直線(xiàn)和圓學(xué)用例

1、直線(xiàn)和圓綜合一、直線(xiàn)和圓學(xué)用例例1A(0,3) , B( 1,0) , C(3,0)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)，使四邊形 ABCD為等腰梯 形.分析：利用等腰梯形所具備的性質(zhì)“兩底互相平行且兩腰長(zhǎng)相等進(jìn)行解題.說(shuō)明：(1)把哪兩條邊作為梯形的底是討論的標(biāo)準(zhǔn)，解此題時(shí)注意不要漏解.(2)在遇到兩直線(xiàn)平行問(wèn)題時(shí)，一定要注意直線(xiàn)斜率不存在的情況此題中AB、BC的斜率都存在，故不可能出現(xiàn)斜率不存在的情況.例 2 當(dāng) a為何值時(shí)，直線(xiàn) h：(a 2)x (1 a)y 10與直線(xiàn)l2：(a 1)x (2a 3)y20互相垂直？分析：分類(lèi)討論，利用兩直線(xiàn)垂直的充要條件進(jìn)行求解或利用結(jié)論“設(shè)直線(xiàn)11和12的方程分別是h：

2、 Ax B1 y C| 0 , l2： A2x B2y C2 0，那么h l2的充要條件是 AA2 B1B2 0 (其證明可借助向量知識(shí)完成)解題.說(shuō)明：對(duì)于此題，容易出現(xiàn)無(wú)視斜率存在性而引發(fā)的解題錯(cuò)誤，如先認(rèn)可兩直線(xiàn)l1、I2的斜率分別為k1、k2，貝yk1-2 ,k2.11 a22a 3a 2a 1由 l1 l2，得 k1 k21，即()()1.1 a2a 3解上述方程為a 1 .從而得到當(dāng)a 1時(shí)，直線(xiàn)l1與l2互相垂直.上述解題的失誤在于機(jī)械地套用兩直線(xiàn)垂直(斜率形式)的充要條件，無(wú)視了斜率存在的大前提，因而失去對(duì)另一種斜率不存在時(shí)兩直線(xiàn)垂直的考慮，出現(xiàn)了以偏概全的錯(cuò)誤.例3直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)

3、點(diǎn)P(3,1)，且被兩平行直線(xiàn)h：x y 1 0和l2:x y 6 0截得的線(xiàn) 段之長(zhǎng)為5,求直線(xiàn)l的方程.分析：(1)如圖，利用點(diǎn)斜式方程，分別與 l1、|2聯(lián)立，求得兩交點(diǎn) A、B的坐標(biāo)(用k 表示),再利用AB 5可求出k的值，從而求得I的方程.利用l1、l2之間的距離及l(fā)與l1夾角的關(guān)系求解.設(shè)直線(xiàn)l與li、2分別相交于A(Xi，yJ、B(X22)，那么可通過(guò)求出y y、Xi X2的值，確定直線(xiàn)l的斜率(或傾斜角)，從而求得直線(xiàn)I的方程.ParA說(shuō)明：此題容易產(chǎn)生的誤解是默認(rèn)直線(xiàn) l的斜率存在，這樣由解法一就只能得到 k 0, 從而遺漏了斜率不存在的情形.一般地，求過(guò)一定點(diǎn)，且被兩平行

4、直線(xiàn)截得的線(xiàn)段為定長(zhǎng)a的直線(xiàn)，當(dāng)a小于兩平行直線(xiàn)之間距離d時(shí)無(wú)解；當(dāng)a d時(shí)有唯一解；當(dāng)ad時(shí)，有且只有兩解另外，此題 的三種解法中，解法二采取先求出夾角后，再求直線(xiàn)I的斜率或傾斜角，從方法上看較為簡(jiǎn)單；而解法三注意了利用整體思想處理問(wèn)題，在一定程度上也簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.例4點(diǎn)A 1,3 , B3,1 ,點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且 ACB 90，那么滿(mǎn)足條件的點(diǎn) C 的個(gè)數(shù)是().(A 1( B) 2(C) 3( D) 4說(shuō)明：此題還可以有另外兩種解法：一種是利用勾股定理， 另一種是直角三角形斜邊AB與y軸交點(diǎn)D恰為斜邊AB中點(diǎn)，那么由D到A、B距離相等的性質(zhì)可解.此題易錯(cuò)，可能只解一個(gè)坐標(biāo)軸； 可能解

5、方程時(shí)漏解；也可能看到x、y各有兩解而誤以為有四點(diǎn).例5 ABC的一個(gè)定點(diǎn)是 A 3, 1 , B、 C的平分線(xiàn)分別是 x 0 , y x，求直 線(xiàn)BC的方程.分析：利用角平分線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，求出A關(guān)于x 0 , y x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，它們顯然在直線(xiàn)BC 上.0的交點(diǎn)，并且垂直于直線(xiàn)例6求經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)2x 3y 10和x 3y 4例七3x 4y 70的直線(xiàn)的方程.例7 定點(diǎn)A(3,1),在直線(xiàn)y x和y 0上分別求點(diǎn)M和點(diǎn)N，使 AMN的周長(zhǎng)最短， 并求出最短周長(zhǎng).分析：由連接兩點(diǎn)的線(xiàn)中，直線(xiàn)段最短，利用對(duì)稱(chēng)，把折線(xiàn)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)，即轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離.2225例8實(shí)數(shù)a , b滿(mǎn)足a b 1，求證：

6、a 2 b 22.說(shuō)明：此題應(yīng)為不等式的題目，難度較大，證明方法也較多，但用解析幾何的方法 解決顯得輕松簡(jiǎn)捷，深刻地表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想.例9在平面直角坐標(biāo)系中，xOA ，-，點(diǎn)B在OA上OA a， OB b，a b 0，試在x軸的正半周上求一點(diǎn) C，使 ACB取得最大值.分析：要使最大，只需最大，而是直線(xiàn)到直線(xiàn)的角(此處即為夾角)，利用公式可以解決問(wèn)題.說(shuō)明：此題綜合性強(qiáng)，是三角、不等式和解析幾何知識(shí)的交匯點(diǎn)另外此題也是足球 射門(mén)最大角問(wèn)題的推廣.例10直線(xiàn)h：2x y 4 0，求h關(guān)于直線(xiàn)l :3x 4y 10對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)“的方程.分析：此題可有多種不同的解法，給出多種解法的途徑是：一類(lèi)利用

7、直線(xiàn)方程的不同形 式求解；另一類(lèi)采用消元思想進(jìn)行求解.說(shuō)明：在解法一中，應(yīng)注意正確運(yùn)用“到角公式，明確由哪條直線(xiàn)到哪條直線(xiàn)的角.在具體解題時(shí)，最好能準(zhǔn)確畫(huà)出圖形，直觀(guān)地得出關(guān)系式.在解法四中，脫去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，運(yùn)用了平面區(qū)域的知識(shí). 否那么，假設(shè)從外表上可得到兩種結(jié)果，這顯然很難準(zhǔn)確地得出直線(xiàn) |2的方程.此題的四種不同的解法， 表達(dá)了求直線(xiàn)方程的不同的思想方法，具有一定的綜合性. 除此之外，從此題的不同解法中可以看出，只有對(duì)坐標(biāo)法有了充分的理解與認(rèn)識(shí)，并具有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，才有可能駕馭此題，從而在解法選擇的空間上，真正做到游刃有余， 左右逢源.例11不管m取什么實(shí)數(shù)，直線(xiàn)(2m1)x (

8、m 3)y (m 11)0都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn).分析：題目所給的直線(xiàn)方程的系數(shù)含有字母m，給m任何一個(gè)實(shí)數(shù)值，就可以得到一條確定的直線(xiàn)，因此所給的方程是以m為參數(shù)的直線(xiàn)系方程.要證明這個(gè)直線(xiàn)系的直線(xiàn)都過(guò)一定點(diǎn)，就是證明它是一個(gè)共點(diǎn)的直線(xiàn)系，我們可以給出m的兩個(gè)特殊值，得到直線(xiàn)系中的兩條直線(xiàn)，它們的交點(diǎn)即是直線(xiàn)系中任何直線(xiàn)都過(guò)的定點(diǎn).另一思路是由于方程對(duì)任意的 m都成立，那么就以 m為未知數(shù)，整理為關(guān)于 m的一元 一次方程，再由一元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解的條件求得定點(diǎn)的坐標(biāo).說(shuō)明：曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，即與參數(shù)無(wú)關(guān)，那么參數(shù)的同次幕的系數(shù)為0,從而求出定點(diǎn).(2)分別令參數(shù)為兩個(gè)特殊值，得方程組求出

9、點(diǎn)的坐標(biāo)，代入原方程滿(mǎn)足，那么此點(diǎn)為定 占八、例12 一年級(jí)為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學(xué)生繪畫(huà)成果展覽室.為節(jié)約經(jīng)費(fèi)，他 們利用課桌作為展臺(tái)，將裝畫(huà)的鏡框旋置桌上，斜靠展出.鏡框?qū)ψ烂娴膬A角為(90180 )鏡框中，畫(huà)的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m、b m(a b ),學(xué)生距離鏡框下緣多遠(yuǎn)看畫(huà)的效果最正確？分析：建立如下圖的直角坐標(biāo)系，AO為鏡框邊，AB為畫(huà)的寬度，O為下邊緣上的一點(diǎn)，那么可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為: xOA , OA a , OB b，在x軸的正方向向上求一點(diǎn) C，使 ACB取最大 值.因?yàn)橐暯亲畲髸r(shí)，從理論上講，看畫(huà)的效果最正確(不考慮其他因素),說(shuō)明：解決此題有兩點(diǎn)至關(guān)

10、重要：一是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解析幾何 問(wèn)題求解；二是把問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求tan ACB的最大值如果坐標(biāo)系選擇不當(dāng)，或選擇求sin ACB的最大值，都將使問(wèn)題變得復(fù)雜起來(lái).此題是一個(gè)非常實(shí)際的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，它不僅考查了直線(xiàn)的有關(guān)概念以及三角知識(shí)的結(jié)合運(yùn)用，而且更重要的是考查了把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.例13知實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足x y 40,求(x 1)2 (y 1)2的最小值.分析：此題可使用減少變量法和數(shù)形結(jié)合法兩種方法:1)廠(chǎng)(廠(chǎng)1)2 可看成點(diǎn)(x, y)與(1,1)之間的距離.說(shuō)明：利用幾何意義，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化形如；(x a)2 (y b)2的式子即可看成是兩點(diǎn)間的

11、距離，從而結(jié)合圖形解決.且A , B的坐標(biāo)分別為A( 4,2),例14直線(xiàn)y 2x是 ABC中 C的平分線(xiàn)所在的直線(xiàn),B(3,1)，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)并判斷 ABC的形狀.分析：“角平分線(xiàn)就意味著角相等，故可考慮使用直線(xiàn)的“到角公式將“角相等 列成一個(gè)表達(dá)式.說(shuō)明:故可設(shè)(a , 2a)，而不設(shè)(a , b)，這樣可減少未知數(shù)的個(gè)數(shù).(2)注意解法 2中求點(diǎn)A( 4,2)關(guān)于I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'(a,b)的求法：原理是線(xiàn)段AA'被直線(xiàn)I垂直平分.例15兩條直線(xiàn)l1：(m 3)x 2y5 3m , l2:4x (5 m)y16 ,求分別滿(mǎn)足以下條件的m的值.(1) li與I2相交;(2)

12、l1與l2平行;(3) l1與l2重合;h與l2垂直;(5) l1與l2夾角為45玄2匕1)著手.分析：可先從平行的條件 旦 如(化為a1b2a2 b2說(shuō)明：由 匕3 解得m 1或m 7,此時(shí)兩直線(xiàn)可能平行也可能重合，可45 m將m的值代入原方程中驗(yàn)證是平行還是重合.當(dāng) 時(shí)兩直線(xiàn)一定相交，此時(shí)應(yīng)45 m是m1且m 7.例16點(diǎn)R(2 , 3) , P2( 4,5)和A( 1,2)，求過(guò)點(diǎn)A且與點(diǎn)R , F2距離相等的直線(xiàn)方程.分析：可以用待定系數(shù)法先設(shè)出直線(xiàn)方程，再求之；也可從幾何意義上考察這樣的直線(xiàn)具有的特征.說(shuō)明：該題如果用待定系數(shù)法解易漏掉 x 1，即斜率不存在的情況.所以無(wú)論解什么題目

13、只要圖形容易畫(huà)出，就應(yīng)結(jié)合圖形，用代數(shù)法、幾何法配合來(lái)解.例17 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)且與直線(xiàn)3x 2y 60平行的直線(xiàn)I的方程.分析：直線(xiàn)I與直線(xiàn)3x 2y 60平行，故I的斜率可求，又I過(guò)點(diǎn)P，利用點(diǎn)斜式可得到I的方程另外由于I與直線(xiàn)平行，利用平行直線(xiàn)系方程，再由點(diǎn)P , 也可確定I的方程.說(shuō)明：解法二使用的是平行直線(xiàn)系，并用了待定系數(shù)法來(lái)解.例18過(guò)點(diǎn)P(1 ,1)且與直線(xiàn)2x 3y 10垂直的直線(xiàn)I的方程.分析：直線(xiàn)I與直線(xiàn)2x 3y 1 0垂直，故|的斜率可求，又|過(guò)點(diǎn)P，禾U用 點(diǎn)斜式可得到I的方程.另外由于I與直線(xiàn)垂直，利用垂直直線(xiàn)系方程， 再由點(diǎn)P , 也可確定I的方程.說(shuō)明：此

14、題的解二中使用垂直直線(xiàn)系方程，并使用了待定系數(shù)法.例19知直線(xiàn)I經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)I1： x 2y 0與S：3x 4y 100的交點(diǎn)，且與直線(xiàn)I3：5x 2y 30的夾角為一，求直線(xiàn)I的方程.4分析：先求h與I2的交點(diǎn)，再列兩條直線(xiàn)夾角公式，利用I與I3夾角為一，求得丨的斜4率.也可使用過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程的方法省去求交點(diǎn)的過(guò)程，直接利用夾角公式求解.說(shuō)明：此題用到兩直線(xiàn)的夾角公式，注意夾角公式與到角公式的區(qū)別。解法二還用到了過(guò)兩相交直線(xiàn)的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程，用它可以省去求交點(diǎn)的過(guò)程，但不一定這樣的運(yùn)算就簡(jiǎn)單，還要根據(jù)具體題目選擇適宜的方法。例20直線(xiàn)I: x y 2 0, 束光線(xiàn)過(guò)點(diǎn) P(0,

15、.3 1)，以120的傾斜角投射到I上， 經(jīng)I反射，求反射線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程.分析：此題解法很多如圖，入射線(xiàn)與 I交于Q點(diǎn)，那么Q點(diǎn)的坐標(biāo)易得求反射線(xiàn)的方 程只缺少一個(gè)條件，尋求這個(gè)條件的主要思路有：思路一：I的傾斜角為135，入射線(xiàn)的傾斜解為120，可由三角形外角定理得到 反射線(xiàn)的傾斜角.思路二：如圖，由光線(xiàn)的反射定律可知,PQ到I的角等于I到反射線(xiàn)的角，可得到反射線(xiàn)的斜率.思路三：由光的反射性質(zhì)，可知反射線(xiàn)所在直線(xiàn)除經(jīng)過(guò) Q點(diǎn)外，還經(jīng)過(guò)P點(diǎn)關(guān)于|的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P",求得P"的坐標(biāo)，反射線(xiàn)方程也可求得.思路四：由直線(xiàn)I為入射線(xiàn)和反射線(xiàn)所在直線(xiàn)交角的平分線(xiàn)，I上任意一點(diǎn)到入射線(xiàn)和反

16、射線(xiàn)的距離相等，也可求得反射線(xiàn)的斜率.思路五：可求得 Q(1,1)，直線(xiàn)0Q為y x，入射線(xiàn)和反射線(xiàn)關(guān)于 y x對(duì)稱(chēng)，利用反函數(shù)性質(zhì)，由入射線(xiàn)的方程可以求出反射線(xiàn)的方程.例21直線(xiàn)I: x 2y 20,試求：(1)點(diǎn)P( 2,1)關(guān)于直線(xiàn)I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)；直線(xiàn)h： y x 2關(guān)于直線(xiàn)I對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)I2的方程；(3)直線(xiàn)I關(guān)于點(diǎn)(1 , 1)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程.分析：對(duì)稱(chēng)問(wèn)題可分為四種類(lèi)型：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)； 直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn).對(duì)于利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可.對(duì)于需利用“垂直 “平分兩個(gè)條件假設(shè)在對(duì)稱(chēng)中心(軸)，及一個(gè)曲線(xiàn)方程的條件下給出，那么通常采取坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法，其次對(duì)于對(duì)稱(chēng)軸(中心)是特殊直線(xiàn)，如：坐標(biāo)軸、直線(xiàn)y x b，采取特殊代換法，應(yīng)熟練掌握.說(shuō)明：此題是求有關(guān)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、 對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的問(wèn)題，主要用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線(xiàn)垂直的斜 率關(guān)系.例22 直線(xiàn)I: x 2y 80和兩點(diǎn)A(2,0)、B( 2,4).(1)在I上求一點(diǎn)P，使PA |PB最??；在I上求一點(diǎn)P，使PB PA 最大.分析：較直接的思路是：用兩點(diǎn)間的距離公式求出PA PB的表達(dá)式，再求它的最小值這樣計(jì)算量太大也不可行我們可以求出A關(guān)于直線(xiàn)I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',從而將 AP轉(zhuǎn)化為A'P，從而當(dāng)B、P、A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PA PB才最小，對(duì)于 PB PA最大