導(dǎo)數(shù)與不等式的證明(高考真題)【含標準答案】

1、導(dǎo)數(shù)與不等式的證明1 一 X V1.12013湖南文科】已知函數(shù) f (x) = 2ex.1 X2(I )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)證明：當 f(X1) =f(X2)(X1WX2)時，X1+X2<0.、X/2、，,、X【解讀】(I) f'(X)= (1+1X)e d + Xl-d-Me +X = XeX13 X2：2X(1 X2)2(1 X2)2; A =22 4 2<0,當 x e (-笛時，f'(X)>0, y= f(X)單調(diào)遞增;當xw0,十g)時，f'(x) E0, y = f(x)單調(diào)遞減所以，y = f(x)在(-8,0上單調(diào)遞增；在x

2、w0,+g)上單調(diào)遞減。(H)由(I )知，只需要證明：當x>0時f(x) < f(-x)即可。x Vd+vq/cf(x) - f(一x)=2-e2e =21(1 - x)e -1 - x °1 x 1 x 1 x令g(x) =(1 一x)e2x -1 -x, x >0= g'(x) = (1 -2x)e2X 一1。令h(x) =(1-2x)e2x -1= h'(x) =(1-2x)e2x =-4xe2x ： 0,=y=h(x)在(0,+00)上單調(diào)遞減 = h(x)<h(0)=0=y=g(x)在(0,十0°)上單調(diào)遞減 =g(x)&

3、lt;g(0) = 0-X=y = 2-(1 一 x)e2x 一1 x在(0, 十 餡)上單調(diào)遞減，但 x = 0日t y = 0.1 x-f (x) - f (-x) < 0- f (x):二 f (-x)所以，當 f (X1) = f (X2)且X1 # X2時，X1 +X2 M0.(證畢)2.12013天津理科】已知函數(shù)f(x)=x2lnx.(I )求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。(n )證明：對任意的t>0,存在唯一的s,使t = f(s).(出)設(shè)(n )中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s = g(t),證明：當t>e2時，有2<!更。<工.5 lnt 2(1)函數(shù)

4、f(x)的定義域為(0, +8).1f x) = 2xln x+ x= x(2ln x+ 1),令 f x) = 0,得 x = j=.當x變化時，f'x), f(x)的變化情況如下表:x1。,；】1 d1 Te區(qū), Jf'(x)一01十f(x)ll極小值所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，0,單調(diào)遞增區(qū)間是二收.'品)I五，J(2)證明：當 0V x< 1 時，f(x)< 0.設(shè) t>0,令 h(x) = f(x) t, xC 1, +8).由(1)知，h(x)在區(qū)間(1, +8)內(nèi)單調(diào)遞增.h(1)=- t<0, h(et)=e2tln et-

5、t=t(e2t- 1)>0.故存在唯一的sC (1, +8),使得t = f(s)成立.(3)證明：因為s= g(t),由(2)知，t=f(s),且s> 1,從而ln g(t) ln s In sIn suIn t In f (s) ln(s2 In s) 2ln s ln(ln s) 2u In u ' 其中u= ln s.要使2 :二1n g:二1成立，只需 0 ： ln u u-.5 1nt 22當t>e2時，若s= g(t)<e,則由f(s)的單調(diào)性，有t= f(s)wf(e) = e2,矛盾. 所以s>e,即u>1,從而ln u>0成

6、立.u11另一萬面，令 F(u)= ln u - , u>1.F u)=-,令 F u()=0,得 u=2.2u 2當 1vuv2 時，F(xiàn)'uQ>0;當 u>2 時，F(xiàn)'u)v0.故對 u>1, F(u)< F(2)<0.因此ln u :二-成立.2綜上，當t>e2時，有-也幽：1 .5 lnt 2# x3 -(a 5)x, x _0,312013天津文科】設(shè)aW-2,0,已知函數(shù)f (x) =i 3 a+3 2xx ax, x 0.2(I )證明f (x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1, +內(nèi)巢調(diào)遞增。(n )設(shè)曲線y = f

7、 (x)在點P(xi, f (xi ) (= 1, 2,處的切線相互平行，且xx2x3 #0,證明x*2 “3 3.3a 3 9(1)設(shè)函數(shù) f 1(x) = x - (a+ 5)x(x<0), f 2(x) = x x +ax(x> 0), f( x) = 3x2( a+5),由 a - 2,0,從而當一1vxv0 時,f / ( x) = 3x2(a + 5) v 3-a-5<0,所以函數(shù)f1(x)在區(qū)間(一1,0內(nèi)單調(diào)遞減.2f2 ( x) = 3x ( a+3)x+a= (3xa)( x 1),由于 aC 2,0，所以當 0vxv 1 時，f2 ( x)<0;當

8、x>1時，f 2,( x) >0.即函數(shù)f 2(x)在區(qū)間0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1 , +°0)內(nèi)單 調(diào)遞增.綜合，及f 1(0) = f2(0),可知函數(shù)f (x)在區(qū)間(一1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1 , +°0)內(nèi)單調(diào)遞增. 一a+3、. (2)由 知f (x)在區(qū)間(一巴 0)內(nèi)單倜遞減，在區(qū)間0,：內(nèi)單倜遞減，在區(qū)間I 6 ),5,十七1內(nèi)單調(diào)遞增.,6因為曲線y=f(x)在點P(xi, f(xi)( i =1,2,3)處的切線相互平行，從而 xi, X2, X3互不相等，且 f' ( xi) =f' (x2) =f '

9、供).不妨設(shè) xi0vx2x3,由 3x12 ( a+5) = 3x22 (a +23) x2 + a 3x3 一( a + 3) x3+ a,可得 3x22 -3x32 (a+3)( x2 x3) = 0,解得a 3 < x3.6a 3*2+*3=,從而 0<x2<3Vg(x2) vg(0) = a.、r ,、 c 2, c、，a+3)設(shè) g(x) = 3x (a+ 3)x+ a,貝U g 2a 5.<xi< 0, 3I 6 J由 3x； -(a+5) = g(x2) <a,解得一J2a 5 a 3所以 xi + x2+x3> - J +,33設(shè)t

10、=等，由手因為ae 2,0,所以t e I烏,37 / 5. ixi+x2+ x3> -.3-3t i i 9 i i故 xi + x2+x3> -t + = (t -i)2,62334120i4天津理科】已知函數(shù) f(x)= x- aex(a ? R), x? R.已知函數(shù)y = f(x)有兩個零點 xi,x2,且 x1 < x2.(i)求a的取值范圍；(n)證明x2隨著a的減小而增大； xi(出)證明xi + x2隨著a的減小而增大.(I)解：由 f (x)= x- aex,可得 f (x)= i- aex.下面分兩種情況討論：(1) a £0時f (x)>

11、; 0在R上恒成立，可得f (x)在R上單調(diào)遞增，不合題意.(2) a> 0時,由 f (x)= 0,得 x= - In a.當x變化時，f(x)，f (x)的變化情況如下表:x(-? , lna)-lna(-lna,+ ¥)f (x)十0一f(x)-ln a- 1這時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-? , lna)；單調(diào)遞減區(qū)間是(-lna,+ ¥).于是，“函數(shù)y= f(x)有兩個零點”等價于如下條件同時成立:1 f (- ln a)> 0； 2 存在 S1 ? ( ? , ln a),滿足 f (s)< 0 ;3 存在多？( lna,+ ?),滿足 f

12、(S2)< 0.由 f (- lna)> 0,即-lna- 1> 0 ,解得 0 V a < e-1 ,而此時，取 6=0,滿足?( ?,2. 22 ea囑2ln 楸alna),且 f (&) = - a<0；取電=一+ ln,滿足 a?( lna, + ?),且 a a2ea <0 .所以，a的取值范圍是(0,e-1).x(n)證明：由 f (x)= x- ae = 0 ,有 a = -x. ex1 - x設(shè)g(x)=，由g£x)= -7-,知g(x)在(-¥,1)上單調(diào)遞增，在(1,+ ¥)上單調(diào)遞減 ee并且，當

13、x?( ? ,0時，g(x)£0;當 x?(0, ?)時，g(x)> 0.由已知，x1,x2滿足a= g(x1), a = g(x2).由a?(0,e-1),及g(x)的單調(diào)性，可得x1?(0,1), x2 ? (1,?).對于任意的 a1,a2 ? (0,e-1),設(shè) a1 > a2, g(x,)= g(x2)= a1,其中 0< x1 < 1< x?； g(h1) = g(h2)= a2,其中 0V h1 < 1< h2.因為g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故由a1>a2,即g(x1)> g(h1),可得x1>h1 ；類

14、似可得x2 < h2.,x2h2h2又由 xi,h1 > 0,得二< < 一.XiXihi所以，x2隨著a的減小而增大 xi(m) 證明： 由 x =aex1,x2= aex2,可得 In x1= In a +x1,In x2 = In a +x2.x2故 x2 - x1 = In x2 - In x1 = In 一 .xi_ x2設(shè)一=t ,則 t> i, xix2 = txi,?x2-xi=Int 解得, =Int,x2 t- i儂.所以, t- i(t + i)Int x1 + x2=.t- i(x + i)In x 令 h(x)= x- i令 u(x)=-2In x + xx?(i, ?