2021年甘肅省高考數(shù)字診斷試卷(3月份)(含解析).docx

1、2021年甘肅省高考數(shù)字診斷試卷（3月份）一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）已知集合A=1,3,集合B=（3,4）,則AUB等于（）A. 1B.3C.1,3,3,4D.1,3,4）己知復數(shù)z滿足z（l-i）=（l+ai）i3,且z為純虛數(shù).則實數(shù)。的值為（）A.1B.2C.D.；Z41. 拋擲一枚均勻的骰子（骰子的六個面上分別標有1、2、3、4、5、6個點）一次，觀察擲出向上的點數(shù)，設事件人為擲出向上為偶數(shù)點，事件b為擲出向上為3點，則藏亂q=（）A.JB.?C.ND.芝售獸或魅動曲線匕的初始位置所對應的方程為：#一#=13<0）,一個焦點為F1（-c,0）,曲線4：子一

2、67;=l（x>0）的一個焦點為F2（c,0）,其中a>0,b>0,c=y/a2+b2.現(xiàn)將八沿x軸向右平行移動.給出以下三個命題： 月的兩條漸近線與6的交點個數(shù)可能有3個； 當兒的兩條漸近線與上的交點及殄的頂點在同一直線上時，曲線平移了（V2+l）a個單位長度； 當乙與F2重合時，若】,伍的公共弦K恰為兩頂點距離的4倍，則八的離心率為3.其中正確的是（）A.B.C.D.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機抽取10件，測最這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標，其頻率分布表如下:質(zhì)量指標值分組10,30)30,50)50,70頻率0.10.60.3則可估計這批產(chǎn)品的質(zhì)量指標的方差為（）A.140B.

3、142C.143D.134.8等差數(shù)列機？，餌僵的前窿項和分別為.乞，.芝、，若等匚普?，則使?為整數(shù)的正整數(shù)的取值個數(shù)是（）=cos(a-功+1-(cosa+cos0)-+l-(cosa+cos月)!_(cosa+cos0)=L_2gW°sE222Los竺芝22當。，月中一個為240°,另一個為120。時,3亦切有最大值為5,當中一個為60。，另一個為-60。時,而而有最小值為故選B.8. 答案：D解析：1時，圖象單調(diào)遞減.本題考查指對數(shù)函數(shù)的圖象，當?shù)状笥?時，圖象單調(diào)遞增，當0VQV解：當。1時，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：符合；當0VQV1時，同理可得為，故

4、選O.9. 答案:A解析：解：直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長的對角線，.一個直六棱柱的底面是邊長為4的正六邊形，側(cè)棱長為6,直六棱柱的外接球的直徑為V82+62=10，.外接球的半徑為5,外接球的體積為豚x53=罕.故選：A.直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長的對角線，可得直六棱柱的外接球的直徑，即可求出外接球的體積.本題考查球的體積和表面積，確定直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長的對角線是解題的關鍵.10. 答案：B解析：解：橢圓和矩形相切，矩形的面積是2,由隨機模擬實驗結(jié)合幾何概型中的面積型可得：羿=三,s矩形nc_2mA'枷=了故選：B.由隨機模擬實驗結(jié)合幾何概型

5、中的面枳型可得：羿=?,即可求出.s矩形n本題考查了幾何概型中的面積型及橢圓的面積，屬簡單題.11. 答案：A解析：解：4當aVO時，為開口向下的拋物線，變化趨勢滿足條件，B. 當k<0為函數(shù)為減函數(shù)，當時，函數(shù)為增函數(shù)，故函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不滿足條件.C. 當0VQV1為函數(shù)為減函數(shù)，當Q>1時，函數(shù)為增函數(shù)，故函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不滿足條件,。.當0VQC1為函數(shù)為減函數(shù)，當Q>1時，函數(shù)為增函數(shù)，故函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不滿足條件.故選：A.根據(jù)條件得到函數(shù)不單調(diào)，在左側(cè)為增函數(shù)，右側(cè)為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別進行判斷即可.本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用，結(jié)合條件研究函數(shù)的單調(diào)性

6、是解決本題的關鍵，是基礎題.12. 答案:C解析：解:vf(x)=3x2-3>0,解得xe(-oo,-i)和(1,+8)f(X)在(-00,-1)和(1,+8)上遞增，故選：C.由f(x)>0,得f(x)在(-00,+oo)遞增區(qū)間.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，是一道基礎題.13. 答案：28解析：解：當0VQV1時，函數(shù)/'(X)為增函數(shù)，當Q21時，函數(shù)/()為增函數(shù)，若/X。)=/(a+1),則“，a+1分別在兩個不同的區(qū)間上，即0VaV1,則函=4(。+11)=即q=64a3,得尸=得q=64o則/)=/'(8)=4x7=28,故答案為：28分別判斷

7、當OvaVI和Q>1時都是增函數(shù)，得到0VQV1,然后結(jié)合條件建立方程求出。的值即可.本題主要考查分段函數(shù)的應用，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷。的范圍是解決本題的關鍵.14. 答案：(-恣)解析：解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，顯然當0VQV時，不等式組表示的區(qū)域為三角形：直線y=ax與x+2y-4=0相交時，可行域是三角形,由由可得：4（*）.x+2y4=0x-2y-2=0則此時OKab=-三;滿足條件的點P（x,y）表示的平面區(qū)域為一個三角形,則。的取值范圍是：（一以）.故答案為：（一以）先畫出滿足條件的平面區(qū)域，由圖象可直接讀出。的范圍.本題考察了解得的線性規(guī)劃問題，考察數(shù)形結(jié)合思想

8、，是一道中檔題.15. 答案:玲解析：解：.等差數(shù)列%,如的前項和分別為S”Tp對任意自然數(shù)都由若=蕓|，_+_=虺+色=電缶+%b2+b82bs2bs2b510f工、aA+_2（ai+a9）=頑；=岑（缶+缶）_魚_2X9-3_5-%一4x9-311*故答案為：m10,由等差數(shù)列的性質(zhì)得去+去=第+第=票=梏=祺裕=m，由此能求出結(jié)果.加+為2+如2b$2b$2b$b+bg（Dj+9）Tg本題考查等差數(shù)列的項數(shù)和的比值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題.16. 答案：、解析：解：以AO為折痕使房區(qū)成直角，所得圖形如卜圖所示:由ADLBD

9、,AD1CD,易得：直線AD1平面BCD,正確；由AB=AC,可得側(cè)面人BC是等邊三角形，正確；由BD=AD=CD=萼1，可得三棱錐4BCD的體積是a3,正確.故答案為：、（3）由4ABC是等腰直角三角形，AB=AC=a,AO是斜邊BC±.的高，折起后，根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷的真假；由等腰三角形的判定，可知的真假；根據(jù)棱錐體枳公式求出三棱錐A-BCD的體積可以判斷的真假.進而得到答案.本題考查的知識點是棱錐的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定，棱錐的體積，其中根據(jù)對折后，AO與位;與CD的垂直關系不變，AB,AC的相等關系不變，是解答的關鍵.17. 答案：證明：在ABC中，己知sin2/

10、l+sin2B=sin2C,由正弦定理可得：a2+b2=c2.三角形是直角三角形.解析：直接利用正弦定理以及勾股定理判斷即可.本題考查正弦定理的應用，考查計算能力.18. 答案：因為B11C,BELA1B1,B1A1B1=所以"1平DE.（6分）所BDJ平面1AC,所以fJ平A1BIC,因為ClBE=B明：為BDLAC,BDLAAlAdAl=A,所BE11C；ftjVCDE=VE-BDC=xlx|xx2=|（4分）解析：證明：BD11C,B11C,再證明CJ平面BOE；利用VC-DVE-BD,求三枝C-DE的體積.本題考查線面垂直，考棱錐。-枳，查學生析解決問題的能，屬于中題.19.

11、答案：由系數(shù)公式可知，設也=刀,X二4.5,*3.5,八66.5-4X4.5X3.566.5-63b=5=E0.786-4X4.525八93=3.5-0.7X0.35，所以線性回歸方程為y=0.7x+0.35；(3)當x=100時,y=0.7x+0.35=70.35,所以預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低19.65噸標準煤.解析：解：由系數(shù)公式可知，7=4.5,*3.5-66.5-4X4.5X3.566.5-63b=5=0.786-4X4.525a=3.5-O.7X-o.35，所以線性回歸方程為y=0.7x+0.35；(3)當x=100時，y=0.7x+0.35=70.35,所以

12、預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低19.65噸標準煤.diE丫_21nx+x_(1)解：由川)=5”,得/«)=Jx-1(x-1)設g(x)=-21nx+x-,貝!jg(l>0,S.g(x)=P>0,xx所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，當x(0,l)時，g(X)>0,即/'U)>0,f(x)單調(diào)遞增，因此，f(X)*(0J)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；.答案：Q)證明：原不等式就是(x+1)lnz-2>0,即四1心-竺鳥>0,x-1x-1x+1令龍(x)=lnx_23_l),則h(i)=o，A'(x)=

13、(x1：)>0,x+1x(x+l)2所以h(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，x-4-1當x£(0,l)時，h(X)<0,<0,x-1當xG(l,+8)時，h(x)>o,>0,x-1.當x>0且xNl時，Rx)>2./1z_21nx+x_【(1)解：由/(、)=(V，得f=x-1(x-1)設g()=-21nx+x-,貝!jg(l>0,S.g(x)=P>0,xx所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，當xE(0,l)時，g(X)>0,即/'U)>0,f(x)單調(diào)遞增，因此，f(X)*(0J)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上

14、單調(diào)遞增；解析：(2)證明：原不等式就是(X+1)lnZ-2>0,即四Inx-空應>0,x-1x-1x+1令龍(Q=lnx_2(x_l),則h(i)=o，n)=(x_D®，x+1x(x+l)2所以h(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，x-4-1當x£(0,l)時，h(X)<0,<0,x-1當xG(l,+8)時，h(x)>o,>0,x-1.當x>0且xNl時，f(x)>2.20 .答案：解：(I)設點直線PA,的斜率分別為/Q,k2,記P(x(),yo).PA的方程：yyo=-x0),:.PB的方程：y-y0=k2(x-x0'

15、;),則由直線Zv12與圓相切得：況章打"=1n(扁-1)*2+2x°(l-yoM+yg-2yo=0(*)所以燈，上2是(*)式的兩根，故k*2=1.即y頂-2y0=品一1,又品=2y0,y頂一4%+1=0,y0=2±V3.(U)由得Xa=X。-攵,XB=XO-"心8=：|A8|yp|=拼|亡琴I=拆|芒親I.(1)由(*)知：住|=I精1,|知-婦=I*I=第I=I斜*“蜘=拼|滂1=2弟|功。|=衛(wèi)=妄，20lyz_2yol|y0-2|y0-2故令t=yQ-2e(2,6),.Sapab=攜=啰=十+4e(8,孕).解析：(I)根據(jù)直線與圓相切列方程以

16、及韋達定理和斜率的乘積為I可得.(口)利用面積公式：lAB-yP到解析式，再根據(jù)函數(shù)求值域可得.本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬中檔題.22.答案：解：(1)因為曲線C的極坐標方程為p=2sin0,所以p2=2psin0,故直角坐標方程為乂2+y2=2y,又因為人點的極坐標為(2,亨)，所以可得直角坐標為(2cos,2s。乎)，故A(-V2.V2).即可得直線OA的方程為y=-x.(2)聯(lián)立：2二；=宮Z°，解得捉，P(-1,1).直線OA的斜率為一1,OALI,：伽=1，.直線/的方程為y1=x+1,即xy4-2=0,直線/的極坐標方程為pcosO-psinO+2=0.解析：本題考查了極

17、坐標方程與直角坐標方程的互化、直線與圓的交點、點斜式，考查了計算能力，屬于基礎題.曲線C的極坐標方程為p=2sinO,化為p2=2psin3,利用七器籍即可得出直角坐標方程,由A點的極坐標為（2,號），可得直角坐標為（2cos乎,2s?），利用點斜式可得可得直線OA的方程.（2）把直線0A的方程與曲線C的方程聯(lián)立可得P（-1,1）,利用相互垂直的直線斜率之間的關系可得直線/的斜率，利用點斜式可得直角坐標方程，利用£二旨巖籍，即可得出直線/的極坐標方程.23.答案：解：（1）原不等式行等價與x<-l-3x+l<3x4-5-1<x<13-x<3x+5x>

18、;l3x-l<3x4-5解得（2）由已知a,赤0,1,則瀝+Qa-切（零）2+（白+。）一（白+幻a=?-；每+的）一：2,1又a+8e0,2,則白+8=時ab+a-a-切0+£）的最大值為一.2 3x-1解析：原不等式行等價與一心30或，或43-x<3x+5x>l3x-l<3x+5解不等式組即可,（2）運用基本不等式求最值，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得答案.A.3B.4C.5D.62才2. 己知點4（1,0）,3,C在單位圓上，ABOC=（O為坐標原點），則而.而的取值范圍是A.-1,0B.C.0,2D.七+在同一直角坐標系中，函數(shù)/'（x）=logax（

19、a>0且q豐1）與函數(shù)g（x）=qX（q>0且aA1）的圖象可能是（）A.B.C.D.3. 一個直六棱柱的底面是邊長為4的正六邊形，側(cè)棱長為6,則它的外接球的體積為（）.5OO7TA.5OO7TAB.5OO7TC.40007TD.4000tt4. 為了求得橢圓#+g=i（Q>b>0）的面積，把該橢圓放入個矩形當中，恰好與矩形相切，向矩形內(nèi)隨機投入（%!，yi）,（x2,y2）,（xn,yn）共個不同的點，其中在橢圓內(nèi)的點恰好有V個.若矩形的面積是2,則可以估計橢圓的面積為（）氏？B.半C寫D.幸某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP（即人均純收入）在0.58千美元的地區(qū)

20、銷售該公司A飲料的情況調(diào)查時發(fā)現(xiàn)：該飲料在人均GQP處于中等地區(qū)的年人均銷售量最大，然后向兩邊遞減下列兒個模擬函數(shù)中用哪個模擬函數(shù)來描述人均A飲料銷售量與地區(qū)的人均GOP關系更合12.適？（x表示人均GDP,單位：千美元,），表示年人均人飲料的銷售量，單位：L）（）A.y=ax2+bx(a<0)C.y=ogax+b(a>0且q裝1)函數(shù)/'（x）=x3-3x的單調(diào)增區(qū)間為（B.D.B.D.y=kx+b(k黃0)y=ax+b(Q>0且QA1)(一l,+8)二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）13.設函數(shù)f(x)=13.設函數(shù)f(x)=僑：二L"若為）=/

21、+則必=（x+2y4<014. 已知x,y滿足約束條件x-2y>2,若可行域為三角形，則。的取值范圍為.（y>ax設等差數(shù)列%，如的前項和分別為Sn，L，若對任意自然數(shù)都由芝=歿號,則總+焉的值為己知'ABC是等腰直角三角形，AB=AC=a,AO是斜邊BC上的高，以AD為折痕使匕BDC成直角.在折起后形成的三棱錐A-BCDt，有如下三個結(jié)論：直線ADJL平面BCD；側(cè)面人BC是等邊三角形；三棱錐4-BCD的體積是.其中正確結(jié)論的序號是.（寫出全部正確結(jié)論的序號）三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）15. 在中，己知sin2/!+sin2F=sin2C,求證ABC

22、是直角三角形.16. 求：A1C1平BOE；三棱錐C-BDE的積.17. 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應的生產(chǎn)能耗.y（噸標準煤）的幾組對應數(shù)據(jù).U9162536y2.5344.5（1）請技=白+8也建立y關于u的回歸方程.（2）己知該廠技改前10000噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤，試根據(jù)（1）求出的回歸方程，預測生產(chǎn)10000噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？£（無一亍|（又一萬）£-nxy（參考公式：b=ra=y-bx）玄（而-工）2支工:-以；2-12-118. 21.（本小題滿分12分）己知函數(shù)/（x）=（：X+

23、1）lnX（x0且在1）x-1（I）討論函數(shù)/C0的單調(diào)性;19. P是拋物線工2=2y上的動點，過P(%o»yo)作圓C：X24-(y-I)2=1的兩條切線12交x軸于A，B兩點,(I)若兩條切線»上的斜率乘積為1，求P點的縱坐標:(口)求當4<y0<8時，P/1B面積的取值范圍.20. 在平面直角坐標系xQy中，以坐標原點。為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程為p=2sin0,設A點的極坐標為(2,苧).(1) 求直線Q4及曲線C的直角坐標方程；(2) 設直線。4與曲線C的一個交點為P(不是原點0),過點尸作直線Q4的垂線求直線/的

24、極坐標方程.哼）丫暮就irom彳”圓日§+x£>|l-維+|1+乂|辛墻業(yè)加（【）溉【答案與解析】解析：解：集合A=(1,3),集合B=(3,4),則4UB=1,3,4.故選:D.根據(jù)并集的定義寫出AUB即可.本題考查了交集的定義與應用問題，是基礎題目.2. 答案：A解析：解：z(l-i)=(1+az)z3=a-i,所以z=S_(a-i)(l+i)_a+1a-1.(l-O(l+t)一22l，由題意得，q+1=0,即a=1.故選：A.直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后利用復數(shù)的概念得答案.本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)的定義，屬于基礎題.3. 答案：B解析：試題分

25、析：事件q為擲出向上為偶數(shù)點，河嫩=?,事件蹄為擲出向上為3點，河嬲=,又事件q、蹄是互斥事件，事件如戳為事件q、蹄有一個發(fā)生的事件，巍凰2蹦=?，故選B.考點：互斥事件的概率.4. 答案：D解析：解：由己知條件知，4沿工軸向右平行移動。個單位時，得到竺2i_W=i，a2b2聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組Xv2，解得X=y=0,77=1b2.由橢圓的對稱性知兒的兩條漸近線與4的交點個數(shù)不可能有3個，故錯誤;(2)命的兩條漸近線與的交點及D的頂點在同一直線上，.解方程組y=±，得的移動后的圖象過點(Q,b),(a-by頃=Q把y=b代入：=l(x<0)»得x=V2a»曲線n平移T(V2+1)q個單位長度，故正確;(x-2c)2_-=1Fl與F2重合時，解方程組x2a2y2:，得八，命的公共弦長為半,.4,G的公共弦長恰為兩頂點距離的4倍,.誓=8。，解得b2=4a2,從而c2=5a2,匕的離心率