點(diǎn)線面之間位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、高中空間點(diǎn)線面之間位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二章直線與平面的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系B2.1.1 1平面含義：平面是無(wú)限延展的 2平面的畫(huà)法及表示(1)平面的畫(huà)法：水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成450,且橫邊畫(huà)成鄰邊的 2倍長(zhǎng)(如圖)(2)平面通常用希臘字母 a、0、丫等表示，如平面a、平面0等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面AC平面ABC詹。3 三個(gè)公理:(1)公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號(hào)表不為L(zhǎng)A BCAAG L 一公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)BGL = L Q(2

2、)公理2:過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A B、C三點(diǎn)不共線= 有且只有一個(gè)平面a ,使 AG a、BG a、CG a公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。PL(3)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為：PG a A 0 = a A 0 =L，且PG L公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系:療目交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn); 共面直線I平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)同一條直線的兩條直線互相平行。

3、符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=a / ca / bo2公理4：平行 c/ b強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用 公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 4注意點(diǎn): a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與 O的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn) O 一般取在兩直線中的一條上; 兩條異面直線所成的角 9 e (0 ,)；JL當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作 ab;2 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩

4、條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：(1)直線在平面內(nèi) 一一 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線與平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)直線在平面平行一一沒(méi)有公共點(diǎn)a a來(lái)表小C指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a (aaCa=Aa/a2.2. 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。 簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：a a。 Ib 0 匚= a W aa/ b2.2.2 平面與平面平行的

5、判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表小:2、判斷兩平面平行的方法有二種：(1)用定義；(2)判定定理；(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.3 2.2.4 直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：a / aa匚0 a 卜ban” b 作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)表小:b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的

6、判定及其性質(zhì)2.3.1 直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線L與平面a互相垂直，記作L，a ,直線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí) ，它們唯一公共點(diǎn) P叫做垂足2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b）定理體現(xiàn)了 “直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2 平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，

7、則這兩個(gè)平面垂直。.4 直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。異面直線所成的角是指經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)作兩條分別和異面的兩條直線平行的 直線所成的銳角（或直角）.一般通過(guò)平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范 圍.例1在正方體 ABCD-AB1cl D1中,0是底面 ABCD勺中心，M N分別是棱 DR、D1cl的中點(diǎn)，則直線 0M（）.A .是AC和MN的公垂線.B . 垂直于AC但不垂直于 MN.C .垂直于 MN但不垂直于 AC. D .與AC MNO不垂直.錯(cuò)解:B.錯(cuò)

8、因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影正解：A.例2如圖，已知在空間四邊形 ABCD43 ,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),分別是BC,CD上的點(diǎn)，且BG DHGC HC=2，求證：直線EG,FH,AC相一點(diǎn).錯(cuò)解：證明：: E、F分別是AB,AD的中點(diǎn)，交于G,HEF/bd,ef=2 bd,BG = DH 又GC 一而=2 ,，GH / BD,GH=3 BD,四邊形EFGH梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,HC = 2,F分別是AD.,AC與FH交于一點(diǎn).二直線eg,fh,ac相交于一點(diǎn)正解：證明:丁 E、F分別是AB,AD的中點(diǎn)，EF/ BD,EF= 2 BD,又GCDC = 2,

9、GH/ BD,GH=3 BD,四邊形EFGH梯形，設(shè)兩腰 EG,FH相交于一點(diǎn)T,丁 EGU 平面 ABC,FH=平面 ACD,二產(chǎn)面ABC且廣面ACD,又平面 ABC!平面ACD=AC, ,T W AC ,二直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)T.例3在立方體 ABCD- A1B1CQ中，出平面AC的斜線BD在平面AC內(nèi)的射影;線BD和直線AC的位置關(guān)系如何？線BD和直線AC所成的角是多少度？AlBlri。BCl(1)(2)(3)解：(1)連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)O 丁 DD1 _L平面AC,二BD就是斜線BD1在平面AC上的射影.(2)BD1和AC是異面直線.AC和BD所成的角. 過(guò)。作BD的平行線

10、交DD于點(diǎn)M連結(jié)MA MC則/ MO賊其補(bǔ)角即為異面直線 不難彳#到 MA= MC而。為AC的中點(diǎn)，因此 MOL AC,即/ MOA= 90,異面直線BD與AC所成的角為90.例4 a和b為異面直線，則過(guò) a與b垂直的平面（）.A .有且只有一個(gè)B. 一個(gè)面或無(wú)數(shù)個(gè)C .可能不存在D.可能有無(wú)數(shù)個(gè)錯(cuò)解：A.錯(cuò)因：過(guò)a與b垂直的平面條件不清.正解：C.EF垂直例5在正方體 AiBGDABCN, E、F分別是棱 AR BC的中點(diǎn)，O是底面ABCM中點(diǎn).求證: 平面BBO.證明 ：如圖，連接AC BD,則O為AC和BD的交點(diǎn).E、F分別是 AR BC的中點(diǎn)，.EF 是 ABC的中位線，EF/ AC.

11、, BB，平面 ABCD,AC=平面 ABCD.-.AC BB,由正方形 ABCD: AC BO,又BO與BB是平面BBO上的兩條相交直線,二AC，平面BBO（線面垂直判定定理）1. AC/ EF,EF，平面 BBO.OEL平只要在平例6如圖，在正方體 ABCD-ABiCQ 中，E是BB的中點(diǎn)，O是底面正方形 ABCD的中心，求證: 面 ACD .分析：本題考查的是線面垂直的判定方法.根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明OEJ.平面ACD ,面ACD內(nèi)找兩條相交直線與 OE垂直.證明：連結(jié)BD、AD、BD ,在 BiBD中, E,O分別是 BB和DB的中點(diǎn)，EO/ BiD . BA _L 面 AAD

12、D ,DA為DB在面AADD內(nèi)的射影.又 AD-LAiD , .AD _ DB同理可證BD_LDC .又 AD Qcd1 =D1 , AD,DiC匚 面 ACD ,BD_L 平面 ACD . BD/ OE , OE1 平面 ACD .在BC上,EF貝U EF匚點(diǎn) 評(píng)：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法.在證明線線垂 直時(shí)既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦 定理的應(yīng)用.D1 n例7.如圖，正方體 ABCD-ABGD中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M 且 CM=DNjt證：MN/平面 AABiB.證明：證法一.如圖，作ME/

13、 BC,交BB于E,作NF/ AD,交AB于F,連 平面AABiB.ME _ BiM NF _ BN 正 B1c ， AD - BD-，ME BN NFBC -bD - aD，- ME=NF又 ME/ BC/ AD/ NF,. MEFN平行四邊形證法二.如圖，連接并延長(zhǎng)CN交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連BiP,則BP匚平面 AABiB.MN/ EF.MN/平面 AABiB.DN CN 小IDCs小|BP,詞一市.CM_ = _DN_ = CN 又 CM=DN,BBD,MB1 - NB - NP .:.MN / BiP.丁 Bi P 二平面 AABiB,.MM 平面 AABiB.證法三.如圖，作 MPI

14、I BB,交BC于點(diǎn)P,連NP.CM CPMP/ BB, . mbi = pb .BD=BC,DN=CM, BiM = BN.CM _DNCP_DNMB； -NB，PB-INB.AlA二 NP/ CD/ AB.二面 MNP/ 面 AABiB.MM 平面 AABiB.ClC點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系單元測(cè)試第i題.下列命題正確的是()A.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面B .經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C.四邊形確定一個(gè)平面D.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面答案：D.第2題.如圖，空間四邊形 ABCD中，E, F, G, H分別是AB, BC, CD , DA的中點(diǎn).求證：四邊形 EFGH是平行四

15、邊形.答案：證明：連接 BD .因?yàn)镋H是4ABD的中位線，_, 一 一 1所以 EH / BD,且 EH = BD .21 同理，F(xiàn)G / BD,且 FG = BD .2因?yàn)?EH / FG ,且 EH =FG . 所以四邊形EFGH為平行四邊形.第 3 題.如圖，已知長(zhǎng)方體 ABCD ABCD中，AB = 2、/3, AD = 2J3 , AA，=2.(D BC和AC所成的角是多少度?(2 ) AA和BC所成的角是多少度?答案：（1） 45 ; （2） 60 .第4題.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面 ot內(nèi)，則l / a .若直線l與平面g平行，則l與平面a內(nèi)的任意

16、一條直線都平行.如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行.若直線l與平面口平行，則l與平面口內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn).A. 0B . 1C. 2 D. 3答案：B.第5題.若直線a不平行于平面0（,且a遼口，則下列結(jié)論成立的是（）A. a內(nèi)的所有直線與a異面B . a內(nèi)不存在與a平行的直線C. a內(nèi)存在唯一的直線與 a平行D.京內(nèi)的直線與a都相交 答案：B.第6題.已知a , b , c是三條直線，角a/b ,且a與c的夾角為8 ,那么b與c夾角為答案：0 .第7題.如圖，AA是長(zhǎng)方體的一條棱，這個(gè)長(zhǎng)方體中與AA垂直的棱共 條.答案:8條.第8個(gè).題.如果a, b

17、是異面直線，直線c與a, b都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有答案：2個(gè).第9題.已知兩條相交直線 a, b, a/平面a則b與a的位置關(guān)系是 .答案：b / a ,或b與a相交.第10題.如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每?jī)蓷l確定一個(gè)平面，一共可以確定幾個(gè)平面？如果三條直 線相交于一點(diǎn)，它們最多可以確定幾個(gè)平面？答案：3個(gè)，3個(gè).第11題.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中:BM與ED平行. CN與BE是異面直線.CN與BM成60?角. DM與BN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）A.，B.，C.，D.，答案：C.第12題.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為（）兩條直線和第

18、三條直線成等角，則這兩條直線平行；平行移動(dòng)兩條異面直線中的任何一條，它們所成的角不變；過(guò)空間四邊形 ABCD的頂點(diǎn)A引CD的平行線段 AE ,則NBAE是異面直線 AB與CD所成的角； 四邊相等，且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形A.0B . 1C.2D. 3答案：B.第13題.在空間四邊形 ABCD中，N, M分別是BC , AD的中點(diǎn)，則2MN與AB + CD的大小關(guān)系 是.答案：2MN AB +CD .第14題.已知a, b是一對(duì)異面直線，且a, b成70，角，P為空間一定點(diǎn)，則在過(guò)P點(diǎn)的直線中與a, b所成的角都為70，的直線有 條.答案：4.第15題.已知平面a P , P是平面a, P

19、外的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線m與平面a, P分別交于A, C兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線n與平面 % P分別交于B, D兩點(diǎn)，若PA = 6, AC = 9, PD=8,24則BD的長(zhǎng)為.答案：24或臼.5第16題.空間四邊形 ABCD中，E , F , G , H分別是AB , BC , CD , DA的中點(diǎn)，若AC = BD = a ,且AC與BD所成的角為90則四邊形EFGH的面積是.答案：-a2.4第17題.已知正方體 ABCD AB1clD1中，E, F分別為D1c1 , C1B1的中點(diǎn)， AC0|BD = P,AG Def =q .求證：(D D , B , F , E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平

20、面DBFE于R點(diǎn)，則P, Q, R三點(diǎn)共線.答案：證明：如圖.(1) ；EF 是 D1B1cl 的中位線，J.EF/BD1.在正方體 AC1 中，B1D1 / BD，: EF / BD .二EF確定一個(gè)平面，即 D , B , F , E四點(diǎn)共面.(2 )正方體 AC1中，設(shè)A ACG確定的平面為a ,又設(shè)平面BDEF為P .:Q w A1c1 ,二 Q w 汽.又 Q w EF ,Q w P .則Q是a與P的公共點(diǎn)，J. aI P = PQ .又 AC PIP = R,，. Z A1c.R w a ,且 R 亡 P ,則 R 亡 PQ .故P, Q, R三點(diǎn)共線.第18題.已知下列四個(gè)命題:

21、 很平的桌面是一個(gè)平面；_* _ .一 ，2一個(gè)平面的面積可以是4 m ;平面是矩形或平行四邊形；兩個(gè)平面疊在一起比一個(gè)平面厚.其中正確的命題有（）A. 0個(gè) B . 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè) 答案：A.第19題.給出下列命題：和直線a都相交的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)；三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)； 有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合； 兩兩平行的三條直線確定三個(gè)平面. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.0 B . 1 C.2 D. 3 答案：A.第20題.直線11 / 12,在li上取3點(diǎn)，12上取2點(diǎn)，由這5點(diǎn)能確定的平面有（）A. 9個(gè) B . 6個(gè) C. 3個(gè)D. 1個(gè)答案：D.第21題.三條直線相交于一點(diǎn)，可能確定的平面有（）A. 1個(gè)B . 2個(gè) C. 3個(gè)D. 1個(gè)或3個(gè)答案：D.第22題.下列命題中，不正確的是（）一條直線和兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面； 每?jī)蓷l都相交但不共點(diǎn)的四條直線一定共面；兩條相交直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面； 兩條互相垂直的直線共面.A.與 B ,與 C.與 D.與 答案：B.第23題.分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是（）A .異面直線B ,相交直線C .不相交直線D .不平行直線 答案：D.ABCD, AB1