等角螺線及其它詳解

1、等角螺線及其它?何謂等角螺線?等角螺線的方程式?趣史一那么?等角螺線上的相似性質(zhì)?黃金分割與等角螺線?等角螺線的弧長?等角螺線的再生性質(zhì)?其它螺線舉例兒何學(xué)是一門源遠(yuǎn)流長的數(shù)學(xué)分支，在十七世紀(jì)以前，兒何學(xué)一詞棋至可說是數(shù)學(xué)的同義詞，它以往的風(fēng)光可想而知。曾兒何時，因?yàn)槟承﹥?nèi)在與外在的因素，兒何學(xué)的地位似乎已逐漸沒落； 在中小學(xué)的數(shù)學(xué)教材里，兒何題材一次乂一次地 被刪除。 這種現(xiàn)象使我們感到憂心，因?yàn)樽匀画h(huán)境中隱藏著許多兒何原理，不了解這些兒何知識，不就表示我們對所生存的空間已經(jīng)愈來愈不了解了嗎？筆者從事數(shù)學(xué)教育工作多年，乂是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教科書的編者之一，對當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教材中兒何題材的過度貧乏，

2、實(shí)在感到憂心忡忡。在無力對教科書作大幅度修改的情況下，只好在正式教科書之外從事一些修繕工作?；谏鲜鱿敕?，筆者希望能以一系列的文章來介紹一些兒何題材。在內(nèi)容方面，筆者首先選上曲線。因?yàn)榍€的討論不僅是兒何學(xué)中最有趣的題材之一，而且許多曲線都會在自然現(xiàn)象中出現(xiàn)，它們的性質(zhì)也往往能提供重要的應(yīng)用。例如：天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)，不就是根據(jù)拋物線的反射性質(zhì)嗎？本文介紹等角螺線。何謂等角螺線在一片空曠的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分別站立在一個正方形的四個頂 點(diǎn)4、 3、C、D上。狗主人要甲狗緊盯著乙狗、乙狗緊盯著丙狗、丙狗緊盯著丁狗、丁狗緊盯著屮狗。一聲令下，四只狗以相同的速度同時沖向1_1標(biāo)。假定每 只

3、狗在每個時刻都是正面朝向它的LI標(biāo)，那么，這四只狗所跑過的路徑是什么形 式呢？假設(shè)四只狗在某一時刻的位置分別為川、Bi、Ci. D 見圖一，那么根據(jù)四只 AiEiCi di狗的行動一致所產(chǎn)生的對稱性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形口 ABUD勺中心Q更進(jìn)一步地，山于在川 點(diǎn)的屮狗系沖向在Bi點(diǎn)的乙狗，所以，屮狗在此一時刻的速度方向在向量上?；蛘哒f，中狗所跑的路徑在Ai點(diǎn)的切線與直線形成45的夾角。同理，乙狗所跑的路徑在Bi點(diǎn)的切線與直線OBi形成45的夾角等等。一般而言，假設(shè)一曲線在每個點(diǎn)P的切向量都與某定點(diǎn) O至此點(diǎn)P所成的向量0戸夾成 一定角，且定角不是直角，那么此曲線稱為一等角

4、螺線 (equia ngular spiral), O點(diǎn)稱為它的 極點(diǎn)(pole)。前面所提的四狗追逐問題中，每只狗所經(jīng)過的路線都是一等角螺線的一局部，此等角螺線中的定角是4(或，因?yàn)榍邢蛄靠蛇x成相反方向)，而其極點(diǎn)是 正方形口 ABCJD 的中心Q等角螺線的方程式r = 0在坐標(biāo)平面上，假設(shè)極坐標(biāo)方程式表示一等角螺線()，其極OVQVqag 爭(f (9), 9)點(diǎn)是原點(diǎn)O,定角為a (2),那么因在點(diǎn)的切向量為cos9 jf(9) sdnO J, (0) sin 9 + f(9) cos9)所以， 可得cos acos 0(尸 (0) cos0 -f(0)si n0) +sin0(尸(3)

5、 shi0 + /(0) cos 9)WWWw朋)vW)F+W)F由此可得下述結(jié)果Inf (8)7W =cot a=9cota +常數(shù)In a,(上式兩端積分)9 cot a=ae那么甲、乙、換言之，此等角螺線的極坐標(biāo)方程式為r = ae在前而所提的四狗追逐問題中，假設(shè)中心0是極點(diǎn)而點(diǎn)A的極坐標(biāo)為r =住兇+尋).r 3卩+乎)丙、丁四只狗所跑的路徑分別在下述四等角螺線上：r = ae(0-=曲(卻于),前面所提的r = ae ffcota ,就是等角螺線的極坐標(biāo)方程式。由于在導(dǎo)出此方程式的過程中曾經(jīng)引用了自然對數(shù)，所以，等角螺線也稱為對數(shù)螺線(logarithmic spiral)。趣史一貝

6、9等角螺線的性質(zhì)，笛卡兒(R. Descartes, 1596? 1630)在1638年就已經(jīng)考慮 過，但沒有獲得特殊結(jié)果。托里拆利(E. Torricelli, 1608? 1647年)卻在1645年發(fā)現(xiàn)有關(guān)等角螺線弧長的一項(xiàng)性質(zhì)，這項(xiàng)性質(zhì)在下文中將會介紹。對于等角螺線的探討,以伯努利(J. Bernoulli, 1654? 1705年)的成果最為 豐碩。他發(fā)現(xiàn) 將等角螺線作某些變換時，所得的曲線仍是全等的等角螺線。這些變換包括：求等角螺線的垂足曲線(pedal curve);求等角螺線的漸屈線(evolute):求等角螺線反演曲線(inversive curve);求等角螺線的焦線 (ca

7、ustic curve):將等角螺線以其極點(diǎn)為中心作伸 縮變換(dil at ion),由于這 些變換都可以使等角螺線再生，這個現(xiàn)象使伯努利大為欣慰，所以，臨歿遺言要將等角螺線的這些性質(zhì)刻在他墓碑上，同時題上一句話Eademmutata resurgo J(雖然某些狀況改變了，我卻保持不變)。這是繼阿基米德(紀(jì)元前三世紀(jì))之 后，另一位在墓碑上表現(xiàn)其成果的數(shù)學(xué)家。等角螺線上的相似性質(zhì)根據(jù)等角螺線的方程式r = ae 9%a,可以看出：對每個o值，都有一個對應(yīng)cot ct鼻0的r值；而且不同的0值所對應(yīng)的r值也不同(因?yàn)?o這種現(xiàn)象表示：從等角螺線上某個點(diǎn)出發(fā)，隨著0值的無限制增大與無限制減小，

8、此曲線會環(huán)繞它的極點(diǎn)形成無數(shù)多圈，一面是愈繞愈遠(yuǎn)，一面是愈繞愈聚集在極點(diǎn)cot a 00 - qqcot a QQ(cotcr 口 GHJK OIJICL 等是一系列的矩 形，這些矩形中每兩個都相似亦即：邊的比值相等，而且后一矩形 都是由其前面 的矩形挖掉一個正方形而得的。如： 口 UJDFH1由掉正方形口力而得的。此時，上列矩形的第一個頂點(diǎn)A、C E、G I、K 等會落在一等角螺線上，此等角螺線的極點(diǎn)是 AE. BF. CG.DH等共交 的點(diǎn)O。假設(shè)以o為極點(diǎn)，射線嚨為極軸，且q的極坐標(biāo)為a，7r,那么此等 角螺線的極坐標(biāo)方程式為二談呵其中。此等角螺線通常稱為黃金螺線。1十/為什么會扯上2呢

9、？原來這個數(shù)就是上述相似矩形的長邊與短邊的長度之比。因?yàn)橛?口 4BQF與口可得BD .BC = BC .CD1 + CV ; BC = BC .CDBC : CD 2 - BC : CD -1 = 01 + x/5BC CD =因爲(wèi)行 C CDY假設(shè)線段 麗上的一點(diǎn)c滿足BD :BC = BC :CD,那么稱c點(diǎn)將 麗黃金分割。當(dāng)1十辺2c點(diǎn)將麗黃金分割時，麗：而或 麗：而的值是，此數(shù)稱為黃金分1十皿2割比。假設(shè)一矩形的長邊與短邊的比值為，那么此矩形稱為黃金矩形。山黃金矩形可引出等角螺線，將矩形改成三角形，也會有同樣的結(jié)果嗎？AABC ABCD HCDE SE氏 EFG AFGH在圖中、 等

10、是一系列的等腰三角形，這些等腰三角形中每兩個都相似，而且后一等腰三角形ABCD都規(guī)定是山其前面的等腰三角形挖掉一個等腰三角形而得的。例如： JLBCadab由挖掉等腰三角形而得的。圖六此時，上列等腰三角形的頂點(diǎn) A、B、C、D E、F、G H等會落在一等 角螺線 上，此等角螺線的極點(diǎn)是麗與而的交點(diǎn) 0。假設(shè)以O(shè)為極點(diǎn)、射線.語為極軸、且A的極坐標(biāo)為，那么此等角螺線的極坐標(biāo)方程式為r = #叭。此等角螺線也稱為黃金螺線。此等角螺線也扯上1+2,其理由如下：上述的相似等腰三角形 ABC等，可證明其頂角為36。,而底角為72。,所以，=1+蟲2 o此種三角形稱為黃金三角形。等角螺線的弧長假定我們想計(jì)

11、算等角螺線r = ae 9cota上，輻角。滿足3 e那段弧的長，利用前面所提的相似性質(zhì)，我們可將區(qū)間等分成“等分，設(shè)每一等h =了印分的長為力，即匚0丄2,先考 慮所8 或甩一。時的極限存在，那么其極限值就是所欲求的弧長。 PgAFoOFi 相似，所以與。又令P表示極坐標(biāo)必 cot Q,/3 -|- ih的點(diǎn),Pn AlPnO假設(shè)這個和在上述RR+i: PQB OP : OF。eih cot a fli 此可得PDP1 4 P1P2 + -fk l-frvp e(n-l)ftcotaA7T、.(1 + gfecota 丄e2facota _(E&T)沁-1卄八=F0Pl - eh cota-

12、1 ( 假 l?0 Q y)另一方而，利用余弦泄律可求得再根據(jù)微積分中的AHospital法那么，可得由此可得lim/i-to eh cot a 21)2+4/j =tanacot aqcot aVI 4-tan2 aa/ cot Qsecalim (F0F1 + PiP2-A 0-Fn-iBt)=(1/五 eco?(小一日)cot a- 1) =a sec Q0 心a /?)n由此可知：在等角螺線r = aetata輻角滿足3 e y那段弧的長為:asecaAAA-eAA),此值等于該狐的兩端點(diǎn)向徑之差與謂ua的乘積。0 V Ct QQ時，可得,所以，極點(diǎn)可以看成是等角螺線的一個終極位置。我

13、們也因此可以問：由點(diǎn)P仇。山，0繞回極點(diǎn)0的長度為多少？這段弧是輻角 0滿足QO G 0一，所對應(yīng)的部分，它的長度可以分別考慮 0滿足0 H v/3 /?-2 0T = a,于是，可得丙=OF-secao換言之，由P點(diǎn)繞回o點(diǎn)的弧長與 丙的長相等，這就是托 里拆利所發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)見圖七。OS前段所提的性質(zhì)，7H還可作如下的解釋：設(shè)想等角螺線在直線PT 士作不滑的滾 動，那么極點(diǎn)O最后會移動到八而且在滾動過程中點(diǎn)的運(yùn)動路徑就是OTo等角螺線的再生性質(zhì)垂足曲線設(shè) C 為一曲線而 O 為一定點(diǎn)，自 O 向 C 的所有切線作垂直線，那么所有垂足 所成的圖 形稱為曲線C對定點(diǎn)0的垂足曲線。假設(shè)C是等角螺線r

14、 = ae 9cota，那么C對其極點(diǎn)的垂足曲線是一個全等的等角螺線，為什么呢？在圖七中，假設(shè)是在切線 PT 的垂足，那么- 0 + 7i/2 a0 a 7r/2r=OH = OPsma而是P的輻角設(shè)。因此可得r =OPsina= asiKQeA-Q+ACOtar a sdn o eA-Os+AA a換言之，所有H點(diǎn)構(gòu)成等角螺線焦線我們說明設(shè)C為一曲線而0為一定點(diǎn)，將過0的所有直線都對曲線 C作反射，假設(shè)反 射所得的 所有直線都是某曲線的切線，那么此曲線稱為曲線C對定點(diǎn)0的焦線。是極點(diǎn)0對于過P之 假設(shè)C是等角螺線r =那么C對其極點(diǎn)的焦線是一個全等的等角螺線 ,法線的對稱點(diǎn)，那么直線 0P對

15、等角螺線C反射，所得的直線就是直線 PR 見圖七。是點(diǎn)P的輻角設(shè)顯然， r = 0R = 2CPcos a ?而且頁 0 因此，可得r = 20P cos Q = 2a cos001Q換言之，所有R點(diǎn)構(gòu)成等角螺線r = (2acosa)ef-a)cota因?yàn)榇说冉锹菥€過R點(diǎn)的切線與直線OR的夾角等于g而直線PR正具有這項(xiàng)性質(zhì)。也就是說，直線PR就是 此等角螺線在/?點(diǎn)的切線。因此，此等角螺線就是原等角螺線r = e0cota對極點(diǎn)0的 焦線。漸屈線設(shè)C為一曲線，作C的所有法線，假設(shè)所有法線都是某曲線的切線，那么此曲線稱為曲線C的漸屈線。麗丄明如科見圖是點(diǎn)P的輻角設(shè)ON =0Pcot a, 而且

16、在過P的法線上而且0 假設(shè)c是等角螺線r cotQ,那么c的漸屈線是一個全等的等角螺線，我們說 PO因此，可得r OP cot a = (a cot Q) eA_ 手)曲“r = a cot aeA_ 2八004 a換言之，所有N點(diǎn)構(gòu)成等角螺線。因?yàn)榇说冉锹菥€過 N點(diǎn)的切線與直線ON的夾角等于a,而法線PN正具有這項(xiàng)性質(zhì)。也就是說，法線PN就是此 等角螺線在N點(diǎn)的切線。因此，此等角螺線就是C：T = ae9crta的漸屈線。曲線C的漸屈線也可定義為曲線C的每個點(diǎn)的曲率中心所成的圖形。在圖七中，該等角螺線在P點(diǎn)的曲率中心就是 N曲率半徑就是NP =OPesc a)。習(xí)題：試證圖七中的所有T點(diǎn)所成

17、的圖形仍是一個全等的等角螺線，稱為原等角螺線的漸伸線involute。其它螺線舉例除了等角螺線外，數(shù)學(xué)上還有許多不同形式的螺線，像阿基米徳螺線、雙曲螺線(hyperbolic spiral)拋物螺線(parabolic spiral)連鎖螺線(lituus)等，其中的阿基米德螺線 最為有趣，我們略作介紹如下。向徑與輻角的比值是常數(shù)時，其軌跡稱為阿基米得螺線。以極坐標(biāo)表示時，其方程 式為m其中是常數(shù)。早在古希臘時代,大數(shù)學(xué)家阿基米德就對這種螺線作過研究，并寫成一篇名為?On spirals?的作品。PQ在圖八中，PQR是一把木匠用的曲尺，其短臂的內(nèi)側(cè)之長為。，圓O的半徑也為“，A與B是圓O上兩點(diǎn)

18、，而且LAOB是直角。首先，將曲尺上的QRP與0分別置于O與3,然后將曲尺的長臂內(nèi)側(cè) 沿著圓O滾動，那么在 滾動過程中，P點(diǎn)所經(jīng)過的路徑就是阿基米德螺線 r = M的一部份。為什么呢？在圖八中，已經(jīng)滾動到與O相切于T點(diǎn)。貝V二弧彷 的長。設(shè)_ TQLA.op = 0o于是，可得r = 0P=二弧的長=a.9 (此處0系以脛 為單位)。因?yàn)橄驈脚c輻角成比例，所以，阿基米德螺線可用來將等角速運(yùn)動轉(zhuǎn)換成等速直線運(yùn)動，在圖九中，有一個心狀的圖形是山兩段全等的阿基米德螺線弧所接合而成，它們的極點(diǎn)都是 O,其上的F那么連接在一個可上下移動的桿子上。留神狀圖形以等角速繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，就可帶動上面的桿子作等速直線運(yùn)動。圖八將阿基米德螺線對其極點(diǎn)作反演變換 ( inversion), 所得的反演曲線是一雙曲螺 線，所謂 反演變換，其意義如下：設(shè)圓 0的半徑為而P是異于0的任意OP