高中數(shù)學(xué)選修4-5知識(shí)點(diǎn)(最全版)

1、蘇教版高中數(shù)學(xué)選修4-5知識(shí)點(diǎn)1.不等式的基本性質(zhì)1 .實(shí)數(shù)大小的比較數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.設(shè)心方是兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B.當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊時(shí),ab.(3)兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小與這兩個(gè)實(shí)數(shù)差的符號(hào)的關(guān)系(不等式的意義)(aba -b0la=bab=Of6, b0b卬(2)傳遞性：公=8 bcaci)可加性：ab, cROa+c+g(4)加法法則：ab, cdn+c+d；(5)可乘性：ab, cX=acbc； db, cO=acb0, cdO=acbd；(7)乘方法則：。乂0, N且(8)開方法則：ab0, N 且，2=%字.(9)倒數(shù)法則，即心心0=+42 .

2、基本不等式1 .重要不等式定理1：如果。，bR,那么加瓦當(dāng)且僅當(dāng)。=占時(shí)，等號(hào)成立.2 .基本不等式(1)定理2：如果叫 bOf那么a+b22癡 呼迎),當(dāng)且僅當(dāng)。=時(shí)，等號(hào)成立.(2)定理2的應(yīng)用：對(duì)兩個(gè)正實(shí)數(shù)發(fā)，yf如果它們的和S是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，它們的積P取得最大值，最大值為如果它們的積尸是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，它們的和S取得最小值，最小值為2.3 .基本不等式麗在中的幾何解釋D如圖，A5是。的直徑，。是A8上任意一點(diǎn)，OE是過(guò)C點(diǎn)垂直A8的弦.若4C=a, BC=b,則4+b,。的半徑 R=，RtAACDooRtADC, CIJr=AC BC=abt C=啊，”辿，當(dāng)且僅

3、當(dāng)C點(diǎn)與。點(diǎn)重合時(shí)，CD=R=筆即標(biāo)=斗士.4 .幾個(gè)常用的重要不等式Q)如果aR,那么20,當(dāng)且僅當(dāng)。=0時(shí)取等號(hào)；(2)如果叫 b0,那么而W”)，當(dāng)且僅當(dāng)。=辦時(shí)等號(hào)成立.G)如果。0,那么a+!2,當(dāng)且僅當(dāng)a = l時(shí)等號(hào)成立.(4)如果/0,那么打，22,當(dāng)且僅當(dāng)。=力時(shí)等號(hào)成立.3 .三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式1 .如果。、b、cR+,那么J+3+c3n&/c,當(dāng)且僅當(dāng)。=方=。時(shí)，等號(hào)成立.2 .宸理3)如果a、入cR+,那么a +b+ c 3 abc+：+2匹帥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.即 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均.3 .如果41，。2，% GR+,那

4、么十二”一!3勺當(dāng)且僅當(dāng)。1=2= =%時(shí)，等號(hào)成立.即 對(duì)于個(gè)正數(shù)也，2,，%,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均.二絕對(duì)值不等式1 .絕對(duì)值三角不等式1 .絕對(duì)值及其幾何意義(a (心0)Q)絕對(duì)值定義：同=,a (a0)(2)絕對(duì)值幾何意義：實(shí)數(shù)。的絕對(duì)值回表示數(shù)軸上坐標(biāo)為的點(diǎn)4到原點(diǎn)。的距離|。4|.數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)A, 8分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)八，小，則|48| = |八一小2,絕對(duì)值三角不等式(1)定理1：如果明方是實(shí)數(shù)，則|。+近|。|+向，當(dāng)且僅當(dāng)必20時(shí)，等號(hào)成立.推論1：如果a,方是實(shí)數(shù)，那么回一向這口一切這回+向.推論2:如果人方是實(shí)數(shù)，那么同一向W|a+6

5、|W回+曲.(2)定理2：如果。，b, c是實(shí)數(shù)，那么|o-c|W|一切+也一c|,當(dāng)且僅當(dāng)(“一)c)20時(shí)，等號(hào)成立.2 .絕對(duì)值不等式的解法1 .國(guó)型不等式的解法設(shè) a0,則(l)|x|VaO4Vx-xa；(4)H2aOxW?；? . |x+勿Wc(c0)與|ar+MNc(c0)型不等式的解法Q)|ar+b|WcO-c 這 ar+方(2)|ax+b|2c0ax+8Wc 或 ax+62c.3 . |xa|+|xb|Wc與|x-a|+|x一切2c型不等式的解法Q)利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，理解絕對(duì)值的幾何意義，給絕對(duì)值不等式以準(zhǔn)確 的幾何解釋.(2)以絕對(duì)值的零點(diǎn)為分

6、界點(diǎn)，將數(shù)軸分為幾個(gè)區(qū)間，利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想,確定 各個(gè)絕對(duì)值號(hào)內(nèi)多項(xiàng)式的正、負(fù)號(hào)，進(jìn)而去掉絕對(duì)值號(hào).(3)通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想,正確求出函數(shù)的零點(diǎn)并畫出函數(shù)圖象第 時(shí)需要考察函數(shù)的增減性)是關(guān)鍵.注：絕對(duì)值的幾何意義(DKI的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)x與原點(diǎn)O的距離；(2)|x-M+|x”的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)a和點(diǎn)方的距離之和；(3)卜一0|一卜一的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)。和點(diǎn)b的距離之差.2,絕對(duì)值不等式的幾何意義(l)|x|Wa(a0)的幾何意義是以點(diǎn)。和一。為端點(diǎn)的線段，|x|W。的解集是一a, a.(2)|Ma(a0)的幾

7、何意義是數(shù)軸除去以點(diǎn)a和一。為端點(diǎn)的線段后剩下的兩條射線，卜|的解集是(一8,- a)U(a, +).4 .解含絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值變形為不含絕對(duì)值的不等式(組)求解.例題：例如：分類討論法：即通過(guò)合理分類去絕對(duì)值后再求解。例1：解不等式|x-1+|x+2|v5分析：由|x-l| = 0, |x+ = 0,得x = l和x=2一 2和1把實(shí)數(shù)集合分成三個(gè)區(qū)間，即XV-2, -2xl,按這三個(gè)區(qū)間可去絕對(duì)值，故可按這三個(gè)區(qū)間討論。解:當(dāng)xV-2時(shí)，得x-2-(x-l)-(x+2) 5解得：3 x -2當(dāng)-2WxWl時(shí)，得-2xl,-(x-l) + (x+2)1時(shí)，得xl,(x-l) +

8、 (x+2) 5.解得：lx2時(shí)，原不等式可化為卜2,I (2r-4) - (3x + 9) 2.當(dāng)-3這xW2時(shí)，原不等式可化為-34W2,，-3-4）-（3x，9）1,解得-1xW2.當(dāng)x-3時(shí)，原不等式可化為x-3,一(2x-4) + (3x + 9) 1,解得x-.第二講證明不等式的基本方法一比較法比較法主要有1.作差比較法2.作商比較法5 .作差比較法(簡(jiǎn)稱比差法)作差比較法的證明依據(jù)是：aba-b0； a=bCab=O； aba-b0時(shí)，,10。乂； *=10a=b；巖1S(2)基本步驟是：作商；變形；比較與1的大?。唤Y(jié)論.注意：對(duì)作差比較法的理解Q)在證明不等式的各種方法中，作差

9、比較法是最基本、最重要的方法.作差比較法是通過(guò)確定不等式兩邊的 差的符號(hào)來(lái)證明不等式的，因而其應(yīng)用非常廣泛.(2)不等式差的符號(hào)是正是負(fù)，一般必須利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過(guò)變形才能判斷，其中變形的目的在于判斷差的 符號(hào)，而不必考慮差的值是多少.變形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等.)作差比較法，主要適用于不等式兩邊是整式或分式型的有理不等式的證明.(4)在判定不等式兩邊的式子同號(hào)的條件下，如果直接作差不易變形，可以借助不等式性質(zhì)作平方差或立方差， 進(jìn)行證明.2.對(duì)作商比較法的理解Q)使用作商法證明不等式。乂時(shí)，一定要注意”0這個(gè)前提條件.若bb, *=10a=b,(2)當(dāng)欲證明的不等式的兩邊

10、是乘積形式、指數(shù)幕形式，不同底的對(duì)數(shù)式形式時(shí)，常用作商法證明.二綜合法與分析法1 .綜合法一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立，這種 證明方法叫做綜合法.綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?2 .分析法證明命題時(shí)，從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的 事實(shí)定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法.這是一種執(zhí)果 索因的思考和證明方法.注意：1 .用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系A(chǔ) OB OB QB由已知逐步推演不等式成立的必要條件，從而得結(jié)論.2 .用分析法證明

11、不等式的邏輯關(guān)系A(chǔ)UB 途由結(jié)論步步尋求不等式成立的充分條件，從而到已知.3 .綜合法和分析法的比較(1)相同點(diǎn)：都是直接證明.(2)不同點(diǎn)：綜合法：由因?qū)Ч问胶?jiǎn)潔，易于表達(dá)；分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探索.4 .證明不等式的通常做法常用分析法找證題切入點(diǎn)，用綜合法寫證題過(guò)程.三反證法與放縮法1 .反證法證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等， 進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確， 從而證明原命題成立.我們把它稱之為反證法.2 .放縮法證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等

12、式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種 方法稱為放縮法.3 .換元法將所證的不等式的字母作適當(dāng)?shù)拇鷵Q，以達(dá)到簡(jiǎn)化證題過(guò)程的目的，這種方法稱為換元法.注意：1 .關(guān)于反證法Q)反證法的原理是否定之否定等于肯定.即|第一次否定|一|在假設(shè)中，否定了結(jié)論|第二次否定一通過(guò)推理論證，又否定了假設(shè)Q)反證法的使用范圍一般以下幾種情況適宜使用反證法：結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；有關(guān)結(jié)論是以“至多”或“至少”的形式出現(xiàn)的一類命題;關(guān)于唯一性、存在性的命題；結(jié)論的反面是比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題.(3)使用反證法的主要步驟(4)準(zhǔn)確地作出反設(shè)是反證法證題的前提，

13、下面是常用詞語(yǔ)的反設(shè)原結(jié)論反設(shè)原結(jié)論反設(shè)是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有都是至少有一個(gè)不 是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于小于等于至少有個(gè)至多有(一 1分小于大于等于至多有個(gè)至少有伽+1件對(duì)所有X成 立至少有一個(gè)X 不成立P或夕非P且非夕對(duì)任何X不 成立至少有一個(gè)X 成立P且夕非P或非7(5)運(yùn)用反證法的五點(diǎn)說(shuō)明反設(shè)時(shí)一定不能把“假設(shè)”寫成“設(shè)”.當(dāng)結(jié)論的反面有多種可能時(shí)，必須全部列出，否則證明是不完整的.必須從結(jié)論的否定出發(fā)進(jìn)行推理，就是一定把結(jié)論的否定作為推理的條件，只要推理中沒有用到“假設(shè)”就 不是反證法.最后導(dǎo)出的矛盾是多樣的，可能與已知矛盾、與假設(shè)矛盾、與定義、定理、公式矛盾、與己知的事實(shí)矛盾等

14、， 但矛盾必須是明顯的.反證法是一種間接證明的方法.2.關(guān)于放縮法(1)放縮法證明不等式的理論依據(jù)有：不等式的傳遞性；等量加不等量為不等量.其中減去一個(gè)正數(shù)值變小(縮)，加上一個(gè)正數(shù)值變大微)； 同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較；基本不等式與絕對(duì)值三角不等式；三角函數(shù)的有界性等.Q)運(yùn)用放縮法證題的關(guān)鍵是：放大或縮小要適當(dāng)，千萬(wàn)不能放(縮)過(guò)頭，否則問(wèn)題無(wú)法獲證.(3)使用放縮法的常用變形放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往從要證明的結(jié)論 考慮.常用的放縮法有增項(xiàng)、減項(xiàng)、利用分式的性質(zhì)、利用不等式的性質(zhì)、利用已知不等式、利用函數(shù)的性

15、質(zhì)等進(jìn)22行放縮.比如：G+3 +%G+9 ；拄(3)(N 且心2)： (，)QEN*)：方而不i(GN且22), 4= r , 2/3 ；當(dāng)。乂0,而0 時(shí)，空竺，等.W 5+3+1a a+m h b+m第三講柯西不等式與排序不等式1 .二維形式的柯西不等式若a,從c, d都是實(shí)數(shù)，貝D(/+62)(J+d2)2(ac+次當(dāng)且僅當(dāng)ad=加時(shí)，等號(hào)成立.2 .柯西不等式的向形式設(shè)a, /?是兩個(gè)向量，則|。閉W|a|兩，當(dāng)且僅當(dāng)/?是零向量，或存在實(shí)數(shù)K使時(shí)，等號(hào)成立.3 .二維形式的三角不等式設(shè) XI，1，X2, J2GR,那么也;+；+也+這2，G1必)+(J1一32)注意：1 .二維柯西

16、不等式的三種形式及其關(guān)系定理1是柯西不等式的代數(shù)形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式.根據(jù)向量的意義及其坐標(biāo)表示不難發(fā)現(xiàn)二維形式的柯西不等式及二維形式的三角不等式均可看作是柯西不等 式的向量形式的坐標(biāo)表示.2 .理解并記憶三種形式取“=”的條件(D代數(shù)形式中當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)取等號(hào).Q)向量形式中當(dāng)存在實(shí)數(shù)A,或夕=0時(shí)取等號(hào).(3)三角形式中當(dāng)Pi，P2, O三點(diǎn)共線且Pi，P?在原點(diǎn)。兩旁時(shí)取等號(hào).3 .掌握二維柯西不等式的常用變式(1)、a：+b： #心由尹(2) 6?+力 yc2-d2ac+bd.(3) 7a?+b2 (4)(,+b)(c+力(yac -b

17、d)2.(4) 本不等式與二維柯西不等式的對(duì)比(1)基本不等式是兩個(gè)正數(shù)之間形成的不等關(guān)系.二維柯西不等式是四個(gè)實(shí)數(shù)之間形成的不等關(guān)系，從這個(gè)意 義上講，二維柯西不等式是比基本不等式高一級(jí)的不等式.(2)基本不等式具有放縮功能，利用它可以比較大小，證明不等式，當(dāng)和減積)為定值時(shí)，可求積減和)的最值， 同樣二維形式的柯西不等式也有這些功能，利用二維形式的柯西不等式求某些特殊函數(shù)的最值非常有效.二一般形式的柯西不等式1 .三維形式的柯西不等式設(shè)。1，。2, “3，bi，g, b3是實(shí)數(shù)，則渴+。；+康（瓦+區(qū)+/速向+。力力3）,當(dāng)且僅當(dāng)“ =O（i=l, 2,3）或存在一個(gè)數(shù)A,使得=A6（i=

18、L 2, 3）時(shí)，等號(hào)成立.2 . 一般形式的柯西不等式設(shè)i 02,。3，。“，bi，bi,如,b是實(shí)數(shù)，則渴+.；+點(diǎn)）（況+啟+或）（。1歷+。力2+ 處瓦當(dāng)且僅當(dāng)瓦=0。=1, 2, ）或存在一個(gè)數(shù)A,使得0=A8（i=l, 2, ）時(shí)，等號(hào)成立.注意：1 .對(duì)柯西不等式一般形式的說(shuō)明：一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點(diǎn)可類比二維形 式的柯西不等式來(lái)總結(jié)，左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方.運(yùn)用時(shí)的關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu) 形式.2 .關(guān)于軻西不等式的證明：對(duì)于函數(shù)/（K）=31X歷f+Szx/）2+（，,/一瓦,）2,顯然f（x

19、）20時(shí)XGR恒成立，即/（工）=（。；+4+2（0i瓦+此+%“+；+氏+區(qū)）2。對(duì)xR恒成立，.*. = 4abi+、氏+。油”）-4（屆+/+/）就+向+bJ）WO,除以 4 得（而+Ad（M+質(zhì)H1片）2 （町瓦+。血d1。,力“）.3 . 一般形式柯西不等式成立的條件：由柯西不等式的證明過(guò)程可知4=0%（x）1njn=O0aK一歷=3一/=%x九=00歷=/=”=0，或瓦=瓦=瓦4 .軻西不等式的幾種常見變形：Q）設(shè)裙+詔+：=瓦+區(qū)+片=1,則一1Wi瓦+2bz+a/“Wl；（2）設(shè)agRG=l, 2, 3,，），+守”+公儼黨+%設(shè)a,6R, 30（=1, 2, 3,，），唬+君

20、+貶號(hào)蔻三常二（4）設(shè)岫*=1, 2, 3,，），.+富+” +冷急哉黑法.三排序不等式1 .亂序和、反序和、順序和設(shè)aiWozWW。”，如W%WW”,為兩組實(shí)數(shù)，J,。，c”為力，3，,的任一排列,稱。Wi+”2 +03+ +%?！睘閬y序和，。1力+。如“-1+。34,-2+ +。,力1為反序和，。仍1+。抄2+。3%+為順序和.2 .排序不等式（又稱排序原理）設(shè)。1設(shè)。2這,g(A+l)成2 .貝努利不等式(D定義：如果x是實(shí)數(shù)，且一1, x#0, 為大于1的自然數(shù)，那么有(l+x)”l+x.(2)作用：在數(shù)學(xué)研究中經(jīng)常用貝努利不等式把二項(xiàng)式的乘方Q+x)縮小為簡(jiǎn)單的1+內(nèi)的形式，這在數(shù)值估 計(jì)和放縮法證明不等式中有