考研數(shù)三真題及解析

1、2001年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一測(cè)試數(shù)學(xué)三試題一、填空題設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為QALK,其中Q是產(chǎn)出量,L是勞動(dòng)投入量,K是資本投入量,而Aa,B均為大于零的參數(shù),那么當(dāng)Q=1時(shí)K關(guān)于L的彈性為(2)某公司每年的工資總額比上一年增加20%的根底上再追加2百萬(wàn).假設(shè)以W表示第t年的工資總額(單位：百萬(wàn)元),那么Wt滿足的差分方程是k111設(shè)矩陣A且秩(A)=3,那么k=1k1111k1111k設(shè)隨機(jī)變量X,Y的數(shù)學(xué)期望都是2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為.那么根據(jù)切比雪夫不等式PX-Y62、(5)設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(0,0.2),而Xi,X2,LX15是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,那么隨機(jī)變量YX；L

2、22X11LX；0X2服從分布,參數(shù)為二、選擇題(1)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)在x=a處連續(xù),又limLx)1,那么()xaxa(A) x=a是f(x)的極小值點(diǎn).(B) x=a是f(x)的極大值點(diǎn).(C) (a,f(a)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).(D) x=2不是f(x)的極值點(diǎn),(a,f(a)也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn).1 2一(x1),0x1設(shè)函數(shù)g(x)f(u)du,其中f(x)2 ,那么g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)()1(x1),1x23(A)無(wú)界(B)遞減(C)二不連續(xù)(D)連續(xù)anai2a13a14ai4a13a12a110001設(shè)Aa21a22a23a24a24a23a22a210

3、100,B,Pa31a32a33a34a34a33a32a310010a41a42a43a4444a43a42a4110000010,1MP2其中A可逆,那么B1等于()010000011111(A)APP2(B)PAP2(C)PP2A(D)P2Ap.設(shè)A是n階矩陣,n是n維列向量.假設(shè)秩秩(A),那么線性方程組()(A)AX=a必有無(wú)窮多解(B)AX=a必有惟一解A(C) T0X0僅有零解y(D) A0X一0必有非零解.y(5)將一枚硬幣重復(fù)擲n次,以沖口Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),那么片口Y的相關(guān)系數(shù)等于()(A)-1(B)0(C)1(D)12三、(此題總分值5分)u=f(x,y,

4、z)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),又函數(shù)y=y(x)及z=z(x)分別由下歹IJ兩式確定：xyxxzsint,fduexy2和edt,求0tdxxCxelim()xxcimf(x)f(x1),求c的值.四、(此題總分值6分)f(x)在(？oo,+oo)內(nèi)可導(dǎo),且limf(x)x(此題總分值6分)求二重積分y1Dy=?1及x=1圍成的平面區(qū)域1(x2y2)x&dxdy的值,其中D是由直線y=x,六、(此題總分值7分)拋物線y2pxqx(其中p0)在第一象限與直線x+y=5相切,且此拋物線與x軸所圍成的平面圖形的面積為S.(1)問p和q為何值時(shí),S到達(dá)最大？(2)求出此最大值.七、(此題總分值6分)1設(shè)f(

5、x)在區(qū)間0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且滿足f(1)kjxe1xf(x)dx,(k1).證實(shí)：存在士(0,1),使得f()2(11)f().八、(此題總分值7分).一n1x_efn(x)滿足fn(x)fn(x)xe(n為正整數(shù))且fn(1)一,求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)nfn(x)之和.九、(此題總分值9分)11a設(shè)矩陣A1a1a1111,線性方程組AX=0有解但不唯一,試求:a的值；設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣,(A)=n,Aj是Aaijnn中元素aij的代數(shù)余子式(i,j=1,2,n),二次型f(X1,X2,LXn)nAjj1A(2)正交矩陣Q,使QTAQ為對(duì)角矩陣十、(此題總分值8分)(X1,X2,LX

6、n),把f(X1,X2,LXn)Aj一-AjXiXj.寫成矩陣形式,并證實(shí)二次型f(X)的矩陣為A(2)二次型g(X)XTAX與f(X)的標(biāo)準(zhǔn)形是否相同？說(shuō)明理由.H、(此題總分值8分)生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝,每箱的重量是隨機(jī)的,假設(shè)每箱平均重50千克,標(biāo)準(zhǔn)差為5千克.假設(shè)用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試?yán)弥醒霕O限定理說(shuō)明每輛車最多可以裝多少箱,才能保證不超載的概率大于.(2)=,其中(X)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)).十二、(此題總分值8分)設(shè)隨機(jī)變量X和Y對(duì)聯(lián)和分布是正方形G=(x,y)|1x3,10y03上的均勻分布,試求隨機(jī)變量U=X?Y的概率密度p(u).2001年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一

7、測(cè)試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題【答案】一【使用概念】設(shè)yfx在x處可導(dǎo),且fx0,那么函數(shù)y關(guān)于x的彈性在x處的值為1【詳解】由QALK,當(dāng)Q1時(shí),即ALK1,有KAL,于是K關(guān)于L的彈性為:【答案】1.2Wt12【詳解】Wt表示第t年的工資總額,那么Wt1表示第t1年的工資總額,再根據(jù)每年的工資總額比上一年增加20%的根底上再追加2百萬(wàn),所以由差分的定義可得Wt滿足的差分方程是:(3)【答案】-3【詳解】方法1：由初等變換(既可作初等行變換,也可作初等列變換).不改變矩陣的秩,故對(duì)A進(jìn)行初等變換可見只有當(dāng)k=?3時(shí),r(A)=3.故k=?3.方法2：由題設(shè)r(A)=3,故應(yīng)有四階矩陣行列式A0

8、.由解得k=1或k=?3.當(dāng)k=1時(shí),可知,此時(shí)r(A)=1,不符合題意,因此一定有k=?3.1【答案】一12【所用概念性質(zhì)】切比雪夫不等式為:PXE(X)D(X)2期望和方差的性質(zhì)：E(XY)EXEY;D(XY)DX2cov(X,Y)DY【詳解】把XY看成是一個(gè)新的隨機(jī)變量,那么需要求出其期望和方差E(XY)EXEY22又相關(guān)系數(shù)的定義:(X,Y)cov(X,Y)cov(X,Y)(X,Y)DX；DY(0.5),1、,4所以由切比雪夫不等式:(5)【答案】F；(10,5)【所用概念】1.F分布的定義：F彳匕其中X2(n1)1Y2(1)_22 .分布的定義：假設(shè)乙,L,Zn相互獨(dú)立,且都服從標(biāo)準(zhǔn)

9、正態(tài)分布n_22N(0,1),那么Zi(n)i13 .正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化的定義：假設(shè)ZN(u,2),那么uN(0,1)_._2【詳解】由于Xi:N(0,22)i1,2,L,15,將其標(biāo)準(zhǔn)化有Xi02Xi-?。篘(0,1),從而根據(jù)卡方分布的定義由樣本的獨(dú)立性可知,X1022X112X1522相互獨(dú)立.10,第二個(gè)自由度為5的F分布.故,根據(jù)F分布的定義故Y服從第一個(gè)自由度為二、選擇題【答案】B【詳解】、一,f(x)萬(wàn)法1：由lim1,知xaxa又函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)在xa處連續(xù),根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義,左極限等于右極限等于函即f(a)0,f數(shù)且f(x0)0,數(shù)在這一點(diǎn)的值,所以f(a)0,于是有(

10、a)10,根據(jù)判定極值的第二充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在x0處具有二階導(dǎo)f(x0)0,當(dāng)f(x0)0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處取得極大值.f(x)的極大值點(diǎn),因此,正確選項(xiàng)為(B).方法2：由lim2xaxa1,及極限保號(hào)性定理：如果limfxxX0A,且A0(或A0),那么存在常數(shù)0,使得當(dāng)0時(shí),有fx0(或x0),知存在xa的去心鄰域,在此去心鄰域內(nèi)ux)xa0.于是推知,在此去心鄰域內(nèi)當(dāng)a時(shí)f(x)0；當(dāng)f(x)0.又由條件知f(x)在xa處連續(xù),由判定極值的第一充分條件:設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù),且在x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo),假設(shè)xXo,小時(shí),f(x)Xo,Xo時(shí),f(x)0,那么f(x)

11、在x0處取得極大值,知f(a)為f(x)的極大值.因此,選(B).【答案】(D)【詳解】應(yīng)先寫出g(x)的表達(dá)式.x1時(shí),f(x)x2時(shí),f(x)1/22(x13(x1),有1),1x6g(x)2312x,由于limg(x)limx1x1如g(x)21g(1)261所以由函數(shù)連續(xù)的定義,知g(x)在點(diǎn)x1處連續(xù),所以g(x)在區(qū)間0,2內(nèi)連續(xù),選(D).同樣,可以驗(yàn)證A、B不正確,0x1時(shí),g(x)13-X61-X2121-x2-0,單調(diào)增,所22一.21x2時(shí),g(x)-x365-x一與選項(xiàng)(A)無(wú)界矛盾.6以B遞減錯(cuò)；同理可以驗(yàn)證當(dāng)1g0gXg2,即0g【答案】C21、一一1-x10,單調(diào)

12、增,所以3【詳解】由所給矩陣A,B觀察,將A的2,3列互換,再將A的1,4列互換,可得B.根據(jù)初等矩陣變換的性質(zhì),知將A的2,3列互換相當(dāng)于在矩陣A的右側(cè)乘以E23,將A的1,4列互換相當(dāng)于在矩陣A的右側(cè)乘以E14,即AE23E140B,其中E232300001010000101000由題設(shè)條件知RE14,P2E23,因此BAP2P.由于對(duì)初等矩陣Ej有,Eij1Ej,故P11P,P21P2.因此,由BAP2Pl,及逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律,有_11_111BAP2PPP2APP2A【答案】D【詳解】由題設(shè),A是n階矩陣,是n維列向量,即維行向量,可知秩Ann1,即系數(shù)矩陣非列滿秩,0由齊次線性方程組

13、有X非零解的充要條件：系數(shù)矩陣非列或行滿秩,可知齊次線性方程組0必有非零解.y【答案】AXYn,從而YnX,【詳解】擲硬幣結(jié)果不是正面向上就是反面向上,所以故DYD(nX)DX22由萬(wàn)差的定義：DXEX2EX2,所以2nEXEX22nEX(EX)2EX2(EX)2DX)由協(xié)方差的性質(zhì):cov(X,c)c為常數(shù))；cov(aX,bY)abcov(X,Y)所以cov(X,Y)由相關(guān)系數(shù)的定義,得三【變限積分求導(dǎo)公式】在exy在ex將其代入cov(X1X2,Y)cov(X,nX)(X,Y)f(x)a根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式,duffdxxydydxcov(X1,Y)cov(X2,Y)cov(X,n)co

14、v(X,Y).DX；DYcov(X,X)0DXDXDX1.DXDXg(t)dtxgf(x)f(x)fdz司.(*)2兩邊分別對(duì)x求導(dǎo),得sntdt兩邊分別對(duì)tsin(xz)(1xz(*)式,得四【詳解】由于lim(1x)xxx求導(dǎo),得dx即dxex(xz)sin(xz)lim(x2cx)x(把xc寫成xc2c)lim(xc2c)xcxc2cx2cxc(把x寫成二生)2cxc7limx(1xc2c產(chǎn)xc2cxxc(利用募函數(shù)的性質(zhì)mnmna(a)limxln(1e2cxxcT-c2c-,_)2cxc(利用對(duì)數(shù)性質(zhì)elnf(x)f(x)limx2cxlnxcexc2c(1)2cxc(利用對(duì)數(shù)性質(zhì)l

15、nf(x)g(x)g(x)lnf(x)2cx,limlnxxcexc(1型)五xc(利用yex函數(shù)的連續(xù)性,limef(x)xlimf(x)ex)limxe2cxlimlnxcxxc(1至產(chǎn)(當(dāng)各局部極限均存在時(shí),limf(x)xg(x)limxf(x)ximg(x).2cxlimxxcelnlimxxc(12c)左xc(利用ylnx函數(shù)的連續(xù)性,2clnee利用lim(1x1)xe)x2celne1)又由于f(x)在內(nèi)可導(dǎo),故在閉區(qū)間x1,x上連續(xù),在開區(qū)間(x1,x)內(nèi)可導(dǎo),那么又由拉格朗日中值定理,有左右兩邊同時(shí)求極限,于是imf(x)f(x1)limf()e,由于x1x,x趨于無(wú)窮大時(shí)

16、,也趨向于無(wú)窮大由題意,五【詳解】lim(2)xlimf(x)f(x1),從而e2cxxcx積分區(qū)域如下圖,可以寫成其中,ydxdyD111dyyydx11y(1y)dy2-;3于是六【詳解】方法1:依題意知,拋物線如下圖,px2qxx(pxq)x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:X0,x2根據(jù)定積分的定義,面積S為q2,S0PpxqxdxPx3334(注:6p2xndxxn1C)n1因直線xy5與拋物線ypx2.qx相切,故它們有唯一公共點(diǎn)求其公共解,消去y,得px2(q1)x50,由于其公共解唯一,那么該一元二次方程只有唯一解,故其判別式必為零,即L12斛付p(q1).20將p代入S中,得根據(jù)函數(shù)除法的求

17、導(dǎo)公式,根據(jù)駐點(diǎn)的定義,令S(q)0,有q0,得唯一駐點(diǎn)q3.當(dāng)1q3時(shí),S(q)0;q3時(shí),S(q)0.故根據(jù)極值判定的第一充分條件知,q3時(shí),S(q)取唯一極大值,即最大值.225從而最大值為SS(3).32方法2：設(shè)拋物線ypx2qx與直線xy5相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),切點(diǎn)既在拋物線上,也在2直線上,于是滿足萬(wàn)程有ypx0qx0和x0y05.拋物線與直線在切點(diǎn)處的切線斜率是相等的,即一階導(dǎo)數(shù)值相等.在ypx2qx左右兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得y2pxq,在xy5左右兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得y1,把切點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)代入,得2由xy05y5x0,將兩結(jié)果代入ypx.qx.得整理得將p代入S中

18、,得根據(jù)函數(shù)除法的求導(dǎo)公式,根據(jù)駐點(diǎn)(即使得一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn))的定義,令S(q)0,有q0,得唯一駐點(diǎn)q3.當(dāng)1q3時(shí),S(q)0;q3時(shí),S(q)0;故根據(jù)極值判定的第一充分條件知,q3時(shí),S(q)取唯一極大值,即最大值225從而最大值為SS(3)32七【詳解】將要證的等式中的換成x,移項(xiàng),并命問題轉(zhuǎn)化為證在區(qū)間(0,1)內(nèi)(x)存在零點(diǎn).將看成一個(gè)微分方程,用別離變量法求解.由兩邊積分得更區(qū)dx(11)dxf(x)xx11利用一dxInxC及xndxxn1C,得xn1Inf(x)xInxC1xexf(x)C,命F(x)及積分中值定理(如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間b得f(x)dxaf()(ba)

19、(a且F()ef(),F那么F(x)在,1上連續(xù),在f()(1方程,其中得其通解為CexCexlnf(x)lnf(x),lxxxexf(x),由a,b上連續(xù),那么在積分區(qū)間a,b上至少存在一個(gè)點(diǎn),使b),知至少存在一點(diǎn)1(叫)0使11-ef(1).把f(1)ef(,1)內(nèi)可導(dǎo),由羅爾中值定理知,1)f(),由條件可見fn(x)fn(x)xn1ex,這是以P(x)1,q(x)代入通解公式)代入,那么至少存在一點(diǎn)(,1)0,11使得fn(x)為未知函數(shù)的一階線性非齊次微分由條件fn(1)e.又fn(1)n0,故fn(x)記S(x)nx二,那么ann.斗1limn斗1lim-n-1,n1n那么其收斂

20、半徑為R間為(1,1).(1,1)時(shí),根據(jù)募級(jí)數(shù)的性質(zhì),可以逐項(xiàng)求導(dǎo),S(x)x2L故根據(jù)函數(shù)積分和求導(dǎo)的關(guān)系f(x)dxf(x)C,又由于S(0)0n0020,所以即有x得S(x)dxS(x)S(x)S(0)S(x)S(0)x0S(x)dxln(1x),ln(1x),x(1,1)x1時(shí),1處,即1)n,一八,一工,_,ln2,級(jí)數(shù)在此點(diǎn)處收斂,而右邊函數(shù)連續(xù),因此成立的范圍可擴(kuò)大于是fn(x)exln(1x),x1,1)r(A)r(A)n3,將增廣n1九【詳解】(1)線性方程組AX有解但不唯一,即有無(wú)窮多解矩陣作初等行變換,得由于方程組AX有解但不唯一,所以r(A)r(A)3,故a=?2(2

21、)由(1),有由故A勺特征彳t為10,23,33.17273當(dāng)10時(shí),于是得方程組(0EA)x0的同解方程組為可見,r(0EA)2,可知根底解系的個(gè)數(shù)為nr(0EA)321,故有1個(gè)自由未知量,選x2為自由未知量,取x21,解得對(duì)應(yīng)的特征向量為1(1,1,1T.于是得方程組(3EA)x0的同解方程組為可見,r(3EA)2,可知根底解系的個(gè)數(shù)為nr(3EA)321,故有1個(gè)自由未知量,選x1為自由未知量,取x11,解得對(duì)應(yīng)的特征向量為2(1,0,1)T.當(dāng)13時(shí),于是得方程組(3EA)x0的同解方程組為可見,r(3EA)2,可知根底解系的個(gè)數(shù)為nr(3EA)321,故有1個(gè)自由未知量,選x2為自

22、由未知量,取x22,解得對(duì)應(yīng)的特征向量為3(1,2,1)T.故這三個(gè)不同特征值的特征向量相互正由于A是實(shí)對(duì)稱矩陣,其不同特征值的特征向量相互正交,交,之需將1,2,3單位化,其中,1.121212-3,2令,12(1)22,3.(1)222(1)26300T1那么有QAQQAQ030000十【詳解】(1)由題設(shè)條件,其中()的理由：A是可逆的實(shí)對(duì)稱矩陣,故(A1)T(At)1A1,因此由實(shí)對(duì)稱的定義知,A1也是實(shí)對(duì)稱矩陣,又由伴隨矩陣的性質(zhì)AAAE,知AAA1,因此A也是實(shí)對(duì)稱矩陣,TAA,故()成立.dT1(2)由于AAAAEA,所以由合同的定義知A與A合同.由實(shí)對(duì)稱矩陣A與B合同的充要條件：二次型xTAx與xTBx有相同的正、負(fù)慣性指數(shù).可知,g(X)XtAX與f(X)有相同的正、負(fù)慣性指數(shù),故它們有相同的標(biāo)準(zhǔn)形.十一【應(yīng)用定理】(i)期望的性質(zhì)：E(XY)EXEY；獨(dú)立隨機(jī)變量方差的性質(zhì)：假設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)