復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

1、課題：函數(shù)的單調(diào)性二復(fù)合函數(shù)單調(diào)性北京二十二中劉青教學(xué)目標(biāo)1 .掌握有關(guān)復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的四個(gè)引理.2 .會(huì)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3 .必須明確復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1 .教學(xué)重點(diǎn)是教會(huì)學(xué)生應(yīng)用本節(jié)的引理求出所給的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2.教學(xué)難點(diǎn)是務(wù)必使學(xué)生明確復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集教學(xué)過程設(shè)計(jì)師：這節(jié)課我們將講復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,下面我們先復(fù)習(xí)一下復(fù)合函數(shù)的定義生：設(shè)y=fu的定義域?yàn)锳,u=gx的值域?yàn)锽,假設(shè)AB,那么y關(guān)于x函數(shù)的y=fgx叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù),u叫中間量.師：很好.下面我們?cè)購(gòu)?fù)習(xí)一下所學(xué)過的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間教師把所學(xué)過的函數(shù)均寫在黑板

2、上,中間留出寫答案的地方,當(dāng)學(xué)生答復(fù)得正確時(shí),由教師將正確答案寫在對(duì)應(yīng)題的下邊.教師板書,可適當(dāng)略寫.例求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1 .一次函數(shù)y=kx+bkw0.解當(dāng)k0時(shí),一,+8是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)k0時(shí),一8,0和0,+8都是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,當(dāng)kV0時(shí),一8,0和0,+8都是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.3 .二次函數(shù)y=ax2+bx+caW0.bb解當(dāng)a1時(shí)一8,2a是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,一2a,+8是它的單調(diào)bb增區(qū)間；當(dāng)a0,aw1.解當(dāng)a1時(shí),00,+8是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,當(dāng)0vav1時(shí),一00,+oo是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.5.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logaxa0,aw1.解當(dāng)a

3、1時(shí),0,+8是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,當(dāng)0vav1時(shí),0,+8是它的單調(diào)減區(qū)間.師：我們還學(xué)過哥函數(shù)y=xnn為有理數(shù),由于n的不同取值情況,可使其定義域分幾種情況,比擬復(fù)雜,我們不妨遇到具體情況時(shí),再具體分析師：我們看看這個(gè)函數(shù)y=2x2+2x+1,它顯然是復(fù)合函數(shù),它的單調(diào)性如何？生：它在00,+OO上是增函數(shù).師：我猜你是這樣想的,底等于2的指數(shù)函數(shù)為增函數(shù),而此函數(shù)的定義域?yàn)?8,+8,所以你就得到了以上的答案.這種做法顯然忽略了二次函數(shù)u=x2+2x+1的存在,沒有考慮這個(gè)二次函數(shù)的單調(diào)性.咱們不難猜測(cè)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)由兩個(gè)函數(shù)共同決定,但一時(shí)猜不準(zhǔn)結(jié)論.下面我們引出并證實(shí)一些有關(guān)

4、的預(yù)備定理.板書引理1函數(shù)y=fgx.假設(shè)u=gx在區(qū)間a,b上是增函數(shù),其值域?yàn)閏,d,又函數(shù)y=fu在區(qū)間c,d上是增函數(shù),那么,原復(fù)合函數(shù)y=fgx在區(qū)間a,b上是增函數(shù).(本引理中的開區(qū)間也可以是閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間.)證實(shí)在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)xi,X2,使axiX2b.由于u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù),所以g(xi)vg(X2),記u1=g(xi),u2=g(x2)即uig(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即U1U2,且u1,u2C(c,d).由于函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù),所以f(u1)0,u=x24x+3,解得原復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)閤v

5、1或x3.師：這步咱們大家都很熟悉了,是求復(fù)合函數(shù)的定義域.下面該求它的單調(diào)區(qū)間了,怎樣求解,才能保證單調(diào)區(qū)間落在定義域內(nèi)呢？生：利用圖象.師：這種方法完全可以.只是再說清楚一點(diǎn),利用哪個(gè)函數(shù)的圖象？可咱們并沒學(xué)過畫復(fù)合函數(shù)的圖象啊？這個(gè)問題你想如何解決？生：師：我來幫你一下.所有的同學(xué)都想想,求定義域也好,求單調(diào)區(qū)間也好,是求x的取值范圍還是求復(fù)合函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍？或是求中間量u的取值范圍？生：求x的取值范圍.師：所以我們只需畫x的范圍就行了,并不要畫復(fù)合函數(shù)的圖象.乙二乙二上,7d.L一.一0123工圖1板書師：當(dāng)xC8,1時(shí),u=x24x+3為減函數(shù),而y=log4U為增函數(shù),所以

6、,1是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)xC3,8時(shí),u=x24x+3為增函數(shù)y=log4u為增函數(shù),所以,3,+8是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：除了這種方法,我們還可以利用代數(shù)方法求解單調(diào)區(qū)間.下面先求復(fù)合函數(shù)單調(diào)減區(qū)間.板書u=x2-4x+3=x221,*3或*1,復(fù)合函數(shù)定義域x3或*2u增解得x3.所以3,+8是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間師：下面咱們?cè)倏蠢?.板書例2求以下復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：y=log2xx23師：先在筆記本上準(zhǔn)備一下,幾分鐘后咱們?cè)僖黄鹂春诎?我再邊講邊寫.板書解設(shè)y=logu,u=2xx2.由3uf02u=2xjx解得原復(fù)合函數(shù)的定義表為0vxv2.由于y=logu在定義域0,+8

7、內(nèi)是減函數(shù),所以,原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)3u=2xx2的單調(diào)性正好相反.易知u=2xx2=-x-12+1在x1時(shí)單調(diào)增.由0vx1時(shí)單調(diào)減,由x1,u減解得0Wxv2,所以0,1=是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：以上解法中,讓定義域與單調(diào)區(qū)間取公共局部,從而保證了單調(diào)區(qū)間落在定義域內(nèi)師：下面我們?cè)倏匆坏李}目,還是自己先準(zhǔn)備一下,就根據(jù)黑板上第一題的格式寫.板書例3求y=476xx2的單調(diào)區(qū)間.幾分鐘后,教師找一個(gè)做得對(duì)的或根本做對(duì)的學(xué)生,由他口述他的全部解題過程,教師在黑板上寫,整個(gè)都寫完后,教師邊講邊肯定或修改學(xué)生的做法,以使所有同學(xué)再熟悉一遍解題思路以及格式要求.解設(shè)y=u,u=76x

8、x2,由u0,rc2u=76xx解得原復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?x1.由于y=%U在定義域0+8內(nèi)是增函數(shù),所以由引理知,原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)u=x26x+7的單調(diào)性相同.易知u=-x2-6x+7=-x+32+16在xW-3時(shí)單調(diào)增加.由-7x3時(shí)單調(diào)減,由7x3,u減解得一3wxw1,所以3,1是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.師：下面咱們看最后一道例題,這道題由大家獨(dú)立地做在筆記本上,我叫一個(gè)同學(xué)到黑板上來做.板書1x22x1的單調(diào)區(qū)間.()例4求y=2學(xué)生板書-ueR,2-2x-1,xCR.解設(shè)y=2.由uu=x解得原復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)閡=x22x1的單調(diào)性+8是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)由于y=2U在定義

9、域R內(nèi)為減函數(shù),所以由引理知,二次函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性相反.易知,u=x22x1=x122在x1時(shí)單調(diào)減,由xCR,復(fù)合函數(shù)定義域x1,u減解得xW1.所以8,1是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.同理1,減區(qū)間.師：黑板上這道題做得很好.請(qǐng)大家都與黑板上的整個(gè)解題過程對(duì)一下.師：下面我小結(jié)一下這節(jié)課.本節(jié)課講的是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.大家注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間必須是定義域的子集,當(dāng)我們求單調(diào)區(qū)間時(shí),必須先求出原復(fù)合函數(shù)的定義域.另外,咱們剛剛學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,做這類題目時(shí),一定要按要求做,不要跳步作業(yè)均為補(bǔ)充題作業(yè)求以下復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1.y=log3x22x;答：一00,0是單調(diào)減區(qū)間,2,+卻是單調(diào)增

10、區(qū)間.12.y=log2x23x+2;答：巴1是單調(diào)增區(qū)間,2,+8是單調(diào)減區(qū)間.553 .y=JX25x6,答：2,2是單調(diào)增區(qū)間,2,3是單調(diào)減區(qū)間.14 .y=0.7x；答：8,0,0,+8均為單調(diào)增區(qū)間.注意,單調(diào)區(qū)間之間不可以取并集.-3x25 .y=2;答8,0為單調(diào)增區(qū)間,0,+8為單調(diào)減區(qū)間3%面#6 .y=3,答巴+8為單倜減區(qū)間.lOg2x7 .y=3;答：0,+8為單倜減區(qū)間.8.y=,1,log(4xx2);答：0,2為單調(diào)減區(qū)間,2,4為單調(diào)增區(qū)間.9.y=4x2；xx10.y=76x2(答:0,3為單調(diào)減區(qū)間,3,6為單調(diào)增區(qū)間.；答8,1為單調(diào)增區(qū)間,1,+00為

11、單調(diào)減區(qū)間.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明1 .復(fù)習(xí)提問簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性2 .復(fù)習(xí)提問復(fù)合函數(shù)的定義3 .引出并證實(shí)一個(gè)引理,用表格的形式給出所有的引理4 .對(duì)于例1,教師要帶著學(xué)生分析,著重突出單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集.例2中的第一題,還是以教師講解為主.例2中的第二題,過渡到以學(xué)生講述自己解法為主.例2中的第三題,以學(xué)生獨(dú)立完成為主.5 .小結(jié),作業(yè).我為什么要采取這幾個(gè)環(huán)節(jié)呢？由于從以往的經(jīng)驗(yàn)看,當(dāng)要求學(xué)生求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),他往往不考慮這個(gè)函數(shù)的定義域,而這種錯(cuò)誤又很頑固,不好糾正.為此,本節(jié)課我在廛為什么要求復(fù)合函數(shù)的定義域,以及定義域與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系上,投入了較大的精力.力求使學(xué)生做到,想法正確,步驟清楚.為了調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,突出課堂