《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)大綱

1、高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（2010年3月討論稿）全院專(zhuān)升本各專(zhuān)業(yè)適用一、課程的性質(zhì)與任務(wù) 高等數(shù)學(xué)課程，是成人高等教育本科各專(zhuān)業(yè)教學(xué)計(jì)劃中的一門(mén)必修基礎(chǔ)理論課，它不僅為專(zhuān)業(yè)計(jì)劃中多門(mén)后繼課程提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且也是為提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)而設(shè)置的課程。 通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生獲得高等數(shù)學(xué)中的基本概念、基本理論和基本方法。要通過(guò)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，逐步培養(yǎng)學(xué)生具備較熟練的運(yùn)算能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法處理問(wèn)題的初步能力。同時(shí)，在抽象思維和邏輯推理方面也有一定的提高，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自學(xué)能力提高一個(gè)層次，為以后深造打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 二、本課程的基本要求與重點(diǎn) 專(zhuān)升本數(shù)學(xué)教學(xué)是比較特殊的一種教學(xué)形式，因?qū)W生是專(zhuān)

2、科畢業(yè)生，已初步獲得一元微積分的基本知識(shí)。因此，根據(jù)成人高等教育以培養(yǎng)應(yīng)用型人才的目標(biāo)，按基礎(chǔ)理論教材“必需、夠用”的原則，本課程的基本要求： 1.加深掌握一元函數(shù)微分和積分兩大基本數(shù)學(xué)方法的理解和應(yīng)用； 2.獲得多元函數(shù)微積分、常微分方程和無(wú)窮級(jí)數(shù)的系統(tǒng)的基本知識(shí)、基本理論和基本方法。 本課程的重點(diǎn)為：微分方程、二元函數(shù)微分學(xué)、二重積分、曲線積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)。（說(shuō)明：曲線積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)經(jīng)管類(lèi)不作要求） 三、課程內(nèi)容和考核要求第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)性 （一）課程內(nèi)容 1.初等函數(shù)與非初等函數(shù)； 2.函數(shù)的特性； 3.數(shù)列的極限； 4.函數(shù)的極限； 5.極限的運(yùn)算法則； 6.兩個(gè)重要極限； 7.

3、無(wú)窮小量及其性質(zhì)和無(wú)窮大量； 8.無(wú)窮小量的比較； 9.函數(shù)的連續(xù)性概念和連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算； 10.函數(shù)的間斷點(diǎn)； 11.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 （二）考核要求 1.掌握求函數(shù)的定義域和函數(shù)值，理解函數(shù)記號(hào)的運(yùn)用。 2.了解函數(shù)與其圖形之間的關(guān)系，掌握畫(huà)常用的簡(jiǎn)單的函數(shù)圖像。 3.掌握求比較簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)；掌握復(fù)合函數(shù)的分解；了解初等函數(shù)的構(gòu)成；了解分段函數(shù)的表示。 4.理解函數(shù)的有界性和周期性，掌握判別函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性（用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)）。 5.理解數(shù)列極限的直觀定義。 6.理解X時(shí)和XXo時(shí)函數(shù)極限的直觀定義。 7.理解函數(shù)的單側(cè)極限，了解函數(shù)極限與單側(cè)極限之間的關(guān)系。 8.掌握極限

4、的四則運(yùn)算法則，并能熟練運(yùn)用。 9.掌握兩個(gè)重要極限，并能熟練運(yùn)用。 10.了解無(wú)窮小和無(wú)窮大，掌握運(yùn)用無(wú)窮小的性質(zhì)，掌握判斷兩個(gè)無(wú)窮小的階的高低或是否等價(jià)。 11.理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的含義，掌握求出函數(shù)的兩類(lèi)間斷點(diǎn)。 12.掌握判別分段函數(shù)在區(qū)間分界點(diǎn)處的連續(xù)性。 13.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大（?。┲刀ɡ砗秃瘮?shù)取零值定理。 第二、三章 一元函數(shù)微分學(xué) （一）課程內(nèi)容： 1.導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義； 2.可導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性； 3.可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則； 4.反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 5.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； 6.高階導(dǎo)數(shù)； 7.隱函數(shù)求導(dǎo)法； 8.微分概念及微分的

5、求法； 9.參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法； 10.介紹羅爾定理和拉格朗日中值定理； 11.洛必達(dá)法則； 12.函數(shù)單調(diào)性的判定； 13.函數(shù)的極值及其求法； 14.函數(shù)的最值及其應(yīng)用； 15.曲線的凹凸性與拐點(diǎn)； 16.曲線的漸近線。 (二)考核要求： 1.了解函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與左、右導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，掌握判斷分段函數(shù)在分界點(diǎn)處是否可導(dǎo)。 2.了解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件。 3.掌握求曲線在一點(diǎn)處的切線方程和法線方程。 4熟練掌握導(dǎo)數(shù)公式和函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則。 5.熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)（一層復(fù)合步驟為主）。 6.掌握求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。 7.掌握求隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。 8.掌握求

6、函數(shù)的微分。 9.掌握求參數(shù)式函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)。 10.熟練掌握運(yùn)用洛必達(dá)法則求和型極限，掌握求和型極限。 11.掌握用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的增、減區(qū)間。 12.理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值。 13.了解函數(shù)最值得定義及其與極值的區(qū)別，掌握求簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題的最值。 14.掌握確定曲線的凹凸區(qū)間，掌握求曲線的拐點(diǎn)。 第四、五章 一元函數(shù)積分學(xué) （一）課程內(nèi)容： 1.原函數(shù)與不定積分的概念； 2.基本積分公式和不定積分的線性性質(zhì)； 3.不定積分的第一換元積分法（湊微分法）； 4.不定積分的第二換元積分法； 5.不定積分的分部積分法； 6.定積分概念及其幾何意義； 7.定積分的

7、性質(zhì)； 8.變上限積分及其導(dǎo)數(shù)公式； 9.牛頓-萊布尼茲公式； 10.定積分的換元法和分部積分法； 11.無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分； 12.定積分的幾何應(yīng)用。 （二）考核要求： 1.理解原函數(shù)和不定積分的定義，了解它們的聯(lián)系與區(qū)別；理解微分運(yùn)算與不定積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算。 2.熟練掌握運(yùn)用基本積分公式和不定積分的線性性質(zhì)求比較簡(jiǎn)單函數(shù)的積分。 3.掌握第一換元積分法（湊微分法）。 4.掌握第二換元積分法（重點(diǎn)是根式代換）。 5.掌握分部積分法求被積函數(shù)屬于指數(shù)函數(shù)（或三角函數(shù)）與冪函數(shù)的乘積；對(duì)數(shù)函數(shù)（或反三角函數(shù)）與冪函數(shù)的乘積的積分。 6.理解定積分定義，及定積分與不定積分的區(qū)別，了解定積分的值

8、取決于被積函數(shù)和積分區(qū)間，而與積分變量采用的記號(hào)無(wú)關(guān)。 7. 掌握應(yīng)用定積分的性質(zhì)及在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上奇（偶）函數(shù)積分的結(jié)論。 8.掌握變上限積分的求導(dǎo)公式。 9.掌握用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算定積分。 10.掌握計(jì)算分段函數(shù)（限于分兩段）的定積分。 11.掌握定積分的換元積分法和分部積分法。 12.掌握判斷無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分的斂散性。 13.掌握在直角坐標(biāo)系中計(jì)算平面圖形的面積。 14.掌握求簡(jiǎn)單平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 第六章 微分方程 （一）課程內(nèi)容： 1.微分方程的基本概念； 2.變量可分離的一階微分方程； 3.一階線性微分方程； 4.齊次型的一階微分方程； 5.可降階的高階微分方

9、程； 6.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)； 7.二階常系數(shù)線性齊次微分方程； 8. 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程。 （二）考核要求： 1.了解微分方程的階、解、通解、特解及線性微分方程的含義。 2.掌握求解變量可分離的一階微分方程。 3.掌握用通解公式求解一階線性非齊次微分方程。 4.掌握用降階法求解形如和的二階方程。 5.了解二階線性齊次及非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)定理。 6.掌握求解二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征根法。 7.掌握非齊次方程右端函數(shù)屬型時(shí)，該方程特解待定形式的設(shè)置。 第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何 （一）課程內(nèi)容： 1.向量及其運(yùn)算； 2.空間的平面與直線； 3.常見(jiàn)的空間曲面與曲線

10、。（說(shuō)明：這部分的內(nèi)容不作考核要求，由任課教師自主選擇授課內(nèi)容）。 第八章 多元函數(shù)微分學(xué) （一）課程內(nèi)容： 1.二元函數(shù)的定義及其圖形； 2.二元函數(shù)的極限與連續(xù)性； 3.二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義； 4.偏導(dǎo)數(shù)的求法； 5.高階偏導(dǎo)數(shù)； 6.全微分； 7.多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則； 8.隱函數(shù)微分法； 9.二元函數(shù)的極值與最值； （二）考核要求： 1.理解二元函數(shù)函數(shù)值的記號(hào)及函數(shù)符號(hào)的運(yùn)用。 2.理解二元函數(shù)的極限定義，了解其與一元函數(shù)極限的異同點(diǎn)。 3.了解二元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的含義。 4.理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義。 5.了解二元函數(shù)連續(xù)與可偏導(dǎo)沒(méi)有必然聯(lián)系。 6.掌握求偏導(dǎo)數(shù)及較簡(jiǎn)單函數(shù)的二階偏導(dǎo)

11、數(shù)。 7.理解二元函數(shù)的全微分定義，掌握求二元函數(shù)的全增量和全微分。 8.掌握求全導(dǎo)數(shù)。 9.掌握由方程所確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。 10.掌握由方程所確定的隱函數(shù)的求偏導(dǎo)公式。 11.掌握求二元函數(shù)的極值。 12.掌握求簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題的最值。第九章 重積分和曲線積分（說(shuō)明：曲線積分部分經(jīng)管類(lèi)不作要求）（一） 課程內(nèi)容：1. 二重積分概念及其幾何意義；2. 重積分的性質(zhì)；3. 直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算；4. 極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算；5. 二重積分的應(yīng)用；6. 第一型曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分）的概念與性質(zhì)；7. 對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算；8. 第二型曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分）的概念與性質(zhì)；9. 對(duì)坐

12、標(biāo)曲線積分的計(jì)算；10. 格林公式；11. 平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。（二） 考核要求：1. 理解二重積分實(shí)質(zhì)與定積分相同，也是一類(lèi)和式的極限。2. 了解二重積分的性質(zhì)。3. 掌握直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算，選擇合理的積分順序。4. 掌握極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算。5. 了解曲線積分有著與定積分相類(lèi)似的性質(zhì)，但應(yīng)注意對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與積分路徑L的方向無(wú)關(guān)，而對(duì)坐標(biāo)的曲線積分路徑有方向性。6. 了解對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算方法。7. 掌握對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算方法。8. 掌握格林公式的運(yùn)用。9. 掌握平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件及其應(yīng)用。第十章 無(wú)窮級(jí)數(shù)（說(shuō)明：經(jīng)管類(lèi)不作要求）（一） 課程內(nèi)容：1 常數(shù)

13、項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)；2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法；3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法；4 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂概念；5 冪級(jí)數(shù)的收斂范圍；6 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)；7 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法；8 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。（二） 考核要求：1. 無(wú)窮級(jí)數(shù)是個(gè)“無(wú)限和”，理解其收斂與發(fā)散的含義。2. 了解級(jí)數(shù)收斂的必要條件和級(jí)數(shù)的主要性質(zhì)。3. 了解正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂的比較判別法；掌握比較法的極限形式；掌握比值判別法。4. 掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法。5. 掌握任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂步驟。6. 掌握求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間；了解收斂域。7. 了解冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)。8. 了解函數(shù)直接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法；掌握間接展開(kāi)法。四、推薦用書(shū) 1.教材：現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育與

14、繼續(xù)教育精品教材系列 高等數(shù)學(xué)（本科使用），吳滿(mǎn) 曾令武編著，華南理工大學(xué)出版社（2010版）2.教輔書(shū)：高等數(shù)學(xué)解題指引與同步練習(xí)，吳滿(mǎn) 曾令武編著，華南理工大學(xué)出版社（2008 版）五、課后練習(xí)（必做題） 同步練習(xí) 1-（1）（3）（4），3，58，1012，14，19，21-（1）（8），22，23-（1）（2）（4）， 26，27-（1）（5），28-（2），29，30-（1），31-（3），40-（1）（2）（3）（5）（6），41-（1）（3）（6）（8），42，4648，50，55，56，5861，63. 同步練習(xí) 1，3，5，1113，16，17-（1）（4）（6）（8），18

15、-（1）（2）（4）（6），19-（2），23，24-（1）（3），25，26，33-（1）（3），34，42-（1）（2），43，51，52，59，60，6567. 同步練習(xí) 6，7，8-（1）（2），9-（1）（4）（5），10-（2）（3），12-（1）（2）（3），13，18，22，23，24-（2），25，27，28，36-（1）（3）（4），40，41. 同步練習(xí) 1，2，6，10-（1）（2）（5）（7）（9），11-（1）（2）（3）（5）（6）（8）（10）（13）（16）（17）（19）（22）（24）（25）（27）（30），12，15，16，18-（1）（4）（6）（8

16、）（10），19，21. 同步練習(xí) 1，3，4，6-（1）（2），10，11-（2）（4），12-（1）（2），14-（1）（5）（7）（8）（12）（14），25-（1）（4），26，27，30-（7），33 ，35-（1）（4）（7），41-（1）（3），42-（2）（3），43，47，48-（1）（4）（6）（8），50，54，56，57，59，60. 同步練習(xí) 3，4，5，7，8-（1）（3）（5），9-（1）（2）（3），15-（1）（2）（3），16-(1)（3），25-（1）（2）,30,34-(1),35,36-(2),38,39-(1) (5)(7). 同步練習(xí)（說(shuō)明：由任課

17、教師自主留題） 同步練習(xí) 2，3，5，6，15，16-（1）（2）（5）（6），18，20，2628，3236，40，4548，5559，61，67，68，70. 同步練習(xí) 3，4，7，8，9-（1）（2）（5）（8），10，11-（2），12，17，18，20，21，23.（說(shuō)明：以下練習(xí)經(jīng)管類(lèi)不作要求） 41，42，44，49，50-（1）（2），5457. 同步練習(xí)1,3,4-(1),5,6-(1)(2),7,10-(2),11-(1)(2)(4)(5),13,14-(1)(4),15,16,17-(2)(3),18,2426,29.華南理工大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院高等數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)小組二一年三月

18、專(zhuān)升本統(tǒng)考樣題（理工類(lèi)）一、 單項(xiàng)選擇題（每小題4分，共20分）1、設(shè)，則下列偏導(dǎo)數(shù)正確的是（ ）. . . 2、設(shè)，則（ ）. , , , .3、設(shè)，又，則（ ）. . .4、若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則下列敘述不正確的是( ).在處，該冪級(jí)數(shù)一定收斂， .在處，該冪級(jí)數(shù)一定發(fā)散，在處，該冪級(jí)數(shù)不一定發(fā)散，在處，該冪級(jí)數(shù)一定收斂.5、微分方程的通解為（ ）. . .二、 填空題 （每小題4分，共20分）6、設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則常數(shù)的取值范圍是_.7、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分的積分次序，則 。8、微分方程特解的特定形式為_(kāi).9、微分方程的通解為 .10、設(shè)為橢圓，記其周長(zhǎng)為,則曲線積分_ .三、 計(jì)算題 （每小題8分，共40分，解答應(yīng)寫(xiě)出推理，演算步驟）11、求微分方程的通解.12、已知函數(shù)，求.13、計(jì)算二重積分，其中是由所圍成的區(qū)域.14、計(jì)算二重積分，其中是由所確定.15、求微分方程滿(mǎn)足初