2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案-全國(guó)卷1

1、2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（必修+選修I）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。第I卷1至2頁(yè)，第II卷3至9頁(yè)。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷考生注意：1。答題前，考生在答題卡上務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、填寫清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2。每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。在試題卷上作答無效。3。本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。參考公式：如果事件A,B

2、互斥，那么球的表面積公式P（A+B）=P（A）+P（B）S=4tR2如果事件A,B相互獨(dú)立，那么其中R表示球的半徑p（aLB）=p（a）LP（b）球的體積公式4_3如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P,那么V=一#33n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率其中R表示球的半徑R（k）=C：Pk（1-P尸（k=0,1,2,|,n）一、選擇題1。函數(shù)y=Jx(x-1)+&的定義域?yàn)?)Aox|x>0Box|x>1Cox|x>lU0Dox|0<x<12。汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程S看作時(shí)間t的函數(shù)，其圖像可能是（

3、）sssOOOC.A.B.D.3。在ABC中,AB=c,AC=b。若點(diǎn)D滿足BD=2DC,AoBo5c-b33Co2b-c33Db+乙C334。設(shè)awR,且（a+i）2i為正實(shí)數(shù)，則Ao2BoCo0Do-15。已知等差數(shù)列an滿足a2+a4=4,a3+a5=10,則它的前io項(xiàng)的和G0Ao138Bo135Co95Do236。若函數(shù)y=f（x1）的圖像與函數(shù)y=lnJx+1的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則f(x)=Aoe2x-12xBoeCo2x+1eDo2x+2e7。設(shè)曲線Ao21,1在點(diǎn)（3,2）處的切線與直線-1ax+y+1=0垂直，則a=(BoCoDo28。為得到函數(shù)花：二cos12x3的圖

4、像,只需將函數(shù)y=sin2x的圖像（Ao向左平移切個(gè)長(zhǎng)度單位12Co向左平移口個(gè)長(zhǎng)度單位6BoDo9。設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0,+8）上為增函數(shù)，且集為（）Ao(-1Q)U(1DBo向右平移向右平移2個(gè)長(zhǎng)度單位122個(gè)長(zhǎng)度單位6f（1）=0,則不等式f(x)-f(-x)<0的解1)U(0,1)Co(-°°,-1)U(1,+ao)Do（-i,o）U（0i）xy10。右直線一+=1通過點(diǎn)M(cos",sin"),則(ab22一Aoa+b<1Co+1<1b2Do11+>1212-ab11。已知三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,A

5、在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，則ABi與底面ABC所成角的正弦值等于（A。1B。也C。叵333D。12。如圖，一環(huán)形花壇分成A,B,C,D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（）Ao96Bo84C。60Do482008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（必修十選修I）第II卷注意事項(xiàng)：1。答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，然后貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2。第n卷共7頁(yè)，請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無

6、效。3。本卷共10小題，共90分。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。（注意：在試題卷上作答無效）x+yA0,13。13。若x,y滿足約束條件，xy+3A0,則z=2xy的最大值為。0<x<3,214。已知拋物線y=ax-1的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為。15。在4ABC中，AB=BC,cosB=二。若以A,B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C,則該18橢圓的離心率e=。16。等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角C-AB-D的余弦值為.'3,M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，則EM、AN所成角的余弦值

7、等于。3三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17。(本小題滿分10分)(注意：在試題卷上作答無效)3設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分力1J為a、b、c,且acosBbcosA=-c。5(I)求tanAcotB的值；(n)求tan(AB)的最大值。18。(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)四棱錐ABCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC_L底面BCDE,BC=2,CD=J2,AB=AC。(I)證明：AD_LCE;(n)設(shè)CE與平面ABE所成的角為45：,求二面角C-AD-E的大小。19。(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)已

8、知函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+1,aR。(i)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；21(n)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,-I內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍。,3320。(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物。血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病動(dòng)物，呈陰性的即沒患病。下面是兩種化驗(yàn)方法：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止。方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)。若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)。(I)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙

9、所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；(n)t表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求自的期望。21。(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)雙曲線的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為11,12,經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于11的直線分別交11,12于慶，B兩點(diǎn)。已知OA'/AB/OB1成等差數(shù)列，且BF與A同向。(I)求雙曲線的離心率；(n)設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4,求雙曲線的方程。22。(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)設(shè)函數(shù)f(x)=xxlnx。數(shù)列an滿足0<a1<1,an41=f(an)。(i)證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)是增函數(shù)；(n)證明：an<

10、an+<1；(出)設(shè)bw(a1,1),整數(shù)k>a-b。證明：ak書>b。a1Inb參考答案一、選擇題1、C2、A3、A4、D5、C6、B7、D8、A9.D10.D。11.B。12.B.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。13.答案：9。14.答案：2.15.答案：3.16.答案：81.6三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.解析：(I)由正弦定理得csinA,csinBa=,b=sinCsinCsinAsinBAacosB-bcosA=(cosBcosA)csinCsinCsinAcosB-si

11、nBcosAcsin(AB)sinAcosB一cosAsinB=csinAcosBcosAsinB_(tanAcotB-1)ctanAcotB1依題設(shè)得(tanAc0tB-1)c=3ctanAcotB15解得tanAcotB=4是tanB>0(II)由(I)得tanA=4tanB，故A、B都是銳角，于tanA-tanBtan(A-B)=-1tanAtanB3tanB14tan2B<3,4且當(dāng)tanB=1時(shí)，上式取等號(hào)，因此tan(A-B)的最大值為218。解：(I)作AOBC,垂足為O,連接OD,由題設(shè)知，AO,底面BCDE,且。為BC中點(diǎn)，OCCD1由±二：=知，RtA

12、OCDRtACDE,CDDE2從而/ODC=/CED,于是CEXOD,由三垂線定理知，ADXCE(II)由題意，BEXBC,所以BE,側(cè)面ABC,又BE匚側(cè)面ABE,所以側(cè)面ABE，側(cè)面ABC。作CFLAB,垂足為F,連接FE,則CFL平面ABE故/CEF為CE與平面ABE所成的角，/CEF=45°由CE=76,得CF=3又BC=2,因而/ABC=60°,所以ABC為等邊三角形作CGLAD,垂足為G,連接GE。由(I)知，CEXAD,又CEnCG=C,故AD，平面CGE,AD±GE,/CGE是二面角C-AD-E的平面角。ACCD222CG=AD、6、3GE=DEA

13、D212-(2DE)2AD2.5_,10，6一.3,CE=,6,cos/CGE=CG2GE2-CE22CGGE410c6336_102<10102 -：3 .3所以二面角C-AD-E為arccos(一”10)解法二：(I)作AOLBC,垂足為O,貝UAOL底面BCDE,且O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OC為x軸正向，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)A(0,0,t),由已知條件有C(1,0,0),D(1,.2,0),E(-1,2,0),CE=(-2,、2,0),AD=(1,，2,-t)所以CEAD=0,得AD±CE(II)作CFXAB,垂足為F,連接FE,設(shè)F(x,0

14、,z)則CF=(x-1,0,z),BE=(0,2,0),CFBE=0故CFBE,又ABABE=B,所以CF,平面ABE,/CEF是CE與平面ABE所成的角，/CEF=45°由CE=J6,得CF=J3又CB=2,所以/FBC=60°,ABC為等邊三角形，因此A(0,0,J3)作CGAD,垂足為G,連接GE,在RtAACD中，求得|AG|=-|AD|3222.3故G一,333又AD=(1,2,_.3)GCAD=0,GEAD=0所以GCtGE的夾角等于二面角C-AD-E的平面角。由cos(GC,GE尸GCGE二一型|GC|GE|1010知二面角C-AD-E為arccos(-一)(

15、19)解：(I)f'(x)=3x2+2ax+1,判別式A=4(a2-3)aa2-3若a>J3或a<J3,則在ga3f'(x)>0,f(x)是增函數(shù);，3a,'a23a+*'a23,在,內(nèi)f'(x)<0,f(x)是減函數(shù);33*；,2在a*，上f，(x)>0,f(x)是增函數(shù)。3(ii)若V3<a<33,則對(duì)所有xCR都有f'(x)>0,故此時(shí)f(x)在R上是增函數(shù)。(iii)若a=±33,則f'(一反)=0且對(duì)所有的xw-亙都有f'(x)>0,故當(dāng)a=±J3

16、時(shí),3322-a-a-3-aaa-3f(x)在R上是增函數(shù)。(n)由(i)知，只有當(dāng)a>J3或a<-V3時(shí)，f(x)在內(nèi)是減函數(shù)。因此一3當(dāng)間>J3時(shí)，由、解得a>2因此a的取值范圍是2,+8)(20)解：記A-、A2分別表示依方案甲需化驗(yàn)1次、2次,Bi、B2分別表示依方案乙需化驗(yàn)2次、3次,表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)。依題意知A2與B2獨(dú)所以(n)A=AiA2B21RA1)=方C51P(A2)5a4A21眄)=5c2C22C3C3P(A)=P(A1+A2B2)二P(A1)+P(A2B2)=P(A1)+P(A2)P(B2)112='55

17、5725P(A)=1-P(A)=18=0.7225士的可能取值為2,3.c3P(B1)=T3C5c2c5c335p(B2)=2,p(e=2)=p(B1)=,55P(E=3)=P(B2)=-，5一,3所以EE=2M十3M12=2.4(次)。55(21)解:22(I)設(shè)雙曲線方程為x_y2r=1(a>o,b>o),右焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),則c2=a2+b2ab不妨設(shè)11:bx-ay=0,l2：bx+ay=0則|bc-a0|FAl=22ab|OA|=VOF2-AF2=a。因?yàn)閨AB|2+|Oa|2=|Ob|2,且|OB|=2|AB|-|OA|,所以|AB|2+|OA|2二(

18、2|AB|-|OA|)2,|AB|4于是得tan/AOB=一。|OA|3又BF與FA同向，故/AOF=1/AOB,2所以2tan.A=41-tan2ZAOF3解得tanZAOF=-,或tan/AOF=-2(舍去)。2一b12.2因此一=一,a=2b,c=va+b=v5b。a2所以雙曲線的離心率e=-c=5a2(n)由a=2b知，雙曲線的方程可化為x2-4y2=4b2由11的斜率為-,c=J5b知，直線AB的方程為2y=-2(x-%15b)將代入并化簡(jiǎn)，得15x2-32.5bx+84b2=0設(shè)AB與雙曲線的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xw),(x2,y2),則32.5b84b2x1+x2=,x1x2=1515AB被雙曲線所截得的線段長(zhǎng)1=.1+(2)*|x1x2|=45Kx1+x2)-4x1x24b將代入，并化簡(jiǎn)得1=,而由已知1=4,故b=3,a=6322所以雙曲線的方程為=136922、解：(I)當(dāng)0<x