數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義――直線與圓的方程

1、數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義直線與圓的方程一、例題 例1 求函數(shù)(3cos 02sin f +=-,的值域.例2 當(dāng)實(shí)數(shù)x ,y 滿足(2211x y +-=時(shí),不等式0x y m +恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.例3 過直線:5l x =上一動(dòng)點(diǎn)M 作圓22:16C x y +=的兩條切線,切點(diǎn)分別為1T ,2T ,試求12M T T 的垂心H的軌跡方程. 二、練習(xí)題1. 若直線1:440l x y +-=,2:0l m x y +=與3:2340l x m y -=能圍成一個(gè)三角形,則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是_.2. 方程 |1x -=表示的曲線是_.3. 以兩圓221:410C x y x y +=與22

2、2:2210C x y x y +=的公共弦為直徑的圓的方程為_.4. 已知當(dāng)a R 且1a 時(shí),圓2222(220x y ax a y +-+-+=總與直線l 相切, 則直線l 的方程是_.5. 在平面直角坐標(biāo)系中,橫縱坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn),則過點(diǎn)且其上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn)的直線的條數(shù)為_.6. 在平面直角坐標(biāo)系中,橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn),則平面上的整點(diǎn)到直線54:35l y x =+的距離的最小值是_.7. 已知矩形A B C D 的頂點(diǎn)C 的坐標(biāo)為(4,4,頂點(diǎn)A 在圓22:9(,0O x y x y += 上移動(dòng),且A B ,A D 兩邊始終分別平行于x 軸,y 軸,求矩

3、形A B C D 面積的最小值,以及取得最小值時(shí)點(diǎn)A 的坐標(biāo).8. 已知直線:l y x b =+與圓22:(11C x y +=相交于A ,B 兩點(diǎn),點(diǎn)P 在l 上,且|2PA PB =.當(dāng)b 變化時(shí),求點(diǎn)P 的軌跡方程.9.(2012年全國(guó)聯(lián)賽在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,菱形A B C D 的邊長(zhǎng)為4,且|6OB OD =.(1求證:|OA OC 為定值; (2當(dāng)點(diǎn)A 在半圓22:(24(24M x y x -+= 上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)C 的軌跡.10. 直線l 與O 相離,點(diǎn)P 為l 上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P 引O 的兩條切線,切點(diǎn)分 別為A ,B ,求證:直線A B 過定點(diǎn).數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義直線與

4、圓的方程參考答案1.1214.63m m -x y x y +=5.答案:1.分析:顯然,若存在這樣的直線,則該直線必有斜率.下面用反證法.證明斜率必為零.假設(shè)斜率不為零,設(shè)點(diǎn)11(A p q ,與22(B p q ,為該直線上的兩個(gè)不同的有理點(diǎn),則有2121q q p p -=-, 注意到等號(hào)的左邊是個(gè)無理數(shù),而右邊是有理數(shù),矛盾.因此假設(shè)錯(cuò)誤,即滿足條件的直線的斜率必為零. 注:此題屬競(jìng)賽級(jí)別. 6.答案: 85lP分析:平面上的整點(diǎn)(a b ,到直線54:35l y x =+的距離(,d a b =, 因5(53a b -為5的倍數(shù),故當(dāng)且僅當(dāng)5(5310a b -=-,即532a b

5、-=-,亦即32a k =+,54b k =+(k Z (根據(jù)數(shù)論中的孫子定理,當(dāng)然若想簡(jiǎn)單一點(diǎn),取1a b =-便可時(shí),(,d a b 取最小值. 注:此題屬競(jìng)賽級(jí)別. 7.當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為4422-+ , 或4422+- ,時(shí),矩形A B C D 面積最小且最小值為72.8.答案:點(diǎn)P的軌跡方程為22(13(11x y y x +=<-<. 分析:易見點(diǎn)P 在圓C 的外部,即點(diǎn)P 在點(diǎn)A 、B 的同側(cè).否則,若點(diǎn)P 在線段A B上,則22|22|122PA PBr PA PB += (這里r 為圓C 的半徑,矛盾.利用切割線定理,設(shè)直線P T 與圓C 相切于點(diǎn)T ,則有2|

6、2PT PA PB =,于是222|213PC PT r =+=+=,這表明點(diǎn)P 在以(0,1C - 但不能說這個(gè)圓就是點(diǎn)P 的軌跡,因?yàn)辄c(diǎn)P 還有其他約束條件,即點(diǎn)P 在直線l 上,而l 是要與圓C 相交的.9.(1(從幾何關(guān)系入手設(shè)點(diǎn)E 為菱形A B C D 的對(duì)角線的交點(diǎn),則222222222222|(|(|(|=|(|6420.OA OC OE AE OE EC OE AE OB BE AE OB BE AE OB AB =-+=-=-+=-=-=注:此題的條件可以簡(jiǎn)化一下.(2(利用圓的參數(shù)方程因點(diǎn)A 在半圓22:(24(24M x y x -+=上運(yùn)動(dòng),l13.x -1PTBA P

7、 C O2 故可設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ( 2 + 2 co s a ， sin a (a Î - p p 2 ， 2 ， 再利用（1）的結(jié)論，可得點(diǎn) C 的參數(shù)方程為 ì x = 5， ï í a ï y = 5 tan î 2 （ a 為參數(shù)，且 a Î - p p 2 ， ） ， 2 即點(diǎn) C 的軌跡是一條線段，端點(diǎn)為 (5， 5 ， (5， . - 5 10. 如圖建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)圓 O 的半徑為 r ， 直線 l 的方程為 x = a ( a > r ， l 上的動(dòng)點(diǎn) P ( a， t ，切點(diǎn) A ( x1，

8、 y1 ， B ( x 2， y 2 ， y A(x1,y1 l P(a,t r a x B(x2,y2 則切線 P A ， P B 的方程分別為 x1 x + y 1 y = r 2 ， x2 x + y2 y = r 2 ， O 因點(diǎn) P ( a， t 在切線 P A ， P B 上，故 x1 a + y 1 t = r 2 ， x2 a + y 2t = r 2 ， 15. 上述兩個(gè)方程表明 A， B 都在直線 a x + ty = r 2 上，這恰是直線 A B 的方程. 據(jù)此方程可知，直線 A B 恒過定點(diǎn) ( r 2 ， 0 a . 換個(gè)角度， 由于 O A A P ，O B B P ，