決戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題綜合提升訓(xùn)練《三角形》(含解析)

1、?三角形?1 .,ABC等邊三角形,過點(diǎn)C作CD/AB且CD=AR連接BD交AC于點(diǎn)O(1)如圖1,求證：AC垂直平分BD(2)如圖2,點(diǎn)M在BC的延長線上,點(diǎn)N在線段CO±,且ND=NM連接BN求證：NBNM(1)證實(shí)：ABC等邊三角形,. ./ABC=/ACB=ZCAB=60°,.CD/AR且CD=AB. CD=CA=BC/ACD=ZACB=60°,. B0=DOCOLBD. AC垂直平分BD(2)由(1)知AC垂直平分BD,.NB=ND.ND=NM.NB=NM2 .等腰RtABC點(diǎn)D為斜邊AB上的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段BD上,連結(jié)CDCE彳AHLCE垂足為H,交C

2、N點(diǎn)GAH的延長線交BC于點(diǎn)F.(2)假設(shè)點(diǎn)H恰好為CE的中點(diǎn),求證：*ZCGRZCFG證實(shí)：(1)在等腰RtABO43, 點(diǎn)D為斜邊AB上的中點(diǎn),.CD=-ABCDLAB AD=一AB -AD=CD.CDLAB .ZADG=/CDE=90,.AHLCE /CGH/GCH90, /AGD/GAD=90,又./AGD=/CGH/GAD=/GCH在AADGF口CD計(jì)./ADG=ZCDE=90,AD=CD/GAD=/GCH.AD年CDE(ASA,(2) AHLCE點(diǎn)H為CE的中點(diǎn),.AC=AE,/CAH=/EAH/CAHZAFC=90,ZEAH-ZAGD=90,/AGa/CGH.ZAFG=/CGH即

3、/CGF=/CFG3.如圖,在ABO43,ADLBCMBD=DEEF垂直平分AC交AC于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E.(1)假設(shè)/BAE=32,求/C的度數(shù)；(2)假設(shè)AC=6cmDC=5c3求ABC勺周長.BDE解：(1).ADLBCBD=DEEF垂直平分AC.AB=AE=EC.C=/CAEBAE=32(180°-32°)=74°AED=37;(2)由(1)知：AE=EC=AB,.BD=DE.ABhBD=EGDE=DC.ABCW周長=ABbBCAC=ABfBD-D&AC=2DGAC=2X5+6=16(cm).4.如圖,在ABC,/BAC/ABC勺平分線相交于點(diǎn)Q過

4、點(diǎn)O作EF/AB交BC于F,交AC于E,過點(diǎn)O作ODLBC于D.(1)求證：/AOB=90°+：/C;(2)求證：ABBF=EF;ab(直(3)假設(shè)OD=a,CEhCF=2b,請用含a,b的代數(shù)式表示CEF的面積,8cef=接寫出結(jié)果).證實(shí)：(1)OA0葉分/BACm/ABC/AOB=180-ZOAB-/OBA=1800-yZCOB-yZABC180&=(/COB+NABC)=180*-(180°-ZO=(2) EF/AB/OAB=/AOE/ABO/BOF又/OAB=/EAO/OBA=/OBF/AO號/EAO/BOF=/OBF.AE=OEBF=OF.EF=OmOF

5、=ARBF;(3) .點(diǎn)O在/ACB勺平分線上,點(diǎn)O到AC的距離等于OD.Sace=(CEfCF)?OD=?2b?a=ab,故答案為：ab.5.如圖,在ABC3,AB=ACAD為BC邊上的中線,DELAB于點(diǎn)E.(1)求證：BDAD=D日AC(2)假設(shè)AB=13,BC=10,求線段DE的長.(3)在(2)的條件下,求cos/BDE勺值.證實(shí)：(1)AB=ACBD=CD.ADLBC/B=/C,DEIAB.ZDEB=/ADCBDPCADDEAD'BA?A>D曰CA(2) AB=ACBD-CD.AD£BC在RtADB中,A>g2gp2=-13252=12,?AD?BD-

6、一?AB?DE22DE=6013(3) ./ADB=ZAED=90,/BDE=/BADAnio.cos/BD蜃cos/BAd偌喏.Ab136.如圖,在ABO,AB=AC以AB為直徑作半圓Q交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E.(1)求證：B>CD(2)假設(shè)弧DE=50°,求/C的度數(shù).(3)過點(diǎn)D作DUAB于點(diǎn)F,假設(shè)BC=8,AF3BF,求弧BD的長.(1)證實(shí)：如圖,連接ADAB是圓O的直徑,ADLBD又AB=AG.BD=CD(2)解：二.弧DE50°,./EOD=50°./DAE=*DOE=25°.由(1)知,ADLBD那么/ADB=90°,

7、ABD=90°-25=65.AB=AC.C=/ABD=65°.(3)BC=8,BD=CDBD=4.設(shè)半徑OD=x.那么AB=2x.1AB=4x,g3由AF=3BF可得AF=AB=-x,BF=ADLBDDF!AB,bD=BF?AB即42=yx?2x.解得x=4.OB=OD=BD=4,.OBD1等邊三角形,弧BD的長是:亙D60兀然44兀1807 .閱讀下面材料:數(shù)學(xué)課上,老師給出了如下問題:如圖,AD為ABC線,點(diǎn)E在AC上,BE交ADT點(diǎn)F,AE=EF.求證：AC=BF.經(jīng)過討論,同學(xué)們得到以下兩種思路:思路一如圖,添加輔助線后依據(jù)SASI證彳#ADC4GDB再利用AE=E

8、F可以進(jìn)證得/G=/FAE=/AFE=/BFG從而證實(shí)結(jié)論.G圖思路二如圖,添加輔助線后并利用AE=EF可證得/G=/BFG=/AFE=/FAE再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得AD室4GDB從而證實(shí)結(jié)論.完成下面問題：(1)思路-的輔助線的作法是：延長AD至點(diǎn)G使DG=AD連接BG;思路二的輔助線的作法是：作BG=BF交AD的延長線于點(diǎn)G.(2)請你給出一種不同于以上兩種思路的證實(shí)方法(要求：只寫出輔助線的作法,并畫出相應(yīng)的圖形,不需要寫出證實(shí)過程)解：(1)延長AD至點(diǎn)G,使DG=AD連接BG如圖,理由如下：.AD為ABC中線,.BD=CD在AADCF口AGDE,?/ADO/GZB,ebd .AD

9、CGDB(SAS,.AC=BG.AE=EF,/CAD=/EFA./BFG=/G,/G=/CAD/G=/BFG.BOBF,.AC=BF.故答案為：延長AD至點(diǎn)G,使DG=AD連接BG作BG=BF交AD的延長線于點(diǎn)G,如圖.理由如下：.BG=BF,/G=/“BFG .AE=EF,/EAF=/EFA./EFA=/BFG./G=/EAFNcaw/g在AD修口AGDE,i/ADC=/GDB,.AD笫AGDB(AAS,.AC=BG.AG=BF;故答案為：作BG=BF交AD的延長線于點(diǎn)G(2)作BG/AC交AD的延長線于G如圖所示:那么/G=/CAD.AD為ABC43線,.BD=CD2cAD/在MDCF口G

10、DEJ,1ZADC=ZGDB,1cl>BD.AD小GDB(AAS,.AC=BG.AE=EF, /CAD=/EFA/BFG=/G,/G=/CAD./G=/BFG.BG=BF,.AC=BF.8 .如圖1,直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),00¥分/AO皎AB于點(diǎn)C,點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn),過點(diǎn)D作D日0C交y軸于點(diǎn)E,A0=3B0=n,且mn滿足n28n+16+|n2m=0.(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)假設(shè)點(diǎn)D為AB中點(diǎn),求0E的長；(3)如圖2,假設(shè)點(diǎn)P(x,-2x+4)為直線AB在x軸下方的一點(diǎn),點(diǎn)E是y軸的正半軸上一動點(diǎn),以E為直角頂點(diǎn)作等腰直角PEF使點(diǎn)F在第一象限

11、,且F點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)始終相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1)/n2-8n+16+|n-2n|=0, .(n-4)2+|n-2n=0, 1(n-4)2>0,|n-2nn>0, .(n-4)2=0,|n-2n=0,1. m=2,n=4, 點(diǎn)A為(2,0),點(diǎn)B為(0,4);(2)延長DE交x軸于點(diǎn)F,延長FD到點(diǎn)G使得DG=DF,連接BG設(shè)OE=x,.O什分/AOB /BO匿/AO匿45,.DE/OC /EFO/FEO=/BEG=/BOG=/AOG=45°,.OE=OF=x,在ADFWBDGhrAD=ED/ADF二NBDG,曄DG .ADgBDG(SAS, .BG=AF=2+x,/

12、G=/AFE=45°,.G=/BEG=45°,.BG=BE=4-x, -4-x=2+x,解得：x=1,.OE=1;(3)如圖2,分別過點(diǎn)F、P作FMLy軸于點(diǎn)MPN±y軸于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)E為(0,所,一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-2x+4), .PN=x,EN=n+2x-4, ./PEF=90°, /PEN/FEIM=90°,.FMLy軸, ./MFEZFEIM=90°, ./PEN=/MFE在EFMKPEN43,'/MFE:/PET；叱EPEF陣PEN(AAS,.ME=NP=x,F陣EN=n+2x-4,點(diǎn)F為(n+2x-4,n+x),

13、F點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等,n+2x-4=n+x,解得：x=4,點(diǎn)P為(4,-4).9.在等邊ABC43,線段AM為BC邊上的中線.動點(diǎn)D在直線AM上時(shí),以CD為一邊在CD的下方作等邊CDE連結(jié)BE1假設(shè)點(diǎn)D在線段AMh時(shí)如圖1,那么AD=BE填或“=",ZCAM=30g;2設(shè)直線BE與直線AM勺交點(diǎn)為O當(dāng)動點(diǎn)D在線段AM的延長線上時(shí)如圖2,試判斷AD與BE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；當(dāng)動點(diǎn)D在直線AM上時(shí),試判斷/AO配否為定值？假設(shè)是,請直接寫出/AOB勺度數(shù)；假設(shè)不是,請說明理由.解：(1)ABCWDECT是等邊三角形.AC=BCCD=CE/ACB=/DCE=60°/ACD

14、/DCB=/DCBZBCE./ACD=/BCE在ADG口BEC43產(chǎn)BCZACD=ZBCE,lcD=CE.AC挈BCE(SAS, AD=BE.ABB等邊三角形, ./BAG=60°. 線段AM為BC邊上的中線 ZCA的士/BAC2 ./CAM=30°.故答案為：=,30;(2)AD=BE理由如下：ABCCDE1B是等邊三角形.AB=BCDC=EC/ACB=/DCE=60°,./ACD=/AC3/DCB/BCE=/DCE/DCB./ACD=/BCE.AC挈BCE(SAS.AD=BE/AO提定值,/AOB=60°,理由如下：當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí),如圖1,由知

15、ACBBCE那么/CBE=/CAD=30°,圖1又/ABC=60°,.ZCBEZABC=60°+30=90,.ABB等邊三角形,線段AMBC邊上的中線,AM¥分/BAC即N網(wǎng)二/BAGTQ.,/BOA=90°-30=60°當(dāng)點(diǎn)D在線段AM勺延長線上時(shí),如圖2,ABCWDEO是等邊三角形AC=BCCD=CE/ACB=ZDCE=60°/ACBZ；DCB=/DCBZDCE ./ACD=/BCE在ACDF口BC計(jì)|AC=ECZAOZBCE,lcD=CE .ACDBCE(SAS ./CBE=/CAD=30,同理可得：/BAIW30&#

16、176;,/BOA=90°-30°=60°.10.數(shù)學(xué)課上,王老師出示了如下框中的題目.小明與同桌小聰討論后,進(jìn)行了如下解答： 1)特殊情況？探索結(jié)論：在等邊三角形ABC中,當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)D在CB點(diǎn)延長線上,且ED=EG如圖1,確定線段AE與DB的大小關(guān)系.請你直接寫出結(jié)論AE=DB; 2)特例啟發(fā),解做題目王老師給出的題目中,AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB.理由如下：如圖2,過點(diǎn)E作EF/BC交AC于點(diǎn)F,(請你完成以下解答過程) 3)拓展結(jié)論,設(shè)計(jì)新題在ABC3,AB=BC=AC=1;點(diǎn)E在AB的延長線上,AE=2;點(diǎn)D在CB的延長線上,ED=E

17、C如圖3,請直接寫CD的長1或3.A解：1如圖1,過點(diǎn)E作EF/BC交AC于點(diǎn)F,/AFE=ZACB=ZABC=60°,AEF為等邊三角形, ./EFC=/EBD=120,EF=AE.ED=EC ./EDB=/ECB/ECB=/FEC ./EDB=/FEC在BD麗FEC43,'Need:/efcZED&=ZFEC,ED=ECBD降FEC(AAS,.BD=EF,.AE=BD故答案為：=;2解答過程如下：如圖2,過點(diǎn)E作EF/BC交AC于點(diǎn)F,圖2 ABC等邊三角形, /AFE/ACB=ZABC=60.,AEF為等邊三角形,ZEFG=/EBD=120,EF=AE ED=E

18、C ./EDB=/ECB/ECB=/FEC ./EDB=/FEC在BD麗FEC43fZEED=ZEFC/EDB=/FEC,Ied=ecBD摩FEC(AAS,BD=EF, .AE=BD故答案為：AE=DB(3)解：分為四種情況：.B是AE的中點(diǎn),.ABB等邊三角形, .AB=AC=BC=1,AACE是直角三角形根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半 ./ACE=90°,/AEC=30°,.ZD=/ECB=ZBEG=30°,/DBE=/ABG=60°,：.LDEB=180°-30°-60°=90°,即DE盟直角三角形.

19、BD=2BE=230°所對的直角邊等于斜邊的一半:即CD=1+2=3.如圖4,過A作AN!BCTN,過E作EMLCDTM等邊三角形ABCEC=ED.BN=CN=4bC=,CM=M氏-CDAN/EMBANTBEM,旭郎AEMN'.ABC&長是1,AE=2,上1J2,.MN=1,.CM=MN-CN=1-二=子.CD=2CM=1;如圖5,E左k圖5/ECD>/EBC(/EBG=120°),而/ECD5能大于120°,否那么EDCT符合三角形內(nèi)角和定理,此時(shí)不存在EC=ED如圖6,./EDR/ABC/ECB>/ACB又./ABC=/ACB=60

20、,./ECD>/EDC即此時(shí)EAEC,此時(shí)情況不存在,答：CD勺長是3或1.故答案為：1或3.11.定義：如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的兩倍,那么稱這樣的三角形為“倍角三角形.(1)如圖1,ABC43,AB=AC/A=36°,求證：ABC是倍角三角形；(2)假設(shè)AABC倍角三角形,/A>/B>/C,ZB=30°,AC=W2,求ABC0積；(3)如圖2,ABC勺外角平分線AD與CB的延長線相交于點(diǎn)D,延長CAiU點(diǎn)E,使得AE=AB假設(shè)ABfAC=BD請你找出圖中的倍角三角形,并進(jìn)行證實(shí).(1)證實(shí)：AB=AC./B=/C,/A+/B+/C=180

21、°,ZA=36./B=/C=72°,/A=2/C,即ABB倍角三角形,(2)解：.一/A>/B>/C,ZB=30°,當(dāng)/B=2/C得/C=15°,過C作CHL直線AB,垂足為H,可得/CAH=45°,4.AH=CH=_AC=.BH=473,.AB=BH-AH=4/3-4,.S=-4：.當(dāng)/A=2/8或/八=2/.時(shí),與/A>/B>/C矛盾,故不存在.綜上所述,ABO積為取巧一丸(3).ADW/BAE/BAO/EAD.AB=AEAD=AD.AB挈AED(SAS,.ZADE=/ADBBD=DE又AB-AC=BD.AEfAG=

22、BD即CE=BD.CE=DE.C=/BDE=2/ADC.ADO倍角三角形.12.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,OA=OBAC=CD兩點(diǎn)A(4,0),C(0,7),點(diǎn)D在第一象PM內(nèi),/DCA=90.,點(diǎn)B在線段OC上,AB的延長線與DC的延長線交于點(diǎn)MAC與B改于點(diǎn)N.(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為：(0,4);(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)求證：C限CN解：(1)A(4,0),.OA=OB=4,B(0,4),故答案為：(0,4).(2).C(0,7),.OC=7,過點(diǎn)D作DELy軸,垂足為E,./DEG=/AO匿90,./DCA=90°,/ECD/BCAEECD/EDC=90°/BCA=/E

23、DCDE白COA(AAS,DE=OC=7,EC=OA=4,.OE=O(+EC=11, D(7,11);(3)證實(shí)：BE=OE-OB=11-4=7BE=DE .DB既等腰直角三角形, ./DBE=45°, .OA=OB ./OBA=45°,DBA=90°, ZBAN/ANB=90, /DCA=90°, ./CDNZDN690,./DNC=/ANB/CDN=/BAN ./DCA=90°, /ACM/DCN=90,DC即ACM(ASA,.CM=CN13.如圖,在ABCp,BDLAC垂足為C,且/Av/C,點(diǎn)E是一動點(diǎn),其在BC上移動,連接DE并過點(diǎn)E

24、作EFLDE點(diǎn)F在AB的延長線上,連接DF交BC于點(diǎn)G(1)請同學(xué)們根據(jù)以上提示,在上圖根底上補(bǔ)全示意圖.,求/C的度數(shù).(2)當(dāng)ABD1<FDEi:等,且AD=FE,ZA=30°,/AFD=40(2) DELERBD±AC ./DEF=/ADB=90°.ABDWDEFi:等, .AB=DF,又AD=FE,/ABD=/FDE.BD=DE在RtABD中,/ABD=90°-ZA=60° ./FDE=60°. ./ABD=/BDF+ZAFD ./AFD=40°, ./BDF=20°.,/BDE=ZBDF+ZFDE=

25、20°+60=80./DBE=/BED=180°/BDE=50°在RtBDC中,ZC=90°-ZDBE=90°-50°=4014.如圖.CP是等邊ABC勺外角/ACE勺平分線,點(diǎn)D在邊BC上,以D為頂點(diǎn),DA為條邊作/AD已60°,另一邊交射線.河F.(1)求證.AD=FD;聯(lián)結(jié)AF,當(dāng)ADF的面積為,求BD的長.證實(shí)：(1)如圖1,連接AF,圖1.一/ACB=60,(2)假設(shè)AB=2,BD=x,DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(3)ZACE=120,.CP平分/ACE./ACP=/PCE=60, ./ADF=/ACP=60, A、DCF四點(diǎn)共圓, ./AFD=/ACB=60°, ./ADF=/AFD=60°, .ZDAF=60°,ADF等邊三角形,.AD=FR(2)如圖2,過點(diǎn)A作AHLBC.ABB等邊三角形,AHLBC,AB=2,BH=1,AH=三BH=二.HD=BD-BH=x-1,DF=掠"五年h)%,y=V/g+4(3).ADF是等邊三角形,且ADF的面積為2=x2x+415