導(dǎo)數(shù)放縮必備題型

1、上次發(fā)貼介紹了下2014年課標(biāo)1卷的放縮做法，發(fā)現(xiàn)很多人不太懂放縮，而且吧里似乎沒 有專門講解放縮的貼子。鑒于本人是河北人，研究過一些導(dǎo)數(shù)里較難的題，比如數(shù)列不等式， 所以斗膽在此發(fā)表一些自己的心得，希望大家能獲益。數(shù)學(xué)老手，貼吧新手，發(fā)帖有什么不 好的地方請輕噴。 2013遼寧已知審數(shù)f(x) = (1 +g(x) = ax+牛 +1 + 2xcosx. G 04時(shí)，(1)求證：1 - x f( (x) 曾( (X) )恒成立，求實(shí)數(shù) N 的収血范崗此貼思路是這樣的，先介紹放縮的思想、應(yīng)用及注意事項(xiàng)，然后簡單提下數(shù)列中的放縮，再 重點(diǎn)介紹函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的放縮，拓展一些知識，附上一些例題。從最簡

2、單的例子開始比如我們要證明ne，我們知道n3，3e。我們可以把要證的不等 式ne左邊的n縮小為3,3比e大是對的，n比e大就得證。同理也可把右邊的e放大為3。上面的例子太過簡單，真到復(fù)雜的情況，可能你似懂非懂的了解了放縮但還是應(yīng)用不上，真 的理解還是要靠題目。直接來到高大上的題，搞清了就理解放縮了。第一問略過(等號左邊的取對數(shù)易證，等號右邊把帖子看完就知道多好證了)？第二問說思路，首先這個(gè)式子太過龐大，有指數(shù)有三角，而且不管怎么變形求導(dǎo)，都無法消 除其中一種，所以常規(guī)法是很難做甚至是不可做的。再看第一問有放縮的提示，所以考慮放 縮。如果1-xg(x)這時(shí)求得ag(x)的，或者說這個(gè)范圍就是個(gè)充

3、分條件，我們只須論證其必要性。也就是證a3時(shí)f(x)g(x)不成立，即g(x)f(x),這時(shí)再把f(x)放大為1/(1+x) 與g(x)比較，在a3時(shí)，作差求導(dǎo)得出g(x)f(x),所以a冬3為充要條件 詳答不放，重要的是思路，計(jì)算過程現(xiàn)在都可以不算，只要把這個(gè)思路倒騰清楚，放縮思想 基本就有了， 而且不局限在證明不等式了 注意事項(xiàng)：第一：放縮要注意尺度，比如證ne,你要是想到了n2,然后想用2e來證明，那當(dāng)然不行，你放縮的尺度太大了，復(fù)雜題中，有時(shí)這尺度不容易把握。第二：看清楚不等號及放縮方向，有時(shí)你做著做著就蒙了，就看不清了。比如你要證ne，你想到了e2，一看n2，以為自己證出來了，其實(shí)呢

4、，你已經(jīng)暈了。這個(gè)例子你看著滑 稽，自己做難題時(shí)這種情況而正常。第三：注意有放有留，在數(shù)列中常用，我們通常把數(shù)列的第一項(xiàng)或者前兩項(xiàng)不進(jìn)行放縮，只 放縮后面的，借此來控制放縮的尺度(因?yàn)橛袝r(shí)前面的項(xiàng)放縮會尺度過大)。更高端的，我們可以把數(shù)列的后面的拿出n項(xiàng)來，只對后面的n項(xiàng)放縮，而不放縮前面的(因?yàn)橛袝r(shí)后面 的放縮會尺度過大)。第三條中更更咼端的，我們可以借項(xiàng)。比如數(shù)列an=n，其前n項(xiàng)和本應(yīng)為1+2+3+4+ +n我們可以寫為1+2+3+4+n+【(n+1)+(n+2)+.2n】-【(n+1)+(n+2)+.2n】，就是加上n項(xiàng)再減去n項(xiàng)，然后對減去的n項(xiàng)或加上的n項(xiàng)進(jìn)行放縮(之所以要放縮減去

5、 的那些項(xiàng)，是因?yàn)橛袝r(shí)候不等號方向和你已知的放縮式子可能不合適，但如果放縮減號后的那些項(xiàng)可以解決這個(gè)問題現(xiàn)在來介紹下數(shù)列中的放縮，河北數(shù)列難度小，所以我了解的不如導(dǎo)數(shù)多，只舉三個(gè)例子吧。 第一，腦筋急轉(zhuǎn)彎型放縮，平凡之中暗藏坑爹，此類題題號靠前，難度不大，卻可以很坑爹。例：求證1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+1/(n+n)v1難嗎，有沒有發(fā)現(xiàn)左邊n個(gè)式子每一項(xiàng)都比1/n小,那n個(gè)合起來當(dāng)然比1小了，這不這么 顯然嗎？如果你考試時(shí)做不出來，請拿出小學(xué)生考你腦筋急轉(zhuǎn)彎你答不出來的心態(tài)來。第二條較常用(導(dǎo)數(shù)中有道數(shù)列不等式也要用它，在此只舉一例)這類放縮就是朝裂項(xiàng)相消方向靠攏。很顯然

6、的，我們有1/n(n+1)v1/nA2v1/n(n-1)(原諒我不會把平方打成角標(biāo))。當(dāng)然我們有 更加強(qiáng)版的1/nA2v1/(n+1)( n-1)。如此只要有平方倒數(shù)，我們可以考慮用這些不等式將其放縮為能裂項(xiàng)相消求和的式子，舉個(gè)，而是否用加強(qiáng)版的放縮，要看題里的條件，用那個(gè)式子更美觀，加強(qiáng)版不見得是好的。例如an=1/nA2，求證Snv2，我們可以將a1保留(顯然放縮之中a1沒有定義)，從a2開 始放縮為1/n(n-1)，熟悉的裂項(xiàng)求和求出，后面部分的和是小于1的。用加強(qiáng)版一定也可以， 但是那個(gè)計(jì)算起來要稍微麻煩些，沒必要。第三是一個(gè)指數(shù)型的放縮，具體題目我忘了，是個(gè)老題，沒必要過分糾纏，做法

7、很多，我只 取我自己獨(dú)創(chuàng)的做法，覺得還是比較好的，至少比老師講的簡單些。an=3A門-2八n，求Sn小于什么還是大于什么我忘了，反正顯然是要放縮，這個(gè)尺度不好把握， 我是這么來把握的。an=(3/2)A門-1*2八門，然后令二分之三的指數(shù)n=1,2,3等某個(gè)定值，再等比求和。因?yàn)槎种?三是比一要大的，其指數(shù)函數(shù)是遞增的，把n限制為某個(gè)值，他一定變小了，控制n的值就 一定程度控制了放縮尺度。為什么能想到這呢，其實(shí)你對題有研究的精神，有興趣，沒事多想想，就肯定能有靈感，能 超越老師的思路，這個(gè)誰都可以有。首先，我來提一個(gè)高大上的東西，就是高數(shù)里面的泰勒公式，這個(gè)只是背景，了解就行，感 興趣的可以

8、找百科或者高數(shù)書。就是從某個(gè)點(diǎn)X0處，我們可以構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)的鄰域中的值，如果這個(gè)點(diǎn)是0，就是形式比較簡單的麥克勞林級數(shù)。簡而言之，它的功能就是把坑爹的超越式近似表示為幕函數(shù)。1 F=0sinx二H=0然后給出高中階段常用的放縮的不等式，推薦背過，題里一般會提示，若無提示，用這些也 有可能讓題目簡單。eAxx1?x-1lnx11/x?V1+x1+x/2根號不會打，平方下就知道這式子怎么來的了。)1議八2/2-1，在nl時(shí)，有(1+X)n1+nx成立；在0wnW時(shí)，有(1+X)Anx+1，這是取的麥克勞林級數(shù)的前兩項(xiàng)。我們對該式兩邊取以自然對數(shù)，得到xln(x+1),用x-1替

9、換x就得，Inxw-x1。在這個(gè)式從圖像中也可以看出x+1和x-1正好是切線，這樣憑這個(gè)圖像很容易就記住了這兩個(gè)不等式不同的第三道2014課標(biāo)1，我知道可以不用放縮，但此帖就是在講放縮。欣)=/In*) +-求證？_ _蘭一 1，顯然eAx-1/x是1的，但它的系數(shù)為2，你要是直f(x) = ln(x) + -尸+ 1接弄成2就錯(cuò)了，f(x)是大于*的，證這個(gè)大于1，兩邊都有1f(x = eJn(x) + 1可消掉，成了證明大于0，那就好多了，都除以ex-l, -就成了證它0,求導(dǎo)求最小值，恰好是0,等號不同時(shí)取，所以是大于。第四，我忘了原題了，原題要復(fù)雜，我只編個(gè)簡單點(diǎn)的說明下這個(gè)靈活的思想

10、吧。跟我思路 來。求證：xA2+(lnx)A21/2。xInx+1,所以只須證(Inx+1)A2+(lnx)A21/2，令t=lnx+1，(換 元成2次函數(shù))，則轉(zhuǎn)化為證2tA2-2t+11/2。二次函數(shù)求最小值，就是1/2其實(shí)就是告訴大家，一定一定要很靈活，我們的思路都是轉(zhuǎn)化為幕函數(shù)，這個(gè)題，卻將幕轉(zhuǎn) 化為對數(shù)(受不等號方向的限制)，然后又通過大家熟知的換元法轉(zhuǎn)化為簡單的二次函數(shù)。 接下來講下一類數(shù)列不等式簡單證法?？搭}。求證1+1/2+1/3+1/4+1/nIn(n+1)，這種題，數(shù)學(xué)歸納法是可以的，但步驟 未免有些繁瑣，我們有簡化的證法。把這個(gè)不等式看作關(guān)于n的式子，復(fù)制一個(gè)n-1的式子

11、1+1/2+1/3+1/4+1/(n-1) In(n)用上式減下式，得1/nIn(1+1/n)(上面的不等 式可證明，令x=1/n)1/nIn(1+1/n)分別求和就可證出上面的式子。所以遇見數(shù)列不等式，先復(fù)制n-1的式子，如果不等號兩邊都是某數(shù)列的前n項(xiàng)和，這樣就可以找到兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，由通項(xiàng)的大小就可以證明前n項(xiàng)和的大小。2014石家莊質(zhì)檢二，第一問不用說，看著也很眼熟吧，awl自己算。第二問，這個(gè)不等式首先也不可能作差，需要一定的變形。說下思路，首先應(yīng)該把(3n)An除到左邊來，觀察 這 個(gè)式子肯定是某個(gè)以e為公比的等比數(shù)列前n項(xiàng)和(很多題都是等比，因?yàn)榈缺群竺娴拇螖?shù) 掛上n的可以忽略)考慮不等式