等式設 XI，1，X2, J2GR,那么也;+；+也+這2，G1必)+(J1一32)注意：1 .二維柯西

16、不等式的三種形式及其關系定理1是柯西不等式的代數(shù)形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式.根據(jù)向量的意義及其坐標表示不難發(fā)現(xiàn)二維形式的柯西不等式及二維形式的三角不等式均可看作是柯西不等 式的向量形式的坐標表示.2 .理解并記憶三種形式取“=”的條件(D代數(shù)形式中當且僅當ad=bc時取等號.Q)向量形式中當存在實數(shù)A,或夕=0時取等號.(3)三角形式中當Pi，P2, O三點共線且Pi，P?在原點。兩旁時取等號.3 .掌握二維柯西不等式的常用變式(1)、a：+b： #心由尹(2) 6?+力 yc2-d2ac+bd.(3) 7a?+b2 (4)(,+b)(c+力(yac -b

17、d)2.(4) 本不等式與二維柯西不等式的對比(1)基本不等式是兩個正數(shù)之間形成的不等關系.二維柯西不等式是四個實數(shù)之間形成的不等關系，從這個意 義上講，二維柯西不等式是比基本不等式高一級的不等式.(2)基本不等式具有放縮功能，利用它可以比較大小，證明不等式，當和減積)為定值時，可求積減和)的最值， 同樣二維形式的柯西不等式也有這些功能，利用二維形式的柯西不等式求某些特殊函數(shù)的最值非常有效.二一般形式的柯西不等式1 .三維形式的柯西不等式設。1，。2, “3，bi，g, b3是實數(shù)，則渴+。；+康（瓦+區(qū)+/速向+。力力3）,當且僅當“ =O（i=l, 2,3）或存在一個數(shù)A,使得=A6（i=

18、L 2, 3）時，等號成立.2 . 一般形式的柯西不等式設i 02,。3，?！?，bi，bi,如,b是實數(shù)，則渴+.；+點）（況+啟+或）（。1歷+。力2+ 處瓦當且僅當瓦=0。=1, 2, ）或存在一個數(shù)A,使得0=A8（i=l, 2, ）時，等號成立.注意：1 .對柯西不等式一般形式的說明：一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點可類比二維形 式的柯西不等式來總結，左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方.運用時的關鍵是構造出符合柯西不等式的結構 形式.2 .關于軻西不等式的證明：對于函數(shù)/（K）=31X歷f+Szx/）2+（，,/一瓦,）2,顯然f（x

19、）20時XGR恒成立，即/（工）=（。；+4+2（0i瓦+此+%“+；+氏+區(qū)）2。對xR恒成立，.*. = 4abi+、氏+。油”）-4（屆+/+/）就+向+bJ）WO,除以 4 得（而+Ad（M+質H1片）2 （町瓦+。血d1。,力“）.3 . 一般形式柯西不等式成立的條件：由柯西不等式的證明過程可知4=0%（x）1njn=O0aK一歷=3一/=%x九=00歷=/=”=0，或瓦=瓦=瓦4 .軻西不等式的幾種常見變形：Q）設裙+詔+：=瓦+區(qū)+片=1,則一1Wi瓦+2bz+a/“Wl；（2）設agRG=l, 2, 3,，），+守”+公儼黨+%設a,6R, 30（=1, 2, 3,，），唬+君

20、+貶號蔻三常二（4）設岫*=1, 2, 3,，），.+富+” +冷急哉黑法.三排序不等式1 .亂序和、反序和、順序和設aiWozWW?！?，如W%WW”,為兩組實數(shù)，J,。，c”為力，3，,的任一排列,稱。Wi+”2 +03+ +%?！睘閬y序和，。1力+。如“-1+。34,-2+ +。,力1為反序和，。仍1+。抄2+。3%+為順序和.2 .排序不等式（又稱排序原理）設。1設。2這,g(A+l)成2 .貝努利不等式(D定義：如果x是實數(shù)，且一1, x#0, 為大于1的自然數(shù)，那么有(l+x)”l+x.(2)作用：在數(shù)學研究中經(jīng)常用貝努利不等式把二項式的乘方Q+x)縮小為簡單的1+內的形式，這在數(shù)值估 計和放縮法證明不等式中有