2020-2021中考數(shù)學(xué)相似的綜合復(fù)習(xí)含答案

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)相似的綜合復(fù)習(xí)含答案、相似1.閱讀下列材料，完成任務(wù):自相似圖形定義：若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與它相似的圖形，則稱這個(gè)圖形是自相似圖形.例如：正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是ABBCCDDA邊的中點(diǎn)，連接EG,HF交任務(wù):（1）圖1中正方形于點(diǎn)O,易知分割成的四個(gè)四邊形AEOKEBFQOFCGHOGD均為正方形，且與原正方形相似，故正方形是自相似圖形.ABCD分割成的四個(gè)小正方形中，每個(gè)正方形與原正方形的相似比為（2）如圖2,已知4ABC中，/ACB=90,AC=4,BC=3,小明發(fā)現(xiàn)ABC也是自相似圖形”，他的思路是：過點(diǎn)C作CD±AB于點(diǎn)D,則

2、CD將4ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形.已知ACgABC,則4ACD與4ABC的相似比為;（3）現(xiàn)有一個(gè)矩形ABCD是自相似圖形，其中長AD=a,寬AB=b（a>b）.請從下列A、B兩題中任選一條作答.A:如圖3-1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個(gè)全等矩形，且與原矩形都相似，則a=（用含b的式子表示）；如圖3-2若將矩形ABCD縱向分割成n個(gè)全等矩形，且與原矩形都相似，則a=（用含n,b的式子表示）；B:如圖4-1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個(gè)全等矩形，再將剩余的部分橫向分割成3個(gè)全等矩形，且分割得到的矩形與原矩形都相似，則a=（用含b的式子表示）；如圖4-2,若將矩形A

3、BCD先縱向分割出m個(gè)全等矩形，再將剩余白部分橫向分割成n個(gè)全等矩形，且分割得到的矩形與原矩形都相似，則a=（用含m,n,b的式子表不）.I【答案】（1）上【解析】【解答】(解：(1)點(diǎn)H是AD的中點(diǎn),，AH=AD,正方形AEOH正方形ABCD,，相似比為：筋=-；故答案為：二；AB=5,(2)在RABC中，AC=4,BC=3,根據(jù)勾股定理得,ACd.ACD與4ABC相似的相似比為：用。,彳故答案為：5；(3)A、二.矩形ABEM矩形FECD.AF:AB=AB:AD,即上a：b=b：a,a=b;故答案為：.-a-的J每個(gè)小矩形都是全等的，則其邊長為b和打a,I貝Ub：na=a：b,1 .a=n

4、b;故答案為：.B、如圖2,圖二由可知縱向2塊矩形全等，橫向3塊矩形也全等,I2 .DN=%，I、當(dāng)FM是矩形DFMN的長時(shí),矩形FMNDs矩形ABCq3 .FD:DN=AD:AB,即FD：Jb=a：b,1解得FD=la,.AF=a-a=a,矩形GABF+。矩形ABCD,.AG:AB=AB:AD1即Ja：b=b：a得：a=5b;n、當(dāng)DF是矩形DFMN的長時(shí),矩形DFMNs矩形ABCq.FD:DN=AB:AD即FD：3b=b:a解得FD=3日，序3g-序-AF=a-軸=3a,M.AG=-=3a,矩形GABF+。矩形ABCD,故答案為：/或3;如圖3,由可知縱向m塊矩形全等，橫向n塊矩形也全等,

5、.DN=b,I、當(dāng)FM是矩形DFMN的長時(shí),矩形FMNDs矩形ABCD.FD:DN=AD:AB,即FD：b=a：b,1解得FD=a,AF=a-a,n、當(dāng)DF是矩形DFMN的長時(shí),.AG=a,矩形GABH。矩形ABCD,.AG:AB=AB:AD矩形DFMNs矩形ABCD.FD:DN=AB:AD4即FD：刈b=b:aw解得FD=/M, -AF=a-,.AG=, 矩形GABH。矩形ABCD, .AG:AB=AB:AD即tmid:b=b：a,【分析】由題意可知，用相似多邊形的性質(zhì)即可求解。相似多邊形的性質(zhì)是；相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的對應(yīng)邊的比等于相似比。(1)由題意知，小正方形的邊長等

6、于大正方形的邊長的一半，所以其相似比為:；(2)在直角三角形BC中，由勾股定理易得AB=5,而CD二AB,所以用面積法可求得CbCD=5,所以相似比="='=&,L74=一bd(3)A、由題意可得，解得-6；ajjb同理可得；1J解得，a=、位；B、最小的矩形的長和寬與大矩形的場和寬的對應(yīng)方式有兩種，所以分兩種情況來解:FDAL1iiJb1塔.帆?，解得FD=,則I、當(dāng)FM是矩形DFMN的長時(shí)，由題意可得成比例線段,AF的長也可用含a的代數(shù)式表示，而AG=GF=AF,再根據(jù)矩形GABHs矩形ABCD,得至U相對應(yīng)的比例式即可求得a=、b;堂n、當(dāng)DF是矩形DFMN的長

7、時(shí)，同理可得a='；b;同中的兩種情況類似。2.設(shè)C為線段AB的中點(diǎn)，四邊形BCDE是以BC為一邊的正方形.以B為圓心，BD長為半徑的。B與AB相交于F點(diǎn)，延長EB交。B于G點(diǎn)，連接DG交于AB于Q點(diǎn)，連接AD.G求證：(1) AD是。B的切線；(2) AD=AQ;(3) BG=CF?EG【答案】(1)證明：連接BD,G四邊形BCDE是正方形，/DBA=45；/DCB=90，即DC±AB,.C為AB的中點(diǎn)，.CD是線段AB的垂直平分線，.AD=BD,/DAB=ZDBA=45；/ADB=90；即BDXAD,.BD為半徑，.AD是。B的切線(2)證明：BD=BG,/BDG=ZG,

8、1.CD/BE,/CDG=ZG,g/G=ZCDG=ZBDG=二/BCD=22.5,°/ADQ=90-/BDG=67.5，/AQB=ZBQG=90-/G=67.5,/ADQ=ZAQD,.AD=AQ(3)證明：連接DF,在BDF中，BD=BF,/BFD=ZBDF,又/DBF=45,/BFD=ZBDF=67.5,° /GDB=22.5,°在RtADEF與RtAGCD中， /GDE=ZGDB+/BDE=67.5=ZDFE,/DCF=ZE=90； RtADCMRtAGED,CFCL.印EG,又CD=DE=BCBC2=CF?EG【解析】【分析】(1)連接BD,要證AD是圓B的

9、切線，根據(jù)切線的判定可知，只須證明/ADB=緲'即可。由正方形的性質(zhì)易得BC=CD,/DCB=/DCA=',aI./DBC=/CDB=F5,根據(jù)點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)可得BC=CD=AC所以可得/ADC=$,貝(J/ADB='。,問題得證；(2)要證AQ=AD,需證/AQD=/ADQ。由題意易得/AQD=/"-/G,/ADQ=為-ZBDG,根據(jù)等邊對等角可得ZG=ZBDG,由等角的余角相等可得/AQD=/ADQ,所以AQ=AD;(3)要證乘積式成立，需證這些線段所在的兩個(gè)三角形相似，而由正方形的性質(zhì)可得CD=DE=BC所以可知BC、CF、EG分別在三角形DCF和三角

10、形GED中，連接DF,用有兩對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可得證。3.如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),拋物線y=ax2+bx+4過點(diǎn)B,C兩點(diǎn)，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為D(-2,0),點(diǎn)P是線段CB上的動點(diǎn)，設(shè)CP=t(0vtv10)可qQjV(1)請直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)P作PE!BC,交拋物線于點(diǎn)E,連接BE,當(dāng)t為何值時(shí)，/PBE=ZOCD?(3)點(diǎn)Q是x軸上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM/BQ,交CQ于點(diǎn)M,作PN/CQ,交BQ于點(diǎn)N,當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，請求出t的值.【答案】(1)解：在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4,

11、C(0,4),四邊形OABC為矩形，且A(10,0),.B(10,4),/仇W+1皿+4=4把B、D坐標(biāo)代入拋物線解析式可得1U:為0,13.65b=-解得J,，拋物線解析式為y=rx2+jx+4；i(2)解：由題意可設(shè)P(t,4),則E(t,6t2+m|一.PB=10-t,PE=8t2+3t+4-4=啟t2+Jt, /BPE=/COD=90°,當(dāng)/PBE=/OCD時(shí)，則PB上OCD,PEPB 必慶，即BP?OD=CO?PE.2(10-t)=4(&t2+3t),解得t=3或t=10(不合題意，舍去)， 當(dāng)t=3時(shí)，/PBE=/OCD;當(dāng)/PBE=/CDO時(shí)，貝MPB&

12、AODC,PE掰 慎血，即BP?OC=DO?PE,.4(10-t)=2(&t2+3t),解得t=12或t=10(均不合題意，舍去)綜上所述.,當(dāng)t=3時(shí)，/PBE=/OCD(3)解：當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，則ZPMC=ZPNB=ZCQB=90°,PM=PN, /CQO+/AQB=90°, /CQO+/OCQ=90°,/OCQ=/AQB, RtACOgRtAQAB,忸叫力0月占,即OQ?AQ=CO?AB,設(shè)OQ=m,則AQ=10-m,當(dāng)m=2時(shí)，CQ=1.m(10-m)=4x4解得m=2或m=8,sinZBCQ=6I,sin/CBQ=.PM=PC?sin

13、ZPCQ=5t,PN=PB?sin/CBQ=5(10-t),(10-t),解得t=當(dāng)m=8時(shí)，同理可求得t=3,J626，當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，t的值為J或3【解析】【分析】(1)先求出拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)矩形ABCO及點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式求出二次函數(shù)解析式。(2)設(shè)P(t,4),利用拋物線的解析式表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，可求出PRPE的長，再分情況討論：當(dāng)/PBE=/OCD時(shí)，可證PB&4OCD,利用相似三角形的性質(zhì)，的長BP?OD=CO?PE建立關(guān)于t的方程，求出符合題意的t的值；當(dāng)/PBE=

14、/CDO時(shí)，可得PBEAODC,利用相似三角形的性質(zhì)得出BP?OC=DO?PE,建立關(guān)于t的方程，求出t的值，綜上所述就可得出符合題意的t的值。(3)當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，貝U/PMC=/PNB=/CQB=90°,PM=PN,再證明RtACOQsRtAQAB,利用相似三角形的性質(zhì)得出OQ?AQ=CO?AB,設(shè)OQ=m,貝UAQ=10-m,建立關(guān)于m的方程，求出m的值，再分別根據(jù)m的值求出COBQ的長，再利用解直角三角形用含t的代數(shù)式分別表示出PM、PN的長，由PM=PN可得出關(guān)于t的方程，再解方程，就可求出符合題意的t的值。r=-x#84.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線&quo

15、t;分別交x軸，y軸于點(diǎn)A,C,點(diǎn)D(m,4)在直線AC上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，且OB=2OC.點(diǎn)E是y軸上任意一點(diǎn)，連結(jié)DE,將線段DE按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90符線段DG,作正方形DEFG記點(diǎn)E為(0,n).(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)記正方形DEFG的面積為S,求S關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)DF/x軸時(shí)，求S的值；(3)是否存在n的值，使正方形的頂點(diǎn)F或G落在4ABC的邊上？若存在，求出所有滿足條彳的n的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)解：二點(diǎn)D(m,4)在直線AC上；3,4)4=&m+8,解得m=-3,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-(2)解：如圖1,過點(diǎn)D作DHy軸于H,貝UEH=|n-4|.S=DE

16、?=EH2+DH2=(n-4)2+9;當(dāng)DF/x軸時(shí)，點(diǎn)H即為正方形DEFG的中心,2+9=18EH=DH=3,n=4+3=7,.S=(74)(3)解：.OB=2OC=16,B為(16,0),，BC為：當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，如圖2,作DMy軸于M,FNI±y軸于N.ZDME±ZENF=90上TO=/EFNDE=EF在ADEM與EFN中，.ADEMAEFN(AAS),.NF=EM=n-4,EN=DM=3F為(n-4,n-3)a31-n-3=-(n-4)+8,n=3；當(dāng)點(diǎn)G落在BC邊上時(shí)，如圖3,作DMy軸于M,GN，DM軸于N,AB圖31,由同理可得ADEMAGDN,，GN=

17、DM=3,DN=EM=n-4,點(diǎn)G縱坐標(biāo)為-x,1.x=14,1.DN=14+3=17=n-4,.n=21;當(dāng)點(diǎn)F落在AB邊上時(shí)，如圖4,作DMy軸于M,圖4由同理可得DEM0EFO,OE=DM=3,即n=3;當(dāng)點(diǎn)G落在AC邊上時(shí)，如圖5.CECL8-n3二I-/CDE土AOC=90；/DCENOCA,/.DCEAOCA,.AC龐，.川8,n=顯然，點(diǎn)G不落在AB邊上，點(diǎn)F不落在AC邊上，故只存在以上四種情況.-箕十十"、鏟皿占十少綜上可得，當(dāng)n=J或21或3或4時(shí)，正萬形的頂點(diǎn)F或G洛在ABC的邊上.【解析】【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)D在直線AC上；于是將D(m,4)代入直線AC的解析式

18、得出m=-3，從而得出D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1,過點(diǎn)D作DHLy軸于H,根據(jù)和y軸垂直的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及y軸上兩點(diǎn)間的距離，則DH=|n-4,根據(jù)正方形的面積等于邊長的平方及勾股定理得出S=DE=EH2+DH2=(n-4)2+9;當(dāng)DF/x軸時(shí)，點(diǎn)H即為正方形DEFG的中心，故EH=DH=3,n=7,將n=7代入函數(shù)解析式即可得出S的值；(3)首先找到C點(diǎn)的坐標(biāo)，得出OC的長度，然后根據(jù)OB=2OC=16得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，禾U用待定系數(shù)法得出直線BC的解析式，當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，如圖2,作DMy軸于M,FN±y軸于N.利用AAS判斷出z.ADEMAEFN,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相

19、等得出NF=EM=n-4,EN=DM=3從而得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)F點(diǎn)的縱坐標(biāo)的兩種不同表示方法得出關(guān)于n的方程，求解得出n的值；當(dāng)點(diǎn)G落在BC邊上時(shí)，如圖3,作DM±y軸于M,GNXDM軸于N,由同理可得DEMAGDN,GN=DM=3,DN=EM=n-4,從而得出G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,根據(jù)點(diǎn)G的縱坐標(biāo)列出方程，求解得出N的值；當(dāng)點(diǎn)F落在AB邊上時(shí)，如圖4,作DMy軸于M,由同理可得DEMEFQOE=DM=3,即n=3;當(dāng)點(diǎn)G落在AC邊上時(shí)，如圖5.首先判斷出DCa4OCA,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出CE：AC=CD：OC,從而得出關(guān)于n的方程，求解得出n的值，綜上所述得出所有答案。5

20、.已知A(2,0),B(6,0),CB±x軸于點(diǎn)B,連接AC【答案】(1)解：/APB如圖所示;理解應(yīng)用:(3)若在直線yXx+4上存在點(diǎn)P,使得/APB最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)畫圖操作:(1)在y正半軸上求作點(diǎn)巳使得/APB=/ACB(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下,若tan/APB士，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，/APB最大(2)解：如圖2中,/AB./APB=/ACB,.tan/ACB=tan/APB=-=Bt.A(2,0),B(6,0),，AB=4,BC=8,，C(6,8),，AC的中點(diǎn)K(4,4),以K為圓心AK為半徑畫圓，交y軸于P和P；易知P(0,2),P

21、'(0,6).;(0,2小)拓展延伸：(3)解：如圖3中，當(dāng)經(jīng)過AB的園與直線相切時(shí)，/APB最大.二.直線y=x+4交x軸于M(-3,0),交y軸于N(0,4).MP是切線，.MP2=MA?MB,.MP=3/,作PK!OA于【解析】【解答】解：(1)當(dāng)。K與y軸相切時(shí)，/APB的值最大，此時(shí)AK=PK=4,AC=8,BC="/1出=4r,C(6,47八,，K(4,2/),.P(0,24).【分析】(1)因?yàn)镃B±x軸于點(diǎn)B,所以/ABC=b。要使/APB=/ACR只需這兩個(gè)角是同弧所對的圓周角。所以用尺規(guī)左三角形ABC的外接圓，與y軸相交，其交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P;

22、(2)由(1)知，/APB=/ACB,所以tan/ACB=tan/APB=*=，已知A(2,0),B(6,0),所以AB=4,BC=8,則C(6,8),AC的中點(diǎn)K(4,4),以K為圓心AK為半徑畫圓，交y軸于P和P',易得P(0,2),P'(0,6);當(dāng)。K與y軸相切時(shí)，/APB的值最大，此時(shí)AK=PK=4AC=8,在直角三角形ABC中，由勾股定理可得BCf'l"一曲=B，'7，則C(6,/'3),K(4,2W|),而P在y軸上，所以P(0,2;/(3)由(2)知，當(dāng)經(jīng)過AB兩點(diǎn)的圓與直線相切時(shí)，/APB最大。設(shè)直線y=5x+4交x軸于M交y

23、軸于N,則可得M(-3,0),N(0,4),因?yàn)镸P是切線，所以由切割線定理可得MP2=MA?MB,可求得MP=3%M,作PK±OA于K.所以O(shè)N/PK,由相似三角形的ON0M幽4_3_5.泰映判定定理可得比例式系而而，即馬：二骯一次吊解得PK=丁，MK=y,所以可得6.(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,四邊形ABCD為矩形，AB=a,BC=b，點(diǎn)P在矩形ABCD的對角線AC上，RtAPEF的兩條直角邊PE,PF分別交BC,DC于點(diǎn)M,N,當(dāng)PM±BC,PNLCD時(shí)，林=(用含a,b的代數(shù)式表示).(2)拓展探究在(1)中，固定點(diǎn)P,使4PEF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，如圖2,的大小有無變化？請僅就

24、圖2的情形給出證明.(3)問題解決如圖3,四邊形ABCD為正方形，AB=BC=a點(diǎn)P在對角線AC上，M,N分別在BC,CD上，PMXPN,當(dāng)AP=nPC時(shí)，(n是正實(shí)數(shù))，直接寫出四邊形PMCN的面積是(用含n,a的代數(shù)式表示)【答案】(1)2(2)解：如圖3,過P作PG±BC于G,作PHXCDTH,E酰貝U/PGM=/PHN=90,/GPH=90PEF中，/FPE=90/GPM=ZHPN.PGMAPHNPMPG而方由PG/AB,PH/AD可得,.AB=a,BC=bPGPhPGa.因，即陽b-二一川九故答案為1(3)小，戶【解析】【解答解：(1)四邊形ABCD是矩形, ABXBC,

25、.PMXBC, .PMCAABCCMBCb即ABa 四邊形ABCD是矩形，/BCD=90；.PMXBC,PN±CD,/PMC=ZPNC=90=ZBCD,四邊形CNPM是矩形，.CM=PN,"a二一即b故答案為z(3)PMXBC,ABXBC.PMCAABCCPPk.CAABPM7當(dāng)AP=nPC時(shí)(n是正實(shí)數(shù))，石一丁，PM=a1?/(4:四邊形PMCN的面積二"十，,¥故答案為：(n*/.CMBCd【分析】(1)由題意易得PMCsABC,可得比例式工獷ABb,由矩形的性質(zhì)可得CM=PN,則結(jié)論可得證；(2)過P作PG±BC于G,作PHLCD于H,

26、由輔助線和已知條件易得PGMsPHN,PMPGPGa則得比例式下【兀,由(1)可得比例式一而一兀即比值不變；(3)由(2)的方法可得一則四邊形PMCN的面積="+,'.7.如圖1,在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,E、F分別是AB>BD的中點(diǎn)，連接EF,點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EF方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s,同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s,當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動.連接PQ,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(0vtv4)s,解答下列問題：(1)求證：ABEFADCB;(2)當(dāng)點(diǎn)Q在線段DF上運(yùn)動時(shí)，若4PQF的面積為0.6cm2,求t的值；(

27、3)如圖2過點(diǎn)Q作QGXAB,垂足為G,當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EPQG為矩形，請說明理由；(4)當(dāng)t為何值時(shí)，4PQF為等腰三角形？試說明理由.【答案】(1)解：二四邊形Ta力是矩形，,：AD=BC=&AD"BC,=NC=909,在Ri的中，BD血DCb丁瓦F分別是出?.血的中點(diǎn),(2)解：如圖1,過點(diǎn)&作獷-L廳于加，(3)解：四邊形仍更為矩形時(shí)，如圖所示:二EFAD,EF-/D-丸HF二SF二5,ZBfE="甌J&*限|AQPFABEFf40解得：=2,如圖3,20APE收抄時(shí)，如圖5,綜上所述，I-，或或7或方秒時(shí)，A戰(zhàn)是等腰三角形【解析】【分析

28、】(1)要證ABEDDCB,根據(jù)有兩對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得證。根據(jù)三角形中位線定理可得EF/AD/BC,可得一組內(nèi)錯(cuò)角相等，由矩形的性質(zhì)可得/C=/A=/BEF與。,所以ABEFADCB;(2)過點(diǎn)Q作QMLEF于M,結(jié)合已知易得QM/BE,根據(jù)相似三角形的判定可得QMFsbef,則得比例式BQ用,QM可用含t的代數(shù)式表示，PF=4-t,所以三角形1PQF的面積=-QM*PF=0*6,解方程可得t的值；(3)因?yàn)镼GXAB,結(jié)合題意可得PQ7IaB,根據(jù)相似三角形的判定可得IQPFBEF于是可得比例式求解；(4)因?yàn)镼在對角線BD上運(yùn)動，情況不唯一。當(dāng)點(diǎn)Q在DF上運(yùn)動時(shí)，PF=QF當(dāng)

29、點(diǎn)Q在BF上運(yùn)動時(shí)，分三種情況：第一種情況；PF=QF第二種情況：PQ=PF;第三種情況：PQ=FQ8.如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角燈與尸滿足"十#=90。，那么我們稱這樣的三角形為準(zhǔn)(1)若4ABC是準(zhǔn)互余三角形"，/C>90°,/A=60°,則/B=:;(2)如圖，在RtABC中，/ACB=90°,AC=4,BC=5,若AD是/BAC的平分線，不難證明4ABD是準(zhǔn)互余三角形試問在邊BC上是否存在點(diǎn)E(異于點(diǎn)D),使得ABE也是推互余三角形”？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由.(3)如圖,在四邊形ABCD中，AB=7,CD=12,B

30、D±CD,ZABD=2/BCD,且ABC是準(zhǔn)互余三角形求對角線AC的長.【答案】(1)15°(2)解：存在，如圖，連結(jié)AE,/B+/BAC=90,°.AD是/BAC的平分線，ZBAC=2/BAD,/B+2/BAD=90；.ABD是準(zhǔn)互余三角形”，又ABE也是推互余三角形/B+2/BAE=90；/B+/BAE+/EAC=90,°/EAC1B,又ZC=ZC,.CAECBACACh.CBCA,即CA2=CBce,.AC=4,BC=5,.CE=MHBE=BC-CE=5-=.(3)解：如圖，WABCD沿BC翻折得到ABCF, .CF=CD=12/BCF=ZBCD/

31、CBD=ZCBF,又-BD±CD,/ABD=2/BCD, /CBD+ZBCD=90,° .2/CBD+2/BCD=180,°即/ABD+ZCBD+ZCBF=180, A、B、F三點(diǎn)共線,在RtAFC中， /CAB+ZACF=90,°即/CAB+ZACB+ZBCF=90, /CAB+2ZACBw90°.ABC是推互余三角形”， .2/CAB+ZACB=90；/CAB=ZBCF, /F=ZF, .FCBAFACFCFB.B一而，即FC2=FAFB,設(shè)BF=x, .AB=7,FA=x+7,.x(x+7)=122,解得：X1=9,x2=-16(舍去).

32、AF=7+9=16.在RtAFC中， .AC=4A盧C滬=&/好=20.【解析】【解答】(1)解：.ABC是稚互余三角形"，ZC>90°,/A=60°, .2/B+/A=90； .2/B+60=90;/B=15.°故答案為：15°【分析】(1)根據(jù)準(zhǔn)互余三角形”，的定義，結(jié)合題意得2/B+/A=90。，代入數(shù)值即可求出/B度數(shù).(2)存在，根據(jù)直角三角形兩內(nèi)角互余和角平分線定義得/B+2/BAD=90,根據(jù)準(zhǔn)互余三角形”，定義即可得4ABD是準(zhǔn)互余三角形”；根據(jù)4ABE是準(zhǔn)互余三角形”，以及直角三角形兩內(nèi)角互余可得/EAC=/B,

33、根據(jù)相似三角形判定“AAT得CA&4CBA,再由相似CACE16二三角形性質(zhì)得CBCA也此求出CE=$.從而得BE長.(3)如圖，WBCD沿BC翻折得到4BCF根據(jù)翻折性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)、推互余三FCFl角形”定義可得到FCFAG再由相似三角形性質(zhì)可得兩網(wǎng)可求出x值，從而求出AF值，在RtAFC中，根據(jù)勾股定理即可求得9.如圖，4ABC內(nèi)接于。O,/CBGNA,CD為直徑，OC與AB，設(shè)BF=x，代入數(shù)值即AC長.相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作(1)求證：PG與。O相切；時(shí)$跳若市=N,求質(zhì)的值；(3)在(2)的條件下，若。的半徑為8,PD=OD,求OE的長.【答案】(1)解：如圖，連接OB,

34、則OB=OD,GEF!BC,垂足為F,延長CD交GB的延長線于點(diǎn)巳連接BD./BDC=ZDBO, /BAC=ZBDG/BAC=ZGBC,/GBC=ZBDO,.CD是。O的直徑， /DBO+ZOBC=90； /GBC+/OBC=90；/GBO=90； PG與。O相切。(2)解：過點(diǎn)O作OMLAC于點(diǎn)M,連接OA,I則/AOM=/COM=/AOC,二網(wǎng)心/ABC和詞周“I/AOC所對瓠用同,、/ABC=J/AOC=ZCOM,又/EFB土OMC=90,.BEFAOCM,EFBhCMa，1.CM=AC,EFBEST7OCAC笆4(3)解：由(2)可知.=,則BE=10.PD=OD,/PBO=90；BD

35、=OD=8,在RtADBC中，BC=、陽-Ra=8,又OD=OB,.DOB是等邊三角形，/DOB=60； /DOB=ZOBC+/OCB,OB=OC,/OCB=30；.d二,五=0 可設(shè)EF=x貝UEC=2xFC=x,.BF=8%后一x,在RtBEF中，BEEP+B戶, 1-100=x2+(8*4上5x)2,解得：x=6±,6+J;>8,舍去，.x=6-7門,.EC=12-2,.OE=8-(12-2=2%刃-4【解析】【分析】(1)連接OB,則需要證明/GBO=/GBC+ZOBC=90;由CD是。的直徑，則/DBO+/OBC=90,即需要證明/GBC=/BDO,由同弧所對的圓周角

36、相等，可知/BAC=/BDC,而/BAC=/GBC,/BDC=ZDBO,貝U可證得/GBC=ZBDO。畫目應(yīng)(2)因?yàn)橐阎?1,求加淇中EF,BE是4BEF的兩條邊，而AC,OC是4AOC的兩條邊，但4BEF和4AOC不相似，則可構(gòu)造兩三角形相似，因?yàn)?BEF是直角三角形，則可過笆點(diǎn)O作OMLAC于點(diǎn)M,連接OA,即構(gòu)造BED4OCM,從而可求得底。BE(3)由(2)得儀的值及OC=8求出BE;由PD=OD,且/PBO=90,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半”可得BD=OD=8,由勾股定理可求得BC的長，則ADOB是等邊三角形，則在直角三角形ECF中存在特殊角30度，不妨設(shè)EF=

37、x則CE=2xCF='xo在RtABEF中，由勾股定理可得BEEP+BF2,構(gòu)造方程解答即可。10.已知菱形的一個(gè)角與三角形的一個(gè)角重合，然后它的對角頂點(diǎn)在這個(gè)重合角的對邊上，這個(gè)菱形稱為這個(gè)三角形的親密菱形，如圖，在CFE中，CF=6,CE=12/FCE=45，以點(diǎn)C為圓心，以任意長為半徑作AD,再分別以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心，大于EAD長為半徑做弧，交到于點(diǎn)B,AB/CD.C17。(1)求證：四邊形ACDB為4CFE的親密菱形；(2)求四邊形ACDB的面積.【答案】(1)證明：由已知得：AC=CD,AB=DBh已知尺規(guī)作圖痕跡得：BC是/FCE的角平分線，/ACB=ZDCB,又AB/CD

38、,/ABC=ZDCB,/ACB=ZABC,.AC=AB,又AC=CD,AB=DB,.AC=CD=DB=BA四邊形ACDB是菱形，又/ACD與FCE中的/FCE重合，它的對角/ABD頂點(diǎn)在EF上,，四邊形ACDB為4FEC的親密菱形.(2)解：設(shè)菱形ACDB的邊長為x,CF=6,CE=12,FA=6-x, .sin/ACH=北,k石" .AH=4x2=2V-, 四邊形ACDB的面積為：k天人283.【解析】【分析】(1)依題可得：AC=CD,AB=DB,BC是/FCE的角平分線，根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得/ACB=/ABC,根據(jù)等角又卡?邊得AC=AB,從而得AC=CD=DB=

39、BA根據(jù)四邊相等得四邊形是菱形即可得四邊形ACDB是菱形；再根據(jù)題中的新定義即可得證.(2)設(shè)菱形ACDB的邊長為x,根據(jù)已知可得CF=6,CE=12,FA=6-x根據(jù)相似三角形的判定6-xW和性質(zhì)可得方人，解得：x=4，過點(diǎn)A作AHLCD于點(diǎn)H,在RACH中，根據(jù)銳角三角形函數(shù)正弦的定義即可求得AH再由四邊形的面積公式即可得答案.11.如圖，半徑為4且以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓。交x軸，y軸于點(diǎn)B、D、A、C,過圓上的動點(diǎn)尸*不與A重合，作法上朋，且期川住在AP右側(cè)).Ar備用圖備用圖(1)當(dāng)P與C重合時(shí)，求出E點(diǎn)坐標(biāo)；(2)連接PC,當(dāng)凡-時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)連接OE,直接寫出線段OE的取值范圍.【答案】(1)解：當(dāng)P與C重合時(shí)，:'PE/R1,00的半徑為4,且PE在