復(fù)合函數(shù)總結(jié)復(fù)習(xí)

1、課次教學(xué)方案(教案)課題復(fù)合函數(shù)教學(xué)目標(biāo)掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程,定義域,值域,單調(diào)性與奇偶性的求法一、復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成設(shè)ug(x)是A到B的函數(shù),yf(u)是B'到C'上的函數(shù),且BB',當(dāng)u取遍B中的元素時,y取遍C,那么yf(g(x)就是A到C上的函數(shù).此函數(shù)稱為由外函數(shù)yf(x)和內(nèi)函數(shù)ug(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).說明：復(fù)合函數(shù)的定義域,就是復(fù)合函數(shù)yf(g(x)中x的取值范圍.x稱為直接變量,u稱為中間變量,u的取值范圍即為g(x)的值域.f(g(x)與g(f(x)表示不同的復(fù)合函數(shù).例1.設(shè)函數(shù)f(x)2x3,g(x)3x5,求f(g(x),g(f(x).假設(shè)

2、f(x)的定義域為M,那么復(fù)合函數(shù)f(g(x)中,g(x)M.注意：g(x)的值域MM.解復(fù)合函數(shù)題的關(guān)鍵之一是寫出復(fù)合過程例1:指出以下函數(shù)的復(fù)合過程.(1) y=,2x2(2)y=sin3x(3)y=3cosvx2解：(1)y=Sx2是由y=,u,u=2x2復(fù)合而成的.(2) y=sin3x是由y=sinu,u=3x復(fù)合而成的.(3) y=3cosV1+2x由y=3cosu,u=,r,r=x2復(fù)合而成的.例2:復(fù)合函數(shù)的定義域問題假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是0,1,求f(12x)的定義域；假設(shè)f(2x1)的定義域是-1,1,求函數(shù)f(x)的定義域;f(x3)定義域是4,5,求f(2x3)定義

3、域.要點1：解決復(fù)合函數(shù)問題,一般先將復(fù)合函數(shù)分解,即它是哪個內(nèi)函數(shù)和哪個外函數(shù)復(fù)合而成的.解答：(1)函數(shù)f(12x)是由A到B上的函數(shù)u12x與B到C上的函數(shù)yf(u)復(fù)合而成的函數(shù).函數(shù)f(x)的定義域是0,1,.B=0,1,即函數(shù)u12x的值域為0,1.012x1,12x0,即0x1,2函數(shù)f(12x)的定義域0,1.2函數(shù)f(2x1)是由A到B上的函數(shù)u2x1與B到C上的函數(shù)yf(u)復(fù)合而成的函數(shù).f(2x1)的定義域是-1,1,.A=-1,1,即-1x1,32x11,即u2x1的值域是-3,1,yf(x)的定義域是-3,1.要點2:假設(shè)f(x)的定義域為A,那么fg(x)的定義域

4、就是不等式g(x)A的x的集合；假設(shè)fg(x)的定義域為A,那么f(x)的定義域就是函數(shù)g(x)(xA)的值域.函數(shù)f(x3)是由A到B上的函數(shù)ux3與B到C上的函數(shù)yf(u)復(fù)合而成的函數(shù).f(x3)的定義域是-4,5),.A=-4,5)即4x5,1x38即ux3的值域B=-1,8)又f(2x3)是由A'到B'上的函數(shù)u'2x3與B到C上的函數(shù)yf(u)復(fù)合而成的函數(shù),而BB',從而u'2x3的值域B'1,8)12x38/.22x11,.11,1x2f(2x3)的定義域是1,口).2練習(xí)：1,f(x)的定義域為0,1,求f(2x-1)的定義域.

5、2,f(2x-1)的定義域為0,1,求f(x)的定義域.3,f(x+3)的定義域為1,2,求f(2x-5)的定義域.說明： f(x)的定義域為(a,b),求f(g(x)的定義域的方法：f(x)的定義域為(a,b),求f(g(x)的定義域.實際上是中間變量的u的取值范圍,即u(a,b),g(x)(a,b).通過解不等式ag(x)b求得x的范圍,即為f(g(x)的定義域. f(g(x)的定義域為(a,b),求f(x)的定義域的方法：假設(shè)f(g(x)的定義域為(a,b),求f(x)的定義域.實際上是復(fù)合函數(shù)f(g(x)直接變量x的取值范圍,即x(a,b).先利用axb求得g(x)的范圍,那么g(x)

6、的范圍即是f(x)的定義域,即使函數(shù)f(x)的解析式形式所要求定義域真包含g(x)的值域,也應(yīng)以g(x)的值域做為所求f(x)的定義域,由于要保證所求外含數(shù)f(x)與條件下所要求的外含數(shù)是同一函數(shù),否那么所求外含數(shù)f(x)將失去解決問題的有效性.2.求有關(guān)復(fù)合函數(shù)的解析式,例6.f(x)x21,求f(x1);f(x1)(x1)21,求f(x).例7.f(x1)x1,求f(x)；xf(x-)x24,求f(x1).xx要點3:f(x)求復(fù)合函數(shù)fg(x)的解析式,直接把f(x)中的x換成g(x)即可.fg(x)求f(x)的常用方法有：配湊法和換元法.配湊法就是在fg(x)中把關(guān)于變量x的表達(dá)式先湊

7、成g(x)整體的表達(dá)式,再直接把g(x)換成x而得f(x).換元法就是先設(shè)g(x)t,從中解出x(即用t表示x),再把x(關(guān)于t的式子)直接代入fg(x)中消去x得到f(t),最后把f(t)中的t直接換成x即得f(x),這種代換遵循了同一函數(shù)的原那么.例8.f(x)是一次函數(shù),滿足3f(x1)2f(x1)2x17,求f(x);3f(x)2f(-)4x,求f(x).x要點4:(1)當(dāng)函數(shù)的類型求函數(shù)的解析式時,一般用待定系數(shù)法.假設(shè)抽象的函數(shù)表達(dá)式,那么常用解方程組、消參的思想方法求函數(shù)的解析式.f(x)滿足某個等式,這個等式除f(x)是未知量外,還出現(xiàn)其他1未知量,如f(x)、f(1)等,必須

8、根據(jù)等式再構(gòu)造出其他等式組成方程x組,通過解方程組求出f(x)o解析式的求法練習(xí)1 .代入法例1、f(x)2x1,求f(x1)2 .待定系數(shù)法例2、二次函數(shù)f(x)滿足f(x3)f(1x),且f(x)0的兩實根平方和為10,圖像過點(0,3),求f(x)解析式3 .換元法,一一2x1.一例3、f(3x1),求f(x)解析式34x4 .配湊法(用于二次函數(shù)較多)例4、f(3x1)9x26x5,求f(x)解析式5 .消元法(構(gòu)造方程組法,賦值法)例5、2f(x)f(x)x1,求f(x)解析式6 .利用函數(shù)的性質(zhì)求解析式333一o例6、函數(shù)yf(x)是定義在區(qū)間3r上的偶函數(shù),且x0,士時,f(x)

9、x2x5222求f(x)解析式(2)假設(shè)矩形ABCD頂點A,B在函數(shù)yf(x)圖像上,頂點C,D在x軸上,求矩形ABCD面積的最大值例7、函數(shù)yf(x)是定義在R上的周期函數(shù),周期T5,函數(shù)yf(x)(1x1)是奇函數(shù),又知yf(x)在0,1上是一次函數(shù),在1,4上是二次函數(shù),且在x2時函數(shù)取得最小值,最小值為-5(1)證實：f(1)f(4)0(2)試求yf(x),x1,4的解析式(3)試求yf(x)在x4,9上的解析式復(fù)合函數(shù)的值域換元法：(1)求函數(shù)yx4幣x；的值域分式法x1求y的值域.x2例1、(指、對數(shù)函數(shù)作內(nèi)層函數(shù))己在函數(shù)f(x)123x32x(1)求函數(shù)f(x)的值域(2)假設(shè)

10、x2,1時,函數(shù)f(x)的最小值為和最大值2xxa例2、(耐克函數(shù))求函數(shù)f(x)(a0),x1,2的值域x【變式練習(xí)】2a求函數(shù)f(x)2x2二的值域x2121例3、(其它函數(shù)復(fù)合)求函數(shù)yx22x-4(x)的值域xx2二、復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)1、復(fù)合函數(shù)yfg(x)在區(qū)間a,b上的單調(diào)性：(同增異減)ug(x),yf(u)增減性相同時,yfg(x)為增函數(shù),ug(x),yf(u)增減性相反時,yfg(x)為減函數(shù).求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是：(1)求函數(shù)的定義域；(2)用換元法把復(fù)合函數(shù)分解成常見函數(shù)；(3)求各常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(4)把中間變量的變化區(qū)間轉(zhuǎn)化成自變量的變化區(qū)問；(5)按復(fù)合函

11、數(shù)單調(diào)性的規(guī)律,求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例8、求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：y=(x24x+3)2例9、求復(fù)合函數(shù)ylog1(2xx2)的單調(diào)區(qū)問3例10、求y=J76xx2的單調(diào)區(qū)間和最值x22x1一,、1例11、求y=的單調(diào)區(qū)問.2例12、求y=1/(x24x+3)的單調(diào)區(qū)問.2、復(fù)合函數(shù)yfg(x)的奇偶性假設(shè)函數(shù)f(x),g(x),fg(x)的定義域都是關(guān)于原點對稱的,那么由ug(x),yf(u)的奇偶性得到y(tǒng)fg(x)的奇偶性的規(guī)律是:函數(shù)奇偶性ug(x)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)yf(u)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)yfg(x)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)即當(dāng)且僅當(dāng)ug(x)和yf(u)都是奇函數(shù)時

12、,復(fù)合函數(shù)yfg(x)是奇函數(shù).(與奇數(shù)偶數(shù)的乘法類似)假設(shè)f(x)=x3,g(x)=x2+1判斷以下函數(shù)奇偶性：A.f(x)*g(x)B.f(g(x)C.g(f(x)課后作業(yè)：1、假設(shè)函數(shù)f(x1)定義域為(3,4,那么函數(shù)f(Vx)的定義域為33x12、函數(shù)f(x)21定義域為R,那么實數(shù)a的取值范圍是axax3一,11一.3、f(x-)x2,那么f(x1)=xx4、f(x1)x23x4,那么f(x)=5、函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)h(x)x2的圖像關(guān)于點A(0,1)對稱x(1)求函數(shù)f(x)的解析式(2)假設(shè)g(x)f(x)a,且g(x)在區(qū)間(0,2上的值不小于6,求實數(shù)a的取值范圍x6

13、、設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(x)滿足f(x2)f(x),當(dāng)x0,2時,f(x)2xx2,求x2,0時f(x)的解析式7、f(x)Vmx_mx1的定義域為R,那么求m的取值范圍11x8、函數(shù)f(x)log2,求函數(shù)的7E義域,并討論匕的奇偶性單倜性.x1x129、求函數(shù)y(-)x4x,x0,5)的值域.1x1x10、求函數(shù)y(-)x(-)x1在x3,2上的值域.總結(jié)：1 .復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成；設(shè)函數(shù)yf(u),ug(x),那么我們稱yf(g(x)是由外函數(shù)yf(u)和內(nèi)函數(shù)ug(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).其中x被稱為直接變量,u被稱為中間變量.復(fù)合函數(shù)中直接變量x的取值范圍叫做復(fù)合函數(shù)的定義

14、域,中間變量u的取值范圍,即是g(x)的值域,是外函數(shù)yf(u)的定義域.2 .有關(guān)復(fù)合函數(shù)的定義域求法及解析式求法：定義域求法：求復(fù)合函數(shù)的定義域只要解中間變量的不等式(由ag(x)b解x);求外函數(shù)的定義域只要求中間變量的值域范圍(由axb求g(x)的值域).已知一個復(fù)合函數(shù)求另一個復(fù)合函數(shù)的定義域,必須先求出外函數(shù)的定義域.特別強調(diào),此時求出的外函數(shù)的定義域一定是前一個復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)的值域.解析式求法：待定系數(shù)法、配湊法、換元法、解方程組消元法.四：外函數(shù)解析式其本身決定定義域的主要依據(jù)有：(1)當(dāng)f(x)為整式或奇次根式時,xR;當(dāng)f(x)為偶次根式時,被開方數(shù)不小于0(即)0;當(dāng)f(x)為分式時,分母不為0;當(dāng)分母是偶次根式時,被開方數(shù)大于0;當(dāng)f(x)為指數(shù)式時,對零指數(shù)窯或負(fù)整數(shù)指數(shù)窯,底不為0(如f(x)x0,1f(x)