第2章 數(shù)學模型2-1,2

1、第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 v2.0 2.0 引言引言: :關于數(shù)學模型關于數(shù)學模型微分方程的線性化微分方程的線性化 方框圖方框圖第第2 2章章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型線性系統(tǒng)的數(shù)學模型第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 關于數(shù)學模型關于數(shù)學模型一、模型種類1、形象模型 把一個問題（或整個事件）按照一定比例濃縮成把一個問題（或整個事件）按照一定比例濃縮成一個直觀的、形象的數(shù)學符號表示。一個直觀的、形象的數(shù)學符號表示。第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 研究某一問題時研究某一問題時所建立的實驗裝置。所建立的實驗裝置。2、物理模型第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 如，一個簡諧振動系統(tǒng)，其數(shù)學表達式可以寫為如，一個簡諧振動系

2、統(tǒng)，其數(shù)學表達式可以寫為0)()(222txdttxd 數(shù)學模型的重要性：數(shù)學模型的重要性： （1 1）數(shù)學模型是研究控制系統(tǒng)的理論基礎。）數(shù)學模型是研究控制系統(tǒng)的理論基礎。 （2 2）各種物理裝置的物理特性各不相同，但它們）各種物理裝置的物理特性各不相同，但它們的數(shù)學模型卻是相同的。的數(shù)學模型卻是相同的。 描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及各變量之間關系的數(shù)描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及各變量之間關系的數(shù)學表達式，稱為該系統(tǒng)的數(shù)學模型。學表達式，稱為該系統(tǒng)的數(shù)學模型。3、數(shù)學模型第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 二、靜態(tài)和動態(tài)數(shù)學模型1 1、靜態(tài)模型、靜態(tài)模型 在變量的各階導數(shù)均為在變量的各階導數(shù)均為零的條件

3、下，描述系統(tǒng)各變零的條件下，描述系統(tǒng)各變量之間關系的數(shù)學表達式，量之間關系的數(shù)學表達式，稱為靜態(tài)數(shù)學模型。稱為靜態(tài)數(shù)學模型。 其特點是其特點是：（1 1）數(shù)學方程為）數(shù)學方程為不含時間不含時間變量變量的代數(shù)方程。的代數(shù)方程。（2 2）描述了）描述了平衡態(tài)平衡態(tài)下各變量之下各變量之間的對應關系。間的對應關系。（3 3）輸入輸出或中間量）輸入輸出或中間量不隨時不隨時間變化間變化。2 2、動態(tài)模型、動態(tài)模型 描述系統(tǒng)各變量以描述系統(tǒng)各變量以及變量的各階導數(shù)之間及變量的各階導數(shù)之間關系的數(shù)學表達式，稱關系的數(shù)學表達式，稱為動態(tài)數(shù)學模型。為動態(tài)數(shù)學模型。 其特點是其特點是：（1 1）數(shù)學方程為）數(shù)學方程

4、為含時間含時間變量變量的微分方程。的微分方程。（2 2）描述了）描述了非平衡態(tài)非平衡態(tài)下各變下各變量之間的對應關系。量之間的對應關系。（3 3）輸入輸出或中間量）輸入輸出或中間量隨時隨時間變化間變化。第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 三、建立數(shù)學模型的方法1 1、解析法、解析法（機理分析法機理分析法） 指從控制元件或系統(tǒng)各變量之間所遵循的物指從控制元件或系統(tǒng)各變量之間所遵循的物理或化學的規(guī)律出發(fā)，列寫出變量間的數(shù)學表達理或化學的規(guī)律出發(fā)，列寫出變量間的數(shù)學表達式，從而建立起系統(tǒng)的數(shù)學模型式，從而建立起系統(tǒng)的數(shù)學模型2 2、實驗法、實驗法（系統(tǒng)辨識法系統(tǒng)辨識法） 指對實際控制系統(tǒng)或元件施加一定形式的輸

5、指對實際控制系統(tǒng)或元件施加一定形式的輸入信號，通過取得系統(tǒng)或元件的輸出響應，入信號，通過取得系統(tǒng)或元件的輸出響應，并用并用適當?shù)倪m當?shù)臄?shù)學模型去數(shù)學模型去逼近逼近系統(tǒng)的系統(tǒng)的輸入輸出特性輸入輸出特性來建來建立數(shù)學模型。立數(shù)學模型。第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 （1 1）分析系統(tǒng)工作原理，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，）分析系統(tǒng)工作原理，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)和環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，每個環(huán)節(jié)可考慮列確定系統(tǒng)和環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，每個環(huán)節(jié)可考慮列寫一個方程；寫一個方程； （2 2）根據(jù)各變量所遵循的基本定律或通過實驗等方）根據(jù)各變量所遵循的基本定律或通過實驗等方法得出的基本規(guī)律，列寫各環(huán)節(jié)的原始方

6、程式，并考慮法得出的基本規(guī)律，列寫各環(huán)節(jié)的原始方程式，并考慮適當簡化和線性化；適當簡化和線性化； （3 3）將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得）將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得出只含輸入、輸出變量及其導數(shù)的微分方程；出只含輸入、輸出變量及其導數(shù)的微分方程； （4 4）將輸出變量及各階導數(shù)放在等號左邊，將輸入）將輸出變量及各階導數(shù)放在等號左邊，將輸入變量及各階導數(shù)放在等號右邊，并按降冪排列，最后將變量及各階導數(shù)放在等號右邊，并按降冪排列，最后將系統(tǒng)歸化為具有一定物理意義的形式，成為標準化微分系統(tǒng)歸化為具有一定物理意義的形式，成為標準化微分方程。方程。 四、建立數(shù)學模型的步驟第2章

7、線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 例例1 1 如圖所示，為如圖所示，為RCRC無源網(wǎng)絡。試建立該網(wǎng)絡的無源網(wǎng)絡。試建立該網(wǎng)絡的微分方程微分方程 解：電路理論知：解：電路理論知： )()()(0tutRituidttiCtu)(1)(0又dttduCti)()(0)()()(00tutudttduRCi第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 例例2 2 如圖所示，為如圖所示，為RLRL無源網(wǎng)絡。試建立該網(wǎng)絡的無源網(wǎng)絡。試建立該網(wǎng)絡的微分方程微分方程 解：電路理論知：解：電路理論知： )()()(0tutRituidttdiLtu)()(0又dttuLti)(1)(0dttdutuLRdttdui)()()(00第2章 線

8、性系統(tǒng)的數(shù)學模型 例例2-1 試列寫圖中所示試列寫圖中所示RC無源網(wǎng)絡的微分方程。輸無源網(wǎng)絡的微分方程。輸入為入為ui(t)，輸出為輸出為u0(t) 。 解解: : 根據(jù)基爾霍夫定理，可列出以下式子：根據(jù)基爾霍夫定理，可列出以下式子：)1()()(1)()(21111dttitiCtiRtui)2()(1)()()(12222211dttiCtiRdttitiC)3()(1)(220dttiCtu)4()(:022dttduCi 即第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 )6()(1:)5()(1:)2()4()3(0202222110022211dtdudtudCRiiCtudtduCRdtiiC求導得

9、上式兩邊對得代入、將)7(0120221221dtduCdtudCCRii)7()7(/011202212121111dtduCRdtudCCRRiRiRR式兩邊同乘第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 令令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 為時間常數(shù)，則得為時間常數(shù)，則得 )9()()()()()(0032120221tutudttduTTTdttudTTi該網(wǎng)絡的數(shù)學模型是一個二階線性常微分方程。該網(wǎng)絡的數(shù)學模型是一個二階線性常微分方程。)8()() 1 ()7()5()4(002221112022121/iuudtduCRCRCRdtudCCRR式，并整理得：式代入、將第2章 線性系

10、統(tǒng)的數(shù)學模型 )(ti dttduCtitutRidttdiLtuooi)()()()()()()()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo 線性定常二階微分方程線性定常二階微分方程例例3 3 列寫列寫RLC串聯(lián)電路的微分方程。串聯(lián)電路的微分方程。解：設回路電流為解：設回路電流為，得：，得：消去消去)(ti第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 例例2-2-2 2 圖為一彈簧阻尼系統(tǒng)，當外力圖為一彈簧阻尼系統(tǒng)，當外力F F(t)(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產生運動。試列寫外力將產生運動。試列寫外力F F(t)(t)與位移與位移y y(t)(t)之間的微分方程。之間的微分

11、方程。 2221)()()()(dttydmtttFFF)()(1tkytFdttdyft)()(2F k 彈簧系數(shù)彈簧系數(shù) f 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)解：解： 彈簧阻力彈簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力和粘性摩擦阻力F2(t)，根據(jù)牛頓第二定律有根據(jù)牛頓第二定律有 ：)15()(1)()()(:22tktydttdykfdttydkmF即)16()()()(2)(:222tKtydttdyTdttydTF或,/,kmT 式中),2/(mkfkK/ 1時間常數(shù)時間常數(shù)阻尼比阻尼比放大系數(shù)放大系數(shù)第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 )16()()()(2)(222tKtydttdyTdttydTF)9()()(

12、)()()(0032120221tutudttduTTTdttudTTi比較比較(9)、(16)兩式：兩式：（2 2）一類系統(tǒng)的研究結果可以推廣到另一類系統(tǒng)系統(tǒng)（相似性）一類系統(tǒng)的研究結果可以推廣到另一類系統(tǒng)系統(tǒng)（相似性）（1 1）研究各類系統(tǒng)的動力學可通過研究其數(shù)學模型來開展）研究各類系統(tǒng)的動力學可通過研究其數(shù)學模型來開展；（3 3）從動力學上看：一類系統(tǒng)可以模仿另一類系統(tǒng)（仿真、模擬）從動力學上看：一類系統(tǒng)可以模仿另一類系統(tǒng)（仿真、模擬）第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 電磁力矩：電磁力矩： 安培定律安培定律電樞反電勢：電樞反電勢： 楞次定律楞次定律電樞回路：電樞回路： 基爾霍夫基爾霍夫力矩平衡

13、：力矩平衡： 牛頓定律牛頓定律brERiu mebcE icMmm mmmmmmmMfJ 電機時間常數(shù)電機時間常數(shù) 電機傳遞系數(shù)電機傳遞系數(shù) )/()/(memmmmemmmccfRcKccfRRJTrmmmmrmmmmuKdtddtdTuKdtdT22消去中間變量消去中間變量 i, Mm , Eb 可得：可得：例例4 4 電樞控制式直流電動機電樞控制式直流電動機第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 例例2-2-3 3 電樞控制的它激直流電動機如圖所示，電電樞控制的它激直流電動機如圖所示，電樞輸入電壓樞輸入電壓ua(t)，電動機輸出轉角為電動機輸出轉角為 (t)(t)。Ra、La、ia(t)分別為電樞電

14、路的電阻、電感和電流，分別為電樞電路的電阻、電感和電流，if為恒定激磁電為恒定激磁電流，流，eb為反電勢，為反電勢，f為電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)，為電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)，G為為電樞質量，電樞質量，D為電樞直徑，為電樞直徑，ML為負載力矩。為負載力矩。 第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 解解 ：電樞回路電壓平衡方程為電樞回路電壓平衡方程為 baaaaaedttdiLtiRtu)()()(dttdceeb)(ce為電動機的反電勢系數(shù)為電動機的反電勢系數(shù) 力矩平衡方程為力矩平衡方程為 LDMdttdfdttdJM)()(22)(ticMaMD式中式中 為電動機電樞的轉動慣量為電動機電樞的轉動慣量 gG

15、DJ42為電動機的力矩系數(shù)為電動機的力矩系數(shù) Mc電磁轉距電磁轉距電機轉電機轉動力矩動力矩阻尼力矩阻尼力矩負載力矩負載力矩第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 整理得整理得 ：dtdMLMRucdttdccfRdttdJRfLdttdJLLaLaaMMeaaaa )()()()()(2233dttd)(無量綱放大系數(shù)無量綱放大系數(shù)aaeRLT MeaMccJRTMeafccfLT eccK1MeafccfRK電機轉速電機轉速時間常數(shù)時間常數(shù)電磁電磁時間常數(shù)時間常數(shù)機電時間常數(shù)機電時間常數(shù)電機傳遞系數(shù)電機傳遞系數(shù)第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 dtdMccLMccRtuKKdtdTTdtdTeTLMeaLMe

16、aaeffMM)( ) 1()(22方程化簡為方程化簡為)()()()(22tuKtdttdTdttdTeTaeMM忽略黏性，在空載情況下方程化簡為忽略黏性，在空載情況下方程化簡為第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 例例2-2-4 4 熱水電加熱系統(tǒng)，如圖所示，為減熱水電加熱系統(tǒng)，如圖所示，為減小周圍空氣的熱損耗，槽壁是絕熱的，控溫元件小周圍空氣的熱損耗，槽壁是絕熱的，控溫元件是電動控溫開關。是電動控溫開關。 第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 根據(jù)能量守恒定律根據(jù)能量守恒定律 liChQQQQQ0其中其中 Qh加熱器供給的熱量；加熱器供給的熱量；dtdTCQCVHTQ0iiVHTQ RTTQel C貯槽水的

17、熱容量；貯槽水的熱容量；V流出槽水的流量；流出槽水的流量；H 水水的比熱；的比熱；R熱阻；熱阻；Ti進入槽水的溫度；進入槽水的溫度；T槽內水槽內水的溫度；的溫度；Te槽周圍空氣溫度。槽周圍空氣溫度。 Ql 隔熱壁逸散的熱量隔熱壁逸散的熱量:QC 貯槽內水吸收的熱量；貯槽內水吸收的熱量；Q0 熱水流出槽所帶走的熱量熱水流出槽所帶走的熱量:Qi冷水進入槽帶入的熱量冷水進入槽帶入的熱量:第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 整理得：整理得： RTTTTVHdtdTCQeih)( 一般情況下，描述線性定常系統(tǒng)輸入與輸出關系的一般情況下，描述線性定常系統(tǒng)輸入與輸出關系的微分方程為微分方程為 : :)()()()(

18、)()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn或或 mjjmjmjniininidttrdbdttcda00)()(返回第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 （1 1）分析系統(tǒng)工作原理，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，）分析系統(tǒng)工作原理，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)和環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，每個環(huán)節(jié)可考慮列確定系統(tǒng)和環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，每個環(huán)節(jié)可考慮列寫一個方程；寫一個方程； （2 2）根據(jù)各變量所遵循的基本定律）根據(jù)各變量所遵循的基本定律( (物理定律、化學物理定律、化學定律定律) )或通過實驗等方法得出的基本規(guī)

19、律，列寫各環(huán)節(jié)的或通過實驗等方法得出的基本規(guī)律，列寫各環(huán)節(jié)的原始方程式，并考慮適當簡化和線性化；原始方程式，并考慮適當簡化和線性化； （3 3）將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得）將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得出只含輸入、輸出變量及其導數(shù)的微分方程；出只含輸入、輸出變量及其導數(shù)的微分方程； （4 4）將輸出變量及各階導數(shù)放在等號左邊，將輸入）將輸出變量及各階導數(shù)放在等號左邊，將輸入變量及各階導數(shù)放在等號右邊，并按降冪排列，最后將變量及各階導數(shù)放在等號右邊，并按降冪排列，最后將系統(tǒng)歸化為具有一定物理意義的形式，成為標準化微分系統(tǒng)歸化為具有一定物理意義的形式，成為標準化微分方程。方

20、程。 一、建立數(shù)學模型的步驟第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 1 1、實際的物理系統(tǒng)和化學系統(tǒng)，嚴格地講，都是非線性、實際的物理系統(tǒng)和化學系統(tǒng)，嚴格地講，都是非線性系統(tǒng)。系統(tǒng)。一、為什么要線性化第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 當非線性因素對系統(tǒng)影響較小時，一般可直接將系統(tǒng)當非線性因素對系統(tǒng)影響較小時，一般可直接將系統(tǒng)當作線性系統(tǒng)處理。另外，如果系統(tǒng)的變量只發(fā)生微小的當作線性系統(tǒng)處理。另外，如果系統(tǒng)的變量只發(fā)生微小的偏移，則可通過偏移，則可通過切線法切線法進行線性化，以求得其增量方程式。進行線性化，以求得其增量方程式。 2 2、線性系統(tǒng)的理論已經(jīng)相當成熟，但非線性系統(tǒng)的理論、線性系統(tǒng)的理論已經(jīng)相當成熟，但

21、非線性系統(tǒng)的理論還遠不完善。還遠不完善。第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 將非線性函數(shù)在工作點附近展開成將非線性函數(shù)在工作點附近展開成泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)，忽略掉，忽略掉高階無窮小量及余項，得到近似的線性化方程，來替代原高階無窮小量及余項，得到近似的線性化方程，來替代原來的非線性函數(shù)。來的非線性函數(shù)。 二、線性化條件二、線性化條件1 1、實際控制系統(tǒng)工作在某平衡點（靜態(tài)工作點）附近。、實際控制系統(tǒng)工作在某平衡點（靜態(tài)工作點）附近。2 2、變量的變化是小范圍的。、變量的變化是小范圍的。3 3、函數(shù)值與各階導數(shù)連續(xù)（至少在工作范圍內如此），、函數(shù)值與各階導數(shù)連續(xù)（至少在工作范圍內如此），換句話說，換句話說，

22、特性曲線是光滑的特性曲線是光滑的。三、線性化的方法三、線性化的方法第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 設元件的輸出與輸入之間設元件的輸出與輸入之間關系為關系為x2=f(x1)，特性曲線特性曲線如圖，元件的工作點為如圖，元件的工作點為(x10，x20)。將非線性函數(shù)將非線性函數(shù)x2= f(x1)在工作點在工作點(x10，x20)附近展開附近展開成泰勒級數(shù)成泰勒級數(shù) )(! 21)()()(2101212101110121010 xxdxfdxxdxdfxfxfxxx第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 當當 為微小增量時，可以略去二階以上各項為微小增量時，可以略去二階以上各項)(101xx )()()(10112

23、010111021010 xxdxdfxxxdxdfxfxxx即即為工作點處的斜率其中，101xdxdfK )(101202xxKxx 略去增量符號略去增量符號，便得函便得函數(shù)數(shù)x2= f(x1)在工作點在工作點(x10，x20)附近的線性化方程附近的線性化方程12Kxx 12xKx第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 對于有兩個自變量對于有兩個自變量x1、x2的非線性函數(shù)的非線性函數(shù)y= f(x1，x2) 在工作點在工作點(x10，x20，y0 )附近展開成泰勒級數(shù)附近展開成泰勒級數(shù) )()(2)(! 21)()(),(2202,222202101,2122101,212202,2101,120102

24、0102010201020102010 xxxyxxxxxxyxxxyxxxyxxxyxxfyxxxxxxxxxx第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 略去二階以上各項，并令略去二階以上各項，并令202210110 xxxxxxyyy， 得增量線性化方程得增量線性化方程22112,21,120102010 xKxKxxyxxyyxxxx20102010,22,11xxxxxyKxyK，其中，第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 iQHAoQ 例例1：液位系統(tǒng)的微分方程。：液位系統(tǒng)的微分方程。Qi為進水流量，為進水流量， 出水流量為出水流量為 ，為常數(shù)。為常數(shù)。H為液位高度，為液位高度，A為水池截面積。為水池截面積。HQo 解解（1 1）建立原始方程）建立原始方程：oiQQdtdVAHV iQHdtdHA 非線性微分方程非線性微分方程怎么來怎么來的？的？第2章 線性系統(tǒng)的數(shù)學模型 （2）線性化處理）線性化處理： 設設Q0在工作點連續(xù)可導在工作點連續(xù)可導 )(! 21)(20220